Experiência A2 Momento de Inércia

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Experiência A2 
Momento de Inércia e Dinâmica de Rotação 
 
1- Objetivos: 
1- Calcular o momento de inercia I de um aro de bicicleta; 
2- Verificar a extensão da Segunda Lei de Newton para a Rotação através do 
movimento do aro em torno de um eixo fixo, 𝜏 = 𝐼�⃗�. 
1. Equipamentos: 
Aro de bicicleta ligado a um eixo vertical sobre suporte específico, objeto de massa m 
ligado ao eixo por um barbante, régua graduada com cursor e cronômetro. 
2. Método: 
Utilizando um aro de bicicleta, suspenso por barbantes ligados a um eixo central 
girante (cilindro de raio r), e um objeto de peso P sustentado por um barbante, que 
passa por uma polia, e é preso ao eixo central no qual pode ser enrolado, conforme 
Figura 1 abaixo, estão indicadas as medidas necessárias para os cálculos do 
momento de inércia do aro. 
y0= altura mínima (barbante todo desenrolado); 
y1= altura do ponto mais alto (barbante enrolado); 
y2= altura máxima do ponto de retorno; 
 
O torque resultante será obtido a partir de: 
 
h1 = (y1-y0) distância percorrida pelo objeto ao descer; 
h2 = (y2-y0) distância percorrida pelo objeto ao subir; 
r = raio do pequeno cilindro vertical; 
m = massa do objeto P (vide Fig. 1); 
α = aceleração angular do aro durante a descida do objeto de 
peso P; 
g = aceleração da gravidade 
 
Neste sistema, quando o barbante é enrolado no eixo central e o objeto P, ligado ao 
eixo pelo barbante, é abandonado para fazer o movimento de descida, o aro inicia o 
movimento de giro com velocidade angular crescente, em módulo. O torque 
resultante sobre o aro tem uma contribuição dada pelo torque da tensão (�⃗⃗�T) no 
barbante e outra dada pelo torque de atrito ( �⃗⃗�atr.). Este e produzido pelo atrito que 
atua no eixo do pequeno cilindro. 
É importante notar que o torque de atrito tem sentido oposto a rotação do aro em 
qualquer instante. 
 
Assim o torque resultante τ será dado por: 
 
𝜏 = 𝑟𝑚𝑔 (
2ℎ2
ℎ1+ℎ2
−
𝑟𝛼
𝑔
) (1) 
Figura 1 
É importante saber demostrar a Equação 1. Para chegar a este resultado é preciso 
considerar que o trabalho do torque causado pelo atrito (Watr.) é o responsável pela 
diferença na energia potencial do sistema entre as duas posições y1 e y2, isto é: 
|Watr.| = mg(h1 – h2 ) (2) 
Lembre-se também que: 
|Watr.| = | τatr. . ϴdeslocado| (3) 
E necessário utilizar as relações entre cinemática angular e cinemática linear (𝑣 = 𝑤𝑟 
e 𝑎 = 𝛼𝑟) aplicadas ao movimento do conjunto durante o movimento do objeto P, 
bem como a Segunda Lei de Newton (Peso - Tensão no barbante = m.a) aplicada ao 
objeto de peso P, para obter a tensão no barbante e consequentemente a expressão do 
torque resultante dada anteriormente. 
 
Para obter o valor experimental da aceleração angular a basta medir o tempo t que 
o aro gasta para girar de um determinado ângulo ϴ e usar a relação, 𝜃 =
1
2
𝑎𝑡2, obtida 
da cinemática do movimento de rotação. 
 
O torque resultante aplicado τ e a aceleração angular α deverão estar relacionados 
pela expressão: 
𝜏 = 𝐼𝛼 (4) 
 
O valor experimental do momento de inercia I, calculado pela equação 4, dever ser 
"idêntico" ao valor obtido, partindo-se da definição de Momento de Inercia, 
quando se conhece a massa do objeto e sua distribuição espacial. No caso de 
um aro de massa M distribuída entre os raios interno e externo deveremos ter: 
𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚
𝑅𝑒𝑥𝑡
𝑅𝑖𝑛𝑡
 (5) 
 
Esta integral não pode ser resolvida pois não conhecemos distribuição exata da 
massa do aro, mas pode-se que a integral ficará entre os extremos: 
 
𝑀𝑅𝑖𝑛𝑡
2 > 𝐼 > 𝑀𝑅𝑒𝑥𝑡
2 (6) 
 
3. Procedimentos: 
Pendurar o objeto P no barbante passando pela polia. 
Deixar o barbante completamente desenrolado e utilizar a régua para medir o valor 
de yo, que será o limite mais baixo da trajetória de P, observe o desenho da Figura1 . 
 
Enrolar o barbante no cilindro pequeno, girando o aro, levando P até uma posição 
mais alta y1 (próximo a polia). F i x a r o a r o e m e d i r a a l t u r a y1 n e s s e p o n t o . 
S o l t a r o aro e acionar o cronômetro no mesmo instante. 
 
Depois que o aro completar N voltas, N de 4 a 6, desligue o cronômetro. O aro 
percorreu um angulo ϴN = 2N. 
 
Deixar o objeto continuar seu movimento de descida e retornar subindo até a 
posição y2, onde a velocidade se anula percorrendo um ângulo total: 
 
𝜃𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜 =
ℎ1+ℎ2
𝑟
 (7) 
 
Neste instante segure o aro para medir a posição final y2. 
Repetir este procedimento três vezes e calcular a média dos valores medidos: tN, yo, 
y1 e y2. Anotar esses valores na folha de dados. 
Os valores de h1 e h2 são obtidos facilmente a partir da Figura 1. 
Medir também a massa M do aro de bicicleta, bem como seus raios interno Rint e 
externo Rext. 
A medida do raio r do pequeno cilindro vertical poderá ser feita fazendo o aro girar 
um determinado número N de voltas (10 por exemplo) e medir o comprimento 
do barbante desenrolado para as N voltas. Anotar os valores de N e relacionar r com 
o comprimento desenrolado. 
É importante saber demonstrar como se chega a equação 1, que relaciona o torque τ 
com r, m, g, h1, h2, α e g. Construa em primeiro lugar a expressão que relaciona o 
torque de atrito τatr. com h1, h2, r e P. Lembre-se que: 
 
𝑊𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 = 𝜏𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 . 𝜃𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜 (8) 
 
Na expressão obtida para o torque resultante τ (equação 1) aparece um termo que, 
certamente, poderá ser desprezado nos cálculos: trata-se de 
𝑟.𝛼
𝑔
. Por que será 
desprezível? 
 
Utilizar a Segunda Lei de Newton para o movimento de rotação para o cálculo do 
momento de inércia de um aro e comparar com o momento de inércia de um aro de 
raio interno (Rint), raio externo (Rext) e massa M girando em torno de seu centro de 
massa, calculado a partir da relação mostrada na equação 6. 
 
5- Bibliografia 
 RESNICK, R. & HALLIDAY, D. (1982). Física, vol. 1. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos Editora. Capitulo 7, seções 7-2 (Trabalho Realizado por Uma Forca 
Constante), 7-5 (Energia Cinética e O Teorema do Trabalho - Energia), 7-6 
(Significação do Teorema do Trabalho - Energia). Capitulo 11, seção 11-5 (Relação 
Entre Cinemática Linear e Cinemática Angular de Uma Partícula em Movimento 
Circular - Forma Escalar). Capitulo 12, seções 12-2 (Torque Sobre Uma Partícula), 
12-5 (Energia Cinética de Rotação e Momento de Inercia) e 12-6 (Dinâmica de 
Rotação de Um Corpo Rígido). 
 TIPLER, P.A. (1985). Física, vol. 1. Rio de Janeiro: Editora Guanabara. 
Capitulo 12, seções 12-1 (Velocidade Angular e Aceleração Angular), 12-3 (Energia 
Cinética de Rotação e Momento de Inercia), 12-5 (Torque). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Cálculos 
 
1. Apresentação dos dados 
2. Cálculo de r 
3. Cálculo de α 
4. Cálculo de rα/g 
5. Cálculo de 2h2/(h1 + h2) 
6. rα/g pode ser desprezado? 
7. Cálculo de τ 
8. Cálculo de I 
9. Obtenção de Iint. e Iext. 
10. Comparação de I com Iint. e Iext. 
11. Outros comentários referentes 
a experiência. 
12. Comentários Finais e 
Conclusão: 
 
 
Folha de Dados 
 
 
Massa do objeto P 
 
m = ( ± ) g 
 
 
Ordenadas do objeto P: 
 y0 = ( ± ) mm 
y1 = ( ± ) mm 
y2 = ( ± ) mm 
 
Tempo para N voltas = ( ± ) s 
 n0 de voltas = ( ± ) 
Dados para a medida do raio do pequeno cilindro vertical: 
Comprimento desenrolado pelo barbante l = ( ± ) mm 
 n0 de voltas (incerteza desprezível) Nl = ( ) 
 
Dados do Aro: 
 
Massa do aro = ( + ) g 
 
Diâmetro externo = ( + ) mm 
 
Diâmetro interno= ( + ) mm 
 
Aceleração da gravidade g = ( + ) m/s2 
 
 
 
 
 
Folha de dados para entregar ao professor 
 
Experiência A2 
Momento de Inércia e Dinâmica de Rotação 
 
Professor: ID: Data: Grupo: 
 
Alunos presentes durante o experimento: 
1- ______________________________________________________________________ 
2-______________________________________________________________________ 
3- _____________________________________________________________________ 
4- _____________________________________________________________________ 
5- _____________________________________________________________________ 
 
Massa do objeto P 
 
m = ( ± ) g 
 
 
Ordenadas do objeto P: 
 y0 = ( ± ) mm 
y1 = ( ± ) mm 
y2 = ( ± ) mm 
 
Tempo para N voltas = ( ± ) s 
 n0 de voltas = ( ± ) 
Dados para a medida do raio do pequeno cilindro vertical: 
Comprimento desenrolado pelo barbante l = ( ± ) mm 
 n0 de voltas (incerteza desprezível) Nl = ( ) 
 
Dados do Aro: 
 
Massa do aro = ( + ) g 
 
Diâmetro externo = ( + ) mm 
 
Diâmetro interno = ( + ) mm 
 
Aceleração da gravidade g = ( + ) m/s2