Econometria

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<p>Universidade Federal de Alagoas</p><p>Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade - FEAC</p><p>Curso de Mestrado em Economia Aplicada - CMEA</p><p>Disciplina: Econometria</p><p>Prof. Anderson Moreira Aristides dos Santos</p><p>Primeira Lista de Exercícios de Econometria</p><p>Obs.: Esta lista corresponde a um material didático de apoio sem fins de autoria, portanto, muitas das</p><p>questões são retiradas dos principais livros ou de outros materiais de Econometria.</p><p>1) Um economista deseja verificar se a taxa de crescimento econômico de um país é afetada</p><p>pelo “nível de liberdades individuais” e pelo “grau de corrupção” do país através da seguinte</p><p>regressão (contendo um termo constante):</p><p>Yi = 1 + 2Li + 3Ci + ui</p><p>onde Y é a taxa de crescimento do PIB, L o nível de liberdades individuais e C o grau de corrupção</p><p>do país i. A variável L pode assumir os valores 1 (nível elevado de liberdades), 0 (nível médio de</p><p>liberdades) ou –1 (nível baixo de liberdades).</p><p>Similarmente, a variável C pode assumir os valores 1 (baixo grau de corrupção), 0 (grau de corrupção</p><p>médio) ou –1 (elevado grau de corrupção).</p><p>Para uma amostra de 10 países, observados ao longo de 1999, o economista obtém os seguintes dados:</p><p>País Y L C</p><p>Dinamarca 6 1 1</p><p>México 2 1 -1</p><p>Chile 3 0 1</p><p>Colômbia -1 0 -1</p><p>Rússia 2 0 0</p><p>Argentina 2 0 0</p><p>Brasil 1 0 0</p><p>Grécia 1 0 0</p><p>Egito 0 -1 0</p><p>Indonésia 0 -1 0</p><p>a) Usando seus conhecimentos de álgebra linear, escreva as equações normais e calcule o vetor de</p><p>coeficientes de MQO (considere uma estimação com dados contínuos.</p><p>b) Interprete os coeficientes estimados.</p><p>c) Calcule as variâncias dos coeficientes estimados. Tais coeficientes são estatisticamente</p><p>significativos (a 10%)?</p><p>(d) Calcule o R2 da regressão.</p><p>2) Dados sobre um problema com três variáveis conduziram aos seguintes resultados:</p><p>(X’X) = [</p><p>33 0 0</p><p>0 40 20</p><p>0 20 60</p><p>] (𝑿′𝒚) = [</p><p>132</p><p>24</p><p>92</p><p>] 𝑆𝑄𝑇 = 150</p><p>a) Qual a dimensão da amostra?</p><p>b) Calcule a equação da regressão?</p><p>c) Estime o erro padrão de b2 e teste a hipótese de que β2 seja igual a zero.</p><p>d) Interprete os parâmetros estimados.</p><p>3) Considere os seguintes dados:</p><p>y x1 x2 x3</p><p>10 1 0 0</p><p>12 1 1 0</p><p>30 1 2 1</p><p>40 1 3 1</p><p>50 1 4 1</p><p>y é a variável dependente e x2 e x3 são variáveis independentes.</p><p>a) Faça e interprete a estimação dos parâmetros por MQO.</p><p>b) Faça o teste de significância para cada parâmetro.</p><p>c) Calcule e interprete o R2 e o R2 ajustado.</p><p>d) Calcule a matriz de projeção (P) e a matriz M e mostre suas propriedades.</p><p>e) Indique como o teorema de Frisch-Waugh poderia ser demonstrado com os dados dessa</p><p>questão.</p><p>4) Suponha que, ao excluirmos uma variável explicativa de certa regressão, o R2 ajustado</p><p>aumente, mas o R2 diminua. Você diria que tal variável deve ou não ser excluída da regressão?</p><p>5) Discuta e mostre que o estimador do MQO é o MELNV.</p><p>6) Mostre o processo para encontrar o vetor dos estimadores com o método MQO.</p><p>7) Mostre como podemos encontrar a matriz de variância e covariância dos estimadores.</p><p>8) Discuta e mostre a consistência dos estimadores do MQO.</p><p>9) Sobre a matriz M, mostre que:</p><p>a) e=Mu</p><p>b) M=M´</p><p>c) MX=0</p><p>10) Um economista estima uma função de produção para a indústria de minerais metálicos do</p><p>Brasil:</p><p>iiii uKLY ˆ)ln(3756,0)ln(6022,01755,1)ln(</p><p>)0851,0()1254,0()3257,0(</p><p>+++=</p><p>n = 27, e’e= 0,8491  =− 2139,14)ˆ( 2YY</p><p>onde Y é o valor adicionado por estabelecimento ( em milhares de reais), L é uma medida do insumo</p><p>trabalho empregado e K representa o valor do estoque de capital físico utilizado (também em milhares</p><p>de reais). Os valores entre parênteses são os desvios padrões estimados.</p><p>a) Interprete os coeficientes estimados e analise sua significância estatística;</p><p>b) Como mudariam os coeficientes estimados se Y passasse a ser medido em milhões de reais?</p><p>c) Teste, ao nível de 5% de significância, a hipótese de que os coeficientes associados à mão-de-obra</p><p>e ao capital são conjuntamente iguais a zero.</p><p>d) Calcule um intervalo de confiança a 95% para o efeito sobre Y de um aumento de 1% no estoque</p><p>de capital.</p><p>Usando os mesmos dados acima, o economista estima uma nova equação:</p><p>*</p><p>)0753,0()1316,0(</p><p>ˆ)ln()]ln()[ln(6376,0070,1)ln( iiiii uKKLY ++−+=</p><p>n = 27,  = 8536,0ˆ 2*</p><p>iu ,  =− 2090,14)ˆ( 2YY</p><p>e) Qual restrição o economista impôs ao modelo ao estimar tal equação? Qual é o significado</p><p>econômico dessa restrição? Mostre o passo a passo para tua resposta.</p><p>f) Faça um teste dessa restrição.</p><p>g) Você acredita que a hipótese de que o erro tem média condicional nula é razoável nos modelos</p><p>acima? (considere outras variáveis possivelmente relevantes para explicar Y; por exemplo,</p><p>investimentos em P&D, qualificação da mão-de-obra, subsídios governamentais.)</p><p>11) Considere que lny= logaritmo natural da pobreza, lnx2= logaritmo natural da renda familiar</p><p>per capita e lnx3= logaritmo natural do índice de Gini. Var-Cov é a matriz de variância e</p><p>covariância dos coeficientes estimados e b é o vetor coluna com os parâmetros estimados. Os</p><p>cálculos foram estimados por MQO.</p><p>𝑉𝑎𝑟 − 𝐶𝑜𝑣 = [</p><p>0,01838369</p><p>−0,00305338 0,00055547</p><p>0,00250681 0,0000045663 0,00393353</p><p>]</p><p>𝒃 = [</p><p>9,2494</p><p>−0,90347</p><p>0,7719</p><p>]</p><p>n=102 (municípios de Alagoas no ano de 2010)</p><p>a) Interprete os coeficientes estimados.</p><p>b) Mostre como encontrar a fórmula do teste t para soma dos parâmetros estimados e teste a</p><p>hipótese que B2+B3=0.</p><p>12) Um pesquisador suspeita que a relação entre renda e taxa de mortalidade infantil (TMI) é não</p><p>linear. Dessa forma ele considera como base o seguinte modelo econométrico:</p><p>𝑇𝑀𝐼𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑎𝑛𝑎𝑙𝑓𝑖 + 𝛽3𝑙𝑛𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑖 + 𝑢𝑖</p><p>Onde analf é a taxa de analfabetismo das pessoas de 15 anos ou mais (%).</p><p>a) Explique a forma funcional escolhida pelo pesquisador.</p><p>b) Interprete os coeficientes estimados.</p><p>c) Faça o teste de significância individual.</p><p>d) Faça o teste global de significância do modelo.</p><p>13) (ANPEC-2006) O método dos Mínimos Quadrados Ordinários foi empregado para estimar o</p><p>modelo de regressão abaixo, cujo objetivo é explicar as variações de renda entre os 526</p><p>indivíduos de uma amostra aleatória:</p><p>ln(renda)=0,362 + 0,094 educ + 0,014 exper – 0,178 sexo – 0,010 exper . sexo + e</p><p>(0,128) (0,008) (0,002) (0,058) (0,002)</p><p>R2=0,368 n=526</p><p>Em que sexo é uma variável dicotômica (valor 1, se for mulher e 0, caso contrário), educ é o</p><p>número de anos de escolaridade (entre 0 e 17), exper são os anos de experiência (entre 0 e 40)</p><p>e e é a estimativa do erro. Os números entre parênteses são os erros padrões das estimativas,</p><p>robustos à heterocedasticidade. Com base nos resultados é correto afirmar que:</p><p>0) Ao nível de significância de 5%, o efeito de um ano a mais de experiência profissional</p><p>para indivíduos do sexo masculino é estatisticamente maior do que o efeito para mulheres.</p><p>1) Para um indivíduo com 10 anos de escolaridade, 1 ano adicional de estudo acarreta em</p><p>um aumento da renda de aproximadamente 9%.</p><p>2) O efeito na renda de um aumento de 1 ano na experiência profissional para as mulheres é</p><p>1% menor do que para os homens.</p><p>3) Pela inspeção dos resultados da estimação fica claro que os erros do modelo são</p><p>heterocedástico.</p><p>4) Se a um nível de significância de 5% o valor crítico F para a regressão for 2,37, os</p><p>coeficientes angulares serão conjuntamente diferentes de zero.</p><p>14) (ANPEC-2010) Considere as seguintes afirmações referentes ao modelo de regressão linear</p><p>clássico com regressores estocásticos:</p><p>𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1𝑖 + 𝛽2𝑥2𝑖 + 𝑒𝑖</p><p>i=1,...,n</p><p>E[e|x1, x2]=0 Var[e|x1, x2]=σ2</p><p>0) Os estimadores de MQO dos parâmetros são eficientes dentro da classe de estimadores</p><p>lineares,</p><p>mesmo se os erros da regressão não forem normalmente distribuídos;</p><p>1) Se a hipótese de homecedasticidade for violada, os estimadores de Mínimos Quadrados</p><p>Ordinários dos betas serão viesados.</p><p>2) A soma do y e do y estimado são iguais.</p><p>15) (ANPEC- 2010) Considere a regressão</p><p>y=Xβ + e</p><p>Suponha que tenhamos uma amostra de tamanho 4 e que:</p><p>𝐸[𝑒𝑒′] = 𝜎2 [</p><p>2 1 0 0</p><p>1 6 0 0</p><p>0 0 3 1</p><p>0 0 1 4</p><p>], x=[</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>], y=[</p><p>0</p><p>7</p><p>5</p><p>0</p><p>]</p><p>Compute a estimativa eficiente de 𝛽</p><p>16) “As muito feias que me perdoem, mas beleza é fundamental”, disse certa vez Vinicius de</p><p>Moraes. Com o objetivo de verificar se as pessoas mais bonitas obtém benefícios econômicos</p><p>por sua beleza – o que, indiretamente, corroboraria a frase de Vinicius –,D.Hamermesh e</p><p>J.Biddle (“Beauty and the Labor Market”, AER 84:5, 1994) estimaram, a partir de dados da</p><p>década de 1970 para os EUA, as seguintes equações (desvios-padrão em parênteses):.</p><p>Para amostra de homens: uxabaixoacimasal ˆ'164,0016,0)ln(</p><p>)046,0()033,0(</p><p>++−=  ( 1 )</p><p>2R = 0,40 N = 700</p><p>Para amostra de mulheres: vxabaixoacimasal ˆ'124,0039,0)ln(</p><p>)066,0()048,0(</p><p>++−=  ( 2 )</p><p>2R = 0,33 N = 409</p><p>onde sal é o salário do indivíduo (em US$), acima e abaixo são variáveis dummy que assumem valor</p><p>1 se a beleza do indivíduo foi classificada, respectivamente, “acima” ou “abaixo da média” pelo</p><p>entrevistador, e x é um vetor de variáveis explicativas adicionais que incluem experiência profissional</p><p>(em nível e ao quadrado), educação, raça, estado civil, tamanho da firma e setor de atividade, dentre</p><p>outras. Note que a beleza de cada indivíduo foi classificada com base em apenas 3 categorias: acima</p><p>da média (pessoas “bonitas”), média (“comuns”) e abaixo da média (“feias”).</p><p>a) De acordo com os coeficientes estimados, quais são os diferenciais estimados de salários entre</p><p>homens bonitos e feios? E entre mulheres bonitas e feias?</p><p>b) Os coeficientes estimados são significativos a algum nível de significância convencional? O que</p><p>isso sugere acerca da hipótese de que a beleza proporciona vantagens econômicas no mercado</p><p>de trabalho?</p><p>c) As regressões acima permitem testar a hipótese de que o efeito da educação sobre o salário é maior</p><p>para pessoas bonitas? Caso positivo, diga como realizar o teste. Caso negativo, sugira uma</p><p>especificação alternativa que permita testar tal hipótese.</p><p>d) Qual deve ter sido a motivação para a inclusão, nas regressões acima, da experiência profissional</p><p>ao quadrado como variável explicativa (no vetor x)?</p><p>17) Demonstre que, se ii uyy += ˆ , então SQT = SQE + SQR. Sabendo que</p><p>18) Estimou-se uma regressão para verificar a hipótese da Curva de Kuznets que propõe uma</p><p>relação de U invertido para a relação renda e desigualdade de renda. Considerou-se como a</p><p>variável dependente o L de Theil. A renda, o log da renda per-capita municipal, e Pop, o log</p><p>da população municipal rural, foram utilizadas como variáveis independentes. Os resultados</p><p>obtidos foram:</p><p>)0012,0(</p><p>2</p><p>)0855,0()1066,0()0316,0(</p><p>0043,0Re1268,0Re3082,02942,0 PopndandaL iii +−+=</p><p>R2= 0,09 n = 231</p><p>a) Interprete os coeficientes estimados.</p><p>b) Calcule o teste F de significância global.</p><p>c) Quais coeficientes são significativos.</p><p>d) Quais as restrições nas derivadas para que uma função tenha o formato de U invertido?</p><p>19) Um economista deseja estimar, para a população mundial, o grau de aversão ao risco de</p><p>contrair o vírus da AIDS. Para tanto, ele estima a seguinte regressão a partir de dados da ONU</p><p>para uma amostra de 27 países:</p><p>uconheccam ˆ50,046,8</p><p>)22,0()11,16(</p><p>++=</p><p>Onde cam é a proporção de homens (entre 15 e 24 anos) que usaram camisinha na última relação</p><p>sexual “de alto risco” e conhec é a proporção de homens (entre 15 e 24 anos) com “conhecimento</p><p>adequado” das formas de transmissão do vírus HIV e que sabem que pessoas aparentemente</p><p>saudáveis podem transmitir o vírus. Essas variáveis assumem valores entre 0 e 100. Os valores</p><p>entre parênteses são os desvios-padrão estimados.</p><p>Segundo o economista, a população mundial seria neutra ao risco de contrair o vírus HIV se o</p><p>aumento do nível de conhecimento sobre os riscos de contaminação não afetasse a probabilidade</p><p>da adoção de mecanismos de prevenção (como a camisinha). Caso tal probabilidade se tornasse</p><p>maior com o aumento do conhecimento sobre o vírus, a população poderia ser considerada avessa</p><p>ao risco.</p><p>a) Interprete os coeficientes estimados. O que tais coeficientes sugerem acerca do grau de aversão ao</p><p>risco de contrair o vírus HIV?</p><p>b) Como mudariam os coeficientes estimados se ambas as variáveis cam e conhec passassem a ser</p><p>medidas entre 0 e 1 – de modo que, por exemplo, uma proporção de 50% de homens que usaram</p><p>a camisinha passasse a ser representada pelo valor 0,5 e não mais por 50?</p><p>c) Considere as seguintes variáveis contidas no erro (dentre milhares de outras): (I) nível de educação;</p><p>(II) PIB per capita; (III) proporção de domicílios com acesso à internet. Você acredita que a</p><p>presença dessas variáveis no erro possa estar violando a hipótese média condicional nula do erro?</p><p>Justifique.</p><p>d) Teste, ao nível de 5% de significância, a hipótese de que a população mundial é neutra ao risco de</p><p>contrair o vírus HIV;</p><p>e) Teste, ao nível de 5% de significância, a hipótese de que o parâmetro associado à variável conhec</p><p>é igual a 1. O que o resultado desse teste sugere acerca do grau de aversão ao risco de contrair o</p><p>vírus HIV?</p><p>20) Suponha um modelo econométrico para explicar o consumo (C) de famílias de uma região</p><p>através de três variáveis: renda (R), poupança total (P), e posse do imóvel em que habita (D).</p><p>As variáveis C, R e P são medidas em unidades monetárias. A variável dummy assume valor</p><p>1 se a família e dona do imóvel em que habita, e zero caso contrário. Considerando uma</p><p>regressão com a ordem das variáveis R, P e D, o economista encontrou os seguintes resultados</p><p>com 14 famílias:</p><p>b=[</p><p>28</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>] (𝑿′𝑿)−𝟏 = [</p><p>1/14 0 0 0</p><p>0 2 0 0</p><p>0 0 1 0</p><p>0 0 0 3</p><p>] s2=1/3</p><p>a) Teste se não há diferença entre os efeitos da renda e da poupança sobre o consumo.</p><p>b) Teste se o fato de a família ser dona do imóvel em que habita não influencia em nada o</p><p>consumo.</p><p>c) Realize um teste conjunto dos itens anteriores.</p><p>21) Os dados abaixo referem-se a um modelo de regressão linear estimado:</p><p>𝒃 = [</p><p>−1</p><p>−1</p><p>2</p><p>] (𝑿′𝑿)−𝟏 = [</p><p>1/103 0 0</p><p>0 1/10 0</p><p>0 0 1/10</p><p>]</p><p>e’e=2700</p><p>O modelo com intercepto explica o investimento agregado de uma economia em função da taxa de</p><p>juros real (x2) e um índice de utilização da capacidade instalada (x3).</p><p>Teste a hipótese conjunta de que o intercepto é igual a zero e os coeficientes angulares se anulam</p><p>mutuamente.</p><p>22) Um economista deseja estimar um modelo em que o salário do indivíduo depende da educação</p><p>e da experiência profissional (modelo com constante). Considere a ordem dos parâmetros</p><p>constante, educação e experiência. Ele dispõe dos seguintes dados:</p><p>(𝑿′𝑿)−𝟏 = [</p><p>1/100 0 0</p><p>0 1/25 0</p><p>0 0 1/100</p><p>] (𝑿′𝒚) = [</p><p>−100</p><p>100</p><p>500</p><p>] e’e=4850</p><p>a) Calcule os coeficientes estimados por MQO e teste sua significância.</p><p>b) Mostre que a hipótese nula formulada pelo economista pode ser representada na forma Rβ=q</p><p>e teste a hipótese.</p><p>23) Um economista estima a seguinte equação:</p><p>iiii uEDUCEDUCY ˆ0,189,1407,466</p><p>)1,2(</p><p>2</p><p>)2,25()0,75(</p><p>++−=</p><p>N = 91, 0,455.132ˆ 2</p><p> =iu SQT = 715.973</p><p>onde Y é a renda per capita (em reais) e EDUC é o nível médio de escolaridade da população (em</p><p>anos de estudo). Os valores entre parênteses são os desvios padrões estimados.</p><p>(a) Como seria realizado o teste de White para heterocedasticidade no modelo acima? Para que</p><p>valores da estatística-F do teste se poderia concluir pela presença de heterocedasticidade?</p><p>(b) Suponha que a presença de heterocedasticidade tenha sido detectada através do teste de White, e</p><p>que o economista acredite que a variância dos erros aumente linearmente com EDUC; isto é,</p><p>var(ui | educi ) =s2 educi . Qual seria o estimador BLUE nesse caso?</p><p>24) Um economista deseja investigar, para empresas brasileiras que possuem ações na Bovespa,</p><p>a relação entre dividendos pagos por ação e o lucro líquido da empresa. Considere que os</p><p>dados foram obtidos no ano de 2002 através de uma amostra aleatória simples das empresas</p><p>que negociaram ações na Bovespa. Suponha que você, aluno (a) de Econometria, seja o(a)</p><p>assistente de pesquisa do economista.</p><p>O economista, antes de contratá-lo (a), estimou a seguinte regressão por Mínimos Quadrados</p><p>Ordinários (MQO):</p><p>di = 0 + 1lucroi + ’Xi + ui</p><p>onde di são os dividendos pagos por ação da empresa i, lucroi é o lucro líquido da empresa i, X é um</p><p>vetor formado por outras variáveis explicativas, ui é o erro e b0, b1 e  são parâmetros.</p><p>(a) Explique porque, dada a natureza das variáveis sendo investigadas, seria razoável esperar que a</p><p>regressão acima sofresse de heteroscedasticidade.</p><p>(b) Quais seriam as conseqüências da presença de heterocedasticidade para os resultados da regressão</p><p>efetuada pelo economista?</p><p>(c) Um colega seu, também estagiário, sugere que o teste de significância da variável lucro seja</p><p>realizado com base na variância robusta do estimador de MQO calculada pelo procedimento de</p><p>White. Você, que tem uma formação econométrica mais sofisticada, decide usar Mínimos</p><p>Quadrados Ponderados (MQP) e, após investigação minuciosa dos dados, chega à seguinte relação</p><p>funcional para heterocedasticidade:</p><p>Var(ui | lucroi, Xi ) = s2lucroi, s</p><p>2 > 0</p><p>Descreva cuidadosamente como você estimaria os parâmetros do modelo por MQP e testaria a</p><p>hipótese de que a variável lucro tem um efeito significativo na variável dividendo.</p><p>(d) Por que a sua sugestão (estimar por MQP) poderia ser considerada um procedimento “melhor” do</p><p>que a alternativa sugerida pelo seu colega (estimar por MQO usando a variância robusta)? Sob que</p><p>condições o seu procedimento poderia levar a resultados menos confiáveis do que o procedimento</p><p>proposto pelo colega?</p><p>25) Diga se a seguinte a frase é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta: “Ao contrário dos</p><p>anos 70, atualmente, a correção de heterocedasticidade em um modelo de regressão se dá</p><p>pelo uso de MQO, mas com uma matriz de variância-covariância dos parâmetros apropriada,</p><p>ao invés da estimação por MQG.”</p><p>26) Considerando os dados da questão 12, um pesquisador resolveu verificar se seu modelo</p><p>apresentava o problema de heterocedasticidade. Para tanto ele realizou o teste de Breusch-</p><p>Pagan.</p><p>a) Descreva os passos do teste. Considere que o pesquisador encontrou um R2 da regressão</p><p>auxiliar de 0,1426, realize o teste supracitado.</p><p>b) Considere que o pesquisador acredita que a variância do erro tem a fórmula a seguir.</p><p>Indique como ele poderia estimar o novo modelo e faça uma comparação teórica com os</p><p>resultados obtidos pelo MQO.</p><p>𝐸(𝑢𝑖</p><p>2) = 𝜎2(𝑙𝑛𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎)𝑖</p><p>2</p><p>c) Agora suponha que o pesquisador não conhece a forma do desvio padrão do erro</p><p>heterocedástico, assim, ele estima o modelo com erros padrão robustos (ver saída do stata</p><p>abaixo). Faça uma comparação com o modelo não robusto.</p><p>27) Considere o exercício número 10 e indique como o pesquisador poderia testar</p><p>heterocedasticidade através do teste de White. Posteriormente, dado um R2 da regressão</p><p>auxiliar de 0,2713, realize esse teste.</p><p>28) Faça uma discussão das hipóteses do Modelo Clássico de Regressão Linear.</p><p>29) (ANPEC-2017) Considere o modelo de regressão linear:</p><p>𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1𝑖 + 𝛽2𝑥2𝑖 + 𝑢𝑖 e i=1,2,...,N em que 𝐸 = (𝑢𝑖|𝑥1𝑖𝑥2𝑖)</p><p>0) A hipótese 𝐸 = (𝑢𝑖|𝑥1𝑖𝑥2𝑖) não é necessária para que o estimador de MQO de 𝛽1 seja</p><p>consistente.</p><p>_cons 47.48262 1.616601 29.37 0.000 44.31345 50.65179</p><p>analf .3488335 .0129829 26.87 0.000 .323382 .3742851</p><p>lnrenda -5.571095 .2349897 -23.71 0.000 -6.031766 -5.110423</p><p>tmi Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]</p><p>Robust</p><p>Root MSE = 3.8045</p><p>R-squared = 0.7159</p><p>Prob > F = 0.0000</p><p>F(2, 5563) = 5050.42</p><p>Linear regression Number of obs = 5,566</p><p>. reg tmi lnrenda analf, robust</p><p>1) Se 𝑉𝑎𝑟(𝑢𝑖|𝑥1𝑖𝑥2𝑖) = 𝑥1𝑖𝜎</p><p>2, o estimador de MQO de 𝛽1 é tendencioso.</p><p>2) Suponha que os parâmetros tenham sido estimados por MQO. Se 𝑉𝑎𝑟(𝑢𝑖|𝑥1𝑖𝑥2𝑖) =</p><p>𝜎2𝑥1𝑖, a estatística t não é válida para testar a significância dos parâmetros do modelo.</p><p>30) (ANPEC-2017- levemente modificada) Considere o modelo de regressão linear simples:</p><p>𝑦𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑥2𝑖 + 𝑢𝑖</p><p>Para uma amostra de 10 observações são encontrados os seguintes resultados (x1=1):</p><p>�̅�𝒚′𝒙𝟏 = 4000; 𝒙′𝟐𝒙𝟐 = 15; 𝒚′𝒙𝟐 = 500; �̅�2𝒙′𝟐𝒙𝟏 = 10</p><p>Calcule o vetor coluna b utilizando o método MQO.</p><p>31) Suponha que um pesquisador queira analisar o impacto da renda sobre a saúde do indivíduo</p><p>com dados de corte transversal (cross-section), utilizando uma base contendo os municípios</p><p>do Brasil. Entre diversos controles, ele resolve incluir variáveis binárias (dummies) para os</p><p>estados do Brasil. Mostre e explique como ficaria o modelo econométrico, indicando quantas</p><p>dummies o pesquisador deve adicionar ao modelo, e o sentido teórico dessas variáveis.</p><p>32) Um pesquisador deseja encontrar o impacto do saneamento básico (porcentagem da</p><p>população com acesso adequado à água, esgoto e coleta de lixo) sobre a taxa de mortalidade</p><p>infantil, utilizando dados em painel dos estados do Brasil, no período de 2001-2010. O</p><p>resultado do modelo, encontra-se abaixo, o pesquisador utilizou como controle a taxa de</p><p>analfabetismo (%) e o logaritmo natural da renda domiciliar per capita, e um modelo de</p><p>efeitos fixos com o uso de variáveis dummies. Interprete os parâmetros do modelo e explique</p><p>a importância da adição das dummies.</p><p>33) (ANPEC- 2005) É dada a seguinte função de produção para determinada indústria:</p><p>ln(𝑦𝑖) = 𝛽0 + 𝛽1 ln(𝐿𝑖) + 𝛽2 ln(𝐾𝑖) + 𝑢𝑖</p><p>Em que y é o valor adicionado por firma (em reais), L é o trabalho empregado, K é o valor</p><p>do capital (em reais), e u é o termo aleatório. Uma amostra aleatória de 27 observações leva</p><p>às seguintes estimativas:</p><p>ln(𝑦𝑖) = 1,1755 + 0,6022 ln(𝐿𝑖) + 0,3856 ln(𝐾𝑖) + 𝑢𝑖</p><p>𝐮’𝐮 = 0,84</p><p>R2=0,76</p><p>1) A nível de 5%, os coeficientes associados ao trabalho e ao capital são conjuntamente iguais</p><p>a zero.</p><p>_cons 71.25508 10.91304 6.53 0.000 49.75751 92.75265</p><p>27 .5273632 .9788637 0.54 0.591 -1.400898 2.455625</p><p>26 14.20827 2.947098 4.82 0.000 8.402786 20.01375</p><p>25 3.516766 1.721718 2.04 0.042 .1251568 6.908375</p><p>24 6.713749 1.58007 4.25 0.000 3.601172 9.826325</p><p>23 7.461614 1.71067 4.36 0.000 4.09177 10.83146</p><p>22 .7559995 1.320282 0.57 0.567 -1.84482 3.356819</p><p>21 2.793493 1.288598 2.17 0.031 .2550863 5.3319</p><p>20 -4.186728 .9420764 -4.44 0.000 -6.042522 -2.330934</p><p>19 15.48836 2.51609 6.16 0.000 10.53192 20.4448</p><p>18 5.481064 1.678798 3.26 0.001 2.174005 8.788124</p><p>17 -9.877761 1.130538 -8.74 0.000 -12.1048 -7.650717</p><p>16 -3.815948 1.36549 -2.79 0.006 -6.505823 -1.126072</p><p>15 -3.736592 1.442626 -2.59 0.010 -6.578416 -.8947666</p><p>14 2.961861 1.254608 2.36 0.019 .490412 5.433309</p><p>13 5.181465 1.085276 4.77 0.000 3.043582 7.319347</p><p>12 1.553243 1.112944 1.40 0.164 -.6391428 3.745629</p><p>11 10.42902 2.490427 4.19 0.000 5.523136 15.33491</p><p>10 -7.743926 1.011961 -7.65 0.000 -9.737386 -5.750467</p><p>9 2.95241 1.177059 2.51 0.013 .6337238 5.271097</p><p>8 4.155884 2.002727 2.08 0.039 .2107164 8.101052</p><p>7 17.55528 2.592201 6.77 0.000 12.44891 22.66165</p><p>6 -4.991998 1.148789 -4.35 0.000 -7.254995 -2.729001</p><p>5 .1438199 1.507518 0.10 0.924 -2.825837 3.113476</p><p>4 8.24505 1.650734 4.99 0.000 4.993272 11.49683</p><p>3 6.091697 1.542243 3.95 0.000 3.053636 9.129758</p><p>2 -12.75291 1.309198 -9.74 0.000 -15.3319 -10.17392</p><p>id</p><p>lnrenda -9.046182 1.5133 -5.98 0.000 -12.02723 -6.065135</p><p>analfabetismo .9235566 .1276535 7.23 0.000 .6720924 1.175021</p><p>saneamento -.1655122 .0431631 -3.83 0.000 -.2505391 -.0804854</p><p>tmi Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]</p><p>Total 10348.0745 269 38.4686786 Root MSE = 2.0197</p><p>Adj R-squared = 0.8940</p><p>Residual 978.987425 240 4.07911427 R-squared = 0.9054</p><p>Model 9369.08711 29 323.071969 Prob > F = 0.0000</p><p>F( 29, 240) = 79.20</p><p>Source SS df MS Number of obs = 270</p><p>2) Se o desvio padrão do estimador de 𝛽2 for 0,0854 o intervalo de confiança a 95% para o</p><p>efeito sobre Y de um aumento de 1% no estoque de capital será 0,95 x 0,3856/0,0854</p><p>3) Os valores permitem concluir que, para aquela indústria, a produtividade marginal do</p><p>trabalho é menor que a produtividade média do mesmo fator.</p><p>4) Qualquer outra forma funcional que leve a um R2 maior que 0,76 será preferível à utilizada.</p><p>34) Mostre que a variância do erro, gerada pelo MQG, é constante.</p><p>35) Faça a questão 1 do capítulo 5 do Greene (2012).</p><p>36) Faça questão 1 do capítulo 9 do Greene (2012.)</p><p>37) (ANPEC, Q13- 2015) O governo gostaria de estimar o efeito do Programa Saúde da Família</p><p>sobre a taxa de internação por difteria das crianças entre 0 e 4 anos de idade. Para isso, ele</p><p>gostaria de estimar o seguinte modelo de regressão:</p><p>𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝜀1</p><p>no qual é a taxa de internação do município i, Xi é uma variável binária que é igual a 1, se o município</p><p>i participa do programa, e 0, caso contrário. Usando os dados para o Brasil em 2013, temos os</p><p>seguintes resultados: �̅�1 = 85, �̅�0 = 65. Neste caso, �̅�1 é a média da taxa de internação para os</p><p>municípios que participaram do Programa e �̅�0 é a média da taxa de internação para os municípios</p><p>que não participaram do Programa. Além disso, 70% dos municípios brasileiros participam do</p><p>Programa Saúde da Família. Você estima o modelo acima por Mínimos Quadrados Ordinários. Qual</p><p>o valor obtido para o coeficiente associado a Xi?</p><p>38) (ANPEC, Q1- 2016)</p><p>39) Considerando o seguinte modelo 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝒖, com E(u|x)=0. Sabe-se que Var(u|X)=𝛔𝟐𝛀 ,</p><p>em que</p><p>𝛀 = [</p><p>1 0 0</p><p>0 2 0</p><p>0 0 4</p><p>] , 𝑿 = [</p><p>1</p><p>2</p><p>8</p><p>] , 𝒚 = [</p><p>10</p><p>8</p><p>4</p><p>]</p><p>a) O que podemos afirmar sobre os erros do modelo? Qual método você usaria para estimar 𝜷</p><p>de forma mais eficiente? Justifique.</p><p>b) Mostre como chegar ao estimador do método que você considera correto a partir do</p><p>estimador de MQO na forma matricial. Encontre �̂�.</p><p>c) Encontre a forma matricial para calcular 𝑉𝑎𝑟[�̂�|𝑿] a partir do item (b). Calcule 𝑉𝑎𝑟[�̂�|𝑿].</p><p>40) Prove que o traço da matriz M=(I-P) é igual a n-K.</p><p>41) Considere o modelo de elasticidades da pobreza relativo à questão 11, calcule o estimador</p><p>do modelo restrito e teste a hipótese que a soma das elasticidades seja igual a 1(hum).</p><p>(𝑿′𝑿)−1 = [</p><p>5,3402437</p><p>−0,8869702 0,161357802</p><p>0,7281995 −0,001325621 1,142644835</p><p>]</p><p>{𝑹(𝑿′𝑿)−𝟏𝑹′}−𝟏 = 𝟎, 𝟕𝟔𝟖𝟒𝟑𝟐</p><p>42) Mostre que a variância do erro gerada no MQO é consistente e não viesada.</p><p>43) Faça a questão 4.1 do Jhonston e Dinardo (1997).</p><p>44) Faça a questão 4.8 do Jhonston e Dinardo (1997).</p><p>45) Faça a questão 4.9 do Jhonston e Dinardo (1997).</p><p>46) (ANPEC – 2002, Q09)</p><p>Pode-se afirmar sobre o modelo de regressão linear clássico 𝑦𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2 + 𝑢𝑡</p><p>Ⓞ A reta de regressão passa pelas médias amostrais de y e x, mesmo que o modelo não tenha</p><p>intercepto.</p><p>① Na presença de heterocedasticidade, o estimador de MQO é viesado e não se pode confiar nos</p><p>procedimentos de testes usuais (F e t), já que o estimador além de viesado, é ineficiente.</p><p>② Na presença de autocorrelação dos resíduos, os estimadores de MQO são não viesados e</p><p>consistentes.</p><p>③ Quanto maior for a variação da variável explicativa, maior será a precisão com que o</p><p>coeficiente angular pode ser estimado.</p><p>④ Se R2 (coeficiente de determinação) for zero, então a melhor previsão para um valor de y é</p><p>sua média amostral.</p><p>47) (ANPEC – 2003, Q06)</p><p>Considere o modelo de regressão linear múltipla para dados seccionais</p><p>.,,1,22110 niuxxxy ikikiii  =+++++=</p><p>É correto afirmar que:</p><p>Ⓞ para que os estimadores de mínimos quadrados sejam os melhores estimadores lineares não-</p><p>tendeciosos é necessário que os erros sejam normalmente distribuídos;</p><p>① a hipótese que nixxxuVar kiiii ,,1,),,,|( 2</p><p>21  == , não é necessária para que os</p><p>estimadores de mínimos quadrados sejam consistentes;</p><p>② a inclusão de uma nova variável explicativa no modelo reduzirá o coeficiente de determinação R2</p><p>;</p><p>③ para que as estatísticas t e F sejam válidas assintoticamente é necessário que os erros sejam</p><p>normalmente distribuídos;</p><p>④ se nixxCov ii ,,1,0),( 31 = os estimadores de mínimos quadrados ordinários da</p><p>regressão 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1𝑖 + 𝛽2𝑥2𝑖 + ⋯ + +𝛽𝑘𝑥𝑘𝑖 + 𝑢𝑖 , i=1, .... n, serão tendenciosos.</p><p>48) (ANPEC – 2003, Q07)</p><p>O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão</p><p>abaixo, cujo objetivo é explicar as variações de renda entre 526 indivíduos:</p><p>,526,441,0</p><p>,00058,0029,0080,0297,0417,0)log(</p><p>2</p><p>2</p><p>)00010,0()005,0()007,0()036,0()099,0(</p><p>==</p><p>+−++−=</p><p>nR</p><p>uexperexpereducsexorenda</p><p>em que sexo é uma variável dicotômica (valor 1, se for homem e 0, caso contrário), educ é o número</p><p>de anos de escolaridade, exper é experiência profissional, também medida em anos. Os números entre</p><p>parênteses são os erros-padrão das estimativas )4.,,.,..1,0( =is</p><p>ib . Com base nos resultados acima,</p><p>é correto afirmar:</p><p>Ⓞ a regressão não é estatisticamente significante pois o coeficiente de determinação é menor do</p><p>que 0,5;</p><p>① a diferença de renda entre homens e mulheres não é estatisticamente significante;</p><p>② um ano a mais de escolaridade, mantidos constantes todos os demais fatores, aumenta em</p><p>0,08% a renda de um indivíduo do sexo feminino;</p><p>③ a significância conjunta das variáveis educ e exper</p><p>não pode ser medida por meio da estatística t.</p><p>Para isto, o teste F deve ser utilizado;</p><p>④ o modelo é incapaz de captar diferenças nos retornos da educação entre homens e mulheres.</p><p>49) (ANPEC- 2019, Q. 10)</p><p>Considere o seguinte modelo de regressão linear simples: 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥 + 𝑢. Para uma amostra</p><p>com 32 observações são observados os seguintes resultados: �̅� = 30, �̅� = 10, ∑ (𝑦𝑖 − �̅�)2 = 9032</p><p>𝑖=1 ,</p><p>∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2 = 6032</p><p>𝑖=1 , ∑ (𝑦𝑖 − �̅�)(𝑥𝑖 − �̅�) = 3032</p><p>𝑖=1</p><p>A partir dessas informações, obtenha a Soma dos Quadrados dos Resíduos (SQR) correspondente</p><p>aos estimadores de MQO para esse modelo.</p>