Propriedade de reflexão da hipérbole

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA 
MATC24 - LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA III 
 
 
João Elias Vieira Júnior 
 
 
Propriedade de Reflexão da Hipérbole 
- Enunciado e demonstração - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Salvador 
2016 
 
 
 
 
 
 
João Elias Vieira Júnior 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedade de Reflexão da Hipérbole 
- Enunciado e demonstração - 
 
 
 
 
Atividade vinculada à disciplina Laboratório 
de Ensino de Matemática III, do Instituto de 
Matemática da Universidade Federal da Bahia, 
ministrada pela professora Cristiana Bastos 
Paiva Valente, como requisito parcial para 
aprovação na disciplina. 
 
 
 
 
 
Salvador 
2016 
 
 
 
1. Propriedade de Reflexão da Hipérbole 
 
1.1 Enunciado 
 
 A propriedade de reflexão da hipérbole nos diz que, traçado um segmento de reta, 
a partir de um ponto qualquer, dirigido a um dos focos da hipérbole, este segmento 
encontra o correspondente ramo da hipérbole num ponto. Se a partir deste, for traçado 
outro segmento que faça com a curva um ângulo igual ao do primeiro segmento, o 
segundo segmento passa pelo outro foco. 
 Seja, portanto, a hipérbole da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 Se 𝑃 é um ponto da hipérbole (ver na figura) e focos 𝐹1 e 𝐹2, então são iguais os 
ângulos 𝛼 e 𝛽 que a reta t, tangente à hipérbole em 𝑃, faz, respectivamente, com as retas 
𝑟, que passa nos pontos 𝑃 e 𝐹1, e s, que passa nos pontos 𝑃 e 𝐹2. 
 
 
1.2 Demonstração 
 
 Nos vértices da hipérbole é fácil perceber que os ângulos 𝛼 e 𝛽 são iguais a 
90º
, 
conforme figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sendo 
 1 ,0F c 
 e 
 2 ,0F c
, analisemos caso onde o ponto P, de coordenadas 
 0 0,x y
apresenta 
0 ,x c c 
. 
 Seja 𝑟 uma reta que passa nos pontos 
 0 0,P x y
e 
 1 ,0F c 
 (figura abaixo). 
Esta reta tem coeficiente angular  
   
0 0
0 0
0
r
y y
m
x c x c

 
 
. A reta tangente t tem 
coeficiente angular: 2
0 0 0
2 2 2
0 0
t
x y b x
m
x a a y
 

 (ver dedução abaixo). Pelo triângulo 
1EPF
 vê-se 
que 
t r   
 de forma que 𝑡𝑔𝛼 é dada pela equação 
1
t r
t r
m m
tg
mm




. Substituindo os 
valores de 
rm
 e 
tm
 nesta relação e simplificando, obtemos: 
 
2 2 2 2 2 2
0 0 0
2 2 2
0 0 0 0 0 0
t r
b x c b x c a y b
tg tg
a y c a y x x y b cy
       
 
 . 
Na obtenção deste último resultado usamos 
2 2 2 2 2 2
0 0b x a y a b 
 e 
2 2 2b c a 
 no 
numerador e denominador, respectivamente. A reta s que passa nos pontos 
 0 0,P x y
 e 
 2 ,0F c
 tem inclinação 
s
 e coeficiente angular 
0
0
s
y
m
x c


. Além disso, pelo 
triângulo 
2EPF
, conclui-se que 
s t   
. Seguindo o procedimento anterior, resulta 
que 2
0
b
tg
cy
 
. Assim, 𝑡𝑔𝛽 = 𝑡𝑔𝛼, logo, 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
}