Capítulo 2 Treliças Planas

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TRELIÇAS PLANAS 
 
Fonte:https://upload.wikimedia. org/wikipedia/commons/c/c5/RRTrussBridgeSideView.jpg 
 
 Conjunto de elementos de construção (barras redondas, chatas, cantoneiras, I, U, 
etc.), interligados entre si, sob forma geométrica triangular, através de pinos, soldas, 
rebites, parafusos, que visam formar uma estrutura rígida, com a finalidade de resistir 
a esforços normais apenas. 
 
 A denominação treliça plana deve-se ao fato de todos os elementos do conjunto 
pertencerem a um único plano. 
 
 A sua utilização na prática pode ser observada em pontes, viadutos, coberturas, 
guindastes, torres, etc. 
 
 
 
TRELIÇA PLANA 
 A treliça ideal é um sistema reticulado indeformável cujas barras possuem todas as 
suas extremidades rotuladas e cujas cargas estão aplicadas nestas rótulas ou nós. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 Imaginam-se as barras rotuladas em suas extremidades: a rotação relativa nos nós é 
livre (figura (a)); 
 
 Não é frequente, no entanto, a união destas barras nesta forma, sendo mais comum 
ligar as barras nos nós por meio de chapas auxiliares, em que se rebitam, soldam ou 
parafusam as barras concorrentes (figura (b)). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Estudos realizados demonstram que, desde que todas as barras tenham seus eixos no 
mesmo plano e que estes eixos se encontrem em um único ponto em cada nó, os 
resultados reais diferem muito pouco dos resultados obtidos pela teoria a ser 
apresentada, sendo ela válida do ponto de vista prático. 
(a) (b) 
 ESFORÇOS INTERNOS 
 
 As barras de uma treliça por terem suas extremidades rotuladas (rótulas não absorvem 
momento), só existem esforços na direção do eixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
R 
DIMENSIONAMENTO DE TRELIÇAS PLANAS: 
 
 
Dois métodos de dimensionamento podem ser utilizados para as treliças: 
 
 1) Método dos Nós ou Método de Cremona. 
 
 2) Método de Ritter ou Método das Seções (analíticos e usados com maior 
frequência) 
1. Método dos Nós ou Método Cremona. 
 
 O método consiste em verificar o equilíbrio de cada nó da treliça, de acordo com os 
seguintes passos: 
 
i. Determinar as reações nos apoios; 
 
ii. Identificar o tipo de solicitação em cada barra: tracionada ou comprimida; 
 
iii. Verificar do equilíbrio em cada nó da treliça, iniciando sempre os cálculos 
pelo nó que tenha o menor número de incógnitas. 
 EXEMPLO 1 
 
 Determinar as forças normais nas barras da treliça mostrada na figura. Dados: 
P = 100 kN 
a = 2,0 m 
 = 450 
A B 
 i) Determinar as reações nos apoios. Estas reações são iguais, pois a carga P está 
aplicada simetricamente aos apoios: 
 
 
 
 
 
Solução: 
 𝐅𝐱 = 0 
 𝐅𝐲 = 0 
𝐀𝐱 = 0 
𝐀𝐲 = 𝐁𝐲 =
𝐏
2 
 
A 
P 
C 
B 
  
1 
3 
2 4 
5 
a a 
By 
Ax 
Ay 
D 
 𝐌𝐀 = 𝟎 𝐁𝐲 
 2 + 2 − 𝟏𝟎𝟎 . 2 = 0 
 ii) Para calcular os esforços nas barras da treliça, vamos começar pelo nó A que, do 
mesmo modo que o nó B, é o que possui menor número de incógnitas: 
 𝐅𝐲 = 0 
 𝐅𝐱 = 0 
Esforços no nó A: 
A 
B 
F1 compressão 
F2 tração 
y 
x 
Nó A 
F1 
F2 450 
Ay =50 kN 
𝐅𝟏 cos 45
0 + 𝐅𝟐 = 0 ∴ −70,7 cos 45
0 + 𝐅𝟐 = 0 
𝐅𝟐 = 50 kN 
50 + 𝐅𝟏cos 45
0 = 0 ∴ 𝐅𝟏 = −70,7 kN 
 Esforços no nó D: 
 𝐅𝐲 = 0 
 𝐅𝐱 = 0 
𝐅𝟒 = 𝐅𝟐 ∴ 𝐅𝟒 = 50 kN 
𝐅𝟑 = 100 kN 
A 
B 
y 
x 
Nó A 
F1= - 70,7 
450 
Ay =50 
y 
x 
Nó D 
F2= 50 F4 
P =100 
F3 
F4 tração 
F3 tração 
F2= 50 
 Esforços no nó B: 
 𝐅𝐲 = 0 
 𝐅𝐱 = 0 
A 
B A 
B 
ou 
450 
y 
x 
Nó B F4 = 50 
F5 
By=50 
y 
x 
Nó D 
F2= 50 
P =100 
F3= 100 
F4= 50 
−50 − 𝐅𝟓 cos 45
0 = 0 ∴ 𝐅𝟓 = −70,7 kN 
F5 compressão 
QUADRO RESUMO: 
 
 
 
 
 
 
 
BARRA ESFORÇO 
(kN) 
TRAÇÃO / 
COMPRESSÃO 
1 -70,7 compressão 
2 50 tração 
3 100 tração 
4 50 tração 
5 -70,7 compressão 
A 
P 
C 
B 
1 
3 
2 4 
5 
a a 
D 50 
1
0
0
 
50 
EXEMPLO 2 
 
Determinar as forças normais nas barras da treliça mostrada na figura. Dados: 
20 kN 
6,0 kN 
1
,5
 m
 
2,0 m 2,0 m 
1 
2 
3 
4 
5 
A 
D 
C 
B 
  
i) Determinar as reações nos apoios: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ângulo : 
 
 
 
 
Solução: 
tg α =
1,5
2
 ∴ α = arctg 
1,5
2
 ∴ α = 36,870 
 
 
 
 
 
 𝐅𝐱 = 0 
 𝐅𝐲 = 0 
𝐇𝐀 = 6 kN 
𝐕𝐀 + 𝐕𝐁 = 𝟐𝟎 
 𝐌𝐀 = 𝟎 6 . 1,5 + 20 . 2 − 4 𝐕𝐁 = 0 
𝐕𝐁 = 12,25 kN 𝐕𝐀 = 7,75 kN 
 ii) Esforços: 
 
 Esforços no nó A: 
20 kN 
6,0 kN 
1
,5
 m
 
2,0 m 2,0 m 
1 
2 
3 
4 
5 
A 
D 
C 
B 
36,870 36,870 
y 
x 
Nó A 
F1 
F2 
VA =7,75 
HA =6 
36,870 
 𝐅𝐲 = 0 
 𝐅𝐱 = 0 
F1 compressão 
𝐅𝟏 cos 36,87
0 + 𝐅𝟐 − 6 = 0 ∴ 𝐅𝟏 cos 36,87
0 + 𝐅𝟐 = 6 
𝐅𝟏 sen 36,87
0 + 𝐕𝐀 = 0 ∴ 𝐅𝟏 sen 36,87
0 + 7,75 = 0 
𝐅𝟏 = −12,92 kN 
𝐅𝟐 = 6 − 𝐅𝟏 cos 36,87
0
 
𝐅𝟐 = 6 − −12,92 cos 36,87
0 ∴ 𝐅𝟐 = 16,33 kN 
F2 tração 
 Esforços no nó D: 
 
 
 
20 kN 
6,0 kN 
1
,5
 m
 
2,0 m 2,0 m 
1 
2 
3 
4 
5 
A 
D 
C 
B 
36,870 36,870 
 𝐅𝐲 = 0 
 𝐅𝐱 = 0 
F3 tração F4 tração 
y 
x 
Nó A 
VA =7,75 
HA =6 
36,870 
F1= -12,92 
F2= 16,33 
y 
x 
Nó D 
F2= 16,33 F4 
P =20 
F3 
−𝐅𝟐 + 𝐅𝟒 = 0 ∴ −16,33 + 𝐅𝟒 = 0 ∴ 𝐅𝟒 = 16,33 kN 
𝐅𝟑 − 20 = 0 ∴ 𝐅𝟑 = 20 kN 
 Esforços no nó B: 
 
 
 
20 kN 
6,0 kN 
1
,5
 m
 
2,0 m 2,0 m 
1 
2 
3 
4 
5 
A 
D 
C 
B 
36,870 36,870 
 𝐅𝐲 = 0 
 𝐅𝐱 = 0 
F5 compressão 
y 
x 
Nó B 
F5 
VB=12,25 
36,870 
y 
x 
Nó D 
F2= 16,33 
P =20 
F3= 20 
F4= 16,33 F4= 16,33 
−𝐅𝟒 − 𝐅 𝟓 cos 36,87
0 = 0 ∴ −16,33 − 𝐅 𝟓 cos 36,87
0 = 0 
𝐅𝟓 = −20,41 kN 
12,25 + 𝐅 𝟓 sen 36,87
0 = 0 
𝐅 𝟓 = −20,41 kN 
ou 
QUADRO RESUMO: 
 
 
 
 
 
 
 
BARRA ESFORÇO 
(kN) 
TRAÇÃO / 
COMPRESSÃO 
1 -12,92 compressão 
2 16,33 tração 
3 20 tração 
4 16,33 tração 
5 -20,41 compressão 
16,33 
2
0
 
16,33 
20 kN 
6,0 kN 
1
,5
 m
 
2,0 m 2,0 m 
1 
2 
3 
4 
5 
A 
D 
C 
B 
EXEMPLO 3 
 
Determinar as forças normais nas barras da treliça mostrada na figura. Dados: 
1 2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
i) Determinar as reações nos apoios: 
 
 
 
 
Solução: 
 𝐅𝐱 = 0 
 𝐅𝐲 = 0 
𝟐𝟎 − 𝐀𝐱 = 0 ∴ 𝐀𝐱 = 20 kN 
𝐀𝐲 + 𝐁𝐲 = 𝟐𝟎 
O sentido de Ay é contrário ao arbitrado 
A 
D C 
B 
E 
F 
3,0 m 
3,0 m 
3,0 m 
20 kN 
20 kN 
Ay Ax By 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
(𝐁𝐲 . 3) − 𝟐𝟎 . 3 − 20 . 6 = 0 ∴ 𝐁𝐲 = 60 kN 
𝐀𝐲 + 60 = 20 ∴ 𝐀𝐲 = −40 kN 
 𝐌𝐀 = 𝟎 
ii) Para calcular os esforços nas barras da treliça, vamos começar pelo nó B que, do 
mesmo modo que o nó E, é o que possui menor número de incógnitas: 
 
 Esforços no nó B: barras 3, 4 
 
 
 𝐅𝐱 = 0 
 𝐅𝐲 = 0 
A 
D C 
B 
E 
F 
3,0 m 
3,0 m 
3,0 m 
20 kN 
20 kN 
Ay Ax By 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
78 
9 
y 
x 
Nó B 
F3 
F4 
By =60 
𝐁𝐲 + 𝐅𝟒 = 0 ∴ 𝐅𝟒 = −60 kN 
F4 compressão 
Esforços no nó A: barras 1, 2, 3 
 
 
 𝐅𝐱 = 0 
 𝐅𝐲 = 0 
A 
D C 
B 
E 
F 
3,0 m 
3,0 m 
3,0 m 
20 kN 
20 kN 
Ay Ax By 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
−𝐀𝐱 + 𝐅𝟑 + 𝐅𝟐 cos 45
0 = 0 ∴ −20 + 0 + 𝐅𝟐 cos 45
0 = 0 
𝐅𝟐 = 28,28 kN 
𝐅𝟏 = 20 kN 
450 
y 
x 
Nó A 
F3=0 
F1 
F2 
A y= - 40 
Ax=20 F1 tração 
F2 tração 
Esforços no nó D: barras 2, 4, 7, 8 
 
 
 𝐅𝐱 = 0 
 𝐅𝐲 = 0 
A 
D C 
B 
E 
F 
3,0 m 
3,0 m 
3,0 m 
20 kN 
20 kN 
Ay Ax By 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
𝐅𝟖 = −40 kN 
450 
y 
x 
Nó A 
F3=0 
F1 
A y= - 40 
Ax=20 
F2= 28,28 F4= - 60 
y 
x 
Nó B 
F4 
By =60 
F3= 0 
F4= - 60 
y 
x 
Nó D 
F7 
F8 
F2 = 28,28 450 
−(−60) + 𝐅𝟖 − 𝐅𝟐 cos 45
0 = 0 ∴ 60 + 𝐅𝟖 – 28,28 cos 45
0 = 0 
F8 compressão 
F7 compressão 
−𝐅𝟕 − 𝐅𝟐 sen 45
0 = 0 ∴ −𝐅𝟕 − 28,28 sen 45
0 = 0 ∴ 𝐅𝟕 = −20 kN 
Esforços no nó F: 
 
 
 𝐅𝐱 = 0 
 𝐅𝐲 = 0 
A 
D C 
B 
E 
F 
3,0 m 
3,0 m 
3,0 m 
20 kN 
20 kN 
Ay Ax By 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
−𝐅𝟗 − 𝐅𝟔 cos 45
0 = 0 ∴ 𝐅𝟗 = −𝐅𝟔 cos 45
0
 
−𝐅𝟖 − 20 − 𝐅𝟔 cos 45
0 = 0 ∴ − −40 − 20 − 𝐅𝟔 cos 45
0 = 0 
𝐅𝟔 = 28,28 kN 
𝐅𝟗 = −28,28 cos 45
0 ∴ 𝐅𝟗 = −20 kN 
450 
y 
x 
Nó F 
F8= - 40 
F6 
20 
F9 
F4= - 60 
y 
x 
Nó D 
F2 = 28,28 
450 
F8= - 40 
F7= - 20 
F9 compressão 
F6 tração 
Esforços no nó E: 
 
 
 𝐅𝐲 = 0 
A 
D C 
B 
E 
F 
3,0 m 
3,0 m 
3,0 m 
20 kN 
20 kN 
Ay Ax By 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
y 
x 
Nó E 
F5 
20 F9= - 20 
𝐅𝟓 = 0 
BARRA ESFORÇO 
(kN) 
1 20 tração 
2 28,28 tração 
3 0 
4 - 60 compressão 
5 0 
6 28,28 tração 
7 - 20 compressão 
8 - 40 compressão 
9 - 20 compressão 
QUADRO RESUMO: 
3,0 m 
3,0 m 
4
0
 
1 2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
- 20 
2
0
 
- 
6
0
 
- 20 
0 
6
0
 20 
EXERCÍCIO 1 
 
 Determinar as forças normais nas barras da treliça dada. 
Respostas: 
 
2. Método das Seções ou Método de Ritter 
 
 Deve-se proceder da seguinte forma: 
 
 (a) Corta-se a treliça em duas partes; 
 
 (b) Adota-se uma das partes para verificar o equilíbrio. Ao cortar a treliça deve-se 
observar que o corte a intercepte de tal forma, que se apresentem no máximo 3 
incógnitas (para que haja solução, por meio das equações de equilíbrio). Entrarão 
nos cálculos, somente as barras da treliça que forem cortadas, as forças ativas e 
reativas da parte adotada para a verificação de equilíbrio. 
 
 (c) Repetir o procedimento, até que todas as barras da treliça estejam calculadas. 
 
 Neste método, pode-se considerar inicialmente todas as barras tracionadas, ou seja, 
barras que “puxam” os nós; as barras que apresentarem sinal negativo nos cálculos, 
estarão comprimidas. 
 EXEMPLO 1 
 
 Determinar as forças normais nas barras da treliça mostrada na figura. 
P = 100 kN 
 Determinação de h: 
 
 
 
 i) Reações de apoio: tendo em vista a simetria do carregamento: 
 
 
 
 
 
Solução: 
tg 530 =
h
1,0
 ∴ h = tg 530 ∴ h = 1,33 m 
𝐕𝐀 = 𝐕𝐁 =
P
2
 ∴ 𝐕𝐀 = 𝐕𝐁 = 50 kN 
(b) Cálculo dos esforços nas barras 
 
 Para determinar o esforço normal nas barras 1 e 2, aplica-se o corte AA na treliça e 
adota-se a parte à esquerda do corte para verificar o equilíbrio: 
 
A 
A 
B 
B 
 𝐅𝐲 = 0 
 𝐅𝐱 = 0 
A 
A 
𝐅𝟏 cos 53
0 + 𝐅𝟐 = 0 ∴ 𝐅𝟐 = −𝐅𝟏 cos 53
0
 
𝐅𝟏 sen 53
0 + 𝐕𝐀 = 0 ∴ 𝐅𝟏 sen 53
0 + 50 = 0 
𝐅𝟏 = −62,61 kN 
𝐅𝟐 = − −62,61 cos 53
0
 
𝐅𝟐 = 37,68 kN 
F1 compressão F2 tração 
Por meio do corte BB, determinam-se as forças nas barras 3 e 4: 
 𝐅𝐲 = 0 
 𝐅𝐱 = 0 
F4 compressão 
𝐅𝟒 + 𝐅𝟑 cos 53
0 + 𝐅𝟐 = 0 ∴ 𝐅𝟒 + 𝐅𝟑 cos 53
0 = −37,68 
F4 
F3 
F2=37,68 
VA=50 
−𝐅𝟑 sen 53
0 + 𝐕𝐀 = 0 ∴ −𝐅𝟑 sen 53
0 + 50 = 0 
𝐅𝟑 = 62,61 kN 
𝐅𝟒 + 62,61 cos 53
0 ∴ 𝐅𝟒 = −75,6 kN 
F3 tração 
Como a treliça é simétrica, conclui-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
𝐅𝟔 = 𝐅𝟐 = 37,68 kN 
𝐅𝟕 = 𝐅𝟏 = −62,61 kN 
𝐅𝟓 = 𝐅𝟑 = 62,61 kN 
- 62,61 - 62,61 62,61 
62,61 
37,68 37,68 
- 75,6 
 EXERCÍCIO 1: 
 
 Determinar as forças normais nas barras da treliça mostrada na figura pelo Método 
de Cremona. 
1
8
 k
N
 
3
6
 k
N
 
2,0 m 
2
,0
 m
 
2,0 m 2,0 m 
 Sugestão de seções: