Lista de Exercícios 1ªUnidade Resistencia

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Centro de Tecnologia 
Departamento de Engenharia Civil 
Disciplina: Resistência dos Materiais I 
 
 
TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES ENTRE OS LIMITES ELÁSTICOS 
 
Os exercícios que se seguem foram extraídos ou baseados em exercícios dos livros: Mechanics of 
Materials – S. P. Timoshenko & James M. Gere, Gere, Resistência dos Materiais – Ferdinand P. Beer 
& E. Russel Johnston Jr., Elements of Mechanics of Materials – Gerner A. Olsen , Engineering 
Mechanics of Materials – B. B. Muvdi & J. W. Mcabb 
 
1. Uma barra prismática de seção transversal retangular (25,4mm x 50,8mm) e comprimento de 
3,70m é submetida a uma carga axial de tração de 90 kN. A barra sofre um alongamento de 
1,22mm. Determine a tensão, a deformação específica longitudinal e, considerando a validade da 
Lei de Hooke (linearidade física do material), o módulo de elasticidade longitudinal E do material. 
2. Um tubo de aço deve suportar uma carga axial, centrada, de compressão, de 1250kN, com um 
coeficiente de segurança contra o escoamento igual a 1,8. Sabendo que a tensão de escoamento 
do aço utilizado é 280MPa e que a espessura da parede do tubo deve ser 
8
1
 do diâmetro externo, 
calcular o diâmetro externo mínimo necessário 
3. As barras AB e BC da treliça representada na figura a seguir suportam uma carga vertical P. 
Ambas as barras são feitas do mesmo material e o comprimento l da barra horizontal BC é 
mantido constante. O ângulo  entre as barras pode variar movendo-se o ponto A verticalmente e 
mudando o comprimento da barra AB de acordo com a nova posição de A. Considerando que as 
tensões admissíveis de tração e compressão do material são iguais, e que as barras encontrem-
se submetidas a este valor de tensão, encontre o ângulo  que resulte no peso total mínimo para 
a estrutura. 
P
l
A
B
C 
 
 
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4. Um peso P é suportado por um braço de comprimento L que gira sobre um plano horizontal 
sem atrito em torno de um eixo vertical, conforme figura abaixo. A velocidade angular do peso é 
constante, e igual a . Desprezando o peso do braço, estabelecer a fórmula para o cálculo da área da 
seção transversal do braço, considerando uma tensão admissível 
ADM
 (utilizar a aceleração da 
gravidade g como um valor conhecido). 
L L
P

 
 
5. Refazer o exercício anterior considerando o peso do braço sendo o peso específico do 
material do braço = . 
6. A treliça a seguir é de nós articulados e suporta os carregamentos indicados. Todas as barras 
são de aço, com limite de escoamento E = 240MPa. O coeficiente de segurança para as barras é de 
2,0. Determinar a área da seção reta das barras AB e CD. 
A
C
75 kN
150 kN
B
D E
1,2 m 1,2 m
0,9 m
 
 
7. Um arame de aço de 60m de comprimento não deve alongar-se mais do que 48mm, quando é 
aplicada uma carga axial de tração de 6kN. Sendo E = 200GPa, determinar: (a) o menor diâmetro 
que pode ser especificado para o arame; (b) o correspondente valor da tensão normal. 
8. Um arame de 80m de comprimento e diâmetro de 5mm é feito de um aço com E = 200GPa e 
a tensão última é de 400MPa. Se o coeficiente de segurança desejado é 3,2, pede-se: (a) a maior 
carga axial de tração admissível no arame; (b) o correspondente alongamento no arame. 
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9. Num arame de alumínio de 4mm de diâmetro, é observado um alongamento de 25mm, 
quando a carga axial de tração é de 400N. Sabendo-se que E = 70GPa e que a tensão última no 
alumínio é de 110MPa, pede-se determinar: (a) o comprimento do arame; (b) o coeficiente de 
segurança. 
10. Uma barra cilíndrica de aço de E = 210 GPa , com 6m de comprimento, deve suportar uma 
carga axial de tração de 10 kN. Sabendo que a tensão admissível é de 120 MPa e que a variação 
máxima no comprimento permitida é de 2,5mm, calcular o diâmetro mínimo da barra. 
11. Uma barra de aço, uniforme, colocada sobre um plano horizontal, mede 5m. Calcular seu 
alongamento quando suspensa verticalmente por uma de suas extremidades. Dados: módulo de 
elasticidade longitudinal E = 210 GPa e massa específica  = 8000 kg/m3. 
12. Duas barras cilíndricas maciças são ligadas em B e carregadas como ilustrado na figura a 
seguir. A barra AB é de aço (E = 200 GPa) e a barra BC é de latão (E = 105 GPa). Desprezando o 
peso próprio, determinar: 
a) O deslocamento do ponto A para P = 180 kN; 
b) O deslocamento do ponto B para P = 180 kN; 
c) O valor da carga P para que o alongamento total seja de 0,5mm. 
diâmetro = 7,5 cm
diâmetro = 5,0 cm
A
130 kN
B
C
100 cm
76 cm
P
130 kN
 
 
13. Duas barras cilíndricas maciças são ligadas em B e carregadas como mostrado na figura a 
seguir. A barra AB é de aço (E = 200 GPa) e a barra BC é de latão (E = 105 GPa). Desprezando o 
peso próprio, determinar: 
a) a variação de comprimento total da barra composta ABC para P = 30 kN; 
b) o deslocamento no ponto B para P = 30 kN; 
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c) sabendo que a tensão de escoamento do aço é E = 240MPa e a do latão é E = 140MPa, 
determine o coeficiente de segurança da peça para P = 30 kN; 
d) o valor da carga P para que a variação de comprimento total seja 
mmlTOT 2,0
. 
diâmetro = 3,0 cm
diâmetro = 5,0 cm
P
40 kN
25 cm
30 cm
A
B
C
 
 
 
14. Duas barras cilíndricas maciças AC e CD, ambas da mesma liga de alumínio (E = 70GPa), 
são soldadas juntas em C e submetidas ao carregamento indicado na figura. Determinar, 
desprezando o peso próprio: 
a) a variação de comprimento total da barra composta ACD; 
b) o deslocamento do ponto C. 
40 kN
diâmetro = 6,0 cm
30 cm
B
130 kN
A
90 kN
C
38 cm
20 cm
D
diâmetro = 4,5 cm
 
 
15. Uma barra de seção transversal retangular variável de espessura constante (t) e comprimento 
L encontra-se submetida a uma carga axial P como ilustra a figura a seguir. A largura da barra varia 
linearmente de b = b1 no apoio, até b = b2 na extremidade em que se encontra aplicada a carga P. 
Deduza a expressão para o alongamento total 
TOTl
 da barra causado pela ação da carga P. 
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P
L
b1
b2
 
 
16. Uma barra de 2,4 m é suspensa como indicado na figura a seguir. Os pesos por unidade de 
comprimento de cada uma das partes são pA = 30 N/m, pB = 45 N/m e pC = 60 N/m. Desenhe os 
diagramas de corpo livre para determinar as forças axiais internas em cada trecho da barra. Plote os 
gráficos do esforço normal e do deslocamento ao longo da barra. Determine o alongamento total da 
barra. Usar E e A como dados do problema., 
60 cm
90 cm
90 cm
A
B
C
 
 
 
17. O conjunto abaixo consiste em três hastes de titânio (Ti-6A1-4V) e uma barra rígida AC. Se for 
aplicada uma força de 27 kN em F, qual será o ângulo formado pela inclinação da barra AC, em 
relação a sua posição original, em radianos? Dados: ET = 114 GPa, AAB = 14,5 cm
2 e ACD = 6,45 cm
2. 
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27 kN
30 cm
30 cm
60 cm
120 cm
180 cm
ACD = 6,45 cm2
AAB = 14,50cm2
A
B
CD
E
F
 
 
 
18. Uma coluna de concreto armado, de seção quadrada, suporta uma carga axial de compressão 
P. Calcular a fração da carga suportada pelo concreto sabendo que a área da seção transversal das 
barras de aço da armação, é 1/10 da do concreto, e que o módulo de elasticidade longitudinal do aço 
é 10 vezes o do concreto 
19. Uma coluna de concreto de 1,2m de altura é reforçada por quatro barras de aço, cada uma 
com 20mm de diâmetro. Sabendo-se que o módulo de elasticidade longitudinal do aço é Ea = 200GPa 
e o do concreto é Ec = 25GPa, determinar as tensões normais no concreto e no aço quando uma 
carga axial centrada de 670 kN é aplicada na coluna. 
1,2 m
20
 c
m20 cm
670 kN
 
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20. Uma carga é suportada pelos quatro arames de aço inoxidável 302 (E=190GPa), acoplados 
aos elementos rígidos AB e CD. Determinar o ângulo de inclinação de cada elemento depois da 
aplicação da carga de 2,25kN. Inicialmente os elementos estavam na horizontal, e cada arame tem 
0,16 cm² de área de seção transversal. 
 
30 cm
A
60 cm
54 cm
90 cm
150 cm
D H C
2,25 kN
90 cm 30 cm
B
E F G
I
 
 
21. A viga rígida é suportada em suas extremidades por dois tirantes de aço A-36. Os tirantes tem 
diâmetros dAB = 1,27 cm e dCD = 0,76 cm. Supondo a Tensão admissível para o aço seja de 110 MPa, 
determinar o comprimento x da carga distribuída na viga de modo que a mesma permaneça na 
posição horizontal quando estiver carregada e a sua intensidade q que de modo a garantir a 
segurança. 
 
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CA
B D
q
180 cm
240 cm
x
 
 
 
22. Para a estrutura esquematizada a seguir determine, considerando a barra BD como rígida, as 
reações em B, C e D e a variação de comprimento da barra AB. 
q
2q
B
A
C
D
E
6 m 3 m
4 m
P
30°
 
Kmola = 20 kN/cm 
EAB = 210GPa 
diâmetro da barra AB = 2cm 
q = 4,5 kN/m 
P = 15 kN 
 
23. O Sistema articulado é feito com três elementos de aço inoxidável 302 (E=190GPa), com 5cm² 
de área na seção transversal, acoplados por pinos. Determinar a Grandeza da força P necessária 
para deslocar o ponto B 0,2 cm para a direita 
 
60°
60°
D
C
BA
180 cm
120 cm
P
 
 
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24. Uma barra de seção quadrada é constituída de duas barras de materiais diferentes, de modulo 
de elasticidade longitudinal E1 e E2. As duas barras têm as mesmas dimensões de seção transversal. 
Assumindo que as placas das extremidades são rígidas, deduza a fórmula da excentricidade e da 
força P para que as duas barras estejam sob tensão uniforme (assuma E1> E2). 
e
P
e
E1
bE2
b
P
 
 
25. Em uma estrada de ferro, os trilhos de aço contínuos são assentados e presos aos dormentes 
à temperatura de -2ºC. No momento da passagem de um trem, a temperatura dos trilhos se eleva 
para 50ºC. Determinar a tensão normal no trilho provocada por essa variação de temperatura, dados 
C/º107,11 6
 e 
GPaE 200
. 
26. Duas barras cilíndricas, uma feita de aço (E = 200GPa) e a outra de latão (E = 105GPa), são 
ligadas em C. A barra composta é engastada em A, enquanto existe uma folga de 0,12mm entre a 
extremidade E e uma parede vertical. Uma força de 60kN é aplicada em B, e uma de 40kN em D, 
ambas horizontais e dirigidas para a direita. Determinar: (a) as reações em A e E; (b) o deslocamento 
do ponto C. 
 
0,12mm
10cm
aço
18cm
A
B latão D
10cm12cm
C
E
 
Trecho AC: diâmetro = 4cm 
Trecho CE: diâmetro = 3cm 
 
27. A barra AB é de alumínio (E=70GPa,  = 23,6x10-6/C) e a barra CD é de latão (E = 105GPa, 
 = 20,9x10-6/C). Sabendo-se que a 16C a fenda existente entre as extremidades das barras é de 
0,5mm, determinar: (a) a tensão normal em cada barra, depois de a temperatura aumentar para 80C; 
(b) a variação de comprimento da barra AB nesse instante. 
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 A
latão
DC
alumínio
B
25 cm 25 cm
0,5 mm 
Barra AB: diâmetro = 7,5 cm 
Barra CD: diâmetro = 5,0 cm 
 
 
28. Um tubo de aço (E = 200GPa,  = 11,7x10-6/C ) de diâmetro externo igual a 5 cm e diâmetro 
interno 4,5 cm está por fora de um cilindro de latão (E = 105GPa,  = 20,9x10-6/C), de 3,8 cm de 
diâmetro. Ambos estão ligados a placas rígidas nas extremidades. À temperatura de 27ºC, as 
tensões normais são nulas. Caso se eleve a temperatura para 121ºC, qual a tensão normal no aço e 
no latão? 
 
29. Um tubo de alumínio (E = 70GPa,  = 23,6x10-6/C) de diâmetro externo de 6 cm e diâmetro 
interno de 2,5 cm é totalmente preenchido por um cilindro de latão (E = 105GPa,  = 20,9x10-6/C), 
de modo que o conjunto se mantém uniforme. A uma temperatura de 15ºC, não há indícios de 
tensões normais. Determinar a tensão normal no alumínio, quando a temperatura for de 195ºC. 
 
30. Um tanque cilíndrico de eixo vertical, para depósito de gasolina, tem diâmetro interno de 
25,5m e está cheio até 12m, a partir da extremidade inferior, com gasolina de densidade igual a 0,74 
g/cm³. Sendo de 24 kN/cm2 o limite de escoamento do material do tanque, pede-se calcular, com o 
coeficiente de segurança 2,5 a espessura da parede do tanque em sua parte mais funda, 
desprezados os esforços adicionais, devido a ligação com a placa do fundo. 
 
31. Calcular a Energia de deformação armazenada na barra apresentada abaixo, sendo A a área de 
sua seção reta e E o módulo de elasticidade longitudinal do material. 
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A
B
C
l
3
l
3
l
3
D
 
 
 
32. Calcular a energia de deformação numa barra prismática vertical, suspensa na extremidade 
superior e sujeita a ação do peso próprio, sendo L o comprimento da barra, A a área da sua seção 
reta, E o módulo de elasticidade longitudinal e  o peso específico do material da barra. 
 
33. Calcular a energia de deformação na barra prismática do exercício anterior no caso em que, 
posteriormente, se aplica uma carga axial P adicional dirigida para baixo na extremidade livre. 
 
34. Resolva o exercício 15 igualando a energia de deformação U acumulada na barra ao trabalho 
2
P
realizado pela força P. 
 
Respostas: 
1) 
24
4
2
/1011,2
10297,3
/975,6
cmkNE
cmkN



 
2)  ≥ 15,3 cm 
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3) 
3
1
cos2 
 
4) 
L
g
P
A
adm
2


 
5) 








22
2
2
1
2
Lg
LPA
adm
 
6) 
2
2
3433
348
cm,A
cm,A
CD
AB

 
7) (a) 6,9 mm; (b) 16 kN/cm2 
8) (a) 2,45 kN; (b) 50 mm 
9) (a) ~55 m; (b) 3,46 
10)  ≥ 1,2 cm 
11) 4,76 x 10-4 cm 
12) (a) 0,33 mm (para baixo); (b) -0,13 mm (para cima); (c) 221,27 kN . 
13) (a) - 0,1549 mm (encurtamento); (b) 0,1018 mm (para baixo); (c) 3,93 (c) 44 kN . 
14) (a) 4,56 x 10-3 cm (alongamento); (b) -9,093 x 10-3 cm (para cima) 
15)  








1
2
12
ln
b
b
bbEt
PL
 
16) 
EA
,
lTOT
225153

 
17) 
rad, 510465 
 
18) Metade da carga total 
19) 
2
2
/37,1
/98,10
cmkN
cmkN
c
a

 
 
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20) 
rad
rad
CD
AB
5
4
10167,6
10335,5



 
21) x = 126,65 cm e q = 15kN/m. 
22) 
kNVB 37,37
 (de cima para baixo), 
kNVD 06,9
 (de baixo para cima), 
kNVC 56,96
 (de 
baixo para cima), 
kNHC 99,12
 (da direita para a esquerda) e 
cmlAB 2266,0
. 
23) P = 69,76 kN 
24) 
 
 21
21
2 EE
EEb
e



 
25) 
2/17,12 cmkN
 
26) 
kNR
kNR
E
A
33,6
67,93

 (ambas para a direita) e dc = 0,0083 cm. 
27) 
2
2
/33,5
/37,2
cmkN
cmkN
CD
AB

 e cmlAB 0293,0 
28) 
2
2
/50,3
/63,10
cmkN
cmkN
l
a

 
29) 
2/82,0 cmkN
 
30) e  1,18 cm. 
31) 
EA
lP
U
2
2

 
32) 
E
AL
U
6
32

 
33) 
 2222 33
6
ALLAPP
EA
L
U  