DERIVADAS

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Derivadas de Funções
Prof.o Ricardo Reis
Universidade Federal do Ceará
Campus de Quixadá
- RESPOSTAS PARCIAIS -
27 de Outubro de 2013
1 Reta Tangente e a Derivada
Seja f(x) uma função real definida no intervalo
I e P um ponto da curva de f cuja abcissa per-
tence a I. Consideremos então o problema de
determinação da reta tangente a função f no
ponto P . A ideia é construir retas secantes a
f (que cruzam dois pontos de f ) cujo primeiro
ponto de cruzamento é fixo, e equivale a P , e o
segundo ponto é arbitrário, mas continuamente
mais próximo de P (Q′, Q′′, Q′′′, Q′′′′ ...) con-
forme indica figura,
f(x)
P
Q′′′′ Q′′′
Q′′
Q′
Quando o ponto arbitrário Q se aproxima infini-
tamente de P a reta secante se torna tangente
como indica a figura.
P
Seja então x0 a abcissa do ponto fixo P e x1 do
ponto arbitrário Q. Então o coeficiente angular
m do segmento de reta que passa por P e Q é
dado por,
m =
f(x1)− f(x0)
x1 − x0
A distância horizontal h entre os pontos P
e Q é dada por h = x1 − x0 e logo temos que
x1 = x0+h. Utilizando a definição de h podemos
reescrever a equação do coeficiente angular da
reta secante como,
m =
f(x0 + h)− f(x0)
h
Fazer Q se aproximar infinitamente de P sig-
nifica fazer h tender a zero e consequente-
mente fazer o coeficiente angular da reta se-
cante tornar-se o coeficiente da reta tangente
a f em P . Este coeficiente de reta tangente é
conhecido como derivada da função f em P e
matematicamente é determinado pelo limite de
m quando h tende a zero, ou seja,
f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
onde a notação f ′(x0) (leia f linha de x0) denota
derivada de f no ponto de abcissa x0. Outra
notação utilizada para derivadas é dada por,
f ′(x0) =
df
dx
∣∣∣∣
x0
onde ddx representa o operador de derivação
em relação a variável independente x e f a fun-
ção operada.
1
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
Proposição 1. Seja f(x) uma função real defi-
nida no intervalo aberto I contendo x0. Então
a derivada de f em relação a x no ponto P ∈ f
de abcissa x0 é dado pelo limite,
f ′(x0) =
df
dx
∣∣∣∣
x0
= lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
e é correspondente ao coeficiente angular da
reta tangente a f no ponto P .
ILUSTRAÇÃO 1 Determine a reta tangente a
curva da função f(x) = x2 no ponto de abcissa
x = 2.
SOLUÇÃO
Da Proposição-1,
f ′(2) = lim
h→0
f(2 + h)− f(2)
h
= lim
h→0
(2 + h)2 − (2)2
h
= lim
h→0
4h+ h2
h
= lim
h→0
(4 + h)
= 4 + (0)
= 4
Assim o coeficiente angular da reta tangente a
f em P é m = 4. Da definição de reta temos que,
m =
y − f(x0)
x− x0
4 =
y − f(2)
x− 2
4(x− 2) = y − (2)2
y = 4x− 8 + 4
y = 4x− 4
Assim a reta tangente em P é dada por y = 4x−
4. O gráfico de f e da reta tangente é mostrado
a seguir,
−1 1 2 3
2
4
6
8
ILUSTRAÇÃO 2 Determine a reta tangente a
função f(x) =
1
x− 1 no ponto de abcissa x =
3
2 .
SOLUÇÃO
Da Proposição-1,
f ′(3/2) = lim
h→0
f(3/2 + h)− f(3/2)
h
= lim
h→0
1
3/2+h−1 − 13/2−1
h
= lim
h→0
2
1+2h − 2
h
= lim
h→0
2− 2(1 + 2h)
h(1 + 2h)
= lim
h→0
−4h
h(1 + 2h)
= lim
h→0
−4
1 + 2h
=
−4
1 + 2(0)
= −4
O coeficiente da reta tangente é então m = −4
e a equação da reta tangente é consequente-
mente,
m =
y − f(x0)
x− x0
−4 = y − f(3/2)
x− 3/2
−4 = y − 2
x− 3/2
y = −4x+ 6 + 2
y = 8− 4x
e assim a reta tangente é dada por y = 8 − 4x.
O gráfico de f e da reta tangente é mostrado a
seguir,
1 1.5 2 2.5
−10
−5
5
10
2
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
ILUSTRAÇÃO 3 Determinar a reta tangente a
função f(x) = sinx no ponto de abcissa x = pi3 .
SOLUÇÃO
Da Proposição-1,
f ′(pi/3) = lim
h→0
sin(pi/3 + h)− sin(pi/3)
h
= lim
h→0
sin(pi/3) cos(h) + sin(h) cos(pi/3)− sin(pi/3)
h
= lim
h→0
√
3
2 cos(h) +
1
2 sin(h)−
√
3
2
h
=
√
3
2
lim
h→0
cos(h)− 1
h
+
1
2
lim
h→0
sin(h)
h
=
√
3
2
lim
h→0
cos(h)− 1
h
(cos(h) + 1)
(cos(h) + 1)
+
1
2
=
√
3
2
lim
h→0
cos2(h)− 1
h2
h
(cos(h) + 1)
+
1
2
=
√
3
2
lim
h→0
sin2(h)
h2
h
(cos(h) + 1)
+
1
2
=
√
3
2
[(
lim
h→0
sin(h)
h
)2
· lim
h→0
h
cos(h) + 1
]
+
1
2
=
√
3
2
[
(1) · 0
(1) + 1
]
+
1
2
= 0 +
1
2
=
1
2
Logo o coeficiente angular da reta tangente vale
m = 12 de onde se determina a reta tangente,
m =
y − f(x0)
x− x0
1
2
=
y − sin(pi/3)
x− pi/3
y =
x
2
− pi
6
+
√
3
2
2 Funções Derivadas
O cálculo pontual de derivadas, ilustrado na
sessão anterior, torna-se inconveniente quando
se necessita, numa mesma função f , determi-
nar o valor de derivadas em diversos valores
distintos de abcissas. Neste caso é mais prático
utilizar a função derivada f ′ correspondente,
ou seja, uma outra função que opera os mes-
mos valores x de domínio de f (quando possí-
vel) e devolve diretamente o valor da derivada
correspondente. Na prática isso significa resol-
ver um único limite cujo resultado é uma nova
função (não mais um número) e que poderá ser
utilizada para calcular derivadas em valores de
x distintos.
Proposição 2. Seja f(x) uma função real de-
finida num intervalo I e sua respectiva função
derivada (ou simplesmente derivada) dada por,
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
Se a ∈ I e a ∈ D(f ′) então a derivada de f em
x = a é dada por f ′(a).
ILUSTRAÇÃO 4 Determinar a derivada de f(x) =
x2.
SOLUÇÃO
da Proposição-2,
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
(x+ h)2 − x2
h
= lim
h→0
2xh− h2
h
= lim
h→0
2x− h
= 2x
Assim a função derivada de f é f ′(x) = 2x.
A Ilustração-1, que também trata da função
f(x) = x2, pode ter a derivada em x = 2 fa-
cilmente calculada a partir da função derivada
obtida, ou seja,
f ′(2) = 2(2) = 4
ILUSTRAÇÃO 5 Determinar a derivada de f(x) =
x+ 1
x− 1
SOLUÇÃO
Da Proposição-2,
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
x+h+1
x+h−1 − x+1x−1
h
= lim
h→0
(x− 1)(x+ h+ 1)− (x+ 1)(x+ h− 1)
h(x+ h− 1)(x− 1)
= lim
h→0
x2 + hx+ x− x− h− 1− x2 − hx+ x− x− h+ 1
h(x+ h− 1)(x− 1)
3
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
= lim
h→0
−2h
h(x+ h− 1)(x− 1)
= lim
h→0
−2
(x+ h− 1)(x− 1)
=
−2
(x+ (0)− 1)(x− 1)
=
−2
(x− 1)(x− 1)
=
−2
(x− 1)2
3 Regras de Derivação
Proposição 3.
i.
d
dx
(c) = 0 c ∈ R
ii.
d
dx
(c · f(x)) = c · f ′(x) c ∈ R
iii.
d
dx
(cxn) = cnxn−1 c ∈ R n ∈ N
ILUSTRAÇÃO 6 Mostre que as derivadas da
Proposição-3 são verdadeiras.
SOLUÇÃO
i.
d
dx
(c) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
c− c
h
= lim
h→0
0
= 0
ii.
d
dx
(c · f(x)) = lim
h→0
c · f(x+ h)− c · f(x)
h
= lim
h→0
c · f(x+ h)− f(x)
h
= c · lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= c · f ′(x)
iii.
d
dx
(cxn)
= lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
c(x+ h)n − cxn
h
= lim
h→0
c[xn + nxn−1h+ n(n−1)2 x
n−2h2 + · · ·+ hn]− cxn
h
= lim
h→0
cxn + cnxn−1h+ cn(n−1)2 x
n−2h2 + · · ·+ chn − cxn
h
= lim
h→0
cnxn−1h+ n(n−1)2 x
n−2h2 + · · ·+ chn
h
= lim
h→0
cnxn−1 +
n(n− 1)
2
xn−2h+ · · ·+ chn−1
= cnxn−1 + 0 + · · ·+ 0
= cnxn−1
ILUSTRAÇÃO 7 Determine a reta tangente a
função f(x) = 5x3 no ponto de abcissa x = 2.
SOLUÇÃO
Da Proposição-3,
f ′(x) = 5(3)x2 = 15x2
Logo o coeficiente angular em x = 2 é dado por,
m = f ′(2) = 15(2)2 = 60
e por fim a reta tangente é dada por,
m =
y − f(x0)
x− x0
60 =
y − 5(2)3
x− 2
y = 60x− 80
Proposição 4. Sejam f e g duas funções reais
e f ′ e g′ suas respectivas funções derivadas.
Então,
i. Derivada da Soma:
[f + g]′ = f ′ + g′
ii. Derivada do Produto:
[f ·g]′ = f ′ · g + f · g′]
iii. Derivada do Quociente:[
f
g
]′
=
f ′ · g − f · g′
[g]
2
quando g(x) 6= 0
ILUSTRAÇÃO 8 Determinar as derivadas se-
guintes,
4
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
a.
d
dx
(
x3 − 3x2 − 11).
b.
d
dx
[
(x2 − x)(x5)].
c.
d
dx
(
5x2 − 1
12− x2
)
SOLUÇÃO
Utilizando a Proposição-3 e a Proposição-4 ob-
temos,
a.
d
dx
(
x3 − 3x2 − 11) = d
dx
(
x3
)
+
d
dx
(−3x2)+ d
dx
(−1)
= 3x2 − 6x
b.
d
dx
[
(x2 − x)(x5)] = [x2 − x]′ · (x5) + (x2 − x) · [x5]′
= (2x− 1) · (x5) + (x2 − x)(5x4)
= 2x6 − x5 + 5x6 − 5x5
= 7x6 − 6x5
c.
d
dx
(
5x2 − 1
12− x2
)
=
=
[5x2 − 1]′ · (12− x2)− (5x2 − 1) · [12− x2]′
[12− x2]2
=
(10x) · (12− x2)− (5x2 − 1) · (−2x)
[12− x2]2
=
(120x− 10x3)− (−10x3 + 2x)
[12− x2]2
=
118x
[12− x2]2
ILUSTRAÇÃO 9 Determine a equação da reta
que passa pelo ponto P (1, 1) e é tangente a
curva da função f(x) =
x
x− 2 .
SOLUÇÃO
Como o ponto de tangência com f não é co-
nhecido então denotaremos sua abcissa por a
de forma que o ponto de tangência se expressa
como Q
(
a, aa−2
)
. Para determinar o coeficiente
angular da reta tangente em Q calculamos a de-
rivada de f ,
f ′(x) =
[x]′ · (x− 2)− (x) · [x− 2]′
[x− 2]2
=
x− 2− x
[x− 2]2
=
−2
[x− 2]2
e logo o coeficiente angular em x = a é,
m = f ′(a) =
−2
[a− 2]2
m também é deduzido da inclinação do seg-
mento PQ,
m =
Qy − Py
Qx − Px
=
a
a−2 − 1
a− 1
Igualando os coeficientes angulares obtemos,
−2
[a− 2]2 =
a
a−2 − 1
a− 1
2− 2a = a(a− 2)− (a− 2)2
2− 2a = a2 − 2a− (a2 − 4a+ 4)
2− 2a = a2 − 2a− a2 + 4a− 4
2 = 4a− 4
4a = 6
a =
3
2
Logo a ordenada do ponto de tangência vale,
Qy =
3/2
3/2− 2 =
3
3− 4 = −3
Assim o ponto de tangência é Q(3/2, −3). In-
terligando P e Q escrevemos a equação da reta
tangente em Q passando em P ,
Qy − Py
Qx − Px =
y − Py
x− Px
−3− 1
3/2− 1 =
y − 1
x− 1
−8 = y − 1
x− 1
y − 1 = −8x+ 8
y = −8x+ 9
O gráfico a seguir ilustra f e a reta tangente
obtida,
5
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
1 2 3 4
−10
−5
5
10
P
Q
Proposição 5. Seja as constantes c, r ∈ R. En-
tão,
d
dx
(c · xr) = c · r · xr−1
ILUSTRAÇÃO 10 Determinar as derivadas das
funções seguintes,
a) f(x) = 5x−3
b) g(x) =
3
x4
c) f(x) = −11x 52
d) h(x) =
√
24x9
SOLUÇÃO
a) f ′(x) = 5(−3)x−3−1 = −15x−4
b) g(x) = 3x−4 ⇒ g′(x) = 3(−4)x−4−1 = −12x−5
c) f ′(x) = −115
2
x
5
2
−1 = −55
2
x
3
2
d) h(x) = 24x
9
2 ⇒ h′(x) = 24(9
2
)x
9
2
−1 = 108x
7
2
4 Regra da Cadeia
Proposição 6. Seja uma função f(x) composta
elaborada pelas funções g(x) e h(x) na forma
f(x) = g (h(x)). Então,
f ′(x) = g′ (h(x)) · h′(x)
A equação da Proposição-6 é conhecida como
regra da cadeia e recebe este nome porque
permite o encadeamento do calculo de deri-
vadas, ou seja, a aplicação da regra é feita
multiplicando-se outras derivadas obtidas a
partir da função e que por sua vez podem fa-
zer uso também da regra da cadeia.
ILUSTRAÇÃO 11 Determinar a derivada da fun-
ção,
f(x) = (2x2 − 5x)8
SOLUÇÃO
Podemos expressar f na forma f(x) = g(h(x))
onde g(x) = x8 e h(x) = 2x2 − 5x. Calculando a
derivada destas componentes obtemos,
g′(x) = 8x7
h′(x) = 4x− 5
Aplicando a Proposição-6,
f ′(x) = g′(h(x)) · h′(x)
= 8(2x2 − 5x)7 · (4x− 5)
ILUSTRAÇÃO 12 Determine a derivada de,
f(x) =
√
5x3 − 12x2
SOLUÇÃO
A função f pode ser composta na forma f(x) =
g(h(x)) onde g(x) =
√
x e h(x) = 5x3−12x2 e cujas
derivadas valem,
g(x) = x1/2 ⇒ g′(x) = 1
2
x−1/2
h′(x) = 15x2 − 24x
e da Proposição-6 temos,
f ′(x) = g′(h(x)) · h′(x)
=
1
2
(5x3 − 12x2)−1/2 · (15x2 − 24x)
=
15x2 − 24x
2
√
5x3 − 12x2
ILUSTRAÇÃO 13 Determinar a derivada da fun-
ção,
f(x) =
√
1
2x+ 1
SOLUÇÃO
6
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
A função f pode ser composta na forma f(x) =
g(h(x)) onde g(x) =
√
x e h(x) =
1
2x+ 1
e cujas
derivadas valem,
g(x) = x1/2 ⇒ g′(x) = 1
2
x−1/2 =
1
2
√
x
h′(x) =
[1]′(2x+ 1)− (1)[2x+ 1]′
[2x+ 1]2
=
(0)(2x+ 1)− 2
[2x+ 1]2
=
−2
[2x+ 1]2
e da Proposição-6 temos,
f ′(x) = g′(h(x)) · h′(x)
=
1
2
√
1
2x+1
· −2
[2x+ 1]2
=
−1
(2x+ 1)−1/2(2x+ 1)2
=
−1
(2x+ 1)3/2
5 Derivabilidade
Seja f uma função real definida num intervalo
I e o número a ∈ I. A derivada à esquerda de
f em x = a é dada pelo limite,
f ′−(x) = lim
h→0−
f(x+ h)− f(x)
h
Similarmente a derivada à direita de f em
x = a é dada pelo limite,
f ′+(x) = lim
h→0+
f(x+ h)− f(x)
h
Estas derivadas são conhecidas como deriva-
das laterais.
Como uma derivada lateral de uma função
f(x) em x = a é de fato um limite lateral en-
tão pode ser calculada utilizando-se uma fun-
ção g(x) idêntica a f(x) exceto possivelmente em
x < a na derivada à direita e x > a na derivada
à esquerda (ver limites laterais).
Proposição 7. Seja uma função f definida
num intervalo I e o número a ∈ I. Então f
é derivável ou diferenciável em x = a se f é
contínua em a, existem as derivadas à direita e
à esquerda de a e ainda,
f ′−(a) = f
′
+(a)
ILUSTRAÇÃO 14 Mostre que a função,
f(x) =
{
x2 − 2x x < 1
−x3 x ≥ 1
não é diferenciável em x = 1.
SOLUÇÃO
Primeiramente testamos a continuidade em x =
1 calculando os limites laterais de f quando x
tende a 1,
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1
(x2 − 2x)
= (1)2 − 2(1)
= −1
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1
−x3
= −(1)3
= −1
Como ambos limites existem, são idênticos e
f(1) = −1 então f é contínua em x = 1. Logo
poderá ser diferenciável em x = 1. Para então
testar a derivabilidade de fato, calculamos as
derivadas laterais em x = 1,
f ′−(x) = [x
2 − 2x]′
= 2x− 2
f ′−(1) = 2(1)− 2
= 0
f ′+(x) = [−x3]′
= −3x2
f ′+(1) = −3(1)2
= −3
A derivada à esquerda de x = 1 é 0 e à di-
reita é −3. Logo, apesar de ambas existirem,
são distintas e logo, da Proposição-7, f não é
diferenciável em x = 1. A não derivabilidade
em uma função contínua num ponto se mostra
como uma ponta conforme se vê no gráfico de f
a seguir (região circundada),
−1 −0.5 0.5 1 1.5
−2
2
7
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
ILUSTRAÇÃO 15 Mostrar que a função,
f(x) =
{
2x2 − 4 x < −1
−4x2 − 12x− 10 x ≥ −1
é diferenciável em x = −1.
SOLUÇÃO
Testemos inicialmente a continuidade em x = 1
calculando os limites laterais,
lim
x→−1−
f(x) = lim
x→−1
(2x2 − 4)
= 2(−1)2 − 4
= −2
lim
x→−1+
f(x) = lim
x→−1
(−4x2 − 12x− 10)
= −4(−1)2 − 12(−1)− 10
= −2
Sendo os limites laterais nas vizinhanças de x =
−1 existentes e idênticos e ainda f(−1) = −2
então f é contínua em x = −1. A derivabilidade
é testada pelas derivadas laterais em x = −1, ou
seja,
f ′−(x) = [2x
2 − 4]′
= 4x
f ′−(−1) = 4(−1)
= −4
f ′+(x) = [−4x2 − 12x− 10]′
= −8x− 12
f ′+(−1) = −8(−1)− 12
= −4
Dadas que as derivadas laterais existem e são
idênticas então, da Proposição-7, f é diferen-
ciável em x = −1. A curva de f se mostra suave
(ausência de ponta) em x = −1 conforme gráfico
seguinte,
−2 −1.5 −1 −0.5
−10
−5
ILUSTRAÇÃO 16 Na função,
f(x) =
{
ax2 + bx+ 6 x ≤ 2
2bx− a x > 2
determine a e b de forma que seja derivável em
x = 2.
SOLUÇÃO
Se f é diferenciável em x = 2 então é também
contínua e logo,
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2+
f(x)
lim
x→2
(ax2 + bx+ 6) = lim
x→2
(2bx− a)
a(2)2 + b(2) + 6 = 2b(2)− a
5a− 2b = −6
Da Proposição-7 ainda temos que,
f ′−(2) = f
′
+(2)
[ax2 + bx+ 6]′ |x=2 = [2bx− a]′ |x=2
(2ax+ b) |x=2 = (2b) |x=2
2a(2) + b = 2b
4a = b
Temos então duas equações de variáveis a e b
que compõem o sistema,{
5a− 2b = −6
4a = b
e cuja solução é a = 2e b = 8. A função f se
define então como,
f(x) =
{
2x2 + 8x+ 6 x ≤ 2
16x− 2 x > 2
cujo gráfico é,
−3 −2 −1 1 2 3
10
20
30
40
Note que em x = 2 (região circundada) ocorre
uma mudança suave entre partes.
8
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
Proposição 8. Seja f(x) uma função contínua
num ponto P ∈ f de abcissa x = b e ainda,
lim
h→0
f(b+ h)− f(b)
h
= ±∞
Então f não é diferenciável em x = b e ainda
existe uma reta vertical tangente a f em P .
ILUSTRAÇÃO 17 Mostre que a reta tangente a
função f(x) = 3
√
x− 2 em x = 2 é vertical.
SOLUÇÃO
O teste de continuidade mostra que,
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2+
f(x) = 3
√
(2)− 2 = 0
e logo a função é contínua em x = 2. Fazendo a
derivada de f em x = 2, obtemos,
f ′(2) = lim
h→0
f(2 + h)− f(2)
h
= lim
h→0
3
√
(2 + h)− 2− 3√2− 2
h
= lim
h→0
3
√
h− 0
h
= lim
h→0
3
√
1
h2
= 3
√
lim
h→0
1
h2
= 3
√
+∞
= +∞
Logo, da Proposição-8, f não é derivável em x =
2 e ainda a reta tangente a f em x = 2 é vertical
como indica o gráfico seguinte,
1 2 3 4
−1
1
Note que calculamos a derivada pela definição
(Proposição-1). Calculando f ′ pela regra da ca-
deia, Proposição-6, obtemos,
f(x) = (x+ 2)1/2 ⇒ f ′(x) = 1
2
· (x+ 2)1/2−1 · [x+ 2]′
=
1
2
√
x+ 2
Percebemos que o domínio de f ′ não inclui x = 2
e isso é exatamente equivalente ao +∞ obtido
no cálculo do limite.
6 Derivadas de Funções
Elementares
Apresentaremos nessa sessão outras importan-
tes derivadas comumente utilizadas.
6.1 Derivada da Função
Exponencial
Consideremos a derivada da função exponen-
cial f(x) = ax onde a ∈ R+. Da Proposição-2
temos que,
d
dx
(ax) = lim
h→0
ax+h − ax
h
= lim
h→0
ax(ah − 1)
h
= lim
h→0
ax · lim
h→0
ah − 1
h
= ax · ln a
Lembremos que o limite,
lim
h→0
ah − 1
h
= ln a
é um limite fundamental.
Proposição 9. Se a ∈ R+ então,
[ax]′ = ax · ln a
No caso particular de a = e,
[ex]′ = ex
Note que a função f(x) = ex tem a importante
propriedade de ser idêntica a sua derivada.
ILUSTRAÇÃO 18 Determinar a derivada da fun-
ção f(x) = e3x
2+x.
SOLUÇÃO
Podemos compor f na forma f(x) = g(h(x))
onde g(x) = ex e h(x) = 3x2 + x cujas deriva-
das são g′(x) = ex (Proposição-9) e h′(x) = 6x+ 1
(Proposição-3 e Proposição-4). Da regra da ca-
deia, Proposição-6, obtemos,
f ′(x) = g′(h(x)) · h′(x)
= e3x
2+x · (6x+ 1)
9
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
6.2 Derivada da Função
Logarítmica
Consideremos a derivada da função logarítmica
f(x) = logb x onde b ∈ R+. Da Proposição-2 te-
mos que,
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
logb(x+ h)− logb x
h
= lim
h→0
logb
[
x+ h
x
]
h
= lim
h→0
1
h
logb
[
1 +
h
x
]
= lim
h→0
logb
[
1 +
h
x
]1
h
Lembremos que a variável deste limite é de fato
h e não x. Façamos a mudança de variável hx =
1
t
que implica 1h =
t
x e também como h→ 0 tem-se
que t→ ±∞ (dependendo do lado pelo qual h se
aproxima de 0). Destas considerações o limite
anterior se torna,
f ′(x) = lim
t→±∞ logb
[
1 +
1
t
] t
x
= logb
[
lim
t→±∞
(
1 +
1
t
)t] 1x
= logb [e]
1
x
=
1
x
logb e
=
1
x ln b
Note que lim
t→±∞
(
1 + 1t
)t
= e é um limite funda-
mental.
Proposição 10. Se b ∈ R+ então,
[logb x]
′ =
1
x ln b
No caso particular de b = e tem-se que loge x =
lnx e ainda,
[lnx]′ =
1
x
ILUSTRAÇÃO 19 Determine a derivada da fun-
ção f(x) = x lnx.
SOLUÇÃO
Utilizando a derivada do produto, Proposição-4,
e a Proposição-10 temos que,
f ′(x) = [x lnx]′
= [x]′ · lnx+ x · [lnx]′
= (1) · lnx+ x1
x
= lnx+ 1
ILUSTRAÇÃO 20 Determinar a derivada da fun-
ção f(x) = log3
(
x2 − 1).
SOLUÇÃO
A função f pode ser composta na forma f(x) =
g(h(x)) onde g(x) = log3 x e h(x) = x
2 − 1 cu-
jas derivadas são g′(x) = 1x ln 3 (Proposição-10) e
h′(x) = 2x (Proposição-3 e Proposição-4). Logo
da regra da cadeia, Proposição-6, temos,
f ′(x) = g′(h(x)) · h′(x)
=
1
(x2 − 1) ln 3 · 2x
=
2x
(x2 − 1) ln 3
6.3 Derivada de Funções
Trigonométricas
Deduziremos nessa sessão somente as deriva-
das das funções seno e cosseno. As derivadas
das demais funções trigonométricas podem ser
facilmente obtidas a partir das derivadas destas
funções.
A derivada da função f(x) = sinx é obtida
como segue,
[sinx]′ = lim
h→0
sin(x+ h)− sinx
h
= lim
h→0
sinx cosh+ sinh cosx− sinx
h
= sinx lim
h→0
cosh− 1
h
+ cosx lim
h→0
sinh
h
= sinx lim
h→0
cosh− 1
h
+ cosx · (1)
Onde lim
h→0
sinh
h = 1 é um limite fundamental. Cal-
culemos separadamente o limite lim
h→0
cosh−1
h ,
lim
h→0
cosh− 1
h
= lim
h→0
[
cosh− 1
h
cosh+ 1
cosh+ 1
]
10
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
= lim
h→0
cos2 h− 12
h(cosh+ 1)
= lim
h→0
sin2 h
h(cosh+ 1)
=
[
lim
h→0
sinh
h
]2
· lim
h→0
h
cosh+ 1
= (1) · lim
h→0
h
cosh+ 1
= 1 · 0
(1) + 1
= 1 · (0)
= 0
Logo,
[sinx]′ = sinx · (0) + cos(x)
= cosx
Proposição 11.
[sinx]′ = cosx
Para obter a derivada da função f(x) =
cosx optaremos pelo uso da regra da cadeia,
Proposição-6, e da Proposição-11,
cosx =
√
1− sin2 x = (1− sin2 x)1/2
[cosx]′ = [(1− sin2 x)1/2]′
=
1
2
(1− sin2 x)−1/2 · [1− sin2 x]′
=
1
2
(cos2 x)−1/2 · (0− [sin2 x]′)
=
1
2
√
[cosx]2
(−2 sinx[sinx]′)
=
−2 sinx cosx
2 cosx
= − sinx
Proposição 12.
[cosx]′ = − sinx
ILUSTRAÇÃO 21 Determinar [tanx]′.
SOLUÇÃO
tanx =
sinx
cosx
[tanx]′ =
[sinx]′ · (cosx)− sinx · [cosx]′
[cosx]2
=
cos2 x+ sin2 x
cos2 x
=
1
cos2 x
= sec2 x
ILUSTRAÇÃO 22 Determinar
[
sin2
(
1
x
)]′
SOLUÇÃO
A função a derivar pode ser composta como
f(g(h(x))) onde f(x) = x2, g(x) = sinx e h(x) =
x−1 cujas derivadas são f ′(x) = 2x (Proposição-
3 e Proposição-4), g′(x) = cosx (Proposição-11) e
h′(x) = −x−2 (Proposição-3). Da regra da cadeia,
Proposição-6,[
sin2
(
1
x
)]′
= f ′(g(h(x))) · g′(h(x)) · h′(x)
= 2 sin
(
1
x
)
· cos
(
1
x
)
· (−x−2)
=
− sin (2/x)
x2
ILUSTRAÇÃO 23 Determinar[
2 sin2 x+ 3 cos2 x
]′.
SOLUÇÃO
[
2 sin2 x+ 3 cos2 x
]′
= 2(2) sinx[sinx]′ + 3(2) cosx[cosx]′
= 4 sinx cosx+ 6 cosx(− sinx)
= −2 sinx cosx
= − sin(2x)
7 Derivação Implícita
A derivação não é um processo exclusivo de
funções. Pode ser aplicado a equações em ge-
ral. Nestes casos devem-se derivar ambos os
lados da equação em relação a uma dada variá-
vel desta equação. Se as variáveis da equação
não forem dependentes da variável em relação a
qual ocorre a derivação então tais variáveis fun-
cionarão como constantes. Do contrário, caso
não sejam conhecidas as relações de dependên-
cia, suas derivações terão que ser tratadas im-
plicitamente. Por exemplo, se a equação,
x2 + y2 = 3xy
11
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
for derivada em relação a x e ainda y for uma
função de x não conhecida então as derivadas
de y em relação a x deverão ser expressas im-
plicitamente, ou seja, dydx . A derivada da última
equação em relação a x, com y sendo função de
x, é afinal,
2x+ 2y
dy
dx
= 3
[
y + x
dy
dx
]
Note que regras como derivada do produto e
regra da cadeia ainda se aplicam. Ao se de-
rivar 2y, por exemplo, a composição é f(g(x))
onde f(x) = x2 e g(x) = y. Entretanto, como y
não é conhecida, a derivada é expressa implici-
tamente. Similarmente ao resolver-se xy, pela
derivada do produto, a derivada de y é mantida
implícita.
ILUSTRAÇÃO 24 Determinar a equação da reta
tangente a elipse,
x2
16
+
y2
9
= 1
no ponto P
(
2,
3
√
3
2
)
SOLUÇÃO
Não é conhecidauma forma explícita para y =
f(x) de forma que derivamos a equação da
elipse implicitamente,
[
x2
16
+
y2
9
]′
= [1]′
2x
16
+
2y
9
dy
dx
= 0
2y
9
dy
dx
=
−x
8
dy
dx
=
−9x
16y
Note que dydx mede o coeficiente angular de retas
tangentes a elipse. Logo no caso de P temos
que,
dy
dx
∣∣∣∣
P
= m =
−9(2)
16(
3
√
3
2
)
= −
√
3
4
Dado que P já é conhecido então pode-se deter-
minar diretamente a reta tangente,
m =
y − yP
x− xP
−
√
3
4
=
y − 3
√
3
2
x− 2
y = 2
√
3−
√
3
4
x
O aspecto da elipse tangenciada pela reta é
mostrado a seguir,
−4 −2 2 4
−4
−2
2
4
ILUSTRAÇÃO 25 Dado que,
(x+ y)2 − (x− y)2 = x4 + y4
determinar
dy
dx
.
SOLUÇÃO
Derivando a equação obtemos,[
(x+ y)2 − (x− y)2]′ = [x4 + y4]′
2(x+ y)[x+ y]′ − 2(x− y)[x− y]′ = 4x3 + 4y3[y]′
2(x+ y)(1 + y′)− 2(x− y)(1− y′) = 4x3 + 4y3y′
2(x+ y) + 2y′(x+ y)−
2(x− y) + 2(x− y)y′ = 4x3 + 4y3y′
2y′(x+ y) + 2(x− y)y′ − 4y3y′ = 4x3 − 2(x+ y)
+ 2(x− y)
y′
(
2(x+ y) + 2(x− y)− 4y3) = 4x3 − 4y
y′
(
4x− 4y3) = 4x3 − 4y
y′ =
x3 − y
x− y3
ILUSTRAÇÃO 26 Determinar
dy
dx
em,
x cos y + y cosx = 1
SOLUÇÃO
Derivando implicitamente em relação a x obte-
mos,
[x cos y + y cosx]′ = [1]′
12
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
[x]′ cos y + x[cos y]′ + [y]′ cosx+ y[cosx]′ = 0
cos y + x(− sin y)y′ + y′ cosx+ y(−sinx) = 0
y′ (−x sin y + cosx) = − cos y + y sinx
y′ =
y sinx− cos y
cosx− x sin y
ILUSTRAÇÃO 27 Dado que x cos y = 5 onde x
e y são funções de uma terceira variável t. Se
dx
dt
= −4, determinar dy
dt
quando y =
pi
3
.
SOLUÇÃO
Quando y = pi/3 temos que,
x cos(pi/3) = 5 ⇒ x = 10
Derivando implicitamente em relação a t e
substituindo os valores dados e mais o valor de
x calculado, obtemos,
[x cos y]′ = 0
dx
dt
· cos y + x · (− sin y · dy
dt
) = 0
(−4) · cospi/3 + x · (− sinpi/3 · dy
dt
) = 0
−2 + (10) · (−(
√
3/2) · dy
dt
) = 0
dy
dt
=
2 · 2
−√3 · 10
= −2
√
3
15
8 Derivadas de Ordem Superior
A notação y′ ou
dy
dx
ou ainda f (1)(x) é denomi-
nada de derivada primeira de y e pode ser es-
tendida para,
y′′, y′′′, y′′′′, y′′′′′, · · ·
ou,
d2y
dx2
,
d3y
dx3
,
d4y
dx4
,
d5y
dx5
, · · ·
ou ainda,
f (2)(x), f (3)(x), f (4)(x), f (5)(x), · · ·
São chamadas respectivamente derivada se-
gunda de y, derivada terceira de y, derivada
quarta de y, derivada quinta de y e assim por
diante.
Proposição 13. A derivada segunda é a deri-
vada da derivada primeira, a derivada terceira
é a derivada da derivada segunda e assim su-
cessivamente.
ILUSTRAÇÃO 28 Dada a função,
f(x) = 3x8 + 7x5
determinar f ′, f ′′, f ′′′ e f ′′′′.
SOLUÇÃO
Da Proposição-13,
f ′(x) = 24x7 + 35x4
f ′′(x) = 168x6 + 140x3
f ′′′(x) = 1008x5 + 420x2
f ′′′′(x) = 5040x4 + 840x
ILUSTRAÇÃO 29 Determinar y′′ na equação y2 =
6x.
SOLUÇÃO
Derivando duas vezes a equação implicitamente
em relação a x obtemos,[
y2
]′
= [6x]′
2y · y′ = 6 ⇒ y · y′ = 3
[y · y′]′ = 0
y′ · y′ + y · y′′ = 0
y · y′′ = −(y′)2
Note que encontramos no segundo passo do
processo acima que y · y′ = 3 de onde y′ = 3y .
Substituindo este resultado na última equação
obtemos,
y · y′′ = −(y′)2 ⇒ y · y′′ = −
(
3
y
)2
y′′ = − 9
y3
9 Máximos e Mínimos
Relativos
Uma função f terá um valor máximo relativo
em c se existir um intervalo aberto I contendo
c, no qual f esteja definida, e ainda f(c) ≥ f(x)
para todo x ∈ I. Similarmente f terá um valor
13
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
mínimo relativo em c se existir um intervalo
aberto I contendo c, no qual f esteja definida,
e ainda f(c) ≤ f(x) para todo x ∈ I. Um ex-
tremo relativo é um valor máximo relativo ou
um valor mínimo relativo. A figura a seguir ilus-
tra quatro comportamentos gráficos onde estão
marcados por pontos os respectivos valores ex-
tremos relativos (os dois primeiros identificam
valores mínimos e os dois últimas identificam
valores máximos).
Denominamos de número crítico de uma
função f a um número de seu domínio cuja de-
rivada é nula ou então não existe. Seja uma
função f e c um número tal que c ∈ D(f). Se
f(c) é um um extremo relativo então c é um nú-
mero crítico. A recíproca não é verdadeira, ou
seja, f pode conter números críticos que não se-
jam extremos relativos. Para então determinar
se um número crítico é ou não um extremo re-
lativo e ainda se é máximo ou mínimo utiliza-se
o teste da derivada primeira,
Proposição 14. Seja uma função f uma fun-
ção real. Em intervalos deriváveis de f em que,
a. f ′(x) > 0 então f é crescente.
b. f ′(x) < 0 então f é decrescente.
Proposição 15. Teste da derivada Primeira.
Se c é um número crítico de f então será um
máximo relativo se for crescente à esquerda e
decrescente à direita de x = c. Será um mí-
nimo relativo se for decrescente à esquerda e
crescente à direita de x = c
ILUSTRAÇÃO 30 Determine os números críticos
das funções a seguir e verifique se são abcissas
de extremos relativos.
a) f(x) = x2 − 4x
b) f(x) = (x− 1)3
c) f(x) =
{
2x− 1 x ≤ 3
8− x x > 3
d) f(x) = 3
√
x
e) f(x) =
x
x2 + 1
SOLUÇÃO
a) f ′(x) = 2x− 4 = 0 ⇒ x = 2.
Logo x = 2 é um número crítico. Fazendo
um estudo de sinal da derivada primeira e
aplicando a Proposição-14 obtemos,
x < 2 y′ < 0 Decrescente
x = 2 y′ = 0
x > 2 y′ > 0 Crescente
Da Proposição-15 tem-se que f(2) é um mí-
nimo relativo. O gráfico de f a seguir re-
força este resultado,
−1 1 2 3 4 5
−4
−2
2
4
b) f ′(x) = (3)(x− 1)2(1) = 0 ⇒ x = 1
Logo há um número crítico em x = 1. Fa-
zendo um estudo de sinal da derivada pri-
meira e aplicando a Proposição-14 obte-
mos,
x < 1 y′ > 0 Crescente
x = 1 y′ = 0
x > 1 y′ > 0 Crescente
Da Proposição-15 tem-se que f(1) não é um
extremo relativo. O gráfico de f confirma o
resultado,
−1 1 2 3
−5
5
c) Testamos inicialmente a continuidade de f
em x = 3,
lim
x→3−
f(x) = 2(3)− 1
14
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
= 5
lim
x→3+
f(x) = 8− (3)
= 5
Assim, sendo os limites laterais idênticos, f
é contínua em x = 3. Podemos então aplicar
a Proposição-7,
f ′−(x) = 2− 0 = 2 ⇒ f ′−(3) = 2
f ′+(x) = 0− 1 = −1 ⇒ f ′+(3) = −1
logo concluímos que f não é diferenciável
em x = 3 e consequentemente este valor
de abcissa representa um valor crítico. Fa-
zendo um estudo de sinal da derivada pri-
meira e aplicando a Proposição-14 obte-
mos,
x < 3 y′ = 2 > 0 Crescente
x = 3 y′ não existe
x > 3 y′ = −1 < 0 Decrescente
Da Proposição-15 tem-se que f(3) é um má-
ximo relativo. O gráfico de f confirma o re-
sultado,
2 4 6 8 10
−2
2
4
d) f(x) = x1/3 ⇒ f ′(x) = 1
3
x1/3−1 =
1
3x2/3
Não existe valor de x para o qual f ′ = 0,
mas quando x = 0 a derivada não é definida
e logo x = 0 é um valor crítico. Fazendo
um estudo de sinal da derivada primeira e
aplicando a Proposição-14 obtemos,
x < 0 y′ > 0 Crescente
x = 0 y′ não existe
x > 0 y′ > 0 Crescente
Da Proposição-15 tem-se que f(0) não é um
extremo relativo. O gráfico de f confirma o
resultado,
−8 −6 −4 −2 2 4 6 8
−2
−1
1
2
e)
f ′(x) =
[x]′(x2 + 1)− x[x2 + 1]′
[x2 + 1]2
=
(x2 + 1)− x(2x)
[x2 + 1]2
=
1− x2
[x2 + 1]2
f ′ = 0 ⇒ x = ±1
Note que não há valores de x que anulem o
denominador da função derivada primeira
e logo os únicos números críticos de f são
x = −1 e x = 1. Fazendo o estudo de sinal
de f ′ obtemos,
1− x2
[x2 + 1]2
1−x2
[x2+1]2−1 1
− + −
+ + +
− + −
Note que, da Proposição-14, f é decrescente
à esquerda de x = −1 e à direita de x = 1 e
é crescente à direita de x = −1 e à esquerda
de x = 1. Logo, da Proposição-15, f(−1) é
um mínimo relativo e f(1) um máximo rela-
tivo. Veja o gráfico de f a seguir,−2 −1 1 2
−0.4
−0.2
0.2
0.4
15
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
10 Máximos e Mínimos
Absolutos num Intervalo
Uma função f terá um valor máximo absoluto
num intervalo I se existir algum número c ∈ I
tal que f(c) seja o maior valor de imagem neste
intervalo. Neste cado c é o valor máximo ab-
soluto. Similarmente f terá um valor mínimo
absoluto num intervalo I se existir algum nú-
mero c ∈ I tal que f(c) seja o menor valor de
imagem neste intervalo. Neste caso c é o va-
lor mínimo absoluto. Um extremo absoluto de
uma função num intervalo é um valor máximo
absoluto ou valor mínimo absoluto desta fun-
ção neste intervalo.
Proposição 16. Se uma função f for contínua
num intervalo fechado I = [a, b] então f terá
um valor máximo absoluto e um valor mínimo
absoluto em I. Para determinar estes valores
extremos deve-se,
i. Calcular as imagens de f nos números crí-
ticos existentes no intervalo aberto (a, b).
ii. Calcular os valores de f(a) e f(b).
iii. O maior dentre os valores das etapas i. e
ii. será o valor máximo absoluto e o menor
será o valor mínimo absoluto.
A Proposição-16 não pode ser aplicada em ca-
sos onde o intervalo I não é fechado. Nestes ca-
sos deve-se estudar os limites laterais nas ex-
tremidades abertas do intervalo ( lim
x→a+
f(x) e/ou
lim
x→b−
f(x)) e utilizá-las para validar os números
críticos ou alguma extremidade fechada como
sendo ou não domínios de valores extremos. Al-
gumas das ilustrações a seguir tratam desta si-
tuação.
ILUSTRAÇÃO 31 Determinar extremos absolu-
tos de f(x) = −x2 no intervalo [−3, 2]
SOLUÇÃO
[−3, 2] é um intervalo fechado e ainda f é con-
tínua neste intervalo. Logo pode-se aplicar ple-
namente a Proposição-16,
i. f ′(x) = −2x = 0 ⇒ x = 0
ii. f(−3) = −(−3)2 = −9
f(2) = −(2)2 = −4
iii. min{0,−9,−4} = −9
max{0,−9,−4} = 0
Assim o valor máximo absoluto de f neste inter-
valo é y = 0 e o valor mínimo absoluto é y = −9.
O gráfico de f no intervalo [−3, 2] é mostrado a
seguir,
−3 −2 −1 1 2
−8
−6
−4
−2
ILUSTRAÇÃO 32 Determinar extremos absolu-
tos de f(x) = x2 − 4x+ 8 no intervalo (1, 4)
SOLUÇÃO
O intervalo (1, 4) é aberto e logo a Proposição-16
não poderá ser utilizada. Neste caso calculamos
inicialmente os números críticos no intervalo,
f ′(x) = 2x− 4 = 0 ⇒ x = 2
Como 2 ∈ (1, 4) então x = 2 é um número
crítico do intervalo e sua imagem vale f(2) =
(2)2 − 4(2) + 8 = 4. O passo seguinte é calcular
os limites laterais nas extremidades abertas do
intervalo, ou seja,
lim
x→1+
f(x) = (1)2 − 4(1) + 8 = 5
lim
x→4−
f(x) = (4)2 − 4(4) + 8 = 8
Note que,
max(4, 5, 8) = 8
o que significa não existir um máximo absoluto
pois y = 8 é limite quando x → 1, mas 1 /∈ (1, 4).
Em contrapartida,
min(4, 5, 8) = 4
que é imagem de um número crítico e logo se
trata do mínimo absoluto do intervalo. O gráfico
de f a seguir confirma estes resultados,
16
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
1.5 2 2.5 3 3.5 4
5
6
7
8
ILUSTRAÇÃO 33 Determinar extremos absolu-
tos de f(x) =
1
x− 3 no intervalo [1, 5]
SOLUÇÃO
A função f(x) = 1x−3 é descontínua em x = 3
valor este pertencente ao intervalo (1, 5). Logo
a Proposição-16 não pode ser aplicada. Estu-
dando os limites nas proximidades de x = 3 ob-
temos,
lim
x→3−
f(x) = −∞
lim
x→3+
f(x) = +∞
Assim não podem existir valores máximos nem
mínimos. O gráfico de f é mostrado a seguir,
2.5 3 3.5 4
−10
−5
5
10
ILUSTRAÇÃO 34 Determinar extremos absolu-
tos de,
f(x) =
{
x+ 1 x < 1
x2 − 6x+ 7 x ≥ 1
no intervalo (−5, 4).
SOLUÇÃO
Testamos inicialmente a continuidade em x = 1,
lim
x→1−
f(x) = (1) + 1 = 2
lim
x→1+
f(x) = (1)2 − 6(1) + 7 = 2
Assim f é contínua em x = 1. Testamos em
seguida a derivabilidade pela Proposição-7,
f ′−(x) = 1 ⇒ f ′−(1) = 1
f ′+(x) = 2x− 6 ⇒ f ′+(1) = 2(1)− 6 = −4
Assim f não é diferenciável em x = 1 e logo se
trata de um número crítico de imagem,
f(1) = (1)2 − 6(1) + 7 = 2
Fazendo f ′ = 0 podemos obter mais números
críticos. Como f ′− é constante resta igualar f ′+ a
zero,
f ′+(x) = 2x− 6 = 0 ⇒ x = 3
E assim x = 3 é outro número crítico e sua ima-
gem vale,
f(3) = (3)2 − 6(3) + 7 = −2
Ambos números críticos, x = 1 e x = 3. per-
tencem ao intervalo dado, (−5, 4). Entretanto
tal intervalo é aberto em ambas extremidades e
logo não podemos aplicar a Proposição-16. As-
sim o passo seguinte é a determinação dos li-
mites laterais em ambas extremidades,
lim
x→−5−
f(x) = (−5) + 1 = −4
lim
x→4+
f(x) = (4)2 − 6(4) + 7 = −1
Como max(2, 3, −4, −1) = 3 e sendo y =
3 imagem de um número crítico então ele
corresponde a um máximo absoluto do in-
tervalo (−5, 4). Em contrapartida como
min(2, 3, −4, −1) = −4 e y = −4 é limite nas
proximidades de x = −5 que não pertence ao
intervalo então não existe um mínimo absoluto
do intervalo. O gráfico de f mostrado a seguir
confirma estes resultados,
−4 −2 2 4
−4
−2
2
17
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
ILUSTRAÇÃO 35 Determinar extremos absolu-
tos de f(x) = x3+ x2− x+1 no intervalo [−2, 12]
SOLUÇÃO
O intervalo dado é fechado e a função é contí-
nua em seu domínio. Logo pode-se aplicar dire-
tamente a Proposição-16,
i. f ′(x) = 3x2 + 2x− 1 = 0 ⇒ x =
{
−1, 1
3
}
f(−1) = 2
f
(
1
3
)
=
22
27
ii. f(−2) = (−2)3 + (−2)2 − (−2) + 1 = −1
f
(
1
2
)
=
7
8
iii. max
(
2,
22
27
, −1, 7
8
)
= 2
min
(
2,
22
27
, −1, 7
8
)
= −1
Assim, no intervalo
[−2, 12], o máximo absoluto
é y = 2 e o mínimo absoluto y = −1. O gráfico
de f é mostrado a seguir,
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5
−1
1
2
11 Problemas de
Máximos e Mínimos
Nesta sessão resolveremos problemas que en-
volvem máximos e mínimos absolutos em inter-
valos.
ILUSTRAÇÃO 36 Seja uma cartolina em formato
quadrado com lado valendo 12 cm que deve ter
os cantos cortados também em formato qua-
drado e com lado x conforme figura a seguir (o
corte é feito sobre as linhas tracejadas),
x
x
x x
x
x
x x
x
x
x x
x
x
x x
12
12− 2x
1
2
1
2
−
2x
Depois de cortada as quatro abas da cartolina
que se formam devem ser dobradas para formar
uma caixa como indica a figura,
x
12− 2x
12
− 2
x
Qual o valor de x para o qual o volume da caixa
seja máximo?
SOLUÇÃO
O volume V da caixa obtida após as dobras é
expresso em função de x como,
V (x) = x(12− 2x)2
O menor valor que x pode assumir é zero (au-
sência de recortes) e o maior é
12
2
= 6 (corte
exatamente no meio de cada lado o que natu-
ralmente não formaria caixa alguma). O valor
de x procurado é então aquele para o qual V (x)
é máximo absoluto no intervalo fechado [0, 6].
Da Proposição-16,
i. Determinamos números críticos e suas res-
pectivas imagens,
V ′(x) = [x]′(12− 2x)2 + x[(12− 2x)2]′
= (12− 2x)2 + x(2)(12− 2x)[12− 2x]′
= (12− 2x)2 + x(2)(12− 2x)(−2)
= (12− 2x)(12− 2x− 4x)
= (12− 2x)(12− 6x)
V ′(x) = 0 ⇒ x = {6, 2}
V (6) = (6)(12− 2(6))2 = 0
V (2) = (2)(12− 2(2))2 = 128
18
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
ii. Depois determinamos as imagens nas ex-
tremidades do intervalo [0, 6].
V (0) = (0)(12− 2(0))2 = 0
V (6) = (6)(12− 2(6))2 = 0
iii. Por fim determinamos valores extremos,
max(0, 0, 0, 128) = 128
min(0, 0, 0, 128) = 0
Assim V = 128 cm3 é máximo absoluto e o valor
de recorte procurado é x = 2 cm. O gráfico de
V (x) no intervalo [0, 6] é mostrado a seguir,
1 2 3 4 5 6
20
40
60
80
100
120
ILUSTRAÇÃO 37 Uma companhia elétrica de-
seja passar um cabo sobre um rio com 3 km de
largura, conectando o ponto A ao ponto C si-
tuado horizontalmente a 2 km de A rio abaixo
conforme indica figura seguinte. Como o custo
sobre a água é 4 vezes mais caro que sobre a
terra então a companhia decidiupassar parte
do cabo sobre a água (trecho AB) e outra parte
sobre a terra (trecho BC). Qual o valor de x para
que o custo da companhia seja mínimo?
A
B C
3
k
m
2 km
x
SOLUÇÃO
O comprimento do trecho AB vale,
LAB =
√
32 + x2 =
√
9 + x2
E o comprimento do lado BC vale,
LBC = 2− x
Denotando por k o custo por unidade de com-
primento sobre a terra então o custo sobre a
água é 4k. Por fim o custo total, C(x), de insta-
lação deve ser,
C(x) = 4k
√
9 + x2 + k(2− x)
O menor valor que x pode assumir na função
C(x) é zero e o maior valor é a própria distância
horizontal entre A e C, ou seja, 2 km. Logo C(x)
só é definida no intervalo fechado [0, 2]. O valor
de x que minimiza o custo deve ser o mínimo
absoluto deste intervalo. Da Proposição-16,
i. Determinamos a derivada primeira,
C ′(x) = 4k[(9 + x2)1/2]′ + k[2− x]′
= 4k
1
2
(9 + x2)−1/2[9 + x2]′ − k
= 4k
1
2
(9 + x2)−1/2(2x)− k
= 4k
x√
9 + x2
− k
E a partir dela os números críticos,
C ′(x) = 0 ⇒ 4k x√
9 + x2
= k
4x =
√
9 + x2
16x2 = 9 + x2
15x2 = 9
x = ± 3√
15
Somente x = 3√
15
está no intervalo [0, 2].
Neste caso temos que,
C(3/
√
15) = 4k
√
9 + 9/15 + k(2− 3/
√
15)
≈ 13.62 · k
ii. Calculamos as imagens das extremidades
do intervalo [0, 2],
C(0) = 4k
√
9 + (0)2 + k(2− (0)) = 14k
C(2) = 4k
√
9 + (2)2 + k(2 − (2)) = 4k√13 ≈
14.42k
19
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
iii. Calculamos os extremos dos valores,
min(13.62k, 14k, 14.42k) = 13.62k
max(13.62k, 14k, 14.42k) = 14.42k
O custo mínimo é então 13.62k cujo valor de x
correspondente é 3/
√
15 ≈ 0.7746 km = 774.6m.
ILUSTRAÇÃO 38 Determinar altura, h, e raio da
base, r, de um cilindro circular reto de volume
máximo inscrito num cone de altura 12 cm e raio
da base igual a 5 cm. A base do cilindro deve es-
tar no mesmo plano da base do cone conforme
indica figura,
5 cm
12 cm
h
r
SOLUÇÃO
De acordo com a figura anterior podemos ex-
pressar o volume V do cilindro inscrito como,
V = pi · r2 · h
A figura seguinte ilustra uma secção do con-
junto cone/cilindro onde se visualizam triângu-
los semelhantes,
5− r
5
h
12
A
B
C
D
E
Aplicando semelhança entre os triângulos ABC
e CDE obtemos a seguinte relação entre h e r,
12
5
=
h
5− r ⇒ h =
12
5
(5− r)
Substituindo esta expressão de h na expressão
do volume obtemos,
V (r) = pi · r2 · 12
5
· (5− r)
Esta última equação expressa o volume V do
cilindro unicamente em função de r. O menor
valor que r assume é zero e o maior é o raio da
base do cone, ou seja, 5 cm. Assim a função V (r)
é definida apenas no intervalo fechado [0, 5]. O
volume máximo do cilindro inscrito é então o
máximo absoluto de V (r) neste intervalo. Da
Proposição-16,
i. Calculamos a derivada primeira de V (r) em
relação a r,
V ′(r) =
12pi
5
([r2]′ · (5− r) + r2 · [5− r]′)
=
12pi
5
(2r(5− r)− r2)
=
12pi
5
(10r − 3r2)
E deste resultado determinamos os núme-
ros críticos,
V ′(r) = 0 ⇒ 12pi
5
(10r − 3r2) = 0
3r2 = 10r ⇒ r =
{
0,
10
3
}
Ambos números críticos determinados es-
tão no intervalo [0, 5]. Por fim a imagem
destes números críticos são,
V (0) = pi · (0)2 · 12
5
· (5− (0)) = 0
V
(
10
3
)
= pi ·
(
10
3
)2
· 12
5
·
(
5−
(
10
3
))
=
400pi
9
ii. Calculamos as imagens das extremidades
do intervalo [0, 5],
V (0) = 0
V (5) = pi · (5)2 · 12
5
· (5− (5)) = 0
iii. Determinamos os extremos absolutos,
max
(
0,
400pi
9
, 0, 0
)
=
400pi
9
min
(
0,
400pi
9
, 0, 0
)
= 0
20
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
Assim o volume máximo do cilindro inscrito vale
400pi
9 cujo valor de raio da base corresponde é
r = 103 ≈ 3.33 cm e cuja altura vale hr=10/3 =
12
5
(
5− 10
3
)
= 4 cm.
ILUSTRAÇÃO 39 As laranjeiras de um dado sítio
produzem 600 laranjas por ano se forem plan-
tadas no máximo 20 árvores por acre. Cada ár-
vore plantada a mais causa um decréscimo de
15 laranjas por pé. Quantas árvores devem ser
plantadas por acre para se obter a maior pro-
dução de laranjas?
SOLUÇÃO
Se denotarmos por x o número de árvores por
acre então quando x ≤ 20 a produção é sim-
plesmente dada por 600x. Se entretanto x > 20
então o excedente de laranjeiras, ou seja, x−20,
causa um decréscimo de 15 · (x − 20) por pé.
Como a queda de produção por pé afeta todas
as laranjeiras então o decréscimo total deve va-
ler x·15·(x−20) e logo, quando x > 20 a produção
fica 600x − 15x(x − 20) = 900x − 15x2. Em forma
de função temos,
P (x) =
{
600x x < 20
900x− 15x2 x ≥ 20
onde P (x) denota a produção de laranjas de x
laranjeiras. Fazendo o estudo de sinal de ima-
gem de P obtemos,
P (x) = 0 ⇒ x = {0, 60}
x < 0 ⇒ P < 0
0 < x < 60 ⇒ P > 0
x > 60 ⇒ P < 0
Logo o intervalo de produção positiva (ou nula)
vale [0, 60]. O valor máximo de P (x) neste
intervalo é a produção máxima e logo, da
Proposição-16,
i. Fazendo os limites laterais nas vizinhanças
de x = 20 obtemos,
lim
x→20−
P (x) = 600(20) = 12000
lim
x→20+
P (x) = 900(20)− 15(20)2 = 12000
Logo P (x) é contínua em x = 20. Calcula-
mos em seguida a derivada primeira,
P ′(x) =
{
600 x < 20
900− 30x x ≥ 20
Da Proposição-7,
P ′−(20) = 600
P ′+(20) = 900− 30(20) = 300
E logo x = 20 é um número crítico e sua
imagem vale P (20) = 12000. Outros núme-
ros críticos podem ser obtidos fazendo,
P ′(x) = 0 ⇒ 900− 30x = 0 ⇒ x = 30
Cuja respectiva imagem é,
30 > 20 ⇒ P (30) = 900(30)− 15(30)2 = 13500
ii. Calculamos as imagens das extremidades
do intervalo, [0, 60],
0 < 20 ⇒ P (0) = 600(0) = 0
60 > 20 ⇒ P (60) = 900(60)− 15(60)2 = 0
iii. Calculamos os extremos do intervalo,
max(12000, 13500, 0, 0) = 13500
min(12000, 13500, 0, 0) = 0
Logo 13500 é a produção máxima e x = 30 o nú-
mero de laranjeiras correspondente. Um gráfico
de P (x) é mostrado a seguir,
10 20 30 40 50 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
·104
12 Sentido de Concavidade e
Pontos de Inflexão
de Funções
Com o teste da derivada primeira, Proposição-
15, é possível determinar intervalos de cresci-
mento e decrescimento de funções os quais pos-
sibilitam uma melhor visualização do compor-
tamento do gráfico da função. Para complemen-
tar este teste, e assim obter uma técnica mais
precisa de esboço de gráficos, introduziremos
a seguir o conceito de concavidade e ponto de
inflexão e depois apresentaremos o teste da de-
rivada segunda.
Um trecho T da curva de uma função f de-
finido num intervalo I é dito ter concavidade
para cima se cada reta tangente à f em T pos-
sui todos os demais pontos não tangenciados
em T acima dela. Similarmente um trecho de
21
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
f possui concavidade para baixo se cada reta
tangente à f em T possui todos os demais pon-
tos não tangenciados em T abaixo dela. Veja os
esquemas seguintes,
Concavidade para Cima Concavidade para Baixo
Um ponto de inflexão em uma função f é
um ponto da curva de f onde existe uma reta
tangente e que separa intervalos de concavida-
des opostas, ou seja, o intervalo imediatamente
antes de um ponto de inflexão possui concavi-
dade para baixo e o imediatamente depois pos-
sui concavidade para cima, ou o intervalo ime-
diatamente antes possui concavidade para cima
e o imediatamente depois possui concavidade
para baixo. Os esquemas seguintes ilustram as
duas situações,
Concavidade muda
de baixo para cima
Concavidade muda
de cima para baixo
Proposição 17. Para uma dada função f(x)
nos intervalos em que,
i. f ′′(x) < 0 a concavidade é virada para
baixo.
ii. f ′′(x) > 0 a concavidade é virada para
cima.
Proposição 18. Seja f uma função derivável
num intervalo contendo c e P (c, f(c)) um ponto
de inflexão de f . Se f ′′(c) existeentão f ′′(c) = 0.
Note que a recíproca da Proposição-18 não é
verdadeira, ou seja, se f ′′(c) é nula então P po-
derá não ser um ponto de inflexão, ou ainda, se
P for um ponto de inflexão poderá não existir
f ′′(c).
ILUSTRAÇÃO 40 Determine intervalos de con-
cavidade para cima e para baixo e pontos de
inflexão nas funções seguintes,
a) f(x) = x3 − 6x2 + 9x+ 1
b) f(x) = x4
c) f(x) = 3
√
x
d) f(x) = (1− 2x)3
SOLUÇÃO
a) Se f(x) = x3 − 6x2 + 9x+ 1 temos,
f ′(x) = 3x2 − 12x+ 9
f ′′(x) = 6x− 12
Fazendo f ′′ = 0 obtemos x = 2. Um estudo
de sinal da derivada segunda mostra que,
x < 2 f ′′ < 0 Concavidade para baixo
x > 2 f ′′ > 0 Concavidade para cima
Da Proposição-18 o ponto de abcissa x = 2
é de inflexão pois existe uma reta tangente
(f ′(2) existe), f ′′(2) = 0 e o sentido da con-
cavidade muda (de para baixo para para
cima). Veja o gráfico de f a seguir,
−1 1 2 3 4 5
2
4
6
b) Se f(x) = x4 temos,
f ′(x) = 4x3
f ′′(x) = 12x2
de onde, f ′′ = 0 ⇒ x = 0. O estudo de sinal
de f ′′ mostra que,
x < 0 f ′′ > 0 Concavidade para cima
x > 0 f ′′ > 0 Concavidade para cima
Da Proposição-18 o ponto de abcissa x =
0 não é um ponto de inflexão pois apesar
de existir f ′(0) o sentido da concavidade se
mantém para cima. Veja o gráfico de f ,
22
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
−1 −0.5 0.5 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
c) Se f(x) = 3
√
x temos,
f(x) = x1/3 ⇒ f ′(x) = (1/3)x−2/3 = 1
3
3
√
x2
f ′′(x) = (−2/9)x−5/3 = −2
9
3
√
x5
Não existem valores reais que anulem f ′′ de
forma que a Proposição-18 não se aplica.
Apesar disso f(x) é contínua em x = 0 e não
existe f ′(0) o que, da Proposição-8, nos faz
concluir que existe uma reta tangente verti-
cal no ponto de abcissa x = 0. Isso significa
que tal ponto tem possibilidade de ser de
inflexão. Para resolver o impasse faz-se o
estudo de sinal de f ′′,
x > 0 f ′′ < 0 Concavidade para baixo
x = 0 f ′′ não existe Ponto de inflexão
x < 0 f ′′ > 0 Concavidade para cima
que revela (0, f(0)) ser um ponto de inflexão.
Veja o gráfico de f ,
−1 −0.5 0.5 1
−1
−0.5
0.5
1
d) Se f(x) = (1− 2x)3 temos,
f ′(x) = 3(1− 2x)2(−2)
= −6(1− 2x)2
f ′′(x) = (−6)(2)(1− 2x)(−2)
= 24(1− 2x)
= 24− 48x
de onde f ′′ = 0 ⇒ x = 1/2 O estudo de sinal
de f ′′ mostra que,
x < 1/2 f ′′ > 0 Concavidade para cima
x > 1/2 f ′′ < 0 Concavidade para baixo
Da Proposição-18 o ponto de abcissa x =
1/2 é de inflexão pois existe uma reta tan-
gente (f ′(1/2) existe), f ′′(1/2) = 0 e o sentido
da concavidade muda. Veja gráfico de f a
seguir,
0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.5
0.5
1
Proposição 19. Teste da Derivada Segunda.
Seja c um número crítico num intervalo derivá-
vel de uma função f . Se f ′(c) = 0 e f ′′(x) existe
então,
i. Se f ′′(c) < 0 então f(c) é um máximo rela-
tivo.
ii. Se f ′′(c) > 0 então f(c) é um mínimo rela-
tivo.
Note que, a despeito da Proposição-19, se
f ′(c) = f ′′(c) = 0 não se poderá afirmar que
exista em x = c um extremo relativo. Será ne-
cessário um estudo de sinal de f ′′ nas vizinhan-
ças de x = c.
ILUSTRAÇÃO 41 Utilize o teste da derivada se-
gunda para determinar extremos relativos nas
funções a seguir,
a) f(x) = x4 + 43x
3 − 4x2
b) f(x) = sinx
c) f(x) = −x4
d) f(x) = x2/3 − 2x1/3
SOLUÇÃO
23
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
a) Se f(x) = x4 + 43x
3 − 4x2 então,
f ′(x) = 4x3 + 4x2 − 8x
f ′′(x) = 12x2 + 8x− 8
Fazendo f ′(x) = 0 obtemos os números crí-
ticos de f ,
4x3 + 4x2 − 8x = 0
4x(x2 + x− 2) = 0
4x(x− 1)(x+ 2) = 0 ⇒ x = {−2, 0, 1}
cujas imagens correspondentes são f(−2) =
−10.67, f(0) = 0 e f(1) = −1.67. Calculamos
então f ′′ nos números críticos obtidos an-
teriormente,
f ′′(−2) = 12(−2)2 + 8(−2)− 8
= 48− 16− 8
= 24
f ′′(0) = 12(0)2 + 8(0)− 8
= −8
f ′′(1) = 12(1)2 + 8(1)− 8
= 12 + 8− 8
= 12
Da Proposição-19 temos que,
f ′′(−2) = 24 > 0 Mínimo relativo
f ′′(0) = −8 < 0 Máximo relativo
f ′′(1) = 12 > 0 Mínimo relativo
O gráfico de f é mostrado a seguir,
−3 −2 −1 1 2
−10
−5
b) Se f(x) = sinx temos,
f ′(x) = cosx
f ′′(x) = − sinx
Os números críticos de f são obtidos igua-
lando f ′ a zero,
f ′(x) = 0 ⇒ x = pi
2
+ kpi k ∈ Z
Calculamos então os valores de f ′′ nos nú-
meros críticos obtidos,
f ′′
(pi
2
+ kpi
)
= − sin
(pi
2
+ kpi
)
=
{ −1 k par
1 k ímpar
Assim, quando k for par então f ′′ = −1 < 0
e, da Proposição-19, a ordenada será um
máximo relativo. Similarmente quando k
for ímpar então f ′′ = 1 > 0 e, da mesma
proposição, a ordenada será um mínimo re-
lativo. Veja o gráfico de f ,
−10 −5 5 10
−1
−0.5
0.5
1
c) Se f(x) = −x4 temos,
f ′(x) = −4x3
f ′′(x) = −12x2
Fazendo f ′(x) = 0 ⇒ −4x3 = 0 ⇒ x = 0.
Logo x = 0 é um número crítico de f . Note-
mos entretanto que f ′′(0) = −12(0)2 = 0 de
forma que a Proposição-19 não se aplicará.
Podemos resolver o impasse utilizando a
Proposição-15. O estudo de sinal de f ′ re-
vela,
x < 0 f ′ > 0 crescente
x = 0 f ′ = 0 máximo relativo
x > 0 f ′ < 0 decrescente
logo f(0) é um máximo relativo. Veja o grá-
fico de f ,
−1 −0.5 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
24
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
d) Se f(x) = x2/3 − 2x1/3 temos,
f ′(x) = (2/3)x−1/3 − (2/3)x−2/3
=
2
3
(
1
3
√
x
− 1
3
√
x2
)
f ′′(x) = (−2/9)x−4/3 + (4/9)x−5/3
=
2
9
( −1
3
√
x4
+
2
3
√
x5
)
Fazendo f ′ = 0,
[f ′ = 0 ⇒ 1
3
√
x
− 1
3
√
x2
= 0
1
3
√
x
=
1
3
√
x2
3
√
x =
3
√
x2
x = x2 ⇒ x = {0, 1}
Notemos que x = 0 ∈ D(f) e x = 0 /∈ D(f ′)
e logo trata-se de um número crítico com
presença de reta vertical (isso implica que
o ponto de abcissa x = 0 não pode ser um
extremo relativo).
Notemos também que x = 1 ∈ D(f) e f ′(1) =
0 sendo assim outro número crítico (neste
caso trata-se de um extremo relativo).
Ao aplicar x = 1 à derivada segunda ob-
temos que f ′′(1) = 2/9 > 0, e logo, da
Proposição-19, o ponto de abcissa x = 1
trata-se um mínimo relativo.
O estudo de sinal de f ′ pode ser construído
utilizando-se valores de x arbitrários dos
intervalos (−∞, 0), (0, 1) e (1, +∞) o que re-
vela,
x < 0 f ′ < 0 decrescente
0 < x < 1 f ′ < 0 decrescente
x > 1 f ′ < 0 crescente
Um esboço de f mostra que,
−1 −0.5 0.5 1 1.5 2
−1
1
2
3
13 Exercícios
RETA TANGENTE E A DERIVADA
Utilizando a Proposição-1 determine para cada
função a seguir a reta tangente no ponto de ab-
cissa x0 dado,
1. f(x) = x2 − 4x− 5 x0 = −2
2. f(x) =
x3
8
x0 = 4
3. f(x) =
6
x
x0 = 3
4. f(x) = x4 − 4x x0 = 0
5. f(x) = x2 − x+ 2 x0 = 2
6. f(x) = x2 + 2x+ 1 x0 = 1
7. f(x) = 2x− x3 x0 = −2
8. f(x) = − 8√
x
x0 = 4
Determine as equações das retas nos casos se-
guintes,
9. Que seja tangente a curva y = 2x2 + 3 e
paralela a reta 8x− y + 3 = 0.
10. Que seja tangente a curva y = 3x2 − 4 e
paralela a reta 3x+ y = 4.
11. Que seja tangente a curva y = 2 − x
2
3
e
perpendicular a reta x− y = 0.
12. Que seja tangente a curva y = x3 − 3x e
perpendicular a reta 2x+ 18y − 9 = 0.
13. Que seja tangente a curva y = x2 + 1 e
passando pela origem.
FUNÇÕES DERIVADAS
Utilizando a Proposição-2 determine as deriva-
das a seguir,
14.
d
dx
(7x+ 3)
25
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
15.
d
dx
(−4)
16.
d
dx
(
3x2 − 2x+ 1)
17.
d
dx
(
8− x3)
18.
d
dx
(
1
x+ 1
)
19.
d
dx
(
2x+ 3
3x− 2
)
20.
d
dx
(
√
x)
21.
d
dx
(√
3x+ 5
)
22.
d
dx
(
1
x2
− x
)
23.
d
dx
(
3
1 + x2
)
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Utilizando a Proposição-3 e a Proposição-4 re-
solva as derivadas a seguir,
24.
d
dx
(
4x2 + x+ 1
)
25.
d
dx
(
x8
8
+ x4
)
26.
d
dy
(
y10 + 7y5 − y3 + 1)27.
d
dx
(
x2 + 3x+
1
x2
)
28.
d
dx
(
3
x2
+
5
x4
)
29.
d
dx
(
x4 − 5 + x−2 + 4x−4)
30.
d
ds
(√
3(s3 − s2))
31.
d
dx
(
(2x2 + 5)(4x− 1))
32.
d
dx
(
(2x4 − 1)(5x3 + 6x))
33.
d
dt
(
(t3 − 2t+ 1)(2t2 + t3))
34.
d
dx
(
2x
x+ 3
)
35.
d
dx
(
x2 + 2x+ 1
x2 − 2x+ 1
)
36.
d
dx
(
x2 − 2x2 + 5x+ 1
x4
)
37.
d
da
(
a2 − ab− b2
a− b
)
38.
d
db
(
a2 − ab− b2
a− b
)
39.
d
dx
(
2x+ 1
x+ 5
(3x− 1)
)
40.
d
dx
(
4x1/2 + 5x−1/2
)
Utilizando regras de derivação, para cada caso
a seguir, determine a equação da reta tangente
a função f e passando pelo ponto P ,
41. f(x) = x3 − 4 P (2, 4)
42. f(x) = 4x2 − 8x P (1, −4)
43. f(x) =
10
14− x2 P (4, −5)
44. f(x) =
8
x2 + 4
P (2, 1)
Ache as equações das retas nos casos seguin-
tes,
45. Que seja tangente a curva y = 3x2 − 4x e
paralela a reta 2x− y + 3 = 0.
46. Que seja tangente a curva y = x4 − 6x e
perpendicular a reta x− 2y + 6 = 0
47. Que seja tangente a curva y = 2x2 − 1 e
passe pelo ponto (4, 13)
REGRA DA CADEIA
26
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
Utilizando a Proposição-6 ache as derivadas das
funções seguintes,
48.
d
dx
[
(2x+ 1)3
]
49.
d
dx
[
(x2 + 4x− 5)4]
50.
d
dz
[
(z3 − 3z2 + 1)−3]
51.
d
dy
[(
y − 7
y + 2
)2]
52.
d
dt
[(
2t2 + 1
3t2 + 1
)2]
53.
d
dx
[√
1 + 4x2
]
54.
d
dx
[
(5− 3x)2/3]
55.
d
dx
[
3
√
4x2 − 1
]
56.
d
dx
[
1√
25− x2
]
57.
d
dx
[
2x− 5
3x+ 1
]
58.
d
dx
[
√
2x−
√
2
x
]
59.
d
dx
[√
5x+ 6
5x− 4
]
60.
d
dx
[
3
√
(3x2 + 5x− 1)2
]
61.
d
dx
[√
x2 − 1
x
]
62.
d
dx
[√
x2 − 5√x2 + 3
]
DERIVABILIDADE
Para as funções seguintes, em x = a, teste a
continuidade, calcule as derivadas à direita e à
esquerda e, utilizando a Proposição-7, verifique
quais são deriváveis,
63. f(x) =
{
x+ 2 x ≤ −4
−x− 6 x > −4 a = −4
64. f(x) =
{
3− 2x x < 2
3x− 7 x ≥ 2 a = 2
65. f(x) =
{ −1 x < 0
x− 1 x ≥ 0 a = 0
66. f(x) =
{
x x ≤ 0
x2 x > 0
a = 0
67. f(x) =
{
x2 x ≤ 0
−x2 x > 0 a = 0
68. f(x) =
{
x2 − 4 x < 2√
x− 2 x ≥ 2 a = 2
69. f(x) =
{ √
1− x x < 1
(1− x)2 x ≥ 1 a = 1
70. f(x) =
{
x2 x < −1
−1− 2x x ≥ −1 a = −1
71. f(x) =
{
2x2 − 3 x ≤ 2
8x− 11 x > 2 a = 2
72. f(x) = 3
√
x+ 1 a = −1
73. f(x) = (x− 2)−2 a = 2
74. f(x) =
{
5− 6x x ≤ 3
−4− x2 x > 3 a = 3
75. f(x) =
{ −x2/3 x ≤ 0
x2/3 x > 0
a = 0
76. f(x) =
√
x− 4 a = 4
77. f(x) =
√
4− x2 a = −2 e a = 2
Nas funções a seguir determine a e b de forma
que se tornem diferenciáveis nos reais,
78. f(x) =
{
x2 − 7 0 < x ≤ a
b
x
x > a
79. f(x) =
{
x2 x < 1
ax2 + bx x ≥ 1
80. f(x) =
{
ax+ b x < 2
2x2 − 1 x ≥ 2
27
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
DERIVADAS DE FUNÇÕES ELEMENTARES
Calcule as derivadas das funções exponenciais
e logarítmicas seguintes,
81. f(x) = x+ 4 lnx
82. f(x) = 5x−1
83. f(x) = e2x−1
84. f(x) = 2
1
x2−1
85. f(x) = x2 log(3x− 5)
86. f(x) = ln(x2 + 1)
87. f(x) = (10x + 10−x)2
88. f(x) = log5 x2
89. f(x) = x log4 x− x
90. f(x) = ln
(
x
x+ 1
)
91. f(x) = ln (10x − 1)
Calcule as derivadas das seguintes funções
trigonométricas,
92. f(x) = 2x cosx
93. f(x) = 3 sinx− x cosx
94. f(x) = x2 sinx+ 2x cosx
95. f(x) = 4 sinx cosx
96. f(x) = sinx tanx
97. f(x) =
2 cosx
x+ 1
98. f(x) =
sinx
1− cosx
99. f(x) =
1 + sinx
1− sinx
100. f(x) =
sinx− 1
cosx− 1
101. f(x) =
tanx+ 1
tanx− 1
102. f(x) = x2 sinx(cosx− 1)
103. f(x) =
cosx
x
104. f(x) = 4 cos 3x− 3 sin 4x
105. f(x) = sin2(2x+ 2)
106. f(x) =
3 sin(2x)
cos2(2x) + 1
107. f(x) = tan2 x2
108. f(x) = (tan2 x− x2)3
109. f(x) = 4 cos(sin(3x))
110. f(x) = sin2(cos(2x))
111. f(x) = 2 cos
√
x
112. f(x) = tan
√
x2 + 1
113. f(x) =
√
sinx+ 1
1− sinx
114. f(x) =
1√
1 + cos2 2x
115. f(x) =
√
cosx− 1
sinx
116. f(x) =
√
x tan
√
1
x
117. f(x) = sin 3
√
x cos 3
√
x
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Determine
dy
dx
nas equações seguintes,
118. x2 + y2 = 16
119. 4x2 − 9y2 = 1
120. x3 + y3 = 8xy
121.
3
x
− 3
y
= 2x
122.
√
x+
√
y = 4
123. (2x+ 3)4 = 3y4
28
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
124.
√
xy + 2x =
√
y
125.
y√
x− y = 2 + x
2
126. (x+ y)2 − (x− y)2 = x3 + y3
127. y
√
2x+ 3 + x
√
1 + y = x
128. x = sin(x+ y)
129. y = cos(x− y)
130. x sin y + y cosx = 1
131. cos(x+ y) = y sinx
132. ln(y2 + x) = y3 − x2
133. ln yx = exy
134. ln
(y
x
)
= ex/y
Para as equações seguintes determine as retas
tangentes nos pontos especificados,
135. 16x4 + y4 = 32 P (1, 2)
136. 9x3 − y3 = 1 P (1, 2)
137. x2 + xy + y2 − 3y = 10 P (2, 3)
138. 3
√
xy = 14x+ y P (2, −32)
139. 7y2 − xy3 = 4 P (3, 2)
Resolva os problemas seguintes,
140. Em que ponto da curva x+
√
xy + y = 1 a
reta tangente é paralela ao eixo x?
141. Que retas passam pelo ponto (−1, 3) e
são tangentes a curva x2 + 4y2 − 4x− 8y + 3 = 0
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Determine as derivadas primeira e segunda das
funções seguintes,
142. f(x) = x5 − 2x3 + x
143. g(x) = 2x4 − 4x3 + 7x− 1
144. h(y) = 3
√
2y3 + 5
145. f(t) = 2 sin3 t
146. f(x) =
2−√x
2 +
√
x
147. h(x) =
x2
x2 + 4
148. f(x) =
√
sinx+ 1
Determine as derivadas a seguir,
149.
d3
dx3
(
x4 − 2x2 + x− 5)
150.
d3
dt3
(√
4t+ 1
)
151.
d4
dx4
(
3
2x− 1
)
152.
d4
dt4
(
3 sin2 2t
)
MÁXIMOS E MÍNIMOS RELATIVOS
Ache os números críticos para as seguintes fun-
ções,
153. f(x) = x3 + 7x2 − 5x
154. f(x) = 2x3 − 2x2 − 16x+ 1
155. f(x) = x4 + 4x3 − 2x2 − 12x
156. f(x) = x6/5 + 12x1/5
157. f(x) = (x3 − 3x2 + 4)1/3
158. f(x) =
x− 3
x+ 7
159. f(x) =
x+ 1
x2 − 5x+ 4
160. f(x) = cos2 4x
161. f(x) = sin 2x+ cos 2x
162. f(x) = (5 + x)3(2− x)2
Determine os intervalos de crescimento e decres-
cimento e esboce o gráfico das funções seguin-
tes,
29
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
163. f(x) = x2 − 4x− 1
164. f(x) = x3 − x2 − x
165. f(x) = x3 − 9x2 + 15x− 5
166. f(x) = 2 cos 3x
167. f(x) = x5 − 5x3 − 20x− 2
168. f(x) =
√
x− 1√
x
169. f(x) =
x− 2
x+ 2
170. f(x) = (x+ 2)2(x− 1)2
171. f(x) = x
√
5− x2
172. f(x) = x2/3 − x1/3
173. f(x) =
{
5− 2x x < 3
3x− 10 x ≥ 3
174. f(x) =
{ √
25− (x+ 7)2 −12 ≤ x ≤ −3
12− x2 x > −3
175. f(x) =

12− (x+ 5)2 x ≤ −3
5− x −3 < x ≤ −1√
100− (x− 7)2 −1 < x ≤ 17
MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS NUM INTERVALO
Para as funções seguintes calcule os extremos
absolutos nos intervalos dados e esboce o grá-
fico correspondente,
176. f(x) = 4− 3x (−1, 2]
177. f(x) = x2 − 2x+ 4 (−∞,+∞)
178. f(x) = x3 + 3x2 − 9x [−4, 4]
179. f(x) = x4 + 8x2 + 16
a) [−4, 0]
b) [−3, 2]
c) [0, 3]
d) [−1, 4]
180. f(x) =
1
x
[−2, 3]
181. f(x) =
x+ 1
2x− 3 [0, 1]
182. f(x) =
√
3 + x [−3,+∞)
183. f(x) =
√
4− x2 (−2, 2)
184. f(x) =
3x
9− x2 (−3, 2)
185. f(x) =
∣∣4− x2∣∣ (−∞,+∞)
186. f(x) =
√
4 + 7x [0, 3)
187. f(x) = −3 sinx [0, 3pi4 )
188. f(x) = 3 cos 2x
[
pi
6 ,
3pi
4
)
189. f(x) =
{
2
x−5 x 6= 5
2 x = 5
[3, 5]
190. f(x) =
{
2x− 7 −1 ≤ x ≤ 2
1− x2 2 < x ≤ 4 [−1, 4]
191.
f(x) =
{
4− (x+ 5)2 −6 ≤ x ≤ −4
12− (x+ 1)2 −4 < x ≤ 0 [−6, 0]
PROBLEMAS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
Resolva os problemas de máximos e mínimos a
seguir,
192. Seja uma cartolina retangular de dimen-
sões a e b da qual se devem cortar os quatro
cantos como quadrados de mesmo lado, x, e em
seguida dobraras abas que surgem para formar
uma caixa sem tampa. Determine,
a) A função V (x) do volume interno da caixa
formada.
b) O valor de x, em função de a e b, de forma
que o volume interno da caixa seja máximo.
c) O volume máximo da caixa quando a = 8cm
e b = 15cm.
193. Seja R uma área retangular a ser en-
volvida por uma cerca de 240m. Determine as
dimensões de R para que sua área seja máxima
nos casos seguintes,
30
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
a) A cerca envolve toda a área R.
b) Um dos lados de R é margem de um rio e
assim a cerca compreenderá só os três la-
dos restantes.
c) R é constituída por duas paredes longas
perpendiculares entre si a dois lados for-
mados pela cerca.
194. Ache o número no intervalo [0, 1] tal que a
diferença entre ele e seu quadrado seja máxima.
195. Ache a área do maior retângulo tendo
dois vértices no eixo x e os outros dois sobre a
parábola f(x) = 9− x2.
196. Ache a área do maior retângulo que possa
ser inscrito num círculo de raio r.
197. Um clube privado cobra uma anuidade de
R$ 100 por membro, menos R$ 0.50 para cada
membro acima de 600 e mais R$ 0.50 para cada
membro abaixo disso. Quantos membros darão
ao clube um rendimento anual máximo?
198. Seja S o conjunto de todos os retângulos
de perímetro p. Mostre que o retângulo de S de
área máxima é um quadrado.
199. Ache as dimensões de um cilindro circu-
lar reto (raio da base r e altura h) que possa ser
inscrito numa esfera de raio 6 cm nos seguintes
casos,
a) A área lateral do cilindro é máxima.
b) O volume do cilindro é máximo.
200. Dada a circunferência x2 + y2 = 9 e o
ponto P (4, 5), ache os pontos pertencentes a cir-
cunferência mais próximo e mais distante de P .
Quais as respectivas distâncias?
201. A resistência de uma viga retangular
é conjuntamente proporcional a sua largura e
ao quadrado de sua profundidade. Ache as di-
mensões da viga mais resistente que possa ser
cortada de uma tora na forma de um cilindro
circular reto com 72cm de raio.
202. Um pedaço de arame é cortado em duas
partes de comprimentos a e b. A parte de com-
primento a é curvada em forma circular e a de
comprimento b na forma de um quadrado. De-
terminar ab tal que a área combinada das formas
obtidas seja mínima.
SENTIDO DE CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO
DE FUNÇÕES
Determine os pontos de inflexão, se existirem, e
os intervalos de concavidade para cima e para
baixo das funções seguintes,
203. f(x) = x3 + 9x
204. f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x+ 1
205. f(x) = (x− 1)1/3
206. f(x) =
x
x2 + 4
207. f(x) = 3 cos 2z − pi ≤ x ≤ pi
208. f(x) =
{
x2 − 1 x < 2
7− x2 x ≥ 2
209. f(x) =
{
x2 x ≤ 0
−x2 x > 0
210. f(x) = (x− 2)1/5 + 3
211. f(x) =
{
x2 x ≤ 0
x4 x > 0
212. f(x) =
{ −x3 x < 0
x3 x ≥ 0
Resolva os seguintes problemas sobre pontos de
inflexão,
213. Se f(x) = ax3 + bx2 então determine a e b
de forma que o gráfico de f(x) tenha um ponto
de inflexão em (1, 2).
214. Se f(x) = ax3 + bx2 + cx então determine
a, b e c de forma que o gráfico de f(x) tenha um
ponto de inflexão em (1, 2) e que a inclinação da
reta tangente neste ponto seja −2.
215. Se f(x) = ax3+bx2+cx+d então determine
a, b, c e d de forma que f(x) tenha um extremo
relativo em (0, 3) e seu gráfico um ponto de in-
flexão em (1,−1).
216. Se f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e então
determine a, b, c, d e e de forma que seu gráfico
tenha um ponto de inflexão em (1,−1), passe
pela origem e seja simétrico com relação ao eixo
y.
31
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
Para as funções seguintes, determine extremos
relativos, pontos de inflexão, intervalos de cres-
cimento e decrescimento, intervalos de concavi-
dade para cima e para baixo e esboce o gráfico
217. f(x) = 3x2 − 2x+ 1
218. f(x) = −4x3 + 3x2 + 18x =
219. f(x) = (4− x)4
220. f(x) = x4 − 13x3 − 32x2
221. f(x) = 2 sin 4x 0 ≤ x < 12pi
222. f(x) = x(x+ 2)3
223. f(x) = 4x1/2 + 4x−1/2
224. f(x) = x
√
x+ 3
225. f(x) = 9x +
x2
9
226. f(x) = sin(x)− x − 32pi ≤ x ≤ 32pi
Esboce o gráfico das funções seguintes,
227. f(x) =
x2
x− 1
228. f(x) =
x2 − 3
x− 2
229. f(x) =
x2 − 3x+ 2
x+ 4
230. f(x) =
(x+ 1)3
(x− 1)2
231. f(x) =
2x
x2 + 1
232. f(x) =
x2 + 1
x2 − 1
233. f(x) = 2x3 − 6x+ 1
234. f(x) = x3 + 5x2 + 3x− 4
235. f(x) = 2x4 + 2x3
236. f(x) = 12x
4 − 2x3 + 3x2 + 2
237. f(x) = 3 cos 2x − pi ≤ x ≤ pi
238. f(x) = 2 sin 3x − pi ≤ x ≤ pi
239. f(x) =
{
sinx 0 ≤ x < 12pi
sin(x− 12pi) 12pi ≤ x ≤ pi
240. f(x) = x2
√
4− x
241. f(x) = (x+ 2)
√−x
14 Respostas dos Exercícios
1. y = −8x− 9
2. y = 6x− 16
3. y = 4− 2
3
x
4. y = −4x
5. y = 3x− 2
6. y = 4x
7. y = 16− 10x
8. y = 1
2
x = 6
9. y = 8x− 5
10. y = 14− 3x
11. y = 11
4
− x
12. y = 9x± 16
13. y = ±2x
14. 7
15. 0
16. 6x− 2
17. −3x2
18.
−1
(x+ 1)2
19.
−13
(3x− 2)2
20.
1
2
√
x
21.
3
2
√
3x+ 5
22. − 2
x3
− 1
23. − 6x
(1 + x2)2
32
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
24. 8x+ 1
25. x7 + 4x3
26. 10y9 + 35y4 − 3y2
27. 2x+ 3− 2
x3
28. − 6
x3
− 20
x3
29. 4x3 − 2
x3
− 16
x5
30.
3s2 − 2s
3 3
√
(s3 − s2)2
31. 24x2 − 4x+ 20
32. 70x6 + 60x4 − 15x2 − 6
33. 6t5 + 10t4 − 8t3 + 9t2 + 4t
34.
6
(x+ 3)2
35.
−4x2 − 4
(x2 − 2x+ 1)2
36.
2x2 − 15x− 4
x5
37. 1 +
[a
b
− 1
]−2
38.
b2 − 2a
(a− b)2
39. 6−
[
12
x+ 5
]2
40. 2x−1/2 − 5
2
x−3/2
41. y = 12x− 20
42. y = −4
43. y = 20x− 85
44. y = − 1
2
x+ 2
45. y = 2x− 3
46. y = −2x− 3
47. y = 4x− 3, y = 28x− 99
48. 6(2x+ 1)2
49. 4(x2 + 4x− 5)3(2x+ 4)
50. −3(z3 − 3z2 + 1)−4(3z2 − 6z)
51. 18
y − 7
(y + 2)3
52.
−2t
(3t2 + 1)2
53. 4
x√
4x2 + 1
54.
−2
3
√
5− 3x
55.
8x
3(4x2 − 1)(2/3)
56.
x√
(25− x2)3
57.
17
(3x+ 1)2
58.
√
2
2
(
1√
x
+
1√
x3
)
59.
−25√
(5x+ 6)(5x− 4)3
60.
12x+ 10
3 3
√
3x2 + 5x− 1
61.
1
x2
√
x2 − 1
62.
2x(x2 − 1)√
x2 − 5√x2 + 3
63.
lim
x→−4−
f(x) = −2 lim
x→−4+
f(x) = −2
f ′(−4)− = 1 f ′(−4)+ = −1
Contínua, mas não diferenciável.
64.
lim
x→2−
f(x) = −1 lim
x→2+
f(x) = −1
f ′(2)− = −2 f ′(2)+ = 3
Contínua, mas não diferenciável.
65.
lim
x→0−
f(x) = −1 lim
x→0+
f(x) = −1
f ′(0)− = 0 f ′(0)+ = 1
Contínua, mas não diferenciável.
66.
lim
x→0−
f(x) = 0 lim
x→0+
f(x) = 2
f ′(0)− = 1 f ′(0)+ = 1
Descontínua, logo não diferenciável.
67.
lim
x→0−
f(x) = 0 lim
x→0+
f(x) = 0
f ′(0)− = 0 f ′(0)+ = 0
Contínua e diferenciável.
68.
lim
x→2−
f(x) = 0 lim
x→2+
f(x) = 0
f ′(2)− = 4 f ′(2)+ → +∞
Contínua, mas não diferenciável.
69.
lim
x→1−
f(x) = 0 lim
x→1+
f(x) = 0
f ′(1)− → −∞ f ′(1)+ = 0
Contínua, mas não diferenciável.
70.
lim
x→−1−
f(x) = 1 lim
x→−1+
f(x) = 1
f ′(−1)− = −2 f ′(−1)+ = −2
Contínua e diferenciável.
33
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
71.
lim
x→2−
f(x) = 5 lim
x→2+
f(x) = 5
f ′(2)− = 8 f ′(2)+ = 8
Contínua e diferenciável.
72.
lim
x→−1−
f(x) = 0 lim
x→−1+
f(x) = 0
f ′(−1)− → +∞ f ′(−1)+ → +∞
Contínua, mas não diferenciável.
73.
lim
x→2−
f(x)→ +∞ lim
x→2+
f(x)→ +∞
f ′(2)− → +∞ f ′(2)+ → −∞
Descontínua e logo não diferenciável.
74.
lim
x→3−
f(x) = −13 lim
x→3+
f(x) = −13
f ′(3)− = −6 f ′(3)+ = −6
Contínua e diferenciável.
75.
lim
x→0−
f(x) = 0 lim
x→0+
f(x) = 0
f ′(0)− → +∞ f ′(0)+ = +∞
Contínua, mas não diferenciável.
76.
lim
x→4−
f(x) /∈ D(f) lim
x→4+
f(x) = 0
f ′(4)− /∈ D(f ′)r f ′(4)+ → +∞
Descontínua e não diferenciável.
77.
lim
x→−2−
f(x) /∈ D(f) lim
x→−2+
f(x) = 0
f ′(−2)− /∈ D(f ′) f ′(−2)+ → +∞
Descontínua e não diferenciável.
lim
x→2−
f(x) = 0 lim
x→2+
f(x) /∈D(f)
f ′(2)− → −∞ f ′(2)+ /∈ D(f ′)
Descontínua e não diferenciável.
78. a = ±
√
7
3
79. a = 1 b = 0
80. a = 8 b = −9
81. f ′(x) = 1 +
4
x
82. f ′(x) = 5x−1 · ln 5
83. f ′(x) = 2e2x−1
84. f ′(x) = 2
1
x2−1 ln 2
−2x
(x2 − 1)2
85. f ′(x) = 2x log(3x− 5) + x
2
(3x− 5) ln 10
86. f ′(x) =
2x
x2 + 1
87. f ′(x) = 2 ln 10
(
102x − 10−2x)
88. f ′(x) =
2
x ln 5
89. f ′(x) = log4
ex
4
90. f ′(x) =
1
x(x+ 1)
91. f ′(x) =
ln 10
1− 10−x
92. f ′(x) = 2 cosx− 2x sinx
93. f ′(x) = 2 cosx− x sinx
94. f ′(x) = cosx(x2 + 2)
95. f ′(x) = 4(cos2 x− sin2 x)
96. f ′(x) = cosx tanx+ sinx
97. f ′(x) = (−2) (x+ 1) sinx+ cosx
(x+ 1)2
98. f ′(x) =
1
cosx+ 1
99. f ′(x) =
2 cosx
(1− sinx)2
100. f ′(x) =
1− sinx− cosx
(cosx− 1)2
101. f ′(x) =
−2
(sinx− cosx)2
102. f ′(x) = x(sin 2x− 2 sinx) + x2(cos 2x− cosx)
103. f ′(x) = −
(
x sinx+ cosx
x2
)
104. f ′(x) = −12(sin 3x+ cos 4x)
105. f ′(x) = 2 sin(4x+ 4)
106. f ′(x) =
6 + 3 sin2 2x
(2− sin2 x)2 2 cos 2x
107. f ′(x) = 4x tanx2 sec2 x2
108. f ′(x) = 6(tan2 x− x2)2(tanx sec2 x− x)
109. f ′(x) = −12 sin(sin 3x) cos 3x
110. f ′(x) = −4 sin(cos(2x)) · cos(cos(2x)) · sin 2x
111. f ′(x) = − sin
√
x√
x
112. f ′(x) =
x sec2
√
x2 + 1√
x2 + 1
113. f ′(x) =
1
1 + sinx
114. f ′(x) =
sin 4x√
(1 + cos2 2x)3
115. f ′(x) =
cosx− 1
sin2 x
116. f ′(x) =
1
2
√
x
(
tan
1√
x
− 1√
x
sec2
1√
x
)
117. f ′(x) =
1− 2 sin2 3√x
3
3
√
x2
34
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
118. y′ = −x
y
119. y′ =
4x
9y
120. y′ =
8y − 3x2
3y2 − 8x
121. y′ =
4xy + 3
3y − 2x2
122. y′ = −
√
y
x
123. y′ =
124. y′ =
125. y′ =
126. y′ =
127. y′ =
128. y′ =
129. y′ =
130. y′ =
131. y′ =
132. y′ =
133. y′ =
134. y′ =
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153. x ∈ { 14
3
, 0
}
154. x ∈ {2, −4
3
}
155. x ∈ {±1,−3}
156. x ∈ {−2}
157. x ∈ {0, 1
3
, 5
3
}
158. x ∈ {−2}
159. x ∈ { 5
2
}
160. x ∈ {n · pi
8
|n ∈ N}
161. x ∈ {pi
8
+ n · pi
2
|n ∈ N}
162. x ∈ {−5, 2}
163.
{
x > 2 crescente
x < 2 decrescente
−2 −1 1 2 3 4 5
−4
−2
2
4
6
164.
{
x < −1/3 ∪ x > 1 Crescente
−1/3 < x < 1 Descrescente
−1 −0.5 0.5 1 1.5
−1
−0.5
0.5
165.
{
x < 1 ∪ x > 5 crescente
1 < x < 5 decrescente
1 2 3 4 5 6
−30
−20
−10
166.
{ pi
3
· 2n < x < pi
3
· (2n+ 1) crescente
pi
3
· (2n+ 1) < x < pi
3
· 2n decrescente
1 2 3 4 5 6
−2
−1
1
2
35
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
167.
{ −2 < x < 2 descrescente
x < −2 ∪ x > 2 crescente
−3 −2 −1 1 2 3
−40
−20
20
40
168. Crescente em todo domínio
0.5 1 1.5 2
−6
−4
−2
169. Crescente em todo domínio
−5 −4 −3 −2 −1
−40
−20
20
40
170.
{ −2 < x < − 1
2
∪ x > 1 crescente
x < −2 ∪ − 1
2
< x < 1 decrescente
−3 −2 −1 1 2 3
1
2
3
4
5
171.
 −
√
5 < x < −
√
5
2
∪
√
5
2
< x <
√
5 descrescente
−
√
5
2
< x <
√
5
2
crescente
−2 −1 1 2
−2
−1
1
2
172.
{
0 < x < 1
8
decrescente
x > 1
8
crescente
−0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−0.3
−0.2
−0.1
0.1
0.2
173.
{
x < 3 decrescente
x > 3 crescente
2.5 3 3.5 4
−1
1
2
174.
{ −12 < x < −7 ∪ −3 < x < 0 crescente
−7 < x < −3 ∪ x > 0 decrescente
−12 −10 −8 −6 −4 −2 2
2
4
6
8
10
12
175.
{
x < −5 ∪ −1 < x < 7 crescente
−5 < x < −1 ∪ 7 < x < 17 decrescente
−5 5 10 15
−5
5
10
176.
−1 −0.5 0.5 1 1.5 2
−2
2
4
6
Valor mínimo: -2
Valor máximo: não existe
177.
−1 1 2 3
2
4
6
8
Valor mínimo: 3
Valor máximo: não existe
178.
36
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
−4 −2 2 4
−60
−40
−20
Valor mínimo: -76
Valor máximo: 5
179.
−4 −3 −2 −1
100
200
300
400
−3 −2 −1 1 2
50
100
150
(a) (b)
0.5 1 1.5 2 2.5 3
50
100
150
−1 1 2 3 4
100
200
300
400
(c) (d)
(a) (b) (c) (d)
Valor mínimo: 16 16 16 16
Valor máximo: 400 169 169 400
180.
−2 −1 1 2 3
−10
−5
5
10
Não há máximos ou mínimos em [−2, 3]
181.
0.2 0.4 0.6 0.8 1
−2
−1.5
−1
−0.5
Valor mínimo: -2
Valor máximo: -0.333
182.
−2 2 4 6 8 10
1
2
3
4
5
Valor mínimo: 0
Valor máximo: não existe
183.
−2 −1 1 2
1
2
3
Valor mínimo: 0
Valor máximo: 2
184.
−3 −2 −1 1 2
−6
−4
−2
2
Valor mínimo: não existe
Valor máximo: não existe
185.
−4 −2 2 4
2
4
6
8
10
12
Valor mínimo: 0
Valor máximo: não existe
186.
0.5 1 1.5 2 2.5 3
1
2
3
4
5
Valor mínimo: 2
Valor máximo: não existe
187.
0.5 1 1.5 2
−2
2
37
Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
Valor mínimo: −3
Valor máximo: 0
188.
0.5 1 1.5 2
−2
2
Valor mínimo: -3
Valor máximo: 1.5
189.
2.5 3 3.5 4 4.5 5
−10
−8
−6
−4
−2
2
Valor mínimo: não existe
Valor máximo: 2
190.
−1 1 2 3 4
−15
−10
−5
Valor mínimo: -15
Valor máximo: -3
191.
−6 −5 −4 −3 −2 −1
2
4
6
8
10
12
Valor mínimo: 3
Valor máximo: 12
192.
a) V (x) = (a− 2x)(b− 2x)x
b) Vmax = max
{
(a+ b)±√a2 − ab+ b2
6
}
c) 6 cm3
193.
a) 3600m2
b) 7200m2
c) 14400m2
194.
1
2
195. 12
√
3
196.
r2
2
197. 400
198. Se x é um lado do retângulo então, dado que tenha pe-
rímetro p, o outro lado será p
2
− x e sua área obviamente será
A(x) = px
2
− x2. A área máxima ocorre quando A′ = 0, ou seja,
A′(x) =
p
2
− 2x = 0
x =
p
4
Sendo x = p
2
então os demais lados também o serão caracteri-
zando um quadrado.
199.
a) r = 3
√
2 cm, h = 6
√
2 cm
b) r = 2
√
6 cm, h = 4
√
3 cm
200. Pontos:
(
±12
41
√
41, ±15
41
√
41
)
Distâncias:
√
41± 3
201. 48
√
3 cm × 48√6 cm
202. pi
4
203.
204.
205.
206.
207.
208.
209.
210.
211.
212.
213.
214.
215.
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Derivadas de Funções Prof.o Ricardo Reis
217.
218.
219.
220.
221.
222.
223.
224.
225.
226.
227.
228.
229.
230.
231.
232.
233.
234.
235.
236.
237.
238.
239.
240.
241.
15 Bibliografia
1. O Cálculo com Geometria Analítica,
Louis Leithold, Volume 1, 3. Edição, Edi-
tora HARBRA ltda.
2. Cálculo, Maurício A. Vilches, Maria Luiza
Correêa, Volume 1, Departamento de Aná-
lise do IME-UERJ.
3. Fundamentos de Matemática Elementar,
Gelson Iezzi, Carlos Murakami, Milson José
Machado, Volume 8, Atual Editora.
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