Lista de Exercicios de Taxas Relacionadas

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Lista 2: Taxas de Variac¸a˜o
Daniel Niemeyer
Questa˜o 1: Escreva a equac¸a˜o da reta que passa pelos seguintes pontos, colocando na forma: y = mx+b:
a) (−1, 2) e (0, 3)
b) (4, 2) e (7, 3.5)
c) (5, 0) e (3, 8)
d) (3,−2) e (−5, 4)
Questa˜o 2: Para as func¸o˜es abaixo, encontre as taxas de variac¸a˜o me´dia nos intervalos indicados.
a) f(x) = x2 + 4, no intervalo [−1, 3].
b) f(x) = x3 − x + 3, no intervalo [0, 5].
c) f(x) =
√
x + 1, no intervalo [3, 8].
d) f(x) =
1
x
, no intervalo [1, 2].
Questa˜o 3: Para cada func¸a˜o abaixo, calcule a inclinac¸a˜o da reta secante entre os pontos pedidos.
a) f(x) = x2 − x
(i) Entre os pontos x = 4 e x = 5.
(ii) Entre os pontos x = 4 e x = 4.5.
(iii) Entre os pontos x = 4 e x = 4.1.
(iv) Entre os pontos x = 4 e x = 4.01.
b) f(x) =
√
x
(i) Entre os pontos x = 4 e x = 5.
(ii) Entre os pontos x = 4 e x = 4.5.
(iii) Entre os pontos x = 4 e x = 4.1.
(iv) Entre os pontos x = 4 e x = 4.01.
c) Estime qual deve ser a inclinac¸a˜o da reta tangente para cada uma das func¸o˜es acima
no ponto x = 4.
Questa˜o 4: Uma estimativa anual da populac¸a˜o da Be´lgica, em milhares de habitantes, e´ mostrada na
tabela a seguir.
Ano 1992 1994 1996 1998 2000
Populac¸a˜o 10036 10109 10152 10175 10186
a) Encontre a taxa me´dia do crescimento
(i) de 1992 a 1996.
(ii) de 1994 a 1996.
(iii) de 1996 a 1998.
(iv) de 1992 a 2000.
b) Estime a taxa instantaˆnea de crescimento em 1996 tomando a me´dia de duas taxas
me´dias de variac¸a˜o.
Questa˜o 5: O custo (em reais) de produzir x unidades de uma certa mercadoria e´ C(x) = 5000+10x+
0, 05x2.
a) Encontre a taxa me´dia da variac¸a˜o de C em relac¸a˜o a` x, quando os n´ıveis de produc¸a˜o
estiverem variando
(i) de x = 100 a x = 105.
(ii) de x = 100 a x = 101.
(iii) de x = 100 a x = 100, 1.
b) Baseado no item anterior, estime qual deve ser a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de C
em relac¸a˜o a` x, quando x = 100 unidades.
c) Calcule a taxa instantaˆnea e compare com o resultado do item b.
Questa˜o 6: Um objeto move-se em linha reta de maneira que sua velocidade varia com o tempo obe-
decendo a seguinte relac¸a˜o: v(t) = 0, 3t3− t2 + 2, onde as grandezas esta˜o todas no sistema
internacional.
a) Qual a acelerac¸a˜o me´dia nos 5 primeiros segundos de movimento?
b) Estime qual a acelerac¸a˜o instantaˆnea no primeiro segundo de movimento.
GABARITO :
Questa˜o 1: a) y = x + 3
b) y =
1
2
x
c) y = −4x + 20
d) y = −3
4
x +
1
4
Questa˜o 2: a) 2
b) 24
c)
1
5
d) −1
2
Questa˜o 3: a) (i) 8
(ii) 7, 5
(iii) 7, 1
(iv) 7, 01
b) (i) Aproximadamente 0, 236
(ii) Aproximadamente 0, 243
(iii) Aproximadamente 0, 248
(iv) Aproximadamente 0, 250
c) Para a func¸a˜o x2 − x, a inclinac¸a˜o da reta tangente deve ser 7, enquanto que para a
func¸a˜o
√
x, a inclinac¸a˜o deve ser 0, 25 ou
1
4
.
Questa˜o 4: a) (i) 29 mil habitantes/ano.
(ii) 21, 5 mil habitantes/ano.
(iii) 11, 5 mil habitantes/ano.
(iv) 18, 75 mil habitantes/ano.
b) Aproximadamente 16, 5 mil habitantes/ano.
Questa˜o 5: a) (i)
∆C
∆x
= 20, 25 reais/un.
(ii)
∆C
∆x
= 20, 05 reais/un.
(iii)
∆C
∆x
= 20, 005 reais/un.
b) Conforme x se aproxima de 100 unidades, observa-se que o valor do custo por unidade
aproxima-se de 20, 00 reais/un.
c) C ′(100) = 20, 00 reais/un.
Questa˜o 6: a) 2, 5m/s2
b) −0.1m/s2