apostila de funções exp e log

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Curso: Período: 
Engenharia Civil 1º Engenharia Civil 
Professora: Disciplina: 
Elisa Cristina Gonçalves Tavares Cálculo Diferencial e Integral I 
Funções Exponencial e Logarítmica; 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 
Uma função dada por , em que "a" é constante positiva e diferente de 1, 
denomina-se função exponencial. 
 
A função exponencial será crescente quando a base a for maior que 1, e decrescente se a for positivo 
menor que 1. Seu gráfico terá sempre um do seguintes aspectos: 
 
 
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a > 1, f é crescente 
 
a < 1, f é decrescente 
Observe que nos dois casos, o gráfico de f(x) = ax não cruza o eixo Ox, pois para para 
qualquer . No entanto o gráfico de uma função cruza o 
eixo Oy no ponto (0,1), pois a0 = 1.O domínio da função exponencial é D=R, e seu contradomínio é 
CD=R positivos com exceção do número 0. Como a > 0 e a ≠ 1, as imagens da função sempre serão 
positivas. 
Exemplo 1 
(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua 
compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver 
valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada. 
Temos que v(10) = 12 000, então: 
 
v(10) = v0 * 2 –0,2*10 
12 000 = v0 * 2 –2 
12 000 = v0 * 1/4 
 
 
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12 000 : 1/ 4 = v0 
v0 = 12 000 * 4 
v0 = 48 000 
A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00. 
Exemplo 2 
(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. 
Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de 
dólares? Use 1,0320 = 1,80. 
Temos a seguinte função exponencial 
 
P(x) = P0 * (1 + i)t 
P(x) = 500 * (1 + 0,03)20 
P(x) = 500 * 1,0320 
P(x) = 500 * 1,80 
P(x) = 900 
 
O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões. 
 
 
 
 
 
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica 
de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que 
zero e o contradomínio, o conjunto dos reais. 
Exemplos de funções logarítmicas: 
f(x) = log2x 
f(x) = log3x 
f(x) = log4x 
f(x) = log2(x – 1) 
f(x) = log0,5x 
 
Determinando o domínio da função logarítmica 
 
Dada a função f(x) = log(x – 2) (4 – x), temos as seguintes restrições: 
1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 4 
2) x – 2 > 0 → x > 2 
3) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3 
 
 
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Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3, temos o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4. 
Dessa forma, D = {x ∈ R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4} 
 
Gráfico de uma função logarítmica 
Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações: 
 - a > 1 
 - 0 < a < 1 
Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma: 
Função crescente 
 
Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma: 
Função decrescente 
 
 
 
Características do gráfico da função logarítmica y = logax 
O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0. 
Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1. 
Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a Im(imagem) = R. 
 
 
 
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Exemplo 1: O altímetro dos aviões é um instrumento que mede a pressão atmosférica e transforma esse 
resultado em altitude. Suponha que a altitude h acima do nível do mar, em quilômetros, detectada pelo 
altímetro de um avião seja dada, em função da pressão atmosférica p, em atm, por 
 
 
Num determinado instante, a pressão atmosférica medida pelo altímetro era 0,4 atm. Considerando a 
aproximação log 2 = 0,3, a altitude do avião nesse instante, em quilômetros, era de: 
Solução: 
ℎ(0,4) = 20. log
1
0,4
, sabendo que 0,4 =
4
10
, 
1
4
10
=
10
4
 
ℎ(0,4) = 20. 𝑙𝑜𝑔
4
10
, sabendo que 𝑙𝑜𝑔
4
10
= 𝑙𝑜𝑔4 − 𝑙𝑜𝑔10 ∴ 𝑙𝑜𝑔22 − 𝑙𝑜𝑔10 ∴ 2. 𝑙𝑜𝑔2 − 𝑙𝑜𝑔10 
ℎ(0,4) = 20.2. 𝑙𝑜𝑔2 − 𝑙𝑜𝑔10 
ℎ(0,4) = 40.0,3 − 1 
𝒉(𝟎, 𝟒) = 𝟏𝟏 𝑲𝒎 
 
Exemplo 2: A lei que mede o ruído e definida pela expressão R = 120 + 10 log I, em que I e a intensidade 
sonora, medida em W/m² e R e a medida do ruído, em decibéis (dB). 
O quadro abaixo mostra o ruído de algumas fontes de som: 
Fonte de som Ruído 
Proximidade de um jato 150 dB 
Britadeira 130 dB 
Limiar da dor 120 dB 
Mosquito 40 dB 
Limiar da audição 0 dB 
Com base no texto e em seus conhecimentos, qual a intensidade sonora percebida e suportada no limiar 
da dor pelo ser humano? 
Solução: 
No limiar da dor, o ruído é de 120 dB, logo, no lugar de R substituiremos por 120 dB para encontrarmos I. 
120 = 120 + 10 𝑙𝑜𝑔𝐼 
0 = 10 𝑙𝑜𝑔𝐼 
0
10
= log 𝐼 ∴ 0 = log 𝐼 
100 = 𝐼 
𝑰 = 𝟏 𝑾/𝒎² 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
http://www.calculo.iq.unesp.br/Calculo1/fcomp_ex/fcomp_ex.html. Acesso em 01 de abril de 2016. 
http://www.calculo.iq.unesp.br/Calculo1/funcao-composta.html. Acesso em 01 de abril de 2016.