Aula 8_limites

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AULA 8 
 
LIMITES LATERAIS PELA DEFINIÇÃO 
 
 
Exemplo: Use a definição para demonstrar que 
0lim
0


x
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
PROPOSIÇÃO – UNICIDADE DO LIMITE - Se 
1)(lim Lxf
ax

 
e 
2)(lim Lxf
ax


, então L1 = L2. 
 
DEMONSTRAÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPOSIÇÃO – TEOREMA DO SANDUICHE – Se f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x em um intervalo 
aberto contendo a, exceto possivelmente em a, e se 
)(lim)(lim xgLxf
axax 

, então 
Lxh
ax


)(lim
. 
DEMONSTRAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
DEMOSNTAR PROPRIEDADES DO LIMITES USANDO A DEFINIÇÃO 
 
Limite de uma função constante: ccax lim 
 
DEMONSTRAÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se c ϵ R e Lxfax  )(lim então Lcxfcxfc axax .)(lim.)](.[lim   
DEMONSTRAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Propriedade da soma: 
)(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
axaxax 

, ou seja, se 
Lxf
ax


)(lim 
e 
Mxg
ax


)(lim
existem, então 
MLxgxf
ax


)]()([lim 
DEMONSTRAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO (para entregar!!!!) 
 
Prove as seguintes propriedades: 
a) )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf axaxax   
 
b) Se f(x) = a0 + a1x + a2x² + ... + anx
n, an ≠ 0, é uma função polinomial, então )(lim)(lim
n
n
xx
xaxf

