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Mecânica Técnica Professor Julio EMENTA Princípio de Estática. Momento e Inércia. Equilíbrio dos Corpos Rígidos, Centróides e Baricentros. Momento de Inércia. •BEER, F. P; E. RUSSEL JOHNSTON JR, E. R.; CLAUSEN, W. BIBLIOGRAFIA BÁSICA •BEER, F. P; E. RUSSEL JOHNSTON JR, E. R.; CLAUSEN, W. Mecânica Vetorial para Engenheiros. 5ª Edição Revisada. São Paulo: Editora Bookman, 2012. •MERIAM, J. L; KRAIGE, L. G.: Mecânica para Engenharia - Estática - 6ª edição, Editora LTC (Grupo Gen), 2009. •HIBBELER, R. C: Estática: Mecânica para Engenharia. 12ª Edição, Editora: Pearson/Prentice Hall (Grupo Pearson), 2011. Mecânica • Ramo das ciências físicas que trata do estado de repouso ou movimento de corpos sujeitos de repouso ou movimento de corpos sujeitos à ação de forças. Conceitos • Estática – estuda o equilíbrio dos corpos em repouso ou em movimento, com velocidade constante. É fundamentada pela primeira e terceira lei de Newton.terceira lei de Newton. • Dinâmica – estuda o movimento acelerado dos corpos. Trata das relações entre as forças e os movimentos que elas produzem. Ela é fundamentada na segunda lei de Newton. • Resistência dos Materiais – Mecânica dos Sólidos – Mecânica dos Materiais: trata-se do comportamento dos corpos deformáveis (por exemplo: barras), estudando o calculo de tensões e deformações nas mesmas, quando solicitadas por agentes externos. • Análise Estrutural – Teoria das Estruturas:• Análise Estrutural – Teoria das Estruturas: parte da mecânica aplicada que estuda as estruturas, consistindo este estudo na determinação dos esforços solicitantes e dos deslocamentos a que elas ficam submetidas quando solicitadas por agentes externos (cargas, variações térmicas, etc). O que pode ocorrer se a Mecânica não for aplicada corretamente? Histórico • Os primeiros registros relativos ao estudo da Estática datam do século IV a.C, sendo atribuídos a Aristóteles; • Arquimedes (287-212 a.C) postulou o Princípio da Alavanca e estudos sobre polias, torção, entre outros; Histórico • Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos primeiros a realizar experimentos relacionados à dinâmica (pêndulos e objetos em queda livre);em queda livre); • Isaac Newton (1642-1727) estabeleceu as 3 Leis Fundamentais do Movimento e a Lei da Gravitação Universal. Idealizações • Ponto Material (Partícula): uma quantidade de matéria que se supõe ocupar um único ponto no espaço. Uma partícula possui massa, porém suas dimensões são desprezíveis. A geometria do corpo, idealizado como pontogeometria do corpo, idealizado como ponto material, será desprezado na análise do problema. • Corpo Rígido: é um corpo ideal, resultante da combinação de um número de partículas no qual todas elas permanecem a uma distância fixa uma das outras, tanto antes como depois da aplicação de uma carga. As propriedades Idealizações da aplicação de uma carga. As propriedades do material do corpo, idealizado como rígido, serão desprezadas na análise das forças que atuam sobre ele. • Força Concentrada: representa o efeito de uma carga admitida atuando em um ponto do corpo. A área sobre a qual ela é aplicada é pequena, comparada às dimensões do corpo. Idealizações pequena, comparada às dimensões do corpo. Grandezas Físicas Básicas • Espaço – conceito associado à noção de posição de um ponto P, relativamente a uma origem de determinado referencial deorigem de determinado referencial de coordenadas. Descreve posição e dimensões de um corpo no espaço; • Tempo – A posição de P pode variar ao longo do tempo, sucessão de eventos; Os princípios da estática são independentes do tempo, mas é fundamental no estudo da dinâmica. Grandezas Físicas Básicas é fundamental no estudo da dinâmica. • Massa – associada à quantidade de matéria que compõe um corpo, o caracteriza e o compara com outro corpo; Pode se caracterizada também como: “medida Grandezas Físicas Básicas caracterizada também como: “medida quantitativa da resistência da matéria à mudança de velocidade”. • Força – em geral, a força é considerada um “empurrão” ou “puxão” exercido por um corpo sobre outro. Essa interação pode ocorrer quando há contato direto entre os Grandezas Físicas Básicas ocorrer quando há contato direto entre os dois corpos, ou pode ocorrer a distancia (forças elétricas e magnéticas). Uma força é caracterizada pelo ponto de aplicação, intensidade, direção e sentido; representa-se por um vetor. Princípios Fundamentais • 1 – Regra do Paralelogramo para Adição de Forças: Estabelece que duas forças atuando numa partícula podem ser substituídas por uma única força, chamada resultante, obtida traçando a diagonal do paralelogramo quetraçando a diagonal do paralelogramo que tem por lados as duas forças dadas. • 2 – Primeira Lei de Newton: “todo corpo permanece em estado de repouso, ou em movimento retilíneo uniforme (v=constante), a menos que seja obrigado a modificar o seu estado devido à aplicação de uma força Princípios Fundamentais estado devido à aplicação de uma força (Princípio da Inércia)”. • 3 – Segunda Lei de Newton: “a alteração do movimento de um corpo é sempre proporcional à força aplicada e ocorre na direção dessa força”. Princípios Fundamentais amF = • 4 – Terceira Lei de Newton: “as forças mútuas de ação e reação entre dois corpos são iguais, opostas e colineares. A toda ação corresponde uma reação igual e contrária (Princípio da Ação e Reação)”. Princípios Fundamentais igual e contrária (Princípio da Ação e Reação)”. • 5 – Princípio da Transmissibilidade: Estabelece que as condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo rígido não se alteram se substituirmos uma força atuando num ponto do corpo por outra força com a mesma intensidade, direção e sentido, mas Princípios Fundamentais com a mesma intensidade, direção e sentido, mas atuando em um outro ponto do corpo, desde que ambas as forças possuam a mesma linha de ação. • 6 – Lei da Gravitação de Newton: Estabelece que dois pontos materiais de massas M e m são mutuamente atraídas com forças iguais e opostas F e –F de intensidade F dada por: Princípios Fundamentais e –F de intensidade F dada por: G - Constante universal de gravitação G = 66,73x10-12m3/(kg.s2). • 7 – Peso: refere-se à atração da gravidade da terra sobre um corpo ou quantidade de massa. Sua intensidade depende da altitude em que o ponto material (massa), esteja Princípios Fundamentais em que o ponto material (massa), esteja localizado sobre a superfície da terra. Unidades de Medidas Análise Dimensional Sistema Internacional de Medida Sistema Internacional de Medida Prefíxos Outros Dados • 1 mi = 5280 ft = 1609 m • 1 in = 0,0254 m • 1 ft = 0,3048 m = 12 in • 1lb = 4,448 N • 1 pound = 0,4536 kg• 1 pound = 0,4536 kg • 1 kgf = 9,81 N • g = 9,81 m/s2 Exemplo: Verifique se a equação abaixo é dimensionalmente homogênea, sendo a é aceleração; d é a distancia; vo é velocidade e t é tempo. Revisão de Vetores • Grandezas Físicas: Atributo de um fenômeno, corpo ou substância que podefenômeno, corpo ou substância que pode ser qualitativamente distinguido e quantitativamente determinado. Tipos de Grandezas • Escalares – São as grandezas que ficam definidas por um número e um sinal. Ex. tempo, energia temperatura. • Vetoriais – são as grandezas que se caracterizam por um módulo (intensidade), uma direção e um sentido. Ex: velocidade, força, aceleração. Vetor • O vetor é um modelo geométrico, representativo de uma grandeza vetorial. Soma de Vetores Soma de Vetores Soma de Vetores Casos Particulares Módulo de um Vetor Módulo do vetordado pelo teorema de Pitágoras 22 yx VVV += ( ) ( )212212 yyxxdAB −+−= ( )1212 , yyxxABAB ABdAB −−=−= = A distância entre dois pontos é dada pelo módulo do vetor. Multiplicação e Divisão de Vetores por um Escalar Vetor A e sua contrapartida negativa Multiplicação e divisão por escalares Vetores Ortogonais 2 – Componentes ortogonais de um vetor Soma de Vetores Ortogonais Soma de vetores pelo processo das componentes ortogonais Notação de Vetores no Espaço Vetores em três dimensões aa Exercícios 1) Dados os vetores: V1 = 6 um e V2 = 8 um, determine o modulo do vetor resultante para cada um dos seguintes ângulos formados por V1 e V2. a) 0° b) 30° c) 60° d) 90° e) 180° 2) O módulo do vetor resultante de dois vetores a e b ,2) O módulo do vetor resultante de dois vetores a e b , ortogonais entre si, é de 30 unidades. Tendo o vetor amódulo de 18 unidades, determine o módulo do vetor b . Resp. b = 24 um 3) Considere os vetores: V1= 4 i - 5 j; V2 = 3 i + 2 j ; V3 = - 6 i e V4 = 2 i + j, determine a expressão do vetor-soma e o módulo desse vetor. Resp. V = 3 i - 2 j Trigonometria e Vetores Teorema de Pitágoras a2 = b2 + c2 Exemplos 1 – Um parafuso tipo gancho está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine a intensidade (módulo), a direção e o sentido da força resultante. 2 - Decomponha uma força de 200 lb que atua sobre um tubo em componentes nas direções x e y e (b) x’ e y. 3 – Uma barcaça é puxada por dois rebocadores. Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é de 5,00 kN e tem a direção do eixo da barcaça, determine: (a) a tração em cada corda sabendo que α = 45° e (b) o valor de α para que a tração na corda 2 seja mínima. Solução: Lei dos senos Mínima tração na corda 2 Os vetores T1 e T2 têm que ser perpendicular. Estática do Ponto Material A estática está relacionada com: 1. Forças (vetores e escalares); 2. Componentes cartesianas; 3. Forças concorrentes: 3. Forças concorrentes: Forças iguais: mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido; Forças opostas: mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto; 4. Equilíbrio de um ponto material. ∑ = 0F Estática do Ponto Material ∑ = 0F É o vetor soma de todas as forças que atuam sobre o ponto material. •Diagrama de corpo livre: é um esboço que mostra o ponto•Diagrama de corpo livre: é um esboço que mostra o ponto material livre de seu entorno e com todas as forças que atuam sobre ele. •Cabos e polias: Eles têm pesos desprezíveis e são indeformáveis. Adição de Forças Coplanares Resultante de Forças Coplanares Vetor Resultante Resultante de Forças Coplanares Ângulo de Direção RyFtg =θ Força resultantes sobre os cabos RxF tg =θ Sistema de Forças Coplanares 0ˆˆ 0 =+ = ∑∑ ∑ jFiF F yx Exemplo 1: A esfera da figura abaixo tem massa de 6 kg e está apoiada como mostrado. Desenhe o diagrama de corpo livre da esfera, da corda CE e do nó em C CEF Força da corda atuando sobre a esfera. P =58,9 Peso ou gravidade atuando sobre a esfera. CEF CDF F Força da corda CAB atuando sobre o nó. Força da mola atuando sobre o nó. Força da corda CE atuando sobre o nó. Exemplo 2 - Determine a intensidade e o ângulo de F1 de modo que o ponto material esteja em equilíbrio. °≈ − = = 6713 121 13 12 sen sen α α θθ senFF F F senF NF F senF NF F senF y y y y y y y y y 11 1 1 1 2 2 2 3 3 3 90,153 450 20 15,276 300 67 =⇒=⇒ =⇒=°⇒ =⇒=°⇒ θθ coscos 86,422 450 20cos 22,117 300 67cos 11 1 11 222 333 FF F FF NFFF NFFF x x x x x x x x x =⇒=⇒ =⇒=°⇒ =⇒=°⇒ NF F FFFF y y yyyy 25,122 015,27690,153 00 1 1 321 = =+−− =++⇒=∑ NF F FFFF x x xxxx 08,540 022,11786,422 00 1 1 321 = =++− =++⇒=∑ ( ) ( )22( ) ( ) °= = = =+= − 7,12 08,540 25,122 08,540 25,122 88,55325,12222,540 1 22 1 tg tg NF θ θ Forças no Espaço Vetor Posição r • O vetor posição r é definido como um vetor fixo que localiza um ponto do espaço em relação à outro Componentes Retangulares de uma Força no Espaço Ângulos e Cossenos Diretores Força Definida pela sua Magnitude e Dois Pontos de sua Linha de Ação Seja M e N dois pontos pertencentes a linha de ação de uma força: O vetor é dado por: = N - M O vetor unitário é razão do vetor pelo seu módulo: O módulo de é dado por: Agora podemos reescrever a força em termos do vetor unitário: E assim, temos as componentes ortogonais de F: E por último, temos os cossenos diretores e seus ângulos: Adição de Forças Concorrentes no Espaço Equilíbrio de Forças no Espaço ∑= FF R 0∑ =F 0 0 0 0 ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = zF F F F y x O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de um parafuso em A. A tração no cabo e de 2 500 N. Determinar as componentes FX, FY e FZ da força que atua sobre o parafuso, (b) Os angulos θX, θY e θZ que definem as direções da forca. A direção da força é dada por: 1 - Determine a magnitude e as direções dada pelos ângulos dos cossenos diretores de cada uma das forças: F1 = (60i - 50j + 40k)N e F2 = ( - 40i + 85j + 30k)N. Resposta: F1 = 87,7 N; θx = 46,9°, θy = 125°, θz = 62,9° ; F2 = 98,6 N; θx = 114°, θy = 150°, θz = 72,3° 2 – Determine a direção dada pelos ângulos dos cossenos diretores de F1 e F2 e expresse cada força como um vetor cartesiano (Fx, Fy e Fz). Resposta: Resposta: F1 = (53,1i – 44,5j + 40k) lb; θx = 48,4°, θy = 124°, θz = 60° F2 = (- 130k) lb; θx = 90°, θy = 90°, θz = 180° 3 - Determine a intensidade e a direção dada pelos ângulos dos cossenos diretores da força resultante. Resposta: FR = (39,4) lb; θx = 52,8°, θy = 141°, θz = 99,5° 4 - Um suporte está sujeito à duas forças, como mostrado na figura abaixo. Expresse cada força na forma vetorial cartesiana (Fx, Fy e Fz) e depois determine a intensidade e os ângulos dos cossenos diretores da força resultante FR. Resposta: FR = 485 N; θx = 104°, θy = 15,1°, θz = 83,3° 5 – A torre está escorada por três cabos, como mostrado na figura abaixo. Determine a magnitude e a direção dada pelos ângulos dos cossenos diretores da força resultante. Dados: x = 20 m e y = 15 m. Resposta: FR = 1,50 kN; θx = 76,6°, θy = 90,6°, θz = 168° 6 – Cada uma das quatro forças que atuam no ponto E tem uma magnitude de 28 kN. Expresse cada força como um vetor cartesiano e determine a força resultante. Resposta: FR = -96 kN 7 - Determine a magnitude e a direção da força P necessária para manter o sistema de forças concorrentes em equilíbrio. Resposta: P = 1,61 kN; θx = 136°, θy = 128°, θz = 72° ERROR: undefinedfilename OFFENDING COMMAND: http://www.searchult.com/?bd=hp&oem=hprotect&pid=3662073653 STACK:
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