1lista exercicios

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA
DEPARTAMENTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
ENGENHARIA DE ALIMENTOS
EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS I - E EXA 706
I Lista de Exerc´ıcios
1. Determine a ordem da equac¸a˜o diferencial e diga se ela e´ linear ou na˜o-linear.
1. t2
d2y
dt2
+ t
dy
dt
+ 2y = sent
2. (1 + y2)
d2y
dt2
+ t
dy
dt
+ y = et
3.
d4y
dt4
+
d3y
dt3
+
d2y
dt2
dy
dt
+ y = 1
4. t2
dy
dt
+ ty2y = 0
5.
d2y
dt2
+ sen(t+ y) = sent
6.
d3y
dt3
+ t
dy
dt
+ (cos2t)y = t3
2. Verifique que func¸a˜o (ou func¸o˜es) dada(s) e´ (sa˜o) soluc¸a˜o (soluc¸o˜es) da equac¸a˜o
diferencial.
1. y′′ − y = 0; y1(t) = et, y2(t) = cosht
2. y′′2y′ − 3y = 0; y1(t) = e−3t, y2(t) = et
3. ty′ − y = t2; y(t) = 3t+ t2
4. y(4) + 4y′′′ + 3y = t; y1(t) = t/3, y2(t) = e
−t + t/3
5. 2ty′′ + 3ty′ − y = 0, t > 0; y1(t) = t1/2, y2(t) = t−1
6. t2y′′ + 5ty′ + 4y = 0, t > 0; y1(t) = t
−2, y2(t) = t
−2lnt
7. y′′ + y = sect, 0 < t < pi; y = (cost)lncost+ tsent
8. y′ − 2ty = 1; y = et2
∫ t
0 e
−s2ds+ et
2
3. Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial dada e use-a para determinar o
comportamento das soluc¸o˜es quando t→∞.
1. y′ + 3y = t+ e−2t
2. y′ − 2y = t2e2t
3. y′ + y = te−t + 1
4. y′ + (1/t)y = 3cos2t, t > 0
5. ty′ + 2y = sent, t > 0
6. (1 + t2)y′ + 4ty = (1 + t2)−2
1
4. Encontre a soluc¸a˜o do problema de valor inicial dado.
1. y′ − y = 2te2t y(0) = 1
2. y′ + 2y = te−2t y(1) = 0
3. ty′ + 2y = t2 − t+ 1 y(1) = 1/2 t > 0
4. y′ + (2/t)y = (cost)/t, y(pi) = 0 t > 0
5. t3y′ + 4t2y = e−t, y(−1) = 0
6. ty′ + (t+ 1)y = t y(ln2) = 1
5. Considere o problema de valor inicial
y′ +
2
3
y = 1− 1
2
t, y(0) = y0.
Encontre o valor de y0 para qual a soluc¸a˜o encosta no eixo dos t, mas na˜o o atravessa.
6. Resolva a equac¸a˜o diferencial dada.
1. y′ = x2/y
2. y′ + y2senx = 0
3. y′ = cos2xcos2y
4.
dy
dx
=
x− e−x
y + ey
5. y′ =
x2
y(1 + x3)
6. xy′ = 91− y2)1/2
7.
dy
dx
=
x2
1 + y2
(i) Encontre a soluc¸a˜o do problema de valor inicial em forma expl´ıcita.
(ii) Desenhe o gra´fico da soluc¸a˜o.
(iii) Determine, pelo menos aproximadamente, o intervalo no qual a soluc¸a˜o esta´
definida.
1. y′ = (1− 2x)y2 y(0) = −1/6
2. y′ = (1− 2x)/y y(1) = −2
3. xdx+ ye−xdy = 0 y(0) = 1
4. dr/dθ = r2/θ, r(1) = 2
5. y′ = x(x2 + 1)/4y3, y(0) = −1/
√
2
6. sen2xdx+ cos3ydy = 0 y(pi/2) = pi/3
7. y2(1− x2)1/2dy = arcsenxdx, y(0) = 0
7. Resolva a equac¸a˜o
dy
dx
=
ay + b
cy + d
,
onde a, b, c e d sa˜o constantes.
2
8. Mostre que a equac¸a˜o dada e´ homogeˆnea e em seguida resolva.
1.
dy
dx
=
x2 + xy + y2
x2
2.
dy
dx
=
x3 + 3y2
2xy
3.
dy
dx
=
4y − 3x
2x− y
4.
dy
dx
= −4x+ 3y
2x+ y
5.
dy
dx
=
x+ 3y
x− y
6. (x2 + 3xy + y2)dx− x2dy = 0
Divirtam-se, semana que vem tem mais!
3