Exercícios resolvidos de álgebra linear

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IST - 1o Semestre de 2011/12
LEGM, MEC
EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
FICHA 3 - Transformações Lineares
1
1 Linearidade
Transformações lineares são funções
T : E1 → E2
entre dois espaços vectoriais E1 e E2 (sobre R ou C) com as seguintes características:
i) T (u + v) = T (u) + T (v), ∀u, v ∈ E1.
ii) T (αu) = αT (u), ∀u ∈ E1, ∀α ∈ K.
A partir destes axiomas pode facilmente mostrar-se que as transformações lineares go-
zam das seguintes propriedades:
• T (αu + βv) = αT (u) + βT (v), ∀u, v ∈ E1,∀α, β ∈ K.
• T (−u) = −T (u).
• T (0) = 0.
Um exemplo de transformação linear pode ser obtido através da operação de derivação
de funções, dadas as suas propriedades no que concerne à soma e ao produto de funções. Se
considerarmos o espaço P de todos os polinómios, a função D : P→ P tal que
Dp (t) = p′ (t) ,
ou mais concretamente
D
(
ant
n + ...+ a2t
2 + a1t+ a0
)
= nant
n−1 + (n− 1) an−1tn−2 + ...+ 2a2t+ a1,
constitui uma transformação linear entre P e ele próprio.
1Coligidos por: João Ferreira Alves, Ricardo Coutinho e José M. Ferreira.
1
1.1 Algumas transformações lineares de R2 em R2
Outro exemplo de transformação linear
T : Rn → Rm
é-nos dado pelo produto de uma matriz A, m× n, por um vector coluna x ∈ Rn:
T (x) = Ax.
Entre elas constam as seguintes transformações lineares de R2 em R2 (ver exercícios 8 e 11
da secção seguinte).
1. MUDANÇA DE ESCALA:
Sr (x, y) = (rx, ry) =
[
r 0
0 r
] [
x
y
]
.
(ampliação se r > 1, redução se r < 1).
2. ROTAÇÃO EM TORNO DA ORIGEM DE AMPLITUDE θ:
Rθ (x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) =
[
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
] [
x
y
]
.
3. REFLEXÃO RELATIVAMENTE ÀS RECTAS y = ±x:
R (x, y) = (±y,±x) =
[
0 ±1
±1 0
] [
x
y
]
.
4. REFLEXÃO RELATIVA AO EIXO DOS xx:
Rx (x, y) = (x,−y) =
[
1 0
0 −1
] [
x
y
]
.
5. REFLEXÃO RELATIVA AO EIXO DOS yy:
Ry (x, y) = (−x, y) =
[ −1 0
0 1
] [
x
y
]
.
6. REFLEXÃO RELATIVA À ORIGEM:
R0 (x, y) = (−x,−y) =
[ −1 0
0 −1
] [
x
y
]
.
7. PROJECÇÃO SOBRE O EIXO DOS xx:
Px (x, y) = (x, 0) =
[
1 0
0 0
] [
x
y
]
.
8. PROJECÇÃO SOBRE O EIXO DOS yy:
Py (x, y) = (0, y) =
[
0 0
0 1
] [
x
y
]
.
2
1.2 Exercícios
Exercício 1 T : R4 → R2 é uma transformação linear tal que
T (u1) = (1,−1) , T (u2) = (1, 2) , T (u3) = (−3,−1) .
a) Calcule
i) T (u1 − 2u2) . ii) T (3u1 − u2) . iii) T (u1 − u2 + 4u3) .
b) Determine α e β tais que T (α u1 + β u3) = (0,−8) .
Exercício 2 Quais das seguintes transformações são lineares?
a) T (x1, x2) = (x1, x2) .
b) T (x1, x2) = (x1 + 1, x2) .
c) T (x1, x2) = (2x21 + x1x2, x1) .
d) T (x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x1 + 2x2, x1 + 2x2 + x3) .
e) T (x1, x2, x3) = (x1 + 3, x1 + 2x2 + x3, x2 − 4x3) .
f) T (x1, x2, x3, x4) = (2x1 + x2 − x3 + x4, x1 + x2 − 3x3) .
Exercício 3 Com k,m ∈ R, sejam Tk e Tm as transformações de R3 em R2 dadas, respec-
tivamente, por:
Tk (x, y, z) = (x− y − z, x+ y + z) + (k, k) ,
Tm (x, y, z) =
(
xm − ym − zm, ym−1z) .
Para que valores de k e m são Tk e Tm transformações lineares?
Exercício 4 A transformação T : P → P, entre o espaço de todos os polinómios P e ele
próprio, é dada por
T (p (t)) = tp (t) .
a) Calcule T (5 + 4t+ 3t2 + 2t3) .
b) Mostre que T é uma transformação linear.
Exercício 5 Seja P1 (R) = {a0 + a1t : a0, a1 ∈ R} o espaço dos polinómios de grau não
superior a 1. A transformação T : P1 (R)→ P1 (R) , entre P1 (R) e ele próprio, é dada por
T (a0 + a1t) = b0 + b1t
em que [
b0
b1
]
=
[
1 −1
−1 1
] [
a0
a1
]
.
a) Calcule T (1 + 2t) .
b) Determine a0 e a1 tais que T (a0 + a1t) = 1− t. E tais que T (a0 + a1t) = 1− 2t?
c) Mostre que T é uma transformação linear.
3
Exercício 6 Sejam v1, ..., vp, vectores de Rn e T : Rn → Rm uma transformação linear.
Mostre que se T (v1) , ..., T (vp) são linearmente independentes então o mesmo sucede a
v1, ..., vp.
Exercício 7 Seja T : R2 → R a transformação linear definida por T (x, y) = x − y. Dado
E ⊂ R, por T−1 (E) entende-se o subconjunto de R2,
T−1 (E) =
{
(x, y) ∈ R2 : T (x, y) ∈ E} .
Determine e represente geometricamente:
a) T−1 ({3}) . b) T−1 ({0}) . c) T−1 ([−1, 1]) .
Exercício 8 Seja ∆ ⊂ R2 o triângulo de vértices (1, 1) , (1,−1) e (2, 0) e Cρ ⊂ R2 a
circunferência de centro na origem e raio ρ > 0. Relativamente às transformações lineares
T : R2 → R2 descritas a seguir, determine:
i) T (∆) . ii) T (Cρ) .
a) Reflexão relativamente ao eixo dos xx.
b) Reflexão relativamente ao eixo dos yy.
c) Reflexão relativa à recta y = x.
d) Reflexão relativa à recta y = −x.
e) Mudança de escala de razão r > 0.
Exercício 9 A transformação linear T : R2 → R2 dada por
T (x, y) =
(x
2
,
y
3
)
.
Determine T (E) , onde E designa a elipse de equação
x2
4
+
y2
9
= 1.
Exercício 10 Com θ ∈ R, a transformação linear Rθ : R2 → R2 dada por
Rθ(x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) ,
diz-se uma rotação de amplitude θ.
a) Calcule os vectores Rpi/2 (1, 0) , Rpi/2 (0, 1) , Rpi/2 (1, 1) , Rpi/3 (1, 1) . Interprete os resulta-
dos geometricamente.
b) Quais das seguintes matrizes representam rotações? Em caso afirmativo indique a respec-
tiva amplitude.
i)
[
0 −1
1 0
]
. ii)
[
0 1
−1 0
]
. iii)
[ −√2/2 −√2/2√
2/2 −√2/2
]
.
iv)
[ −√3/2 1/2
−1/2 −√3/2
]
. v)
[ −1/2 √3/2√
3/2 −1/2
]
.
4
c) A composição de duas rotações, Rθ2 ◦ Rθ1 , é uma rotação? Em caso afirmativo, qual a
sua amplitude?
d) Mostre que para qualquer θ ∈ R, Rθ admite inversa. Determine-a.
e) Se Cρ ⊂ R2 for a circunferência de centro na origem e raio ρ > 0, mostre que Rθ (Cρ) =
Cρ, para qualquer θ ∈ R.
f) Seja ra a recta de R2 cuja equação analítica é y = ax (a �= 0) . Qual a equação analítica
da recta Rpi/2 (ra)?
Exercício 11 Seja ∆ ⊂ R3, o triângulo de vértices (1, 0, 1) , (−1, 1, 0) e (0, 0, 2) . Relativa-
mente às transformações lineares T : R3 → R3 descritas a seguir, determine T (∆) .
a) Reflexão com relação ao plano xOz.
b) Reflexão com relação ao plano yOz.
c) Rotação em torno do eixos dos zz de amplitude pi/2.
2 Representação matricial de transformações lineares
Se T : E1 → E2 for uma transformação linear entre E1 e E2, e estes forem espaços
vectoriais de dimensão finita, então T admite uma representação matricial no sentido que
passamos a descrever.
Sejam B1 = {u1, ..., un} uma base de E1 (dimE1 = n) e B2 = {v1, ..., vm} uma base de
E2 (dimE2 = m) . Então com x ∈ E1 temos
x = x1u1 + ...+ xnun
e
T (x) = x1T (u1) + ...+ xnT (un) .
Como tal, as coordenadas de [T (x)]
B2
de T (x) na base B2 relacionam-se com as coordenadas
[x]
B1
de x na base B1 através de uma matriz [T ]B2B1 (m× n):
[T (x)]
B2
= [T ]
B2B1
[x]
B1
,
em que as colunas de [T ]
B2B1
são as coordenadas na base B2, [T (u1)]B2 , ..., [T (un)]B2 , de
T (u1) , ..., T (un) .
No caso de ser E1 = Rn e E2 = Rp, ou seja, quando T : Rn → Rm é uma transformação
linear entre Rn e Rm, os vectores x e T (x) confundem-se com as suas coordenadas nas
correspondentes bases canónicas, En e Em. Assim, em tal caso
T (x) = [T ] x
em que as colunas da matriz [T ] são as coordenadas na base Ep dos vectores T (u1) , ..., T (un) .
5
2.1 Composição de transformações lineares
ComE1, E2 eE3 espaços vectoriais sobreK (R ou C) sejam T1 : E1 → E2 e T2 : E2 → E3
duas transformações lineares. Então facilmente se observa que a composição de T2 com T1,
(T2 ◦ T1) (x) = T2 (T1 (x))
é uma transformação linear entre os espaços E1 e E3.
Se E1, E2 e E3 forem espaços de dimensão finita tais que
dimE1 = n, dimE2 = m e dimE3 = #,
de bases, respectivamente, B1, B2 e B3, T1 admite uma representação matricial através de
uma matriz [T1]B2B1 , m×n, e T2 uma representação matricial por uma matriz [T2]B3B2, #×m.
Como tal, T2 ◦ T1 terá como representação matricial a matriz [T2]B3B2 [T1]B2B1 (#× n) . Na
verdade,
[(T2 ◦ T1) (x)]B3 = [T2 (T1 (x))]B3
= [T2]B3B2 [T1 (x)]B2
= [T2]B3B2 [T1]B2B1 [x]B1 .
2.2 Representação matricial e mudanças de base
Se D1 e D2 forem outras bases, respectivamente, de E1 e E2 a transformação linear
T : E1 → E2 terá uma representação matricial diferente, dada agora por uma outra matriz
[T ]
D2D1
, igualmente m× n.
As matrizes [T ]
B2B1
e [T ]
D2D1
relacionam-se de acordo com o diagrama
[x]
B1
[T ]
B2B1−→ [T (x)]
B2
MB1←D1 ↑ ↓ MD2←B2
[x]
D1
−→
[T ]
D2D1
[T (x)]
D2
onde MB1←D1 é a matriz de mudança de base D1 para a base B1 e MD2←B2 é a matriz de
mudança de base de B2 para D2. Ou seja,
[T ]
D2D1
= MD2←B2 [T ]B2B1 MB1←D1
2.3 Exercícios
Exercício 12 Considere R2 munido da base B = {v1, v2} , onde v1 = (1, 2) , v2 = (2, 1) .
Represente matricialmente na base B as seguintes transformações lineares T : R2 → R2
definidas pelas seguintes relações:
a) T (1, 2) = (2, 1) e T (2, 1) = (1, 2).
b) T (1, 2) = (3, 3) e T (2, 1) = (6, 6).
c) T (v1) = v1 + v2 e T (v2) = 3v1 − 7v2.
d) T (v1 + v2) = 5v1 + v2 e T (v1 − v2) = 3v1 − 7v2.
6
Exercício 13 Considere uma transformação linear T : R2 → R3 tal que
T (1, 3) = (1, 1, 1) e T (5, 7) = (2, 2, 3)
Determine uma base B2 = {v1, v2} de R2 e uma base B3 = {w1,w2,w3} de R3 de forma que
a representação matricial de T nestas bases B2, B3 seja
1 20 1
0 0

 .
Exercício 14 Considerem-se as aplicações lineares S : R3 → R2 e T : R2 → R3 definidas
por S (x, y, z) = (3x+ y + 4z, x+ z) e T (x, y) = (x− 4y, 2x− 5y, 3x− 6y). Determine a
representação matricial de S ◦T e de T ◦S nas bases canónicas de R3 e R2, respectivamente.
Exercício 15 Considere R2 munido da base B = {v1, v2} , onde v1 = (0, 2) , v2 = (2, 0) .
Represente matricialmente na base B as seguintes transformações lineares T : R2 → R2:
a) T é definida por T (x1, x2) = (2x1 + x2, x1 + 2x2) .
b) T é representada na base canónica de R2 pela matriz[
a b
c d
]
.
Exercício 16 B = {v1, v2} constitui uma base de R2, onde v1 = (1, 1) , v2 = (1, 2) .
a) Qual a representação matricial da transformação linear T : R2 → R2 na base B, se na
base canónica de R2 ela for representada pela matriz[
2 1
1 2
]
?
b) Supondo que T é representada na base B pela matriz[
3 2
1 2
]
,
determine a expressão analítica para T (x1, x2) .
Exercício 17 Com v1 = (0, 2, 0) , v2 = (0, 0, 2) e v3 = (2, 0, 0) , B = {v1, v2, v3} forma uma
base de R3. Determine as representações matriciais na base B das seguintes transformações
lineares T : R3 → R3:
a) T é dada analiticamente por T (x1, x2, x3) = (x1 + x2, x1 + x3, x3 + x2) .
b) Relativamente à base canónica de R3, T é representada pela matriz
 a b cd e f
g h i

 .
7
Exercício 18 Considere a base de R3, B = {v1, v2, v3} , onde v1 = (1, 0, 0) , v2 = (1, 1, 0) e
v3 = (1, 1, 1) .
a) Sabendo que T : R3 → R3 é uma transformação linear que na base canónica de R3 é
representada pela matriz 
 1 1 01 0 1
0 1 1

 ,
determine a sua representação matricial na base B.
b) Supondo que na base B, T é representada matricialmente pela matriz
 1 2 11 0 0
0 1 2

 ,
determine analiticamente T (x1, x2, x3) .
Exercício 19 T : R3 → R2 é a transformação linear dada por
T (x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x3 + 3x2) .
Por que matrizes é representada T relativamente à base B1 = {u1, u2, u3} de R3 e B2 =
{v1, v2} de R2 nos casos em que:
a) u1 = (1, 0, 0) , u2 = (0, 1, 0) , u3 = (0, 0, 1) , v1 = (1, 0) , v2 = (0, 1) .
b) u1 = (0, 2, 0) , u2 = (0, 0, 2) , u3 = (2, 0, 0) , v1 = (1, 0) , v2 = (0, 1) .
c) u1 = (1, 0, 0) , u2 = (1, 1, 0) , u3 = (1, 1, 1) , v1 = (1, 1) , v2 = (1, 2) .
d) u1 = (1, 0, 0) , u2 = (0, 1, 0) , u3 = (0, 0, 1) , v1 = (1, 1) , v2 = (1, 2) .
Exercício 20 Considerem-se as bases B2 = {w1,w2} de R2 e B3 = {v1, v2, v3} de R3, onde
w1 = (2, 1) , w2 = (2, 2) , v1 = (1,−1, 0) , v2 = (−1, 1, 1) e v3 = (1, 0,−1) .
Sejam S : R3 → R2 e T : R2 → R3 aplicações lineares tais que
S (v1) = w1 +w2, S (v2) = w1 − w2, S (v3) = w1,
T (w1) = v1 + v2 e T (w2) = v2 + v3.
determine a expressão analítica para T ◦ S (x, y, z).
Exercício 21 Seja T : P2 → P2 definida por T (p (t)) = tp′ (t). Determine a matriz que
representa T na base P2 = {1, t, t2}.
Exercício 22 Seja T : P2 → P4 definida por T (p (t)) = p (t2)+p (2) t3. Determine a matriz
que representa T nas bases P2 = {1, t, t2}, P4 = {1, t, t2, t3, t4}.
8
Exercício 23 Seja T : P2 → R3 definida por T (p (t)) = (p (−1) , p (0) , p (1)). Determine a
matriz que representa T nas bases canónicas P2, E3.
Exercício 24 T : P2 → P3 é uma transformação linear tal que
T (1) = 1 + t, T (t) = 1 + 2t, T
(
t2
)
= t− t3.
a) Que polinómio é T (1− 2t+ 3t2)?
b) Represente matricialmente T com respeito às bases canónicas de P2 e de P3.
c) Represente matricialmente T relativamente às bases B = {1, 1 + t, 1 + t+ t2} de P2 e
D = {1, 1 + t, 1 + t2, 1 + t3} de P3.
Exercício 25 Seja F :M2×2 (R)→M2×2 (R) dada por
F (A) = A+AT .
a) F é uma transformação linear. Justifique.
b) Por que matriz é representada F relativamente à base canónica de M2×2 (R) ,{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
.
Exercício 26 Seja
A =
[
a b
c d
]
uma matriz arbitrária do espaço vectorial M2×2 (R) das matrizes reais 2 × 2. Quais das
seguintes transformações de M2×2 (R) em R, são lineares?
T1 (A) = a+ d. T2 (A) = ab− cd. T3 (A) = a+ b+ c+ d. T4 (A) = abcd.
Nos casos afirmativos indique a respectiva representação matricial relativamente à base canó-
nica de M2×2 (R) .
Exercício 27 Considere as transformações D : P3 → P2 e P : P2 → P3 definidas por:
Dp (t) = p′ (t) , Pp (t) =
∫ t
0
p (s) ds,
em que p designa um polinómio de P3.
a) Ambas são transformações lineares. Justifique.
b) Determine as matrizes que representam D e P relativamente às bases canónicas {1, t, t2}
de P2 e {1, t, t2, t3} de P3.
c) D e P são transformações inversas?
9
3 Núcleo e contradomínio de uma transformação linear
Relativamente a uma qualquer transformação linear T : E1 → E2 entre dois espaços
vectoriais E1 e E2, facilmente se verifica que o contradomínio de T ou conjunto imagem
ImT = {y ∈ E2 : y = T (x) , x ∈ E1}
constitui um subespaço de E2. Sempre que ImT = E2 diremos que T é uma transformação
linear sobrejectiva ou uma sobrejecção de E1 em E2.
A invertibilidade de T fica então apenas dependente de ser uma transformação injec-
tiva, ou seja de satisfazer a propriedade
x1 �= x2 ⇒ T (x1) �= T (x2)
(ou de modo equivalente a implicação T (x1) = T (x2) ⇒ x1 = x2). Na verdade, se T for
injectiva então podemos considerar a transformação inversa
T−1 : ImT → E1,
ou seja a transformação que satisfaz as relações
(
T−1 ◦ T) (x) = x, ∀x ∈ E1,(
T ◦ T−1) (y) = y, ∀y ∈ ImT.
Nestas circunstâncias, pode facilmente verificar-se que T−1 é igualmente uma transformação
linear entre ImT e E1. Quando T for simultaneamente injectiva e sobrejectiva diremos que
T é bijectiva ou uma bijecção entre E1 e E2.
Para aferirmos da injectividade da transformação T, um outro espaço assume um papel
relevante: o chamado de núcleo de T definido por
NucT = {x ∈ E1 : T (x) = 0} ,
que facilmente se observa constituir um subespaço de E1. Na verdade, pode mostrar-se que
T é injectiva se e só se for válida a seguinte equivalência
T (x) = 0⇔ x = 0,
facto que é equivalente a afirmar que NucT = {0} .
Podemos pois estabelecer que as seguintes afirmações são equivalentes:
• T : E1 → ImT é invertível.
• T é injectiva.
• NucT = {0} .
10
3.1 Núcleo e contradomínio de uma transformação linear entre
espaços de dimensão finita
No caso em que os espaços E1 e E2 são de dimensão finita há a registar algumas particu-
laridades específicas.Na verdade, tomando uma base B1 de E1, uma base B2 de E2 e a matriz
[T ]
B2B1
que, relativamente a estas bases, representa a transformação linear T : E1 → E2,
atendendo a que
[T (x)]
B2
= [T ]
B2B1
[x]
B1
,
podemos concluir que
NucT =
{
x ∈ E1 : [x]B1 ∈ Nul [T ]B2B1
}
.
Do mesmo modo,
ImT =
{
y ∈ E2 : [y]B2 ∈ Col [T ]B2B1
}
.
Assim, recordando a nulidade, n (A) , e a característica, c (A) , de uma matriz A, temos
dim (NucT ) = dim
(
Nul [T ]
B2B1
)
= n
(
[T ]
B2B1
)
dim (ImT ) = dim
(
Col [T ]
B2B1
)
= c
(
[T ]
B2B1
)
e
dim (NucT ) + dim (ImT ) = dimE1.
Se dim (E1) = dim (E2), podemos ainda afirmar que T é uma transformação invertível
(ou bijectiva) se e só se a matriz [T ]
B2B1
for invertível. Nestas condições, relativamente às
bases B1 e B2, a matriz que representa a transformação inversa, T−1, é a matriz inversa da
matriz que representa T :
[
T−1
B1B2
]
= [T ]−1
B2B1
.
3.2 Exercícios
Exercício 28 Determine bases para o núcleo e para o contradomínio (ou espaço imagem)
de cada uma das seguintes transformações lineares:
a) T (x1, x2) = (2x1 + x2, 2x1 + x2) .
b) T (x1, x2) = (x1 + x2, x1 − x2) .
c) T (x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3, 2x1 + 2x2 + 2x3, x2 − x3) .
d) T (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 − x3, 2x1 + 4x2 − 2x3,−x1 − 2x2 + x3) .
e) T (x1, x2, x3) = (x1 − x3, x1 + 2x3, x2 + 3x3) .
f) T (x1, x2, x3) = (x1 − x3, x2 + x3) .
g) T (x1, x2) = (2x1 + x2, 4x1 + 2x2, 0) .
Exercício 29 A transformação linear T : R2 → R2, na base constituída pelos vectores
v1 = (1, 1), v2 = (1,−1) é representada pela matriz[
3 3
2 2
]
.
Determine bases para o núcleo e para o espaço imagem de T e indique a dimensão desses
subespaços.
11
Exercício 30 Na base formada pelos vectores
v1 = (−1, 1, 1), v2 = (1,−1, 1), v3 = (1, 1,−1),
a transformação linear T : R3 → R3 é representada pela matriz
 −2 0 11 1 0
−1 1 1

 .
Determine bases dos subespaços NucT e ImT.
Exercício 31 A transformação linear T : P2 → P1, relativamente às bases canónicas destes
espaços, é representada pela matriz [
2 1 −3
−6 −3 9
]
.
a) Que polinómio é T (1 + 2t+ t2)?
b) Determine bases do núcleo e do contradomínio de T.
Exercício 32 T : P1 → P2 é uma transformação linear que nas bases canónicas de P1 e P2
é representada pela matriz 
 1 11 −1
1 0

 .
a) Caso exista, qual o polinómio p (t) de P1 tal que T (p (t)) = 1− t?
b) Determine bases do núcleo e do contradomínio de T.
Exercício 33 Seja T : Rn → Rm uma transformação linear e A a matriz que representa
T nas bases canónicas de Rn e Rm. Justificando as suas respostas, indique se as seguintes
afirmações são verdadeiras ou falsas.
a) dim (NucT ) = n (A) 2.
b) T é injectiva se e só se n (A) = 0.
c) T é injectiva se e só se a característica de A coincide com o número de colunas de A.
d) A dimensão da imagem de T coincide com a característica de A.
e) T é sobrejectiva se e só se a característica de A coincide com o número de linhas de A.
Exercício 34 Seja T : R3 → R2 a transformação linear definida por
T (x1, x2, x3) = (x1 + x2, x1 + x2 − x3) .
a) Calcule a matriz que representa T nas bases canónicas de R3 e R2.
2Recorde que n(A) designa a nulidade da matriz A.
12
b) Determine uma base para o núcleo de T. A transformação T é injectiva?
c) Determine uma base para o contradomínio de T. T é sobrejectiva?
d) Resolva a equação T (x1, x2, x3) = (1, 1).
e) Existe algum vector (a, b) ∈ R2 para o qual a equação T (x1, x2, x3) = (a, b) é impossível?
f) Existe algum vector (a, b) ∈ R2 para o qual a equação T (x1, x2, x3) = (a, b) é possível e
determinada?
Exercício 35 Considere a transformação linear que na base canónica de R3 é representada
pela matriz 
 1 2 22 1 4
0 0 2

 .
a) Determine uma base para o núcleo de T. T é injectiva?
b) Indique uma base para a imagem de T. T é sobrejectiva?
c) Resolva a equação T (x1, x2, x3) = (3, 3, 0).
d) Existe algum vector (a, b, c) ∈ R3 para o qual a equação T (x1, x2, x3) = (a, b, c) é impossí-
vel?
e) Existe algum vector (a, b, c) ∈ R3 para o qual a equação T (x1, x2, x3) = (a, b, c) é indeter-
minada?
Exercício 36 Na base de R2 formada por v1 = (1, 1), v2 = (1, 0), a transformação linear
T : R2 → R2 é representada pela matriz [
2 4
1 2
]
.
a) Encontre uma base de NucT. T é injectiva?
b) Indique uma base de ImT. T é sobrejectiva?
c) Resolva a equação T (x1, x2) = (3, 2).
d) Existe algum vector (a, b) ∈ R2 para o qual a equação T (x1, x2) = (a, b) é impossível?
e) Existe algum vector (a, b) ∈ R2 para o qual a equação T (x1, x2) = (a, b) é possível e
determinada?
Exercício 37 Seja T : R3 → R3 a transformação linear que na base constituída pelos
vectores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 0, 0) é representada por
 1 2 22 4 4
0 0 2

 .
a) Determine uma base para o núcleo de T. T é injectiva?
b) Indique uma base para a imagem de T. T é sobrejectiva?
c) Mostre que equação T (x1, x2, x3) = (2, 4, 0) não tem soluções.
d) Existe algum vector (a, b, c) ∈ R3 para o qual a equação T (x1, x2, x3) = (a, b, c) é indeter-
minada.
13
Exercício 38 T é a transformação linear dada por
T (x1, x2) = (x1 + x2, x1 + 2x2) .
a) Qual a matriz que representa T na base canónica?
b) Mostre que T é bijectiva e calcule T−1(y1, y2).
c) Resolva a equação linear T (x1, x2) = (1, 1).
Exercício 39 A matriz 
 1 0 00 1 0
0 0 −1


representa a transformação linear T na base de R3 constituída pelos vectores
v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 0, 0).
a) Mostre que T é bijectiva e calcule T−1(y1, y2, y3).
b) Resolva a equação linear T (x1, x2, x3) = (1, 2, 1).
Exercício 40 Relativamente à base canónica de P2, a transformação linear T : P2 → P2,
tem a representação matricial 
 1 1 11 2 −4
0 0 1

 .
Mostre que T é bijectiva e calcule T−1(1 + t+ 2t2).
Exercício 41 Seja I : Pn → R a transformação dada por
I (p) =
∫ 1
0
p (t) dt (p (t) ∈ Pn) .
a) I é uma transformação linear. Justifique.
b) Qual a matriz que na base canónica {1, t, ..., tn} de Pn representa I?
c) Determine o núcleo de I? Qual a sua dimensão?
d) É I uma bijecção entre Pn e R?
Exercício 42 Designe-se por S o subespaço das matrizes simétricas 2× 2, i.e.
S =
{
A ∈M2×2 (R) : A = AT
}
.
Considere-se T : S → S a transformação linear definida por
T (A) = AB +BA, onde B=
[
0 1
1 0
]
.
a) Determine uma base para S e indique a matriz que, nessa base, representa T.
b) Calcule uma base do NucT e justifique que T não é injectiva nem sobrejectiva.
c) Resolva em S, a equação T (A) = B.
14
4 Soluções
1) a) i) (−1,−5) . ii) (2,−5) . iii) (−12,−7) . b) α = 6, β = 2.
2) São lineares as transformações das alíneas a), d) e f).
3) k = 0 e m = 1.
4) a) 5t+ 4t2 + 3t3 + 2t4.
5) a) t− 1. b) a0 = a1 + 1. Não existe.
7) a) Recta y = x − 3. b) Recta y = x. c) Região do plano entre as rectas y = x − 1 e
y = x+ 1.
8) a) i) T (∆) = ∆; ii) T (Cρ) = Cρ.
b) i) Triângulo de vértices (−1, 1) , (−1,−1) e (−2, 0) ; ii) T (Cρ) = Cρ.
c) i) Triângulo de vértices (1, 1) , (−1, 1) e (0, 2) ; ii) T (Cρ) = Cρ.
d) i) Triângulo de vértices (−1,−1) , (1,−1) e (−2, 0) ; ii) T (Cρ) = Cρ.
e) i) Triângulo de vértices (r, r) , (r,−r) e (2r, 0) ; ii) T (Cρ) = Crρ.
9) T (E) é a circunferência de centro na origem e raio 1.
10) a) (0, 1) , (−1, 0) , (−1, 1) e ((1−√3) /2, (1 +√3) /2) .
b) i) θ = pi/2 + 2kpi. ii) θ = −pi/2 + 2kpi. iii) θ = 3pi/4 + 2kpi. iv) θ = −5pi/6 + 2kpi. v)
Não.
c) Sim; θ1 + θ2. d) R−θ. f) y = −x/a.
11) a) Triângulo de vértices (1, 0, 1) , (−1,−1, 0) e (0, 0, 2) .
b) Triângulo de vértices (−1, 0, 1) , (1, 1, 0) e (0, 0, 2) .
c) Triângulo de vértices (0, 1, 1) , (−1,−1, 0) e (0, 0, 2) .
12) a)
[
0 1
1 0
]
. b)
[
1 2
1 2
]
c)
[
1 3
1 −7
]
d)
[4 1
−3 4
]
.
13) Por exemplo v1 = (1, 3) , v2 = (5, 7) , w1 = (1, 1, 1) , w2 = (0, 0, 1) , w3 = (1, 0, 0) .
14) [S ◦ T ] =
[
17 −41
4 −10
]
, [T ◦ S] =

−1 1 01 2 3
3 3 6


15) a)
[
2 1
1 2
]
. b)
[
d c
b a
]
.
16) a)
[
3 3
0 1
]
. b) T (x1, x2) = (4x1, 4x1 + x2) .
17) a)

0 1 11 1 0
1 0 1

 . b

e f dh i g
b c a

 .
15
18) a)

 0 1 01 0 0
0 1 2

 . b) T (x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x1 + x3, x2 + x3).
19) a)
[
2 1 0
0 3 1
]
. b)
[
2 0 4
6 2 0
]
. c)
[
4 3 2
−2 0 1
]
. d)
[
4 −1 −1
−2 2 1
]
.
20) T ◦ S (x, y, z) = (0,−y, 3x+ 2y + 2z)
21)

 0 0 00 1 0
0 0 2

 22)


1 0 0
0 0 0
0 1 0
1 2 4
0 0 1

 23)

 1 −1 11 0 0
1 1 1


24) a) −3t3 − 1. b)


1 1 0
1 2 1
0 0 0
0 0 −1

 . c)


0 −1 −1
1 3 4
0 0 0
0 0 −1

 .
25) b)


2 0 0 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 0 0 2


26) T1 e T3 são lineares; T2 e T4 não. T1 é representada pela matriz
[
1 0 0 1
]
e T3 é
representada pela matriz
[
1 1 1 1
]
.
27) b) D é representada por

 0 1 0 00 0 2 0
0 0 0 3

 e P por


0 0 0
1 0 0
0 1/2 0
0 0 1/3

 . c) Não.
28) a) {(1,−2)} é base de NucT e {(1, 1)} é base de ImT.
b) ∅ é base de NucT ; {(1, 1) , (1,−1)} é base de ImT.
c) {(−2, 1, 1)} é base de NucT ; {(1, 2, 0) , (1, 2, 1)} é base de ImT.
d) {(−2, 1, 0), (1, 0, 1)} é base de NucT ; {(1, 2,−1)} é base de ImT.
e) ∅ é base de NucT ; {(1, 1, 0) , (0, 0, 1) , (−1, 2, 3)} é base de ImT.
f) {(1,−1, 1)} é base de NucT ; {(1, 0) , (0, 1)} é base de ImT.
g)
{
(−1
2
, 1)
}
é base de NucT ; {(2, 4, 0)} é base de ImT.
29) {(0, 1)} é base de NucT e {(5, 1)} é base de ImT. dimNucT = dim ImT = 1.
30) {(0, 2,−1)} é base de NucT e {(2,−4, 0) , (2, 0, 0)} é base de ImT.
31) a) 1− 3t. b) {1− 2t, 3 + 2t2} é base de NucT, {2− 6t} é base de ImT.
32 a) p (t) = t. b) ∅ é base de NucT, {1 + t+ t2, 1− t} é base de ImT.
33) Todas as afirmações são verdadeiras.
16
34) a)
[
1 1 0
1 1 −1
]
.
b) {(−1, 1, 0)} é base de NucT. A transformação T não é injectiva pois dimNucT �= 0.
c) {(1, 1) , (0,−1)} é base de ImT. A transformação T é sobrejectiva pois dim ImT = 2 =
dimR2.
d) O conjunto das soluções é {(1, 0, 0)}+NucT = {(1, 0, 0) + x2 (−1, 1, 0) : x2 ∈ R} .
e) Não, porque T é sobrejectiva.
f) Não, porque T não injectiva.
35) a) ∅ é base do NucT . T é injectiva.
b) {(1, 2, 0) , (2, 1, 0) , (2, 4, 2)} é base de ImT. T é sobrejectiva.
c) A única solução da equação é (1, 1, 0).
d) e e) Como T é bijectiva a equação T (x1, x2, x3) = (a, b, c) é possível e determinada para
qualquer (a, b, c) ∈ R3.
36) a) {(1, 2)} é base de NucT, logo T não é injectiva.
b) {(3, 2)} é uma base de ImT , pelo que T não é sobrejectiva.
c) O conjunto das soluções é {(0,−1)}+NucT.
d) Sim. Por exemplo, T (x1, x2) = (1, 0) é impossível.
e) Não.
37) a) {(1, 1, 2)} é base de NucT, logo T não é injectiva.
b) {(8, 6, 2) , (−2, 0, 0)} é uma base de ImT, pelo que T não é sobrejectiva.
d) Sim.
38) a)
[
1 1
1 2
]
. b) T−1 (y1, y2) = (2y1 − y2,−y1 + y2) .
c) Como T é bijectiva, a única solução da equação é o vector T−1(1, 1) = (1, 0) .
39) a) T−1(y1, y2, y3) = (−y1 + 2y2, y2, y3) . b) A única solução da equação é (3, 2, 1) .
40) T−1 (1 + t+ 2t2) = 2t2 + 10t− 11.
41) b)
[
1 1/2 ... 1/ (n+ 1)
]
.
c) NucI =
{
a0 + a1t+ ...+ ant
n : a0 +
a1
2
+ ...+ an
n+1
= 0
}
, dimNucI = n. d) Não.
42) a) Na base
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 0
0 1
]
,
[
0 1
1 0
]}
,
a matriz que representa T é

 0 0 20 0 2
1 1 0

 .
b)
{[−1 0
0 1
]}
é base de NucT. c) O conjunto das soluções é
{[
1− a 0
0 a
]
: a ∈ R
}
.
17