APOSTILA UNIDADE 4 PARTE 2

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4.2. Vetor Gradiente 
No teorema da derivada direcional vimos que , que 
pode ser interpretado como o produto escalar de dois vetores, veja: 
 
 
O primeiro vetor deste produto escalar, formado pelas derivadas parciais de uma função 
não ocorre somente no calculo da derivada direcional, mas é recorrente em diversas situações. 
Por este motivo ele recebe um nome especial, é o gradiente da função, representado por 
ou (lê-se “del f ”). O gradiente de f é definido formalmente como: 
 
Definição: Se é uma função de duas variáveis x e y, então o gradiente de é uma função 
vetorial definida por 
 
 
 
 
 
 
 
 
E assim, podemos escrever a derivada direcional de uma função f utilizando o vetor 
gradiente como 
 
 
onde é o vetor unitário que indica a direção e o sentido da derivada direcional. 
 
Exemplo 4.7. Determine , sabendo que , no ponto (0,1). 
 
Exemplo 4.8. Determine, utilizando o gradiente da função, a derivada direcional da função 
 no ponto (2,-1) na direção do vetor v = 2i + 5j. 
 
4.3. Funções de três ou mais variáveis 
Todo o raciocínio desenvolvido para duas variáveis pode ser generalizado para infinitas 
variáveis. 
Assim sendo, a derivada direcional de uma função de n variáveis pode ser calculada por: 
 
 
onde , , e são as coordenadas do vetor unitário . 
Da mesma forma o vetor gradiente de uma função de n variáveis é dado por: 
 
 
e a derivada direcional pode ser calculada através do vetor gradiente como: 
 
 
onde é o vetor unitário . 
 
Exemplo 4.9. Se f(x, y, z) = x sen yz determine: 
a) o gradiente de f. 
b) estabeleça a derivada direcional de f no ponto (1, 3, 0) na direção e sentido de v = i + 2j – k. 
 
4.4. Valor máximo da derivada direcional 
É fácil compreender que uma função f de mais de uma variável irá possuir infinitas 
derivadas direcionais em um único ponto. Podemos então nos perguntar: em qual dessas direções 
f varia mais rápido e com qual taxa de variação? A resposta é dada pelo seguinte teorema: 
 
Teorema: Seja f uma função diferenciável de várias variáveis , a direção e 
sentido de maior taxa de variação será a direção e sentido do vetor gradiente 
 e o valor desta taxa é igual ao módulo do vetor gradiente 
 . 
Exemplo 4.10. Se f(x, y) = xe
y
, em qual direção f tem a máxima taxa de variação? Qual é a 
máxima taxa de variação? 
 
Exemplo 4.11. Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) do espaço seja dada por 
 
 
 
, onde T é medida em graus Celsius e x, y e z em metros. Considere o 
ponto (1,1,-2): 
a) Em que direção a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual a taxa de variação? 
b) Em que direção a temperatura diminui mais rapidamente? Qual a taxa de variação? 
 
EXERCÍCIOS: J. Stewart, Cap. 14. Pag. 949 (390 PDF): 6 – 17 e 19 – 26.