lista de variáveis complexas - integrais de linhas

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Varia´veis Complexas
Terceira Lista de Exerc´ıcios - 20 semestre de 2017
Profa Marcio Costa de Arau´jo Filho
Aluno(a):
Questo˜es
Para cada func¸a˜o f e caminho C dados nos exerc´ıcios de 1 a 18, determine o valor de∫
C
f(z)dz
1. f(z) = y − x− 3x2i; C e´ o segmento reto de z = 0 a z = 2 + 1
2
i.
2. f(z) = y − x − 3x2i; C consiste de dois segmentos retos, um de z = 0 a z = 1
2
i e o
outro de z = 1
2
i a z = 2 + 1
2
i.
3. f(z) = z2; C e´ o segmento reto de z = 0 a z = 2 + i. Resp. 2
3
+ 11
3
i
4. f(z) = z; C e´ a circunfereˆncia unita´ria, percorrida no sentido positivo (sentido anti-
hora´rio). Resp. 2pii
5. f(z) = z; C e´ o segmento reto que une z = i a z = 1. Resp. −i
6. f(z) = (z + 2)/z e C e´
a) o semic´ırculo z = 2eiθ, onde θ varia de 0 a pi;
b) o semic´ırculo z = 2eiθ, onde θ varia de pi a 2pi;
c) o semic´ırculo z = 2eiθ, onde θ varia de 0 a 2pi;
Resp.a) −4 + 2pii b) 4 + 2pii c) 4pii
7. f(z) = z − 1, e C e´ o arco abaixo de z = 0 a z = 2.
a) o semic´ırculo z − 1 = eiθ(0 ≤ θ ≤ pi);
b) o segmento do eixo-x.
Resp. a) 0; b) 0.
8. f(z) = |z|, C = {z = reiθ : 0 ≤ θ ≤ pi}. Resp. −2r2
9. f(z) = z2, C = {z = reiθ : 0 ≤ θ ≤ pi}. Resp. −2r3/3
10. f(z) = 2x− y + ix2, ao longo do segmento retil´ıneo de zero a 1 + i. Resp. 1+5i
6
11. f(z) = z2, C = {z = reiθ : −pi ≤ θ ≤ pi}. Resp. Zero
12. f(z) =
√
z, C = {z = reiθ : −pi ≤ θ ≤ pi}. Resp. 4r√r/3
13. f(z) = |z|, ao longo do segmento retil´ıneo de zero a −2 + 3i. Resp. √13(3i− 2)/2
14. f(z) = x2 − y2 + i(x− y2), ao longo do segmento retil´ıneo de zero a 3 + 2i.
15. f(z) = 1
z
, e C e´ o arco que vai de z = −i a z = i.
a) no sentido positivo (sentido anti-hora´rio);
b) no sentido negativo (sentido hora´rio)
Resp. a) ipi; b) −ipi
16. C e´ o arco de z = −1− i a z = 1 + i da curva y = x3 e
f(z) =
{
4y, quandoy > 0
1, quandoy < 0
Resp.2 + 3i
17. f(z) = ez, e C e´ o caminho abaixo de z = pii a z = 1.
a) o segmento reto;
b) a poligonal ao longo dos eixos coordenados;
Resp.a) 1 + e b) 1 + e
18. f(z) = y − x2, ao longo do segmento da origem ao ponto (2, 0), seguido do segmento
de (2, 0) a (2, 1); depois ao longo de (0, 0) a (0, 1), seguindo do segmento de (0, 1) a
(2, 1). Verifique se os resultados sa˜o diferentes.
19. Se C e´ o contorno do quadrado com ve´rtices nos pontos z = 0, z = 1, z = 1 + i e z = i,
mostre que ∮
C
(3z + 1)dz = 0
.
20. Se F e f sa˜o func¸o˜es anal´ıticas numa regia˜o simplesmente conexa contendo um contorno
C, tais que f = F ′, sabemos que∫
C
f(z)dz = F (z2)− F (z1)
, onde z1 e z2 sa˜o os pontos inicial e final de C. Use esse fato para provar que, se n
for inteiro e C um contorno envolvendo a origem uma vez no sentido anti-hora´rio, enta˜o
∮
C
zndz = 0 se n 6= −1 e ∮
C
dz
z
= 2pii
21. Sendo C a fronteira do quadrado no exerc´ıcio anterior, calcule∮
C
piepizdz
.
Resp. 4(epi − 1)
22. Calcular o valor da integral
∫
C
z3dz, onde C e´ a porc¸a˜o da elipse que une z = 1 a
z = i
2
.
23. Calcular o valor da integral
∫
C
z3dz, onde C e´ o segmento de reta que une z = 0 a
z = 1 + i. Resp. 1
3
(1 + i)3
Nos exerc´ıcios de 24 a 27, mostre que sa˜o nulas as integrais das func¸o˜es dadas sobre os
caminhos C dados.
24. f(z) = z+1
z−3 e C e´ o c´ırculo |z| = 2.
25. f(z) = 3z
2
z+2i
e C e´ o c´ırculo |z| = 3
2
.
26. f(z) = 3ze
z
z2+3
e C e´ o c´ırculo |z| = 5
4
.
27. f(z) = 1
z2
e C e´ qualquer contorno envolvendo a origem.
Use a fo´rmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos exerc´ıcios de
28 a 35, onde os caminhos sa˜o todos percorridos no sentido anti-hora´rio.
28.
∮
C
zdz
z−2 ; C : |z − 1| = 2. Resp. 4pii
29.
∮
C
zdz
z+2
; C : |z + 1| = 2. Resp. −4pii
30.
∮
C
senz
z−i dz; C : |z − 2i| = 2. Resp. pi(1− e2)/e
31.
∮
C
z cos z
z−i dz; C : |z| = 2. Resp. pi(1 + e2)/e
32.
∮
C
eiz
z+i
dz; C : |z − 1| = 2. Resp. 2piie
33.
∮
C
iz
1−2zdz; C : |z| = 1. Resp. pi/2
34.
∮
C
dz
z2+1
, onde C e´ o quadrado de ve´rtices zero, 2i e ±1 + i. Resp. pi
35.
∮
C
zez
z2−2z−3dz, onde C e´ o losango de ve´rtices ±2, e ±i. Resp. pii/2e
36. Use a fo´rmula da derivada para calcular∮
|z|=3
cos(z2 + 3z − 1)
(2z + 3)2
.
37. Calcule
∮
|z|=1
z2+z+1
(4z−i)3 dz
“Com organizac¸a˜o e tempo, acha-se o segredo do fazer tudo e de fazeˆ-lo bem feito.” -
Pita´goras