Exercícios resolvidos 14 17 20 21 22 23

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Exercício 14 
Água escoa no trecho 1-2 do duto mostrado na figura com uma 
velocidade de 60 litro/s. A válvula globo está totalmente aberta. 
Determine 
a) a perda de carga total no trecho 1-2; 
b) a potência nominal da bomba se ela tem rendimento de 75%. 
 
 Dados 
Q = 60 litro/s 
g = 10 m/s2 
 = 1x10-6 m2/s 
 = 10000 N/m3 
D1 = 20 cm D2 = 10 cm 
ɛ = 0,25 mm 
p1 = 150 kPa p2 = 250 kPa 
Solução 
Hipóteses: Fluido incompressível 
 Escoamento permanente 
 Propriedades constantes do fluido nas seções 
Equações básicas: carga total no ponto: 

  
2
2
p V
H z
g
 
 balanço de energia: 
  1 m 2 pH H H H
 
 perda distribuída: 

2
2
d
L V
H f
D g
 perda localizada 

2
2
L L
V
H K
g
 
potência da bomba: 
mN QH
 
Equações auxiliares: 

Re
VD
 
B
N
N


 
a) perda de carga total no trecho 1-2 
Perda de carga distribuída no trecho do duto com diâmetro D1 = 0,2 m e L1 = 50 m 
2
2 21
1 3,14 10 m
4
D
A
   
 
1
1
1,91 m/s
Q
V
A
 
 
51 1
1Re 3,82 10
VD

  
 
1
0,00125
D


 
 
Do diagrama de Moody: 
1f 
0,022. 
 
Portanto, a perda de carga localizada no trecho é igual a 
    
1
2 2
1 1
1
1
50 1,91
0,022 0,98 m
2 0,2 2 10
d
L V
H f
D g
. 
Perda de carga distribuída no trecho do duto com diâmetro D1 = 0,1 m e L1 = 30 m 
2
3 22
2 7,85 10 m
4
D
A
   
 
2
2
7,64 m/s
Q
V
A
 
 
52 2
2Re 7,64 10
V D

  
 
2
0,0025
D


 
Do diagrama de Moody: 
2f 
0,025. 
Portanto, a perda de carga localizada no trecho é igual a .
 
    
2
2 2
2 2
2
2
30 7,64
0,025 22,03 m
2 0,1 2 10
d
L V
H f
D g
Perda de carga localizada na válvula globo aberta (
10LK 
) é igual a 
   

2 2
1 1,9110 1,82 m
2 2 10
L L
V
H K
g
. 
A perda de carga total é igual a 
1 2p L
0,98 22,03 1,82d dH H H H      
 
p 24,83 mH 
 
 
b) potência da bomba 
Balanço de energia no trecho 1-2 
2 2
1 1 2 2
1 B 2 p 1 B 2 p
2 2
p V p V
H H H H z H z H
g g 
   
                
   
 
3 2 3 2
B B
150 10 1,91 250 10 7,64
0 0 24,83 37,57 m
10000 2 10 10000 2 10
H H
    
                  
 
Potência da bomba da bomba em W 
B 10000 0,06 37,57 22543 WN QH     
B
22543
0,75
N
N

  B
 30057 WN 
 
 
Exercício 17 
Água escoa no trecho 1-2 do duto mostrado na figura com uma 
velocidade de 60 litro/s. A válvula globo está totalmente aberta. 
Determine 
a) a perda de carga total no trecho 1-2; 
b) a carga da bomba se a potência nominal é de 20 kW e o rendimento 
é de 75%; 
c) a pressão em 2 se a pressão em 1 é igual a p1 = 150 kPa. 
 
 Dados 
Q = 60 litro/s 
g = 10 m/s2 
 = 1x10-6 m2/s 
 = 10000 N/m3 
D1 = 20 cm D2 = 10 cm 
ɛ = 0,25 mm 
p1 = 150 kPa 
NB = 20 kW 
 = 75% 
Solução 
Hipóteses: Fluido incompressível 
 Escoamento permanente 
 Propriedades constantes do fluido nas seções 
Equações básicas: carga total no ponto: 

  
2
2
p V
H z
g
 
 balanço de energia: 
  1 m 2 pH H H H
 
 perda distribuída: 

2
2
d
L V
H f
D g
 perda localizada 

2
2
L L
V
H K
g
 
potência da bomba: 
mN QH
 
Equações auxiliares: 

Re
VD
 
B
N
N


 
Equações auxiliares: 

Re
VD
 
a) perda de carga total no trecho 1-2 
Idêntico ao Exercício 14: 
p 24,83 mH 
 
 
b) carga da bomba 
B B 20000 0,75 15000 W
N
N N N       
 
B B
15000
10000 0,06
N
N QH H
Q
     
B 25 mH 
 
 
c) pressão em 2 
Balanço de energia no trecho 1-2 
2 2
1 1 2 2
1 B 2 p 1 B 2 p
2 2
p V p V
H H H H z H z H
g g 
   
                
   
 
3 2 2
2150 10 1,91 7,640 25 0 24,83
10000 2 10 10000 2 10
p   
                 
2 124 kPap 
 
 
Exercício 20 
O escoamento de óleo (massa específica de 900 kg/m3 e viscosidade cinemática de 1x10-5 m2/s) ocorre 
através de uma tubulação horizontal de ferro fundido (rugosidade de 0,0002 m) com 100 m de 
comprimento e 10 cm de diâmetro. Dadas essas condições, determine: 
a) Tipo de escoamento (laminar ou turbulento) 
b) A perda de carga que ocorre nesse trecho da tubulação se a vazão é de 200 litros por segundo. 
c) A diferença de pressão entre a entrada e a saída do tubo. 
d) Faça os cálculos e preencha a tabela abaixo mostrando como varia a perda de carga com a 
mudança do diâmetro e do comprimento do duto. 
Dados: 
g = 10 m/s2 ρ = 900 kg/m3 
 = 1x10-5 m2/s D = 10 cm 
L = 100m Q = 200 l/s 
ɛ = 0,0002 m 
 
Diâmetro do duto (m) Comprimento do duto (m) Perda de carga (m) 
Valores iniciais 0,1 100 782 
Aumento de 100% do diâmetro 0,2 100 22 
Aumento de 100% do comprimento 0,1 200 1564 
 
Solução 
Hipóteses: Fluido incompressível 
 Escoamento permanente 
 Propriedades constantes do fluido nas seções 
Equações básicas: energia total no ponto: 

  
2
2
p V
H z
g
 
 perda distribuída: 

2
2
d
L V
H f
D g
 
Equações auxiliares: 

Re
VD
 
a) Tipo de escoamento 
Primeiro, calculando a velocidade do fluido dentro do duto: 

 
2
20,007854 m
4
D
A

  
3200 10
25,46 m/s
0,007854
Q
V
A
 
Calculando o número de Reynolds 
 

  

 5
5
25,46 0,1
2,55Re
1 10
10
VD
 
Como Re > 4000, o escoamento é turbulento. 
 
b) Perda de carga entre 1 e 2 

 0,002
D
 
Usando a equação de Colebrook (o diagrama de Moody também poderia ser usado) para calcular o 
fator de atrito 



  
    
  
 
       
2
0 0,9
0,5 0,5
0
5,74
0,25 log 0,024
3,7 Re
1 2,51
2log 0,024
3,7 Re
D
f
D
f
f f
 
Logo, a perda de carga distribuída pode ser calculada 
    

2 2100 25,46
0,024
2 0,1 2 10
d
L V
H f
D g
782 mdH
 
Como não existe perda localizada 
  782 mperdas dH H
 
 
c) Diferença de pressão entre 1 e 2 
Aplicando o balanço de energia entre 1 e 2 
            
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2
perdas perdas perdas
p p V V p p
H H H z z H H
g
 
como não há perda localizada 
perdas dH H
 
    1 2 9000 782dp p H  1 2 7,04 MPap p
 
 
d) 
- Diâmetro de 20 cm 

 
2
20,03142 m
4
D
A

  
3200 10
6,37 m/s
0,007854
Q
V
A
 
 

  

 5
5
25,46 0,2
Re 1,27
1 10
10
VD
 (escoamento ainda é turbulento) e 

 0,001
D
 



  
    
  
 
       
2
0 0,9
0,5 0,5
0
5,74
0,25 log 0,022
3,7 Re
1 2,51
2log 0,022
3,7 Re
D
f
D
f
f f
 
Logo, a perda de carga pode ser calculada 
    

2 2100 6,37
0,022
2 0,2 2 10
d
L V
H f
D g
 22 mperdas dH H
 
- Comprimento de 200 m 
Nesse caso, a perda distribuída é linearmente proporcional ao aumento do comprimento. Com o dobro 
do comprimento, a perda de carga também aumenta 100%. Além disso, o número de Reynolds não é 
afetado pelo comprimento da tubulação. 
  m1564perdas dH H
 
 
Exercício 21 
Água é extraída a 120 l/s de um reservatório de dimensões muito grandes através de uma tubulação 
de ferro fundido com 14 cm de diâmetro, conformemostrado na figura. Os dois cotovelos são 
flangeados (raio normal) e a válvula de gaveta está 100% aberta. Considerar a tubulação como 
nova. Determine 
a) O fator de atrito, f. 
b) A perda total de carga 
c) A altura z do reservatório 
 
Dados: 
g = 10 m/s2 ρ = 1000 kg/m3 
 = 1x10-6 m2/s 
D = 14 cm Q = 120 l/s 
 
Tabela – Rugosidade para tubos de materiais comuns 
em engenharia. 
Tabela – Fatores de perda de carga 
localizada. 
 
 
Solução 
Hipóteses: Fluido incompressível 
 Escoamento permanente 
 Propriedades constantes do fluido nas seções 
Equações básicas: energia total no ponto: 

  
2
2
p V
H z
g
 
 perda de carga: distribuída 

2
2
d
L V
H f
D g
 e localizada 

2
2
e
l
L V
H f
D g
 
Equações auxiliares: 

Re
VD
,  
   
 
0,5 0,5
1 2,51
2log
3,7 Re
D
f f
 e    
   
  
2
0 0,9
5,74
0,25 log
3,7 Re
D
f
 
a) Fator de atrito 
Primeiro, calculando a velocidade do fluido dentro do duto: 

 
2
20,01539 m
4
D
A
e 
  
3120 10
7,80 m/s
0,01539
Q
V
A
 
Calculando o número de Reynolds 
 

  

 6
6
7,80 0,14
Re 1,09
1 10
10
VD
 
Como Re > 4000, o escoamento é turbulento. 
Sabendo que o material do duto é ferro fundido, ɛ = 0,26x10-3 m, ɛ/D = 0,001857. Do diagrama de 
Moody obtém-se o fator de atrito 
 0,023f
 
 
b) Perda de carga total 
A perda distribuída pode ser calculada. O comprimento do duto é igual a 30+10+80 = 120 m, logo 
 
2
60,28 m
2
d
L V
H f
D g
 
Para os cotovelos de 90º, o fator de carga localizada é 
 cot 0,3LK
. A perda de carga no cotovelo é 
calculada por 
2
cotovelo cot 0,91 m
2
l L
V
H K
g
  
 
Para a válvula de gaveta, o fator de carga localizada é 
 valv 0,15LK
. A perda de carga na válvula é 
calculada por 
2
valv 0,46 m
2
l gaveta L
V
H K
g
  
 
Portanto, a perda total é dada por 
    l-cotovelo l-gaveta2perdas dH H H H
 
62,56 mperdasH 
 
 
c) Altura z 
Aplicando a equação de balanço entre os pontos 1 e 2 
                          
2 2 2 2
1 21 2 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2
perdas perdas perdas
p pV V V V
z z H z z H z H
g g g g
 
27,80
62,56
2 10
z   

65,60 mz 
 
 
Exercício 22 
Água escoa através de uma tubulação com 20 cm de diâmetro. A velocidade na saída é de 2 m/s. Seis 
piezômetros com água são ligados à tubulação conforme mostrado na figura. Elas medem a pressão 
no trecho final e inicial do escoamento, além da pressão nas entradas e saídas dos dispositivos 
instalados (válvula globo e válvula T). Determine 
a) A perda de carga distribuída no comprimento total da tubulação. 
b) O fator de atrito, f. 
c) A rugosidade da tubulação (considere o escoamento completamente rugoso). 
d) Calcular o fator Le/D para a válvula globo. 
e) Calcular o fator Le/D para a válvula T. 
Dados: 
g = 10 m/s2 
 = 10000 N/m3 
 = 1x10-6 m2/s 
D = 20 cm 
V = 2 m/s 
 
Solução 
Hipóteses: Fluido incompressível 
 Escoamento permanente 
 Propriedades constantes do fluido nas seções 
Equações básicas: energia total no ponto: 

  
2
2
p V
H z
g
 
 balanço de energia: 
  1 m 2 pH H H H
 
 perda de carga: distribuída 

2
2
d
L V
H f
D g
 e localizada 

2
2
e
l
L V
H f
D g
 
Equações auxiliares: 

Re
VD
 
 
a) Perda de carga distribuída 
No trecho 1-2 
               
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
d d
p p V V p p
H H H z z H h
g
, 
onde Δh1-2 é a diferença de altura lida nos manômetros 1 e 2. Logo 
   1 2 (3,51 2,83) 0,68 mdH
 
De forma semelhante 


  
  
3 4
3 4
(1,53 0,95) 0,58 m
(0,87 0,2) 0,67 m
d
d
H
H
 
Logo, a perda total distribuída é igual a 
     1 2 3 4 5 6d d d dH H H H1,93 mdH
 
 
b) Fator de atrito 
Calculando o número de Reynolds 
 

  

5
6
2 0,2
Re 4
1 10
10
VD
 
Como Re > 4000, o escoamento é turbulento. 
   
2
2
2
2
d
d
gDHL V
H f f
D g LV
 
0,0193f 
 
 
c) Rugosidade da tubulação 
Usando o diagrama de Moody para o caso de escoamento completamente rugoso, ou seja, f não 
depende do número de Reynolds. 
 
0,0009
D


 
0,0009 0,2  
 
0,18 mm 
 
 
d) Fator Le/D para a válvula globo 
Aplicando o balanço de energia para o trecho 2-3 
               
2 2
2 3 2 3 2 3
2 3 2 3 2 3
2
valv globo valv globo
p p V V p p
H H H z z H h
g
, 
   (2,83 1,53) 1,30 mvalv globoH
 
Para perda localizada 
  
2
2
2
2
e e l
l
L L gHV
H f
D g D fV
 


 
  
 
2
2 valv globoe
valv globo
gHL
D fV
 
 
 
340e
valv globo
L
D
 
 
e) Fator Le/D para a válvula T 
Aplicando o balanço de energia para o trecho 4-5 
 

  4 5 4 5valv T
p p
H h
 
   (0,87 0,20) 0,67 mvalv TH
 


 
  
 
2
2e valv T
valv T
L gH
D fV 
 
 
 
20e
valv T
L
D
 
 
 
 
Exercício 23 
Água (viscosidade cinemática de 1x10-6 m2/s) escoa através de uma tubulação com 10 cm de diâmetro 
e L = 10 m de comprimento. Um medidor de vazão tipo diafragma foi instalado no trecho e segundo o 
fabricante, a vazão é calculada através da diferença de carga do fluido entre dois pontos conforme a 
equação Q = 0,025(h)0,5 (Q em m3/s e h em m de coluna de água). Dois piezômetros estão 
conectados a essa tubulação, um no início e outro no final do trecho, conforme mostrado na figura. 
Em regime permanente eles registraram colunas de água iguais a h1 = 2 m e h2 = 1 m. 
Com os dados fornecidos, calcule a rugosidade média da tubulação. 
Dados: 
g = 10 m/s2 
 = 1x10-6 m2/s 
D = 10 cm 
L = 10 m 
h1 = 2 m 
h2 = 1 m 
 
Solução 
Hipóteses: Fluido incompressível 
 Escoamento permanente 
 Propriedades constantes do fluido nas seções 
Equações básicas: energia total no ponto: 

  
2
2
p V
H z
g
 
 balanço de energia: 
  1 m 2 pH H H H
 
perda de carga distribuída 

2
2
d
L V
H f
D g
 
Equações auxiliares: 

Re
VD
 
 
0,5
0,025Q h 
 
Cálculo da velocidade média do fluido 
   
0,5 0,5 30,025 0,025 2 1 0,025 mQ h    
 
2 2
3 20,1 7,85 10 m
4 4
D
A
     
 
3
0,025
3,18 m/s
7,85 10
Q
V
A 
  

 
 
Cálculo do número de Reynolds 
5
6
3,18 0,1
Re 3,18
1
1
10
0
VD
   


 
Cálculo do fator de atrito 
2
2
d
D g
f H
L V

, 
sendo 
dH
 a perda de carga distribuída. Nesse caso, pode ser calculado fazendo o balanço de energia 
no trecho 1-2 
 
   
                 
   
2 2
1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
m d d
p V p V
H H H H H H H z z
g g
 
Como o diâmetro é constante, pela lei da conservação de massa: 
1 2V V
. Além disso, como os pontos 
1 e 2 estão na mesma altura: 
1 2z z
. Portanto, 
1 2 1 2
1 2 1 md d d d
p p h h
H H H h h H
 
            
 
Substituindo os valores numéricos na equação para cálculo do fator de atrito 
2 2
2 0,1 2 10
1 0,0197
10 3,18
d
D g
f H f
L V

     
 
O cálculo da rugosidade média do duto pode ser obtido com os valores de fe Re no diagrama de 
Moody 
 
Como 
0,0008 0,0008 0,1D      58 10 m  