Exercícios (soluções propostas)

Prévia do material em texto

Exercícios: soluções propostas 
 
1. No Exercício 4.11 o R-quadrado da estimativa do modelo 
log(𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜) = 𝛽0 + 𝛽1 log(𝑣𝑎𝑙𝑚𝑒𝑟𝑐) + 𝛽3𝑙𝑢𝑐𝑟𝑚𝑎𝑟𝑔 + 𝛽4𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑜 + 𝛽5𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑚𝑝 + 𝑢 
era 𝑅2 = 0,353 n (=177). Quando 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑜2 e 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑚𝑝2 são adicionados, 𝑅2 = 0,375. Existe 
evidência de má-especificação da forma funcional neste modelo? 
Solução: Não uma má especificação da forma funcional 𝛽6 ≠ 0 e 𝛽7 ≠ 0 onde estes são os 
parâmetros populacionais em 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑜2 e 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑚𝑝2, respectivamente. Por isso, testamos a 
significância conjunta destas variáveis usando o 𝑅2 no teste F: F = [ (.375 − .353)/(1 − 
.375)][(177 – 6)/2] =3.0096. Com 2 e ∞ gl o valor crítico de 10% é 2.30 o valor crítico de 5% é 
3.00. Assim, o valor-p está ligeiramente acima .05, que é uma prova razoável de da má 
especificação da forma funcional. (Claro, se isso tem um impacto prático sobre os efeitos parciais 
estimadas para vários níveis das variáveis explicativas é uma questão diferente). 
 
2. Seja mat10 a percentagem de aprovação em um teste padrão de matemática de estudantes de uma 
escola secundária. Estamos interessados em estimar o efeito do gasto por estudante no 
desempenho em matemática. Um modelo simples é: 
𝑚𝑎𝑡10 = 𝛽0 + 𝛽1 log(𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜) + 𝛽2 log(𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑙) + 𝛽3𝑝𝑜𝑏𝑟𝑒𝑧𝑎 + 𝑢 
Onde: matricl=número de matriculados; pobreza=percentagem de estudantes vivendo em condições 
de pobreza. A variável progme é a percentagem de estudantes qualificados para o programa de 
merenda escolar financiado pelo governo federal. Ela é uma boa Proxy de pobreza? Por quê? 
Solução: A elegibilidade para o programa de merenda escolar financiado pelo governo federal está 
muito ligada a ser economicamente desfavorecido. Portanto, o percentual de estudantes elegíveis 
para o programa de merenda é muito semelhante ao percentual de estudantes que vivem na pobreza. 
 
3. A equação seguinte explica o número de horas por semana que uma criança passa assistindo 
televisão, em termos da idade da criança, educação da mãe, educação do pai e número de irmãos: 
𝑡𝑣ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠∗ = 𝛽0 + 𝛽1𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 + 𝛽2𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
2 + 𝛽3𝑒𝑑𝑢𝑐𝑚 + 𝛽4𝑒𝑑𝑢𝑐𝑝 + 𝛽5𝑖𝑟𝑚𝑠 + 𝑢 
Estamos preocupados com a possibilidade de que 𝑡𝑣ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠∗ tenha sido medida com erro em nossa 
pesquisa. Seja 𝑡𝑣ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 o número de horas por semana que se gasta assistindo televisão. O que as 
hipóteses do erro clássico nas variáveis (CEV) requerem nesta aplicação? 
Solução: Pelas hipóteses do erro clássico nas variáveis, precisamos escrever: 
𝑡𝑣ℎ𝑜𝑢𝑟𝑠 = 𝑡𝑣ℎ𝑜𝑢𝑟𝑠∗ + 𝑒0. 
Em que: 𝑒0 é o erro de medida com 𝐸(𝑒0) = 0, ou seja, tem média zero e não está correlacionada 
com 𝑡𝑣ℎ𝑜𝑢𝑟𝑠∗ e cada variável explicativa na equação. 
 
4. Qual a motivação para o uso da estimação por variáveis instrumentais? 
Solução: Abordagem diferente para o problema de endogeneidade: i) métodos da VI podem ser 
usados para se obter estimadores consistentes na presença de variáveis omitidas. ii) métodos da VI 
também podem ser usados para resolver erros de medida. A regressão de variáveis instrumentais 
(VI) é uma forma geral de se obter um estimador consistente dos coeficientes desconhecidos da 
regressão da população quando o regressor 𝑥, está correlacionado com o termo de erro. 
 
5. Considere um modelo de regressão simples para estimar o efeito da propriedade de um computador 
pessoal (PC) na nota média de graduação de formados de uma grande universidade pública: 
𝑠𝑢𝑝𝐺𝑃𝐴 = 𝛽0 + 𝛽1𝑃𝐶 + 𝑢 
Em que 𝑃𝐶 é uma variável binária que indica a propriedade de um 𝑃𝐶. 
a) Por que a propriedade de um 𝑃𝐶 pode estar correlacionada com 𝑢? 
Solução: Está bastante bem estabelecido que o status socioeconômico afeta o desempenho do aluno. 
O termo de erro pode conter, entre outras coisas, a renda familiar, que tem um efeito positivo no 
GPA e também é muito provável que seja correlacionado com a propriedade do PC. 
 
b) Explique por que 𝑃𝐶 possivelmente está relacionado à renda anual dos pais. Isso significa que a renda 
dos pais será uma boa VI de 𝑃𝐶? Por quê? 
Solução: As famílias com rendimentos mais elevados podem comprar computadores para seus filhos. 
Portanto, a renda familiar certamente satisfaz o requisito para uma variável instrumental: está 
correlacionada com a variável explicativa endógena [𝐶𝑜𝑣(𝑧, 𝑥) ≠ 0]. Mas, como sugerimos na parte 
(i), a renda da família tem um efeito positivo no GPA, então o requisito para uma boa IV 
(exogeneidade do instrumento: 𝐶𝑜𝑣(𝑧, 𝑢) = 0), falha para renda. Se tivéssemos a renda anual dos 
pais, nós a incluiríamos como uma variável explicativa na equação. Se for a única variável omitida 
importante correlacionada com o PC, então podemos estimar a equação expandida pela MQO. 
 
6. Suponha que você queria estimar o efeito da frequência às aulas sobre o desempenho dos alunos. 
Um modelo básico é: 
𝑟𝑒𝑠𝑝𝑎𝑑 = 𝛽0 + 𝛽1𝑡𝑎𝑥𝑎𝑓𝑟𝑒𝑞 + 𝛽2𝑝𝑟𝑠𝐺𝑃𝐴 + 𝛽3𝐴𝐶𝑇 + 𝑢 
Em que 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑎𝑑 é o resultado padronizado do exame final, 𝑡𝑎𝑥𝑎𝑓𝑟𝑒𝑞 corresponde a taxa de 
frequência escola, 𝑝𝑟𝑠𝐺𝑃𝐴 é a média geral das notas em curso superior e 𝐴𝐶𝑇 é a nota do teste de 
avaliação de conhecimentos para ingresso em curso superior nos Estados Unidos. 
a) Defina 𝑑𝑖𝑠𝑡 como a distância da residência do aluno até o local de estudos. Você considera que 
𝑑𝑖𝑠𝑡 é não correlacionada com 𝑢? 
Solução: Parece razoável assumir que distância e 𝑒𝑟𝑟𝑜 não estão correlacionados, pois as salas de 
aula geralmente não são designadas com conveniência para estudantes específicos em mente. 
 
b) Supondo que 𝑑𝑖𝑠𝑡 e 𝑢 sejam não correlacionados, que outra hipótese 𝑑𝑖𝑠𝑡 terá que satisfazer para 
ser uma 𝑉𝐼 válida de 𝑡𝑎𝑥𝑎𝑓𝑟𝑒𝑞? 
Solução: Relevância do instrumento: 𝐶𝑜𝑣(𝑧, 𝑥) ≠ 0, ou seja: 
A variável dist deve estar parcialmente correlacionada com 𝑡𝑎𝑥𝑎𝑓𝑟𝑒𝑞. Mais precisamente, na 
forma reduzida 
𝑡𝑎𝑥𝑎𝑓𝑟𝑒𝑞 = 𝜋0 + 𝜋1𝑝𝑟𝑠𝐺𝑃𝐴 + 𝜋2𝐴𝐶𝑇 + 𝜋3𝑑𝑖𝑠𝑡 + 𝑢 
Devemos ter 𝜇3 ≠ 0. 0. Dada uma amostra de dados, podemos testar 𝐻0: 𝜋3 = 0 contra 𝐻1: 𝜋3 ≠ 0 
usando uma estatística 𝑡. 
7. Considere a seguinte tabela com resultados de MQO, com e sem progme como variável 
explicativa. 
Variável Dependente: mat10 
Variáveis independentes (1) (2) 
Log(gasto) 11,13 (3,30) 7,75 (3,04) 
Log(matricl) 0,022 (0,615) -1,26 (0,58) 
Progme - -0,324 (0,036) 
Intercepto -69,24 (26,72) -23,14 (24,99) 
Observações 
R2 
428 
0,0297 
428 
0,1893 
 Nota: Desvio-padrão entre parênteses. 
 
a) Explique por que o efeito dos gastos sobre mat10 é menor na coluna 2 do que na coluna1. O efeito 
na coluna 2 ainda é estatisticamente maior que zero? 
Solução: Adicionar a variável progme na coluna (2) fez com que a variação em mat10 fosse 
“distribuída” entre os demais determinantes do desempenho dos alunos em matemática, tendo em 
vista que todas as variáveis {log(gasto), log(matricl), progme} são significativas ao nível de 
significância de 5%. Os gastos continuam sendo estatisticamente diferentes de 0 (zero): a estatística 
t referente a log(gasto) é 7,75/3,04 = 2,549; portanto, tcalculado = 2,549 > ttabelado = 1,96, rejeita H0. 
Ou seja, rejeita-se a hipótese de que os gastos {log(gasto)} não tenham efeito sobre o desempenho 
dos alunos em matemática (mat10). 
 
b) O que se pode dizer sobre o efeito do tamanho das escolas (em no. de matriculados) sobre as taxas 
de aprovação? 
Solução: Na coluna (1), sem a inclusão de progme, o número de matriculados não tinha efeito 
estatisticamente significativo sobre o desempenho dos alunos em matemática. Ademais, vale notar 
que o coeficiente possui o sinal positivo, diferente do esperado. Já na coluna (2), após inclusão de 
progme, o númerode matriculados tem efeito negativo sobre o desempenho dos alunos, significativo 
a 5% (tcalculado = 2,172 > ttabelado = 1,96, rejeita H0: log(matricl) = 0). De outra forma, há 95% de 
confiança de que quanto maior o número de matriculados na escola, menor o desempenho do aluno. 
 
c) Interprete o coeficiente de progme na coluna 2. 
Solução: Pode-se inferir que, ser “pobre” reduz o desempenho do aluno em matemática em 0,324, 
ao nível de significância de 1% {tcalculado = 9 > ttabelado = 2,64 (α = 0,01), rejeita H0: progme = 0}. 
 
d) O que você deduz sobre o substancial aumento de R2 da coluna 1 para a coluna 2? 
Solução: O aumento do grau de ajustamento do modelo foi devido à inclusão da variável progme no 
modelo: uma variável relevante que não havia sido considerada em (1). Dessa forma, percebe-se, 
pelas estatísticas e pelo maior ajustamento, que o modelo (1) incorria em viés de variável omitida 
resolvida pela proxy de pobreza. Diante de toda discussão, portanto, pode-se afirmar que a inclusão 
de progme no modelo é importante e, por conseguinte, progme é uma boa proxy para pobreza. 
 
8. Quando usamos modelos de equação simultâneas? O que é o viés de simultaneidade em MQO? 
Como identificar e estimar a equação estrutural? 
Solução: A utilização de um MES é devido à outra importante forma de endogeneidade de variáveis 
explicativas, a saber, simultaneidade. Ela surge quando uma ou mais das variáveis explicativas são 
determinadas conjuntamente com a variável explicativa, em geral por meio de um mecanismo de 
equilíbrio. 
Seja o modelo estrutural de um sistema de 2 equações e 2 incógnitas: 
𝑦1 = 𝛼1𝑦2 + 𝛽1𝑧1 + 𝑢1 (1) 
𝑦2 = 𝛼2𝑦1 + 𝛽2𝑧2 + 𝑢2 
 
Suponha que se deseje estimar a equação (1). Então: 
𝑦2 = 𝛼2(𝛼1𝑦2 + 𝛽1𝑧1 + 𝑢1) + 𝛽2𝑧2 + 𝑢2 
(1 − 𝛼2𝛼1)𝑦2 = 𝛼2𝛽1𝑧1 + 𝛽2𝑧2 + 𝛼2𝑢1 + 𝑢2 
 
Para solucionar para 𝑦2 temos: 
𝛼2𝛼1 ≠ 1 
 
Que pode ser reescrito como: 
𝑦2 = 𝜋21𝑧1 + 𝜋22𝑧2 + 𝑣2 
 
Parâmetros na forma reduzida (funções não lineares dos parâmetros estruturais): 
𝜋21 =
𝛼2𝛽1
(1−𝛼2𝛼1)
 , 𝜋22 =
𝛽2
(1−𝛼2𝛼1)
, 𝑣2 = 
(𝛼2𝑢1+𝑢2)
(1−𝛼2𝛼1)
 
 
Para que o estimador de MQO da primeira equação seja consistente, é necessário que 
𝐶𝑜𝑣 (𝑢1, 𝑦2) = 0. Ou seja, a covariância entre 𝑢1 e cada termo que compõe 𝑦2 (na forma reduzida) 
deve ser nula. Mas a forma reduzida do modelo mostra explicitamente que y2 também depende de 𝑢1. 
Logo, é evidente que, em geral, há correlação entre 𝑦2 e 𝑢1. Portanto, o estimador de MQO aplicado 
à equação é viesado e inconsistente! Esse tipo de viés do estimador de MQO é denominado viés de 
equações simultâneas ou simplesmente viés de simultaneidade. Portanto, dizemos que MQO sofre de 
viés de simultaneidade quando𝑦2 for correlacionado com 𝑢1. 
 
Identificação: Seja 𝑧1 todas as variáveis exógenas na 1ª equação, e 𝑧2 todas as variáveis exógenas 
na 2ª equação. Para identificar a 1ª equação, é necessário que algumas variáveis em 𝑧2 não estejam 
em 𝑧1. Já para identificar a 2ª equação, é necessário que algumas variáveis em 𝑧1 não estejam em 
𝑧2. A identificação, portanto, requer a condição de posto (condição suficiente para identificação). 
Note que a variável exógena excluída da 1ª equação tem que ter um coeficiente diferente de zero na 
segunda equação para que a condição de posto se mantenha. A condição de ordem (condição 
necessária para identificação) claramente se mantém se a condição de posto é mantida – existirá 
uma variável exógena para a variável considerada endógena. 
 
Estimação: Para estimar a equação estrutural é necessária que a equação seja identificada. 
Garantida a identificação, pode-se estimar a equação por MQ2E utilizando como variáveis 
instrumentais, as variáveis exógenas que aparecem em cada equação. 
 
9. Desenvolva um modelo de equações simultâneas para a oferta e demanda de dentistas no Brasil. 
Especifique as variáveis endógenas e exógenas do modelo. 
Solução: Ver exemplos 16.3 e 16.4 do livro (páginas 519 e 520) 
 
Referência: 
WOOLDRIDGE, J.M. Introdução à Econometria: uma abordagem moderna. 4ª ed. São Paulo: 
Pioneira Thomson Learning, 22015. (Capítulo 16).