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Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson Cássius Henrique Xavier Oliveira Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 2015 Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Experimentos Considere os seguintes experimentos: Jogue uma moeda 10 vezes. Seja X o número de “caras” obtido Um tear produz 1% de peças defeituosas. Seja X o número de itens defeituosos nos próximos 25 itens produzidos De todos os bits transmitidos por um canal digital de transmissão, 10% são recebidos com erro. Seja X o número de bits com erro nos próximos 5 bits transmitidos ... Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Contextualizando... Há algum comum entre os experimentos mostrados anteriormente? Em caso afirmativo, o que há? Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Distribuição Binomial Cada experimento anterior pode ser pensando como uma série de tentativas aleatórias e repetidas A variável aleatória é uma contagem do número de tentativas que respeitam certo critério O resultado de cada tentativa satisfaz ou não o critério estabelecido para X Sucesso (valor de interesse da VAD é encontrado) Fracasso (valor de interesse da VAD não é encontrado) Geralmente considera-se que as tentativas são independentes É frequentemente razoável supor que a probabilidade do sucesso em cada tentativa seja constante Bloco formador do experimento aleatório (uma tentativa): Tentativa de Bernoulli Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Distribuição Binomial Experimento aleatório com n tentativas de Bernoulli, de modo que: As tentativas sejam independentes Cada tentativa resulte somente em 2 resultados possíveis (sucesso ou fracasso) A probabilidade do sucesso será constante e igual a p Seja X uma variável aleatória binomial (cujo valor corresponde ao número de tentativas que resultam em sucesso, tal que 0 < p < 1 e n = 1, 2, 3,... A função FDP de X será: nxpp x n xf xnx ...,3 ,2 ,1 ,0 ; 1 Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Valor Esperado e Variância de uma Distribuição Binomial Seja X uma variável aleatória binomial com parâmetros p e n ²)( 1²)( )( XDP pnpXVar npXE Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Exemplo 1 A chance de que um bit seja transmitido por um canal digital de transmissão seja recebido com erro é de 0,1. Suponha que as tentativas de transmissão sejam independentes. Seja X o número de bits com erro nos próximos 4 bits transmitidos. a) Determine P(x = 2) b) Calcule a esperança e o desvio-padrão Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Exemplo 1 – Solução A chance de que um bit seja transmitido por um canal digital de transmissão seja recebido com erro é de 0,1. Suponha que as tentativas de transmissão sejam independentes. Seja X o número de bits com erro nos próximos 4 bits transmitidos. a) Determine P(x = 2) b) Calcule a esperança e o desvio-padrão 6,0²)( 36,09,01,041²)( 4,01,04)( XDP pnpXVar npXE 0486,09,01,0 2 4 )2(2 22 fXf Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Exemplo 1 – Solução A chance de que um bit seja transmitido por um canal digital de transmissão seja recebido com erro é de 0,1. Suponha que as tentativas de transmissão sejam independentes. Seja X o número de bits com erro nos próximos 4 bits transmitidos. 0 1 2 3 4 0 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Comportamento da Distribuição Binomial Considere uma situação genérica com n = 20. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19 p=0,1 0 .0 0 0 .0 5 0 .1 0 0 .1 5 0 .2 0 0 .2 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19 p=0,3 0 .0 0 0 .0 5 0 .1 0 0 .1 5 Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Comportamento da Distribuição Binomial Considere uma situação genérica com n = 20. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19 p=0,9 0 .0 0 0 .0 5 0 .1 0 0 .1 5 0 .2 0 0 .2 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19 p=0,5 0 .0 0 0 .0 5 0 .1 0 0 .1 5 Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Contextualizando... Por que as distribuições binomiais se comportam de maneira diferente à medida que aumentamos ou diminuímos a probabilidades de sucesso (p)? Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade L3.2. Exercício 1 Seja X uma variável aleatória binomial com p = 0,1 e n = 10. Calcule a) P(x ser no máximo 2) b) P(X > 8) c) P(X = 4) d) P(5 < X < 7) e) A esperança e a variância de X Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade L3.2. Exercício 2 As linhas telefônicas em um sistema de reservas de uma companhia aérea estão ocupadas 40% do tempo. Suponha que os eventos em que as linhas estejam ocupadas em sucessivas chamadas sejam independentes. Considere que 10 chamadas aconteçam para a companhia aérea. a) Qual a probabilidade de que para exatamente 3 chamadas, as linhas estejam ocupadas? b) Qual a probabilidade de que para no mínimo uma chamada, as linhas estejam ocupadas? c) Qual é o número esperado de chamadas em que as linhas estejam todas ocupadas? d) Determine a variabilidade desse experimento e) Sem efetuar muitos cálculos, esboce o gráfico da distribuição dessa VAD. Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade L3.2. Exercício 3 Dados n = 10 e p = 0,01 a) Sem efetuar muitos cálculos, esquematize a função de probabilidade de uma distribuição Binomial cujos parâmetros foram dados e comente a forma da distribuição. b) Qual é o valor mais provável de X? c) Qual é o valos menos provável de X? Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade L3.2. Exercício 4 Em um percurso matinal diário, um determinado sinal de trânsito “demorado” está verde 20% das vezes em que você se aproxima dele. Suponha que cada manhã represente uma tentativa. a) Em cinco manhãs, qual a probabilidade de que o sinal esteja verde exatamente um dia? b) Em vinte manhãs, qual a probabilidade de que o sinal esteja verde exatamente quatro dias? c) Em vinte manhãs, qual a probabilidade de que o sinal esteja verde pelo menos cinco dias? d) Sem efetuar muitos cálculos, esboce a distribuição da variável sob as duas condições (n = 5 e n = 20), tal como descritas nos itens (a) e (b). Estabeleça comparaçõesentre os gráficos. Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade L3.2 Exercício 5 A distribuição do tempo até uma página da internet mudar é importante para os indexadores automáticos que suam ferramentas de busca para manter a informação atual sobre os sites da Web. A distribuição do tempo (em dias) até mudar uma página da internet é aproximada pela tabela seguinte: Suponha que 10 mudanças sejam feitas independentemente. Dias até a mudança Probabilidade 1,5 0,05 3,0 0,25 4,5 0,35 5,0 0,20 7,0 0,15 a) Qual a probabilidade de que a mudança seja feita em menos de 4 dias em sete das dez atualizações? b) Qual a probabilidade de que a mudança seja feita em menos de 4 dias em duas ou mais das dez atualizações? c) Qual a probabilidade de que no mínimo uma mudança seja feita em menos de 4 dias? d) Qual é o número esperado das 10 atualizações que ocorrem em menos de 4 dias? Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Contextualizando Em muitos casos conhecemos o número de sucessos (valores de interesse), porém o número de fracassos ou a quantidade total de provas seria difícil determinar Quantificações podem não fazer sentido prático Número de descargas elétrica em um dia de chuva Número de trincas por unidade de área numa peça de concreto Binomial Poisson Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Distribuição de Poisson Distribuição muito utilizada à medida que o número de tentativas de um experimento binomial aumenta (até infinito) enquanto a média da distribuição permanece constante. É aplicável a ocorrências de um evento em um intervalo definido (tempo, espaço,...) Exemplo: Número de carros que chegam a um posto de gasolina em certo período Número de peças defeituosas substituídas em um veículo durante seu primeiro ano Número de partículas de contaminação na fabricação de semicondutores Falhas em rolos de tecidos Interrupções de energia Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Propriedades do Processo de Poisson Considere o valor esperado l = pn. Considere um intervalo T de números reais, dividido em subintervalos com comprimentos pequenos Dt; Considere que quanto Dt tende a zero: A probabilidade de mais de um evento em um subintervalo tende a zero A probabilidade de um eventos em um subintervalo tende a lDt/T O evento em cada subintervalo é independente de outros subintervalos Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Distribuição de Poisson Tentativas independentes aproximadas de Bernoulli Probabilidade de sucesso p, número de tentativas n Variável Aleatória de Poisson X com parâmetro l > 0 ...3 ,2 ,1 ,0 ; ! x x e xf xll Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Características do Processo de Poisson É fundamental o uso de unidades consistentes Número médio de falhas por milímetro de fio é de 3,4 Número médio de falhas em 10 milímetros de fio é de 34 Número médio de falhas em 100 milímetros de fio é de 340... Se a VAD de Poisson representar a contagem do “sucesso” em um intervalo, então a média dessa variável deve ser igual ao valor esperado no mesmo comprimento do intervalo Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Características do Processo de Poisson 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 e + 0 0 2 e -0 7 4 e -0 7 6 e -0 7 8 e -0 7 0 5 11 18 25 32 39 46 53 60 67 74 81 88 95 0 .0 e + 0 0 5 .0 e -5 4 1 .0 e -5 3 1 .5 e -5 3 2 .0 e -5 3 2 .5 e -5 3 3 .0 e -5 3 Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Distribuição de Poisson Parâmetros ² ²)( )( l l npXVar npXE Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Características Gráficas do Processo de Poisson (Exemplo n = 12) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 média=0,1 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 média=2 0 .0 0 0 .0 5 0 .1 0 0 .1 5 0 .2 0 0 .2 5 Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Características Gráficas do Processo de Poisson (Exemplo n = 12) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 média=5 0 .0 0 0 .0 5 0 .1 0 0 .1 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 média=9 0 .0 0 0 .0 2 0 .0 4 0 .0 6 0 .0 8 0 .1 0 0 .1 2 Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade L3.2. Exercício 6 Falhas ocorrem ao acaso ao longo do comprimento de um fio delgado de cobre segundo uma distribuição de Poisson. Seja X a variável aleatória que conta o número de falhas em um comprimento de L milímetros e suponha que a taxa de falhas seja de 2,3 falhas por milímetro. a) Determine a probabilidade de exatamente 2 falhas existirem em 1 milímetro de fio b) Determine a probabilidade de 10 falhas ocorrerem em 5 milímetros de fio c) Determine a probabilidade de existir no mínimo uma falha em 2 milímetros de fio d) Calcule a esperança e estabeleça um número que corresponda à variabilidade da variável X neste experimento Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade L3.2. Exercício 7 Contaminação é um problema na fabricação de discos ópticos de armazenagem. O número de partículas de contaminação que ocorrem em um disco óptico tem uma distribuição de Poisson, e o número médio de partículas por centímetro quadrado de superfície é 0,1. A área do disco sob estudo é igual a 100 cm². a) Calcule a probabilidade de 12 partículas ocorrerem na área de um disco em estudo b) Determine a chance de nenhuma partícula ocorrer na área do disco em estudo c) Estabeleça uma relação algébrica que poderia ser usada para determinar a probabilidade de 12 ou menos partículas ocorrerem na área do disco sob estudo d) Determine o valor esperado e a variância do número de partículas nesse disco Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade L3.2. Exercício 8 Suponha que o número de clientes que entrem em um banco em uma hora seja uma variável aleatória de Poisson. Suponha também que que f(X = 0) = 0,05. Determine a média e a variância de X. Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade L3.2. Exercício 9 Quando um fabricante de disco para computador teste um disco, ele escreve nele e então testa-o usando um certificador. O certificador conta o número de pulsos perdidos ou erros. O número de erros na área de teste do disco tem uma distribuição de Poisson, com l = 0,2. a) Qual é o número esperado de erros para a área testada? b) Qual a porcentagem de erros de áreas testadas que têm 2 ou menos erros? Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – ProbabilidadeL3.2. Exercício 10 (CEA012 – Teste T2/2014) O modelo de Poisson pode ser considerado como limite da distribuição binomial, isto é, para valores de n grande e p pequeno, verifica-se a seguinte aproximação: com x = 0, 1, 2,..., n. Para saber se a aproximação é boa, uma recomendação prática é verificar se a desigualdade np < 10 é válida. Baseando-se nessa aproximação (Binomial por Poisson), considere a situação a seguir. Uma fábrica de conservas produz, contínua e cadencialmente, cerca de 2330 latas de sardinha em molho de tomate por período de 8 horas de laboração e em média cerca de 7 latas são defeituosas. a) Qual a probabilidade de encontramos 3 latas defeituosas num lote de 1000 latas adquiridas daquela fábrica? b) Qual a probabilidade de ocorrerem até duas latas defeituosas em um lote de 2000 latas? ! 1 x e pp x n xxnx ll Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Gabarito 1. a) 0,9298; b) 9,1E-9; c) 0,0112; d) 0,0016; e) 4; 0,9 2. a) 0,215; b) 0,9939; c) 4; d) 2,5; e) 3. a) ; b) 1; d) 10 4. a) 0,4096; b) 0,2182; c) 0,3703; d) 5. a) 0,00902; b) 0,85069; c) 0,97175; d) 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0. 00 0. 05 0. 10 0. 15 0. 20 0. 25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0. 0 0. 1 0. 2 0. 3 0 1 2 3 4 5 0. 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19 0.0 0 0.0 5 0.1 0 0.1 5 0.2 0 Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Gabarito 6. a) 0,2652; b) 0,1129; c) 0,9899; d) 2,3; 1,5166 7. a) 0,0095; b) 4,54E-5; c) e-10.10i/i!; d) 10; 10 8. 2,996; 2,996 9. a) 0,2; b) 0,9988 10. a) 0,224; b) 0,061 Cássius Henrique Aula 15 Distribuições de Bernoulli; Binomial e Poisson CEA 012 – Probabilidade Sugestão para a próxima aula... Estudar os itens 3.6 e 3.9 da referência abaixo MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Editora LTC.
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