Aula 15 Distribuições Bernoulli; Binomial; Poisson

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Cássius Henrique 
Aula 15 
Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson 
CEA 012 – Probabilidade 
Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson 
Cássius Henrique Xavier Oliveira 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 
2015 
Cássius Henrique 
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CEA 012 – Probabilidade 
Experimentos 
 Considere os seguintes experimentos: 
 
 Jogue uma moeda 10 vezes. Seja X o número de “caras” obtido 
 Um tear produz 1% de peças defeituosas. Seja X o número de itens defeituosos 
nos próximos 25 itens produzidos 
 De todos os bits transmitidos por um canal digital de transmissão, 10% são 
recebidos com erro. Seja X o número de bits com erro nos próximos 5 bits 
transmitidos 
 ... 
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 Há algum comum entre os experimentos mostrados anteriormente? Em caso 
afirmativo, o que há? 
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Distribuição Binomial 
 Cada experimento anterior pode ser pensando como uma série de tentativas aleatórias 
e repetidas 
 A variável aleatória é uma contagem do número de tentativas que respeitam certo 
critério 
 O resultado de cada tentativa satisfaz ou não o critério estabelecido para X 
 Sucesso (valor de interesse da VAD é encontrado) 
 Fracasso (valor de interesse da VAD não é encontrado) 
 Geralmente considera-se que as tentativas são independentes 
 É frequentemente razoável supor que a probabilidade do sucesso em cada tentativa 
seja constante 
 Bloco formador do experimento aleatório (uma tentativa): Tentativa de Bernoulli 
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Distribuição Binomial 
 
 Experimento aleatório com n tentativas de Bernoulli, de modo que: 
 As tentativas sejam independentes 
 Cada tentativa resulte somente em 2 resultados possíveis (sucesso ou fracasso) 
 A probabilidade do sucesso será constante e igual a p 
 Seja X uma variável aleatória binomial (cujo valor corresponde ao número de tentativas 
que resultam em sucesso, tal que 0 < p < 1 e n = 1, 2, 3,... A função FDP de X será: 
    nxpp
x
n
xf
xnx ...,3 ,2 ,1 ,0 ; 1 







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Valor Esperado e Variância de uma Distribuição Binomial 
 
 Seja X uma variável aleatória binomial com parâmetros p e n 
 
²)(
1²)(
)(






XDP
pnpXVar
npXE
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Exemplo 1 
A chance de que um bit seja transmitido por um canal digital de transmissão seja recebido 
com erro é de 0,1. Suponha que as tentativas de transmissão sejam independentes. Seja X 
o número de bits com erro nos próximos 4 bits transmitidos. 
a) Determine P(x = 2) 
b) Calcule a esperança e o desvio-padrão 
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Exemplo 1 – Solução 
A chance de que um bit seja transmitido por um canal digital de transmissão seja recebido 
com erro é de 0,1. Suponha que as tentativas de transmissão sejam independentes. Seja X 
o número de bits com erro nos próximos 4 bits transmitidos. 
a) Determine P(x = 2) 
 
 
b) Calcule a esperança e o desvio-padrão 
 
6,0²)(
36,09,01,041²)(
4,01,04)(






XDP
pnpXVar
npXE
  0486,09,01,0
2
4
)2(2 22 





 fXf
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Exemplo 1 – Solução 
A chance de que um bit seja transmitido por um canal digital de transmissão seja recebido 
com erro é de 0,1. Suponha que as tentativas de transmissão sejam independentes. Seja X 
o número de bits com erro nos próximos 4 bits transmitidos. 
 
0 1 2 3 4
0
.0
0
.1
0
.2
0
.3
0
.4
0
.5
0
.6
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Comportamento da Distribuição Binomial 
Considere uma situação genérica com n = 20. 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
p=0,1
0
.0
0
0
.0
5
0
.1
0
0
.1
5
0
.2
0
0
.2
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
p=0,3
0
.0
0
0
.0
5
0
.1
0
0
.1
5
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CEA 012 – Probabilidade 
Comportamento da Distribuição Binomial 
Considere uma situação genérica com n = 20. 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
p=0,9
0
.0
0
0
.0
5
0
.1
0
0
.1
5
0
.2
0
0
.2
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
p=0,5
0
.0
0
0
.0
5
0
.1
0
0
.1
5
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Contextualizando... 
 
 
 
 
 
 
 
 Por que as distribuições binomiais se comportam de maneira diferente à medida que 
aumentamos ou diminuímos a probabilidades de sucesso (p)? 
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L3.2. Exercício 1 
Seja X uma variável aleatória binomial com p = 0,1 e n = 10. Calcule 
a) P(x ser no máximo 2) 
b) P(X > 8) 
c) P(X = 4) 
d) P(5 < X < 7) 
e) A esperança e a variância de X 
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L3.2. Exercício 2 
As linhas telefônicas em um sistema de reservas de uma companhia aérea estão 
ocupadas 40% do tempo. Suponha que os eventos em que as linhas estejam ocupadas em 
sucessivas chamadas sejam independentes. Considere que 10 chamadas aconteçam para 
a companhia aérea. 
a) Qual a probabilidade de que para exatamente 3 chamadas, as linhas estejam 
ocupadas? 
b) Qual a probabilidade de que para no mínimo uma chamada, as linhas estejam 
ocupadas? 
c) Qual é o número esperado de chamadas em que as linhas estejam todas ocupadas? 
d) Determine a variabilidade desse experimento 
e) Sem efetuar muitos cálculos, esboce o gráfico da distribuição dessa VAD. 
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L3.2. Exercício 3 
Dados n = 10 e p = 0,01 
a) Sem efetuar muitos cálculos, esquematize a função de probabilidade de uma 
distribuição Binomial cujos parâmetros foram dados e comente a forma da distribuição. 
b) Qual é o valor mais provável de X? 
c) Qual é o valos menos provável de X? 
 
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L3.2. Exercício 4 
Em um percurso matinal diário, um determinado sinal de trânsito “demorado” está verde 
20% das vezes em que você se aproxima dele. Suponha que cada manhã represente uma 
tentativa. 
a) Em cinco manhãs, qual a probabilidade de que o sinal esteja verde exatamente um dia? 
b) Em vinte manhãs, qual a probabilidade de que o sinal esteja verde exatamente quatro 
dias? 
c) Em vinte manhãs, qual a probabilidade de que o sinal esteja verde pelo menos cinco 
dias? 
d) Sem efetuar muitos cálculos, esboce a distribuição da variável sob as duas condições 
(n = 5 e n = 20), tal como descritas nos itens (a) e (b). Estabeleça comparaçõesentre os 
gráficos. 
 
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L3.2 Exercício 5 
A distribuição do tempo até uma página da internet mudar é 
importante para os indexadores automáticos que suam 
ferramentas de busca para manter a informação atual sobre os 
sites da Web. A distribuição do tempo (em dias) até mudar uma 
página da internet é aproximada pela tabela seguinte: 
Suponha que 10 mudanças sejam feitas independentemente. 
Dias até a 
mudança 
Probabilidade 
1,5 0,05 
3,0 0,25 
4,5 0,35 
5,0 0,20 
7,0 0,15 
a) Qual a probabilidade de que a mudança seja feita em menos de 4 dias em sete das dez 
atualizações? 
b) Qual a probabilidade de que a mudança seja feita em menos de 4 dias em duas ou 
mais das dez atualizações? 
c) Qual a probabilidade de que no mínimo uma mudança seja feita em menos de 4 dias? 
d) Qual é o número esperado das 10 atualizações que ocorrem em menos de 4 dias? 
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 Em muitos casos conhecemos o número de sucessos (valores de interesse), porém o 
número de fracassos ou a quantidade total de provas seria difícil determinar 
 Quantificações podem não fazer sentido prático 
 Número de descargas elétrica em um dia de chuva 
 Número de trincas por unidade de área numa peça de concreto 
 Binomial  Poisson 
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Distribuição de Poisson 
 Distribuição muito utilizada à medida que o número de tentativas de um experimento 
binomial aumenta (até infinito) enquanto a média da distribuição permanece constante. 
 É aplicável a ocorrências de um evento em um intervalo definido (tempo, espaço,...) 
 Exemplo: 
 Número de carros que chegam a um posto de gasolina em certo período 
 Número de peças defeituosas substituídas em um veículo durante seu primeiro 
ano 
 Número de partículas de contaminação na fabricação de semicondutores 
 Falhas em rolos de tecidos 
 Interrupções de energia 
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Propriedades do Processo de Poisson 
 
 Considere o valor esperado l = pn. 
 Considere um intervalo T de números reais, dividido em subintervalos com 
comprimentos pequenos Dt; 
 Considere que quanto Dt tende a zero: 
 A probabilidade de mais de um evento em um subintervalo tende a zero 
 A probabilidade de um eventos em um subintervalo tende a lDt/T 
 O evento em cada subintervalo é independente de outros subintervalos 
 
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Distribuição de Poisson 
 
 Tentativas independentes aproximadas de Bernoulli 
 Probabilidade de sucesso p, número de tentativas n 
 Variável Aleatória de Poisson X com parâmetro l > 0 
 
  ...3 ,2 ,1 ,0 ; 
!


x
x
e
xf
xll
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Características do Processo de Poisson 
 
 É fundamental o uso de unidades consistentes 
 Número médio de falhas por milímetro de fio é de 3,4 
 Número médio de falhas em 10 milímetros de fio é de 34 
 Número médio de falhas em 100 milímetros de fio é de 340... 
 
 Se a VAD de Poisson representar a contagem do “sucesso” em um intervalo, então a 
média dessa variável deve ser igual ao valor esperado no mesmo comprimento do 
intervalo 
 
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Características do Processo de Poisson 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
e
+
0
0
2
e
-0
7
4
e
-0
7
6
e
-0
7
8
e
-0
7
0 5 11 18 25 32 39 46 53 60 67 74 81 88 95
0
.0
e
+
0
0
5
.0
e
-5
4
1
.0
e
-5
3
1
.5
e
-5
3
2
.0
e
-5
3
2
.5
e
-5
3
3
.0
e
-5
3
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Distribuição de Poisson 
 
 Parâmetros 
 
²
²)(
)(

l
l



npXVar
npXE
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Características Gráficas do Processo de Poisson (Exemplo n = 12) 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
média=0,1
0
.0
0
.2
0
.4
0
.6
0
.8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
média=2
0
.0
0
0
.0
5
0
.1
0
0
.1
5
0
.2
0
0
.2
5
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CEA 012 – Probabilidade 
Características Gráficas do Processo de Poisson (Exemplo n = 12) 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
média=5
0
.0
0
0
.0
5
0
.1
0
0
.1
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
média=9
0
.0
0
0
.0
2
0
.0
4
0
.0
6
0
.0
8
0
.1
0
0
.1
2
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L3.2. Exercício 6 
Falhas ocorrem ao acaso ao longo do comprimento de um fio delgado de cobre segundo 
uma distribuição de Poisson. Seja X a variável aleatória que conta o número de falhas em 
um comprimento de L milímetros e suponha que a taxa de falhas seja de 2,3 falhas por 
milímetro. 
a) Determine a probabilidade de exatamente 2 falhas existirem em 1 milímetro de fio 
b) Determine a probabilidade de 10 falhas ocorrerem em 5 milímetros de fio 
c) Determine a probabilidade de existir no mínimo uma falha em 2 milímetros de fio 
d) Calcule a esperança e estabeleça um número que corresponda à variabilidade da 
variável X neste experimento 
 
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L3.2. Exercício 7 
Contaminação é um problema na fabricação de discos ópticos de armazenagem. O 
número de partículas de contaminação que ocorrem em um disco óptico tem uma 
distribuição de Poisson, e o número médio de partículas por centímetro quadrado de 
superfície é 0,1. A área do disco sob estudo é igual a 100 cm². 
a) Calcule a probabilidade de 12 partículas ocorrerem na área de um disco em estudo 
b) Determine a chance de nenhuma partícula ocorrer na área do disco em estudo 
c) Estabeleça uma relação algébrica que poderia ser usada para determinar a 
probabilidade de 12 ou menos partículas ocorrerem na área do disco sob estudo 
d) Determine o valor esperado e a variância do número de partículas nesse disco 
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L3.2. Exercício 8 
Suponha que o número de clientes que entrem em um banco em uma hora seja uma 
variável aleatória de Poisson. Suponha também que que f(X = 0) = 0,05. Determine a 
média e a variância de X. 
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L3.2. Exercício 9 
Quando um fabricante de disco para computador teste um disco, ele escreve nele e então 
testa-o usando um certificador. O certificador conta o número de pulsos perdidos ou erros. 
O número de erros na área de teste do disco tem uma distribuição de Poisson, com 
l = 0,2. 
a) Qual é o número esperado de erros para a área testada? 
b) Qual a porcentagem de erros de áreas testadas que têm 2 ou menos erros? 
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CEA 012 – ProbabilidadeL3.2. Exercício 10 
(CEA012 – Teste T2/2014) O modelo de Poisson pode ser considerado como limite da 
distribuição binomial, isto é, para valores de n grande e p pequeno, verifica-se a seguinte 
aproximação: 
 
com x = 0, 1, 2,..., n. Para saber se a aproximação é boa, uma recomendação prática é 
verificar se a desigualdade np < 10 é válida. Baseando-se nessa aproximação (Binomial 
por Poisson), considere a situação a seguir. 
Uma fábrica de conservas produz, contínua e cadencialmente, cerca de 2330 latas de 
sardinha em molho de tomate por período de 8 horas de laboração e em média cerca de 7 
latas são defeituosas. 
a) Qual a probabilidade de encontramos 3 latas defeituosas num lote de 1000 latas 
adquiridas daquela fábrica? 
b) Qual a probabilidade de ocorrerem até duas latas defeituosas em um lote de 2000 latas? 
 
 
!
1
x
e
pp
x
n xxnx ll 




 
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Gabarito 
1. a) 0,9298; b) 9,1E-9; c) 0,0112; d) 0,0016; e) 4; 0,9 
 
2. a) 0,215; b) 0,9939; c) 4; d) 2,5; e) 
 
3. a) ; b) 1; d) 10 
 
4. a) 0,4096; b) 0,2182; c) 0,3703; d) 
 
5. a) 0,00902; b) 0,85069; c) 0,97175; d) 3 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.
00
0.
05
0.
10
0.
15
0.
20
0.
25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0 1 2 3 4 5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
0.0
0
0.0
5
0.1
0
0.1
5
0.2
0
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Gabarito 
6. a) 0,2652; b) 0,1129; c) 0,9899; d) 2,3; 1,5166 
7. a) 0,0095; b) 4,54E-5; c) e-10.10i/i!; d) 10; 10 
8. 2,996; 2,996 
9. a) 0,2; b) 0,9988 
10. a) 0,224; b) 0,061 
 
 
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Sugestão para a próxima aula... 
 
 
 
 
 
 Estudar os itens 3.6 e 3.9 da referência abaixo 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. Editora LTC.