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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro EP4 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-2 Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado nas Aulas 4 e 5 do Caderno Dida´tico. O EP4 da´ sequeˆncia ao estudo da Linguagem da Lo´gica. Ale´m do conectivo condicional “se ..., enta˜o ...”, veremos neste EP, tambe´m, o conectivo bicondicional “se e somente se”. Vamos trabalhar com tabela verdade, e estudaremos argumentos lo´gicos. Voceˆ encontra toda esta teoria em seu material impresso, mas na˜o deixe de ler os comenta´rios neste EP e fazer os exerc´ıcios Se... enta˜o... Comec¸aremos vendo o conectivo que causa mais dificuldades para os alunos e que pode ser fonte tambe´m da maior parte de armadilhas em questo˜es de lo´gica. Chama-se condicional e surge normal- mente atrave´s das palavras “se ..., enta˜o ...”. Ele estava presente no exemplo dado no in´ıcio do EP3 em que o pai de Julio dizia que se ele fosse aprovado no ENEM, enta˜o teria um carro novo. Por isso e´ fundamental estudar bem este conectivo. Considere a frase “Se Maria foi a Roma enta˜o ela conhece o Papa”. Matematicamente esta frase significa pura e simplesmente que se Maria foi a Roma com certeza ela conhece o Papa. A frase, do ponto de vista matema´tico, na˜o nos diz que se ela na˜o foi, na˜o conhece o Papa. Na verdade a frase na˜o diz nada sobre quem ela conhece ou na˜o conhece se ela na˜o foi a Roma. O condicional e´ representado pelo s´ımbolo ⇒. Assim, se chamarmos de r a` proposic¸a˜o “Maria foi a Roma” e de p a` proposic¸a˜o “Maria conhece o Papa”, ter´ıamos a proposic¸a˜o composta, em questa˜o, representada por r ⇒ p, que pode ser lida como “se r enta˜o p” ou, ainda, “r implica p”. So´ ha´ um modo desta ser uma proposic¸a˜o falsa: se Maria foi a Roma e na˜o conhece o Papa. Em qualquer outra situac¸a˜o, a proposic¸a˜o composta e´ verdadeira. Veja, se Maria foi a Roma e conhece o Papa, a proposic¸a˜o e´ obviamente verdadeira. Se Maria na˜o foi a Roma, na˜o importa se ela conhece ou na˜o o Papa, a proposic¸a˜o na˜o e´ falsa, ja´ que nada diz a respeito desta situac¸a˜o. Um terr´ıvel exemplo de como a implicac¸a˜o condicional “se ..., enta˜o ...”gera confuso˜es e injustic¸as ocorre praticamente todo ano, nos finais do Campeonato Brasileiro de Futebol. Na˜o e´ piada, e´ se´rio! No comec¸o dos campeonatos, alguns matema´ticos especializados no assunto (muitos deles bastante competentes, por sinal!) costumam divulgar seus estudos. Neles, costumam fazer afirmac¸o˜es como O time que obtiver pelo menos 52 pontos na˜o sera´ rebaixado. Esta afirmac¸a˜o pode ser lida como uma condicional da seguinte forma: Se um time obtiver pelo menos 52 pontos, enta˜o ele na˜o sera´ rebaixado. Acontece que, ao final do campeonato, um time possui 45 pontos e na˜o foi rebaixado. A´ı todos caem em cima do matema´tico dizendo que ele errou? Pense um pouco... ele errou? Na˜o, ele na˜o errou! A afirmac¸a˜o “Se um time obtiver pelo menos 52 pontos, enta˜o ele na˜o sera´ rebaixado”diz simplesmente que todo e qualquer time que tiver pontuac¸a˜o igual ou superior a 52 na˜o sera´ rebaixado. E isto realmente aconteceu. Se um time com 45 na˜o caiu, e´ claro que todos aqueles Me´todos Determin´ısticos I EP4 2 que teˆm 52 tambe´m na˜o ca´ıram. Ou seja, o que o matema´tico disse estava certo. Repare que nada foi dito sobre os times que tivessem menos do que 52 pontos. Aqueles que tivesses menos de 52 poderiam ser ou na˜o rebaixados, nada disse o matema´tico sobre eles. O grande problema e´ que, em geral, quando as pessoas leem Se um time obtiver pelo menos 52 pontos, enta˜o ele na˜o sera´ rebaixado. elas costumam pensar que tambe´m esta´ sendo afirmado que Se um time na˜o foi rebaixado, enta˜o ele obteve 52 pontos. Esta u´ltima afirmac¸a˜o na˜o e´ equivalente a` anterior. Dentro do exemplo dado, ela esta´, inclusive incorreta, pois houve um time que na˜o foi rebaixado e na˜o obteve 52 pontos. E e´ essa afirmac¸a˜o que o matema´tico na˜o fez que costuma ser utilizada para dizerem que ele esta´ errado! Ou seja, ele esta´ pagando pelos erros lo´gicos dos outros! No exerc´ıcio a seguir, vamos trabalhar com o conectivo condicional “se ..., enta˜o ...”. Em va´rios dos itens deste exerc´ıcio, voceˆ observara´ que as proposic¸o˜es simples envolvidas na proposic¸a˜o com- posta na˜o possuem nenhuma relac¸a˜o uma com a outra. Isto na˜o constitui nenhum problema. Uma proposic¸a˜o simples pode na˜o ter nada a ver com a outra. O que vai determinar se a proposic¸a˜o composta e´ falsa ou verdadeira e´ a falsidade ou veracidade de cada uma das proposic¸o˜es simples envolvidas. Exerc´ıcio 1 Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das proposic¸o˜es compostas a seguir. Jus- tifique. a) Se a Amazoˆnia e´ uma floresta enta˜o ha´ praias no Rio de Janeiro. b) Se respiramos oxigeˆnio, enta˜o temos guelras. c) Se o Snoopy era um gato, enta˜o o Garfield era um cachorro. d) Se Salvador e´ a capital do Brasil, enta˜o o Rio de Janeiro fica na regia˜o Sudeste. e) Se existe chuva de canivete, enta˜o os canivetes evaporam quando deixados no Sol. Se, e somente se Vamos tratar agora o conectivo bicondicional “se e somente se”. Por exemplo, lembrando-se do caso de Julio, se o pai dele (ver EP3) houvesse dito “Julio, voceˆ tera´ um carro novo se e somente se voceˆ for aprovado no ENEM”, a´ı sim, o pai dele estaria dizendo que se ele fosse aprovado no ENEM teria um carro, e se fosse visto com um carro e´ porque foi aprovado no ENEM. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP4 3 O conectivo bicondicional e´ expresso pelo s´ımbolo⇔ e e´ usado para denotar equivaleˆncia entre duas proposic¸o˜es. Dizer p⇔ q, significa dizer que quando uma das duas proposic¸o˜es elementares for ver- dadeira, a outra tambe´m sera´ e quando uma das duas for falsa, a outra tambe´m sera´. A proposic¸a˜o composta p⇔ q (p se e somente se q) e´ falsa se uma das duas proposic¸o˜es elementares for verdadeira e a outra falsa. Por exemplo, “o Brasil e´ maior que a Argentina se e somente se as baleias sabem falar” e´ uma proposic¸a˜o falsa, pois a primeira proposic¸a˜o elementar e´ verdadeira e a segunda na˜o. Ja´ a proposic¸a˜o “O Brasil e´ menor que a Argentina se e somente se as baleias sabem falar” e´ uma proposic¸a˜o verdadeira pois ambas as proposic¸o˜es elementares sa˜o falsas (logo, sa˜o equivalentes, isto e´, teˆm o mesmo valor lo´gico). Na pro´xima questa˜o vamos trabalhar com o conectivo bicondicional “se e somente se”. Exerc´ıcio 2 Determine se as proposic¸o˜es compostas abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas. Justifique. a) Bananas sa˜o vermelhas se e somente se existem mac¸a˜s verdes. b) A bandeira brasileira e´ lila´s se e somente se ha´ peixes no mar. c) Os peixes sabem respirar sob a a´gua se e somente se ha´ elefantes que voam. d) As bananeiras da˜o mac¸a˜s se e somente se os golfinhos teˆm asas. Tabelas-verdade Agora, voceˆ ja´ conhece todos os operadores lo´gicos que vamos estudar (e, ou, na˜o, se ... enta˜o..., se e somente se). Nossa pro´xima tarefa e´ montar tabelas-verdade. Trata-se de uma tabela em que anotamos os valores lo´gicos das proposic¸o˜es elementares, a fim de saber se uma expressa˜o composta e´ verdadeira ou falsa. Vejamos um exemplo: vamos avaliar a expressa˜o p⇔ q. Para criar a tabela, colocamos nas primeiras colunas as proposic¸o˜es elementares e na coluna seguinte a expressa˜o que queremos avaliar. Nas linhas das proposic¸o˜es elementares escrevemos todas as combinac¸o˜es poss´ıveis de verdadeiro e falso que estas proposic¸o˜es podem assumir: p q p⇔ q V V V F F V F F Ja´ sabemos que a expressa˜o em questa˜o e´ verdadeira sempre que tanto p quanto q tiverem o mesmo valor lo´gico, isto e´, quando as duas forem verdadeiras ou quando as duas forem falsas. Enta˜o podemos preenchera tabela-verdade: Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP4 4 p q p⇔ q V V V V F F F V F F F V Uma tabela verdade pode ter va´rias proposic¸o˜es compostas e estas podem ser bem mais complicadas que a que usamos acima. Na questa˜o abaixo vamos trabalhar com tabelas-verdade. Exerc´ıcio 3 Complete a tabela verdade a seguir. p q p⇒ q p ∨ q p∨ ∼ p q∧ ∼ q p ∧ q ∼ p⇒ q ∼ q ⇒∼ p V V V F F V F F Exerc´ıcio 4 Andre´ e´ inocente ou Beto e´ inocente. Se Beto e´ inocente, enta˜o Caio e´ culpado. Caio e´ inocente se e somente se Deˆnis e´ culpado. Ora, Deˆnis e´ culpado. Logo, (A) Caio e Beto sa˜o inocentes. (B) Caio e Andre´ sa˜o inocentes. (C) Andre´ e Beto sa˜o inocentes. (D) Caio e Deˆnis sa˜o culpados. (E) Andre´ e Deˆnis sa˜o culpados. Observac¸a˜o: Essa questa˜o foi desenvolvida pela Escola de Administrac¸a˜o Fazenda´ria (ESAF) – (Fiscal Recife/2003/Esaf). Exerc´ıcio 5 Considere a afirmac¸a˜o P: “A ou B”, onde A e B, por sua vez, sa˜o as seguintes afirmac¸o˜es: A: “Carlos e´ dentista.” B:“Se Eˆnio e´ economista, enta˜o Juca e´ arquiteto.” Ora, sabe-se que a afirmac¸a˜o P e´ falsa. Logo, (A) Carlos na˜o e´ dentista, Eˆnio na˜o e´ economista, Juca na˜o e´ arquiteto. (B) Carlos na˜o e´ dentista, Eˆnio e´ economista, Juca na˜o e´ arquiteto. (C) Carlos na˜o e´ dentista, Eˆnio e´ economista, Juca e´ arquiteto. (D) Carlos e´ dentista, Eˆnio na˜o e´ economista, Juca na˜o e´ arquiteto. (E) Carlos e´ dentista, Eˆnio e´ economista, Juca na˜o e´ arquiteto. Observac¸a˜o: A questa˜o a seguir foi desenvolvida pela Escola de Administrac¸a˜o Fazenda´ria (ESAF) para um concurso de gestor fazenda´rio em 2005. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP4 5 Condic¸o˜es “necessa´rias”, “suficientes”e “necessa´rias e sufici- entes” Ha´ muitas informac¸o˜es teo´ricas neste EP , mas ha´ mais uma coisa que temos que saber. Quando dizemos p⇒ q, estamos dizendo que p implica q, isto e´, basta que p ocorra para termos certeza de que q tambe´m ocorrera´. Por isso, nesse caso, dizemos que p e´ condic¸a˜o suficiente para q. Mas p e´ condic¸a˜o necessa´ria para q? A princ´ıpio, na˜o. Nada nos garante que e´ necessa´rio que p acontec¸a para q acontecer. Mas se p acontece, com certeza tambe´m acontece q. Isto e´ necessa´rio, q tem que acontecer quando p acontece pois p implica q, ou seja q e´ condic¸a˜o necessa´ria para p. Resumindo: sempre que temos p ⇒ q, temos: p e´ condic¸a˜o suficiente para q e q e´ condic¸a˜o necessa´ria para p. No caso de p⇔ q temos que p e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para q. A pro´xima questa˜o foi retirada de um concurso pu´blico. Utilize a estrate´gia de separar as proposic¸o˜es elementares que ja´ conhecemos desde o EP3. Exerc´ıcio 6 (Esaf/2002) O Rei ir a cac¸a e´ condic¸a˜o necessa´ria para o duque sair do castelo e e´ condic¸a˜o suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para o bara˜o sorrir e e´ condic¸a˜o necessa´ria para a duquesa ir ao jardim. O bara˜o na˜o sorriu. Logo: (A) a duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. (B) se o duque na˜o saiu do castelo, enta˜o o conde encontrou a princesa. (C) o rei na˜o foi a` cac¸a e o conde na˜o encontrou a princesa. (D) o rei foi a cac¸a e a duquesa na˜o foi ao jardim. (E) o duque saiu do castelo e o rei na˜o foi a cac¸a. Exerc´ıcio 7 Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 7}. Escreva por extenso as proposic¸o˜es abaixo e decida se sa˜o falsas ou verdadeiras justificando sua resposta. A primeira esta´ resolvida como exemplo. a) x ∈ A⇒ x < 5 Por extenso: se x pertence a A, enta˜o x e´ menor que 5. E´ verdadeira: veja que quando a primeira proposic¸a˜o elementar e´ verdadeira, isto e´, x ∈ A, tambe´m temos a segunda verdadeira, pois todos os elementos de A sa˜o menores que 5. Observe ainda que, quando usamos varia´veis como x para que uma proposic¸a˜o como essa seja verdadeira, ela deve ser verdadeira para todos os valores de x poss´ıveis. Basta que um valor de x falhe para que a proposic¸a˜o seja considerada falsa. Assim, se a questa˜o fosse x ∈ A ⇒ x ≤ 3, ela seria falsa, pois um dos valores poss´ıveis para x e´ o 4 (veja que 4 ∈ A), mas 4 na˜o e´ menor ou igual a 3. b) x ∈ A⇒ x+ 2 ∈ B. c) x ∈ A⇔ x+ 2 ∈ B. d) y ∈ B ⇒ (y − 2 ∈ A ou y e´ ı´mpar) Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP4 6 e) ∀x ∈ N, x e´ par ⇒ x+ 1 e´ ı´mpar f) ∀x ∈ R, x2 > 1⇔ x > 1 Disjunc¸a˜o exclusiva Antes de entrarmos em argumentos lo´gicos, vamos estudar um conectivo que na˜o aparece em seu material impresso, mas e´ importante e esta´ presente em inu´meras questo˜es de lo´gica em provas e concursos. E´ a “disjunc¸a˜o exclusiva”, denotada por ∨˙ e expressa por ou ... ou.... Por exemplo: Ou Pedro e´ arquiteto ou Pedro e´ psico´logo (a∨˙p). Uma proposic¸a˜o composta com esse conectivo e´ verdadeira quando apenas uma das duas proposic¸o˜es for verdadeira. Em nosso exemplo acima, se Pedro for arquiteto e psico´logo, a proposic¸a˜o sera´ falsa. Tambe´m sera´ falsa se ele na˜o for nem arquiteto nem psico´logo. Se ele tiver uma e apenas uma destas duas profisso˜es a proposic¸a˜o sera´ verdadeira. Argumentos lo´gicos Agora vamos abordar os argumentos lo´gicos. A princ´ıpio, um argumento e´ algo bem simples, um conjunto de proposic¸o˜es chamadas de premissas seguidas por proposic¸o˜es denominadas concluso˜es. Por exemplo, poder´ıamos ter como premissas: Se eu saio de casa, enta˜o pego oˆnibus Se eu pego oˆnibus, enta˜o gasto dinheiro. Hoje vou sair de casa. seguidas pela conclusa˜o: Hoje vou gastar dinheiro. Este e´ um argumento va´lido pois a conclusa˜o e´ decorreˆncia lo´gica das premissas, isto e´, assumindo que as premissas sa˜o verdadeiras, necessariamente a conclusa˜o tambe´m e´ verdadeira. Vamos ver um exemplo de argumento que na˜o e´ va´lido: Premissas: Se eu saio de casa, enta˜o pego oˆnibus Se eu pego oˆnibus, enta˜o gasto dinheiro. Hoje vou gastar dinheiro. seguidas pela conclusa˜o: Hoje vou sair de casa. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP4 7 Como ja´ vimos antes, o “se... enta˜o...” representa implicac¸o˜es em uma direc¸a˜o e na˜o pode ser invertido, isto e´, a afirmac¸a˜o “se eu pego oˆnibus, enta˜o gasto dinheiro” na˜o nos garante de forma alguma que se eu gasto dinheiro, enta˜o pego oˆnibus. A conclusa˜o acima na˜o e´ uma decorreˆncia das premissas, por isso o argumento na˜o e´ va´lido. Veja que em momento algum foram utilizados os termos falso ou verdadeiro para qualificar os argu- mentos. As proposic¸o˜es podem ser qualificadas em falsas ou verdadeiras. Os argumentos sa˜o va´lidos ou inva´lidos, dependendo de se as leis da lo´gica foram ou na˜o corretamente aplicadas. As questo˜es abaixo sa˜o sobre classificac¸a˜o de argumentos em va´lidos ou inva´lidos. Exerc´ıcio 8 Classifique em va´lido ou inva´lido cada um dos argumentos abaixo. Justifique. a) Premissas: Se eu estudo, eu aprendo. Se eu aprendo, eu passo de ano. Eu estudo. Conclusa˜o: Eu passo de ano. b) Premissas: Se eu tenho sede, bebo a´gua. Se eu bebo a´gua, na˜o me desidrato. Conclusa˜o: Se eu tenho sede, na˜o me desidrato. c) Premissas: Se eu estudo, na˜o vou ao cinema. Se na˜o vou ao cinema, na˜o janto fora. Hoje janto fora. Conclusa˜o: Hoje na˜o estudo. d) Premissas: Se o Pedrinho na˜o se comportasse, ficaria de castigo Pedrinho ficou de castigo. Conclusa˜o: Pedrinho na˜o se comportou. Ana´lise de argumentos Sabemos que premissas sa˜o proposic¸o˜es que, na ana´lise de um argumento, devem ser consideradas verdadeiras por hipo´tese, isto e´, na˜o importa que sejam absurdas, se sa˜o premissas, no argumento elas devem ser tomadas como fatos para a obtenc¸a˜o da conclusa˜o. Essa e´ uma das origens de dificul- dades com argumentos. Para dar um exemplo, vamos consideraruma questa˜o que foi desenvolvida Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP4 8 pela Fundac¸a˜o Carlos Chagas para um concurso e que esta´ comentada tambe´m em nossa v´ıdeo aula de argumentos: Questa˜o Exemplo (FCC): Observe a construc¸a˜o de um argumento: Premissas: Todos os cachorros teˆm asas. Todos os animais de asas sa˜o aqua´ticos. Existem gatos que sa˜o cachorros. Conclusa˜o: Existem gatos que sa˜o animais aqua´ticos. Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusa˜o C, e´ correto dizer que: A) A na˜o e´ va´lido, P e´ falso e C e´ verdadeiro. B) A na˜o e´ va´lido, P e C sa˜o falsos. C) A e´ va´lido, P e C sa˜o falsos. D) A e´ va´lido, P ou C sa˜o verdadeiros. E) A e´ va´lido se P e´ falso e C e´ verdadeiro. Como vemos, todas as proposic¸o˜es constantes na premissa sa˜o absurdas, a conclusa˜o tambe´m e´ absurda, mas nada disso impede que o argumento seja va´lido. De fato, tomando como verdadeiras as premissas, partimos do fato de que existem gatos que sa˜o cachorros (premissa 3), usando a pre- missa 1 vamos concluir que existem gatos que teˆm asas e, enta˜o, a premissa 2 nos permite chegar a conclusa˜o: existem gatos que sa˜o animais aqua´ticos. O argumento e´ perfeitamente va´lido, embora as premissas P e a conclusa˜o C sejam todas falsas. A ana´lise do argumento na˜o leva em considerac¸a˜o o cara´ter verdadeiro ou falso das premissas e da conclusa˜o, esta ana´lise considera apenas a forma como a lo´gica esta´ sendo aplicada. E´ importante observar que no contexto de ana´lise de um argumento as premissas devem sempre ser tomadas como verdades. Entretanto, uma premissa, analisada isoladamente como uma pro- posic¸a˜o, i.e. fora do contexto de ana´lise de um argumento, ela pode ser verdadeira ou falsa. Em outras palavras, podemos pensar que existe uma afirmac¸a˜o que e´ uma unidade chamada de “pro- posic¸a˜o”. Esta proposic¸a˜o pode ser avaliada como falsa ou verdadeira. Agora vamos coloca´-la no contexto de ana´lise de um argumento. Ela passara´ a ser chamada de “premissa”e, como premissa, neste contexto, ela e´ sempre assumida como verdadeira. Por exemplo, no caso acima, estamos no contexto de ana´lise de um argumento e a proposic¸a˜o “Todos os cachorros teˆm asas”tornasse uma das premissa do problema. Desta forma, como premissa, ela e´ assumida como uma verdade. En- tretanto, fora do contexto de ana´lise de argumento, ela e´ simplesmente uma proposic¸a˜o, que, na˜o temos du´vida, de que se trata de uma proposic¸a˜o falsa, pois cachorros na˜o teˆm asas. Sempre que algue´m desenvolve um argumento matema´tico e, atrave´s dele, conclui algo errado (por exemplo, que 1=2), e´ porque cometeu pelo menos um dos seguintes erros: - usou um argumento que na˜o e´ va´lido, isto e´, a conclusa˜o na˜o e´ consequeˆncia das premissas, ou - aplicou um argumento va´lido, i.e. a conclusa˜o e´ consequeˆncia das premissas, mas alguma delas, pelo menos, analisada de forma isolada, ou seja, apenas como uma proposic¸a˜o, fora do contexto de ana´lise de um argumento, e´ uma proposic¸a˜o falsa. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP4 9 Exerc´ıcio 9 Determine se o argumento abaixo e´ va´lido ou inva´lido. Premissas: Desempregados na˜o trabalham. Se uma pessoa precisa de dinheiro, enta˜o ela trabalha. Conclusa˜o Desempregados na˜o precisam de dinheiro. Exerc´ıcio 10 Determine se o argumento abaixo e´ va´lido ou inva´lido. Premissas: Joa˜o sabe f´ısica quaˆntica. Joa˜o e´ doutor em matema´tica. Joa˜o e´ formado em filosofia. Joa˜o ganhou o preˆmio Nobel da literatura. Conclusa˜o: Joa˜o e´ inteligente. A questa˜o anterior mostra mais uma vez como a Lo´gica funciona de forma diferente de nossa “lo´gica cotidiana”. Em nosso dia-a-dia, as concluso˜es a que chegamos sa˜o consequeˆncia na˜o apenas das premissas que esta˜o expostas claramente, mas tambe´m de toda uma experieˆncia de vida que temos. Assim, ningue´m seria louco de discordar da conclusa˜o de que se Joa˜o realmente fez tudo o que esta´ nas premissas, ele deve ser muito inteligente. Mas, na Lo´gica, na˜o e´ permitido usar esse tipo de senso comum para chegar a`s concluso˜es. Assim, na˜o encontramos nas premissas acima nada que nos permita deduzir logicamente que Joa˜o e´ inteligente. Sera´ que poder´ıamos acrescentar algo nas premissas da questa˜o anterior que tornasse verdadeira a conclusa˜o? Veja a questa˜o abaixo. Exerc´ıcio 11 Determine se o argumento abaixo e´ va´lido ou inva´lido. Premissas: Joa˜o sabe f´ısica quaˆntica. Joa˜o e´ doutor em matema´tica. Joa˜o e´ formado em filosofia. Joa˜o ganhou o preˆmio Nobel da literatura. Qualquer pessoa que saiba f´ısica quaˆntica e seja doutor em matema´tica e seja formado em filosofia e tenha ganho o preˆmio Nobel da literatura e´ inteligente. Conclusa˜o: Joa˜o e´ inteligente. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP4 10 O que fizemos na questa˜o anterior foi incluir nas premissas algo que admitimos implicitamente e que nos levava a pensar que Joa˜o devia ser inteligente. Na Lo´gica, tudo o que for utilizado para chegar a uma conclusa˜o deve estar claramente expresso nas premissas do argumento (de outra forma, o argumento pode tornar-se inva´lido). Exerc´ıcio 12 Decida se cada um dos argumentos abaixo e´ ou na˜o va´lido e justifique sua resposta: a) Premissas: Se o do´lar cai os produtos brasileiros ficam mais caros no mercado internacional; Se os produtos brasileiros ficam mais caros no mercado internacional, caem as nossas exportac¸o˜es; Em 2012 o do´lar na˜o caiu. Conclusa˜o: Nossas exportac¸o˜es na˜o ca´ıram em 2012. b) Premissas: Se as vendas da empresa ABC ca´ırem, a empresa se endividara´ com empre´stimos ou demitira´ empregados; A diretoria da ABC na˜o permitira´ que a empresa contraia d´ıvidas com empre´stimos. Conclusa˜o: Se a empresa ABC na˜o demitir, e´ porque suas vendas na˜o ca´ıram. Exerc´ıcio 13 Sobre o clima na praia de Icara´ı, costuma-se dizer que esta´ chovendo sempre que o vento sudoeste esta´ soprando. Considerando as proposic¸o˜es p: ”O vento sudoeste esta´ soprando em Icara´ı” q: ”Esta´ chovendo em Icara´ı” (a) Escreva a frase do enunciado utilizando p, q e o conectivo lo´gico adequado. (b) Minha tia acredita que a regra do enunciado nunca falha. Desta forma, em um dia em que o vento sudoeste na˜o estava soprando, ela afirmou: “Como o vento na˜o esta´ soprando, na˜o esta´ chovendo, logo na˜o vou levar o meu guarda-chuva”. Ha´ algum erro na argumentac¸a˜o de minha querida tia? Justifique. (c) Se o ditado “Em Icara´ı, esta´ chovendo sempre que o vento sudoeste esta´ soprando”for verdadeiro, e, em um certo meˆs, o vento sudoeste tiver soprado em 10 dias, e´ correto dizer que: ( ) choveu em Icara´ı em, no ma´ximo, 10 dias. ( ) choveu em Icara´ı em, no m´ınimo, 10 dias. ( ) choveu em Icara´ı em exatamente 10 dias. ( ) nenhuma das alternativas anteriores. Justifique. (d) Supondo novamente que o ditado e´ verdadeiro, se, em um certo meˆs, em Icara´ı, tiver chovido em 10 dias, e´ correto dizer que: Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP4 11 ( ) o sudoeste soprou em Icara´ı em, no ma´ximo, 10 dias. ( ) o sudoeste soprou em Icara´ı em, no m´ınimo, 10 dias. ( ) o sudoeste soprou em exatamente 10 dias. ( ) nenhuma das alternativas anteriores. Justifique. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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