Caderno RQ7-Funções

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Caderno RQ7 
Funções 
 
 
 
Prof. Milton Araujo 
2016 INSTITUTO INTEGRAL | www.institutointegral.com.br 
1 
 
 
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Sumário 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 4 
2 O QUE É FUNÇÃO? ........................................................................................................................... 5 
2.1 CONCEITO .................................................................................................................................. 5 
2.2 DEFINIÇÃO FORMAL ...................................................................................................................... 5 
3 TIPOS DE FUNÇÕES .......................................................................................................................... 7 
3.1 FUNÇÃO SOBREJETORA .................................................................................................................. 7 
3.2 FUNÇÃO INJETORA ........................................................................................................................ 7 
3.3 FUNÇÃO BIJETORA ........................................................................................................................ 8 
4 DOMÍNIO ......................................................................................................................................... 9 
4.1 EXERCÍCIOS ............................................................................................................................... 10 
5 IMAGEM ........................................................................................................................................ 11 
5.1 NOTAÇÃO ................................................................................................................................. 11 
5.2 DEFINIÇÃO ................................................................................................................................ 11 
6 CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES ...................................................................................................... 13 
6.1 FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU ........................................................................................................ 13 
6.1.1 Definição ........................................................................................................................... 13 
6.1.2 Domínio ............................................................................................................................. 13 
6.1.3 Imagem ............................................................................................................................. 13 
6.1.4 Gráfico .............................................................................................................................. 14 
6.1.5 Zero da Função .................................................................................................................. 14 
6.1.6 Valor da Função em um Ponto e Par Ordenado ................................................................. 15 
6.2 FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU ........................................................................................................ 16 
6.2.1 Definição ........................................................................................................................... 16 
6.2.2 Domínio ............................................................................................................................. 16 
6.2.3 Imagem ............................................................................................................................. 16 
6.2.4 Gráfico .............................................................................................................................. 17 
6.2.5 Zeros da Função ................................................................................................................ 17 
6.2.6 Vértice ............................................................................................................................... 20 
6.2.7 Função do Segundo Grau Fatorada.................................................................................... 21 
6.3 FUNÇÃO MODULAR .................................................................................................................... 23 
6.3.1 Definição ........................................................................................................................... 23 
6.3.2 Domínio ............................................................................................................................. 23 
6.3.3 Imagem ............................................................................................................................. 23 
6.3.4 Gráfico .............................................................................................................................. 23 
6.4 FUNÇÃO EXPONENCIAL ................................................................................................................ 24 
6.4.1 Definição ........................................................................................................................... 24 
6.4.2 Domínio ............................................................................................................................. 24 
6.4.3 Imagem ............................................................................................................................. 24 
6.4.4 Gráfico .............................................................................................................................. 24 
6.5 FUNÇÃO LOGARÍTMICA ................................................................................................................ 25 
2 
 
 
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6.5.1 Definição ........................................................................................................................... 25 
6.5.2 Domínio ............................................................................................................................. 25 
6.5.3 Imagem ............................................................................................................................. 25 
6.5.4 Gráfico .............................................................................................................................. 25 
6.6 FUNÇÃO POLINOMIAL ................................................................................................................. 26 
6.6.1 Definição ........................................................................................................................... 26 
6.6.2 Domínio ............................................................................................................................. 26 
6.6.3 Imagem ............................................................................................................................. 26 
6.6.4 Gráficos ............................................................................................................................. 26 
6.7 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ........................................................................................................ 27 
6.7.1 Círculo Trigonométrico ......................................................................................................27 
6.7.2 Função Seno ...................................................................................................................... 27 
6.7.3 Função Cosseno ................................................................................................................. 28 
6.7.4 Função Tangente ............................................................................................................... 30 
6.7.5 Função Secante ................................................................................................................. 31 
6.7.6 Função Cossecante ............................................................................................................ 32 
6.7.7 Função Cotangente ........................................................................................................... 32 
6.7.8 Aplicações da Trigonometria ............................................................................................. 33 
6.8 FUNÇÕES DEMANDA E OFERTA ...................................................................................................... 34 
6.8.1 Definição ........................................................................................................................... 34 
6.8.2 Gráfico .............................................................................................................................. 34 
6.9 FUNÇÕES CUSTO, RECEITA E LUCRO ................................................................................................ 36 
6.9.1 Função Custo ..................................................................................................................... 36 
6.9.2 Função Receita (ou Faturamento) ...................................................................................... 36 
6.9.3 Função Lucro ..................................................................................................................... 37 
7 FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO IMPAR .................................................................................................... 39 
7.1 FUNÇÃO PAR ............................................................................................................................. 39 
7.2 FUNÇÃO IMPAR ......................................................................................................................... 40 
8 FUNÇÃO INVERSA .......................................................................................................................... 41 
9 FUNÇÃO DE FUNÇÃO (OU FUNÇÃO COMPOSTA) .......................................................................... 42 
10 EXERCÍCIOS .................................................................................................................................... 44 
11 INSTITUTO INTEGRAL EDITORA - CATÁLOGO ................................................................................ 77 
12 CURRÍCULO INFORMAL ................................................................................................................. 84 
 
 
 
 
 
 
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1 Introdução 
 
"Se as situações da vida fazem você se sentir 
pequeno, é porque chegou a hora de crescer." 
[Autor desconhecido] 
 
Este é um dos capítulos mais importantes da Matemática. 
 
Uma forma pedestre de se entender função seria através de uma relação entre 
duas ou mais variáveis. Por simplicidade, não falaremos aqui em funções de 
várias variáveis, mas apenas de funções monovariadas nas quais há uma variável 
livre (ou independente) e outra variável dependente, que obedece uma lei, 
também chamada de equação de função. 
 
Em linguagem matemática, escreve-se: 
 
 
 
Lê-se: “A função é definida como uma aplicação de um conjunto 
(domínio) em um conjunto (contradomínio), determinada pela seguinte lei ou 
sentença: 
 
Em outras palavras, para cada valor há um elemento , também denotado por 
 . 
 
Existem inúmeras classes de funções matemáticas, entre as principais temos: 
função do primeiro grau, função modular, função quadrática, função polinomial, 
função exponencial, função logarítmica, função trigonométrica, etc. Cada função 
é definida por leis generalizadas e propriedades específicas. 
 
Este livro, como todos os demais já publicados, está voltado a fornecer dicas aos 
leitores, para que consigam responder, do modo mais rápido possível, questões 
de concursos públicos ou do Teste ANPAD. Dessa forma, o enfoque é nos 
tópicos mais cobrados nesses certames. 
 
Bons Estudos! 
 
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2 O que é Função? 
 
2.1 Conceito 
 
Uma função é definida através de uma relação entre variáveis. 
 
Devido à sua generalidade, as funções estão presentes, além da matemática, em 
várias áreas de estudos, tais como a física, a química, a astronomia, etc., pela 
característica que permite sua representação através de gráficos. 
 
O conceito de função é uma generalização da noção comum de fórmula 
matemática. As funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois 
elementos. 
 
Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento 
 (às vezes denominado variável independente) um único valor da função 
(também conhecido como variável dependente). Isto pode ser feito através de 
uma equação, um relacionamento gráfico, diagramas representando os dois 
conjuntos, uma regra de associação, uma tabela de correspondência. Cada par de 
elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a 
restrição de unicidade da imagem implica um único pontoda função em cada 
linha de chamada do valor independente . 
 
Uma função liga um domínio (conjunto de valores de partida) com um segundo 
conjunto, o contradomínio (conjunto de valores de chegada) de tal forma que a 
cada elemento do domínio está associado exatamente um elemento do 
contradomínio. 
 
O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela função 
 (ou ) a algum elemento do domínio , é o conjunto imagem. 
 
 
2.2 Definição Formal 
 
Consideremos os conjuntos com elementos e o conjunto com elementos , 
ou seja: 
 
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diz-se que a função de em que relaciona cada elemento em , um único 
elemento em . 
 
Exemplo: 
 
 
 
Lê-se: “a função é definida como uma aplicação do conjunto dos números 
reais no conjunto dos números reais , determinada pela sentença: 
 ”. 
 
 
 
7 
 
 
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3 Tipos de Funções 
 
3.1 Função Sobrejetora 
 
Todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do 
domínio. 
 
O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
3.2 Função Injetora 
 
Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio. 
 
Pode haver elementos do contradomínio que não pertençam à imagem da função. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
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3.3 Função Bijetora 
 
É ao mesmo tempo uma função sobrejetora e injetora, isto é, cada elemento do 
domínio está associado a um único elemento do contradomínio e vice-versa. 
 
O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
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4 Domínio 
 
O domínio de uma função é o conjunto que reúne todos os possíveis valores da 
variável independente . 
 
Para algumas operações matemáticas existem restrições, tais como: 
 
 Não existe divisão por zero; 
 Não existe raiz com índice par de número negativo; 
 Não existe logaritmo de número negativo ou de zero; 
 Não existe base de logaritmo negativa, zero ou 1; 
 etc. 
 
Exemplos: 
 
1) 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.1 Exercícios 
 
Informe o conjunto domínio para as seguintes funções: 
 
1) 
 
2) 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
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5 Imagem 
 
O conjunto imagem de uma função também é conhecido como campo de valores 
da função . 
 
O conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio e contém os valores que 
a função pode assumir a partir dos valores contidos em seu domínio. 
 
5.1 Notação 
 
 
 
5.2 Definição 
 
 
 
Em uma função sobrejetora, os conjuntos imagem e contradomínio são o 
mesmo conjunto. 
 
Exemplos: 
 
1) 
 
A imagem do conjunto é o conjunto , que é um subconjunto do 
contradomínio . 
 
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2) 
 
 
 
A função acima é sobrejetora, pois a imagem do conjunto é o próprio conjunto 
 (contradomínio), em que todos os seus elementos estão associados a algum 
elemento do domínio . 
 
 
 
 
 
 
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6 Classificação das Funções 
 
 
6.1 Função do Primeiro Grau 
 
6.1.1 Definição 
 
 
 
Lê-se: “a função é definida como uma aplicação do conjunto dos números 
reais no conjunto dos números reais , determinada pela sentença: 
 ”. 
 
 
 
onde: 
 
 é o coeficiente angular, também conhecido como declividade ou inclinação; 
 
 é o coeficiente linear (valor no qual a função intersecta o eixo . 
 
6.1.2 Domínio 
 
 
 
 
6.1.3 Imagem 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6.1.4 Gráfico 
 
 
 é o eixo das ordenadas 
 é o eixo das abscissas 
 
 
 
onde: 
 
 é o ângulo formado entre o eixo e a função. 
 
Quando . 
Quando . 
 
6.1.5 Zero da Função 
 
O zero de uma função do primeiro grau ocorre para o valor de que torne 
 . 
 
 
 
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Exemplo: 
 
Calcule o zero da função 
 
Solução: 
 
 
 
 
Resposta: é o valor que torna 
 
6.1.6 Valor da Função em um Ponto e Par Ordenado 
 
Exemplo: 
 
Dada a função , calcule: 
 
a) 
b) 
c) 
 
Informe os respectivos pares ordenados. 
 
Solução: 
 
a) 
Par ordenado: 
 
b) 
Par ordenado: 
 
c) 
Par ordenado: 
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6.2 Função do Segundo Grau 
 
Também conhecida como função quadrática. 
 
6.2.1 Definição 
 
 
 
 
Lê-se: “a função é definida como uma aplicação do conjunto dos números 
reais no conjunto dos números reais , determinadapela sentença: 
 , com ”. 
 
 
 
onde: 
 
 é a concavidade; 
 
 é o coeficiente angular; 
 
 coeficiente linear (valor no qual a função intersecta o eixo . 
 
6.2.2 Domínio 
 
 
 
 
6.2.3 Imagem 
 
 
Para : 
Para : 
Onde: é a ordenada do vértice 
 
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6.2.4 Gráfico 
 
 
 
6.2.5 Zeros da Função 
 
Os zeros de uma função do segundo grau ocorrem para os valores de que 
tornam 
 
Os zeros da função do segundo grau ã aízes da 
equação 
 
 
 
Há duas formas de se determinar as raízes da equação acima. São elas: 
 
6.2.5.1 Soma das Raízes e Produto das Raízes 
 
A soma das raízes da equação é dada por: 
 
 
 
 
 
 
O produto das raízes da equação é dada por: 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: 
 
Determine os zeros da função 
 
Solução: 
 
Observe que, na equação da função acima, 
 
 (o gráfico da função apresenta concavidade voltada para baixo) 
 (o gráfico passa pelo eixo com inclinação positiva, ou subindo) 
 (ponto de passagem pelo eixo ) 
 
Os zeros da função são obtidos quando , ou 
 
 
 
Soma das raízes: 
 
 
 
 
 
 
O resultado obtido acima significa que estamos procurando dois números cuja 
soma seja igual a 8 
 
Produto das raízes: 
 
 
 
 
 
 
O resultado acima significa que buscamos dois números cujo produto seja igual a 
15. 
 
Procuramos, então, um par de valores cuja soma seja igual a 8 e o produto seja 
igual a 15. 
 
Observe que e 
 
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Então, os zeros da função são e 
 
6.2.5.2 Fórmula de Bháskara 
 
A fórmula de Bháskara é uma velha conhecida para o cálculo das raízes de uma 
equação do segundo grau da forma: 
 
 
 
Fórmula: 
 
 
 
 
 
 
Determine os zeros da função 
 
Solução: 
 
 
 
Dividindo-se ambos os membros por , teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
Dica: em questões de concursos ou do Teste ANPAD, a maioria das equações 
do segundo grau para as quais se requer o cálculo das raízes têm . 
Assim, o leitor está livre de usar a fórmula de Bháskara e poderá encontrar 
rapidamente as raízes (que serão números inteiros) através da soma 
 e do produto das raízes. 
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6.2.6 Vértice 
 
O vértice de uma função do segundo grau (parábola) tem sua abscissa no ponto 
médio entre os zeros da função, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
onde: 
 
 e são os zeros da função do segundo grau. 
 
Para encontrar a ordenada do vértice, basta substituir o valor da abscissa ( ) na 
função: 
 
 
 
Exemplo: 
 
Calcule as coordenadas do vértice da função: 
 
Solução: 
 
Os zeros da função já foram calculados (ver página anterior) e valem 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coordenadas do vértice: 
 
Observe que é o valor máximo da função dada. 
 
Assim o ponto também pode ser visto como as coordenadas do ponto de 
máximo da função dada. 
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6.2.7 Função do Segundo Grau Fatorada 
 
A função do segundo grau fatorada é definida como segue: 
 
 
 
onde: 
 
 , são os zeros da função, e 
 
 é uma constante. 
 
Com a função do segundo grau fatorada, fica extremamente fácil e rápido 
determinar seus zeros, bastando igualar cada um dos parênteses a zero e calcular 
o valor de . 
 
Exemplo: 
 
 
 
Zeros da função: 
 
 
 
 
 
Abscissa do vértice: 
 
 
 
 
 
 
Ordenada do vértice: 
 
 
 
Note que: 
 
 
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e 
 
 
Exemplo: 
 
A empresa Vax fabrica um determinado produto. Se o lucro da produção de 
unidades é dado por , quantas unidades a fábrica 
deveria produzir e vender para obter lucro máximo? 
 
a) 213. 
b) 85. 
c) 35. 
d) 32. 
e) 18. 
 
Solução: 
 
Zeros: 
 
 
 
 
 
Abscissa do vértice: 
 
 
 
 
 
 
Como a questão pede a abscissa do vértice, ou a quantidade a ser produzida para 
maximizar o lucro, a resposta já foi encontrada. 
 
Gabarito: Alternativa D. 
 
Caso a questão solicitasse o lucro máximo, bastaria calcular: 
 
Ordenada do vértice: 
 
 
 
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6.3 Função Modular 
 
6.3.1 Definição 
 
 ou 
 
 
 
 
6.3.2 Domínio 
 
 
 
 
6.3.3 Imagem 
 
 
 ou 
 
6.3.4 Gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
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6.4 Função Exponencial 
 
6.4.1 Definição 
 
 
 
 
6.4.2 Domínio 
 
 
 
 
6.4.3 Imagem 
 
 
 ou 
 
 
6.4.4 Gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6.5 Função Logarítmica 
 
6.5.1 Definição 
 
 
 
 
 
6.5.2 Domínioou 
 
 
6.5.3 Imagem 
 
 
 
 
6.5.4 Gráfico 
 
 
 
 
 
 
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6.6 Função Polinomial 
 
6.6.1 Definição 
 
 
 
 
 
 
 
6.6.2 Domínio 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.6.3 Imagem 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.6.4 Gráficos 
 
Dependendo do grau do polinômio, haverá um gráfico próprio para cada função 
polinomial. 
 
Exemplos: 
 
1) Função do primeiro grau: 
 
2) Função do segundo grau: , 
 
3) Função do terceiro grau: , 
 
4) etc. 
 
 
 
 
27 
 
 
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6.7 Funções Trigonométricas 
 
6.7.1 Círculo Trigonométrico 
 
 
 
6.7.2 Função Seno 
 
6.7.2.1 Definição 
 
 
 
6.7.2.2 Domínio 
 
 
 
 
6.7.2.3 Imagem 
 
 
 
 
 
28 
 
 
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6.7.2.4 Gráfico 
 
 
 
6.7.2.5 Sinal da Função Seno 
 
 
 
6.7.3 Função Cosseno 
 
6.7.3.1 Definição 
 
 
 
 
29 
 
 
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6.7.3.2 Domínio 
 
 
 
 
6.7.3.3 Imagem 
 
 
 
 
6.7.3.4 Gráfico 
 
 
 
6.7.3.5 Sinal da Função Cosseno 
 
 
 
30 
 
 
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6.7.4 Função Tangente 
 
6.7.4.1 Definição 
 
 
 
6.7.4.2 Domínio 
 
 
 
 
 
 
 
6.7.4.3 Imagem 
 
 
 
 
6.7.4.4 Gráfico 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
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6.7.4.5 Sinal da Função Tangente 
 
 
 
6.7.5 Função Secante 
 
6.7.5.1 Definição 
 
 
 
 
 
 
6.7.5.2 Domínio 
 
 
 
 
 
 
 
6.7.5.3 Imagem 
 
 
 
 
6.7.5.4 Sinal da Função Secante 
 
Como a função secante é dada pelo inverso da função cosseno, os sinais de 
ambas as funções (secante e cosseno) são os mesmos. 
 
32 
 
 
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6.7.6 Função Cossecante 
 
6.7.6.1 Definição 
 
 
 
 
 
 
6.7.6.2 Domínio 
 
 
 
 
6.7.6.3 Imagem 
 
 
 
 
6.7.6.4 Sinal da Função Cossecante 
 
Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais de ambas 
(cossecante e seno) são os mesmos. 
 
6.7.7 Função Cotangente 
 
6.7.7.1 Definição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.7.7.2 Domínio 
 
 
 
 
 
33 
 
 
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6.7.7.3 Imagem 
 
 
 
 
6.7.7.4 Sinal da Função Cotangente 
 
Como a função cotangente é a inversa da função tangente, então os sinais de 
ambas (cotangente e tangente) são os mesmos. 
 
 
6.7.8 Aplicações da Trigonometria 
 
A trigonometria tem aplicações em diversos campos de estudos, especialmente 
na determinação de distâncias que não podem ser medidas diretamente. Serve à 
navegação, à agrimensura e à astronomia. Ao lidar com a determinação de pontos 
e distâncias em três dimensões, a trigonometria esférica amplia sua aplicação à 
física, à química e a quase todos os ramos da engenharia, em especial no estudo 
de fenômenos periódicos, como a vibração do som e o fluxo de corrente 
alternada. 
 
 
 
 
34 
 
 
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6.8 Funções Demanda e Oferta 
 
6.8.1 Definição 
 
As funções demanda e oferta geralmente
1
 são definidas como: 
 
 
 
onde: 
 
 representa o preço, e 
 
 representa a quantidade. 
 
A função oferta é sempre crescente. 
A função demanda é sempre decrescente. 
 
6.8.2 Gráfico 
 
 
 
Para encontrar o ponto de equilíbrio basta igualar as equações das funções 
demanda e oferta. 
 
 
 
 
1 As funções demanda e oferta podem ser outros tipos de função. 
35 
 
 
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Exemplo: 
 
As funções de oferta e de demanda de um produto são dadas pelas expressões 
 
 
 
em que é a quantidade e é o preço do produto. Então, a quantidade que 
equilibra a demanda e a oferta é igual a 
 
a) 30. 
b) 35. 
c) 42. 
d) 50. 
e) 56. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: Alternativa A. 
 
 
 
 
 
36 
 
 
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6.9 Funções Custo, Receita e Lucro 
 
6.9.1 Função Custo 
 
Em geral, a função custo é definida como uma função do primeiro grau, em que o 
coeficiente angular representa o custo variável (ou custo por unidade produzida, 
que é representada por insumos e matéria-prima), e o coeficiente linear 
representa o custo fixo (que pode ser representado por maquinário, salários, 
manutenção, etc). 
 
 
 
onde: 
 
 representa o custo total,representa o custo variável (ou custo para produzir cada unidade) 
 
 representa o custo fixo, que não depende da quantidade produzida 
 
 representa a quantidade produzida. 
 
6.9.2 Função Receita (ou Faturamento) 
 
A função receita (ou faturamento) é definida pelo produto do preço de venda pela 
quantidade vendida. 
 
 
 
onde: 
 
 representa a receita (ou faturamento), 
 
 representa o preço de venda do produto, 
 
 representa a quantidade vendida. 
 
37 
 
 
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6.9.3 Função Lucro 
 
A função lucro pode ser determinada de duas formas: 
 
6.9.3.1 Lucro é igual a receita menos custo 
 
 
 
6.9.3.2 Lucro é igual a lucro unitário vezes quantidade 
 
 
 
6.9.3.3 Lucro unitário é igual a preço de venda menos preço de custo 
 
 
 
onde: 
 
 representa o preço de custo, 
 
 representa o preço de venda, 
 
 representa a função da quantidade. 
 
Dica: sempre que possível, procure determinar a função lucro sob a forma 
representada no item 6.9.3.3, pois a função já estará na forma fatorada. Isto 
facilitará os cálculos. 
 
Exemplo: 
 
Uma fábrica produz certo tipo de cadeira ao custo de R$ 30,00 cada. Se a fábrica 
vender cadeiras por mês, onde é o preço em reais de cada cadeira, 
o valor de para que a fábrica tenha lucro máximo é 
 
a) R$ 15,25. 
b) R$ 18,00. 
c) R$ 33,25. 
d) R$ 40,50. 
38 
 
 
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e) R$ 45,25. 
 
Solução: 
 
Preço de custo: 
 
Preço de venda: 
 
Função quantidade: 
 
Função Lucro Unitário: 
 
Função Lucro Total: 
 
Zeros da função Lucro Total: 
 
 
 
 
 
Abscissa do vértice: 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: Alternativa E. 
 
 
 
 
 
39 
 
 
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7 Função Par e Função Impar 
 
7.1 Função Par 
 
Uma função é uma função par, se para todo do domínio de : 
 
 
 
Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical . 
 
Exemplos: 
 
1) A função real definida por é par. O leitor poderá comprovar 
facilmente! 
 
2) A função cosseno é par, pois para todo real, tem-se que: 
 
 
 
3) A função secante é par, pois para todo onde a secante está definida, tem-se 
que: 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
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7.2 Função Impar 
 
Uma função é uma função ímpar, se para todo do domínio de : 
 
 
 
Funções ímpares são simétricas em relação à origem (0,0) do sistema de eixos 
cartesiano. 
 
Exemplos: 
 
1) A função real definida por é ímpar. O leitor poderá comprovar 
facilmente! 
 
2) A função seno é ímpar, pois para todo real, tem-se que: 
 
 
 
3) A função tangente é ímpar, pois para todo real onde a tangente está definida, 
tem-se que: 
 
 
 
4) A função cossecante é ímpar, pois para todo onde a cossecante está definida, 
tem-se que: 
 
 
 
5) A função cotangente é ímpar, pois para todo real, tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
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8 Função Inversa 
 
Função inversa de uma função é, se existir, a função , tal 
que e 
 , onde é a função identidade. 
 
Em outras palavras, houve uma inversão (troca) entre as variáveis e , com a 
consequente inversão dos conjuntos domínio e imagem: o conjunto vira 
imagem na função inversa, e o conjunto imagem na função original ( ) será o 
domínio da função inversa. 
 
 
 
A condição única para que uma função admita inversa (ou seja, seja inversível) é 
que ela seja bijetora. 
 
Exemplo: 
 
Determinar a inversa da função . 
 
Solução (passo a passo): 
 
1) substitua por : 
 
2) troque as variáveis e (uma pela outra): 
 
3) isole a variável novamente: 
 
Conclusão: 
 
Tarefa: faça o gráfico das funções e e observe... 
42 
 
 
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9 Função de Função (ou Função Composta) 
 
Sejam: 
 
 
e 
 
 
duas funções quaisquer. Se o domínio de contiver o contradomínio de , 
podemos definir a função composta como segue: 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
Exemplo: 
 
Dadas as funções f e g a seguir 
 
 
 
 
 
Calcule: 
 
a) 
43 
 
 
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b) 
c) 
d) 
 
Solução: 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
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10 Exercícios 
 
1) ANPAD 2006 – O economista italiano Vilfrido Pareto, grande estudioso sobre 
distribuição de renda, propôs um modelo matemático para distribuição de renda 
conhecido como Lei de Pareto. O modelo simplificado é dado pela seguinte 
função: 
 
 
 
 
 
 
onde é o número de pessoas cujas rendas são superiores ou iguais a ; é a 
renda de um indivíduo da população considerada; é uma constante que 
depende da população em questão; e é o parâmetro que caracteriza a 
distribuição de renda. Se numa certa população a distribuição de renda é dada por 
 
 
 
 
 
 
onde a renda é dada em reais, é CORRETO concluir que 10.000 pessoas 
ganham rendas superiores ou iguais a 
 
a) R$ 80.000,00. 
b) R$ 60.000,00. 
c) R$ 20.000,00. 
d) R$ 8.000,00. 
e) R$ 2.000,00. 
 
2) ANPAD 2007 – O custo fixo mensal para produzir até 1.000 unidades de um 
determinado produto é de R$300,00, e o custo variável para produzir cada 
unidade do mesmo produto é de R$ 2,00. O custo fixo mensal existirá 
independentemente da quantidade produzida no mês, desde que não ultrapasse o 
limite de 1.000 unidades. O custo variável unitário, por sua vez, existirá apenas 
para cada unidade produzida, desde que o limite de 1.000 unidades também não 
seja ultrapassado. 
Sabendo-se que cada unidade do referido produto é vendida por R$ 3,00, o 
número mínimo de unidades que devem ser produzidas e vendidas para que todos 
os custos sejam pagos é de 
 
a) 700 peças. 
b) 600 peças. 
c) 500 peças. 
d) 400 peças. 
e) 300 peças. 
45 
 
 
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3) ANPAD 2007 – Os pontos nos quais a função toca o 
eixo e o vértice dessa parábola formam um triângulo. A área do triângulo 
formado, em unidades de área (u. a.) é 
 
a) 128 u. a. 
b) 64 u. a. 
c) 32 u. a. 
d) 16 u. a. 
e) 8 u. a. 
 
4) ANPAD 2006 – A empresa ABC adquiriu uma máquina por R$ 15.000,00 
que, seis anos após a data da compra, tinha um valor estimado de R$ 12.000,00. 
Admitindo que a depreciação seja linear, é CORRETO afirmar que 
 
a) o valor estimado da máquina será nulo em 30 anos após a data da compra. 
b) a depreciação total estimada, 10 anos após a data da compra é de R$ 4.500,00. 
c) uma equação que representa essa depreciação é , onde representa 
o valor da depreciação total estimada em anos após a data da compra. 
d) uma equação que representa o valor estimado da máquina, anos após a 
data da compra, é . 
e) uma equação que representa o valor estimado da máquina, anos após a 
data da compra, é . 
 
5) ANPAD 2006 – Sobre os gráficos das funções , definida por 
 e , definida por , é CORRETO afirmar 
que se interceptam em 
 
a) um único ponto de abscissa positiva. 
b) um único ponto de abscissa negativa. 
c) dois pontos distintos com abscissa de sinais contrários. 
d) dois pontos distintos com abscissas de mesmo sinal. 
e) mais de dois pontos. 
 
6) ANPAD 2006 – Uma empresa, para produzir determinado produto, pode 
utilizar dois processos distintos. Para o processo A tem-se um custo fixo de R$ 
100,00 mais R$ 5,00 por unidade produzida. Já para o processo B tem-se um 
custo fixo de R$ 60,00 mais R$ 6,00 por unidade produzida. Com base nessas 
informações, é CORRETO afirmar que 
 
a) os custos são menores utilizando-se o processo A. 
b) os custos são menores utilizando-se o processo B. 
c) para produzir 40 unidades do produto, o custo é menor pelo processo A. 
d) para produzir até 40 unidades do produto, o custo é menor pelo processo A. 
46 
 
 
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e) para produzir até 40 unidades do produto, o custo é menor pelo processo B. 
 
7) ANPAD 2006 – O lucro na venda de unidades mensais de certo produto é 
descrito por uma função de 2º grau representada pela figura a seguir 
 
 
 
O lucro máximo, em reais, é 
a) R$ 63.000,00. 
b) R$ 62.500,00. 
c) R$ 62.000,00. 
d) R$ 62,50. 
e) R$ 62,00. 
 
8) ANPAD 2006 – Sejam e uma função de A em A definida por 
 , e . O conjunto-solução de é 
 
a) –2. 
b) –1. 
c) 0. 
d) 2. 
e) 4. 
 
9) ANPAD 2006 – Uma fábrica produz certo tipo de cadeira ao custo de R$ 
30,00 cada. Se a fábrica vender cadeiras por mês, onde é o preço 
em reais de cada cadeira, o valor de para que a fábrica tenha lucro máximo é 
 
a) R$ 15,25. 
b) R$ 18,00. 
c) R$ 33,25. 
d) R$ 40,50. 
e) R$ 45,25. 
 
10) ANPAD 2006 – As fábricas Alfa e Beta produzem videocassetes. Os lucros 
dessas empresas são dados, respectivamente, por 
47 
 
 
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 e , onde representa a quantidade vendida 
mensalmente e . O lucro de Alfa supera o de Beta quando a 
quantidade vendida no mês 
 
a) é superior a 15. 
b) é inferior a 40. 
c) é superior a 10 e inferior a 50. 
d) é superior a 15 e inferior a 40. 
e) é inferior a 10 e superior a 50. 
 
11) ANPAD 2005 – Num certo país, o imposto de renda é cobrado da seguinte 
forma: os que têm rendimento até 1500 u. m. (unidades monetárias) são isentos; 
aos que possuem renda entre 1500 u. m. e 6000 u. m., cobra-se um imposto de 
10%; acima de 6000 u. m., o imposto é de 20%. Qual dos seguintes gráficos 
melhor representa a situação acima descrita? 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
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12) ANPAD 2005 – No gráfico abaixo, tem-se a oferta de fundos de 
investimentos e a procura de fundos de investimentos, para as quais é a taxa 
pura de juros e é o montante de capital. 
 
 
 
Sobre esse gráfico, é correto afirmar que 
 
a) corresponde ao retorno máximo esperado de um investimento. 
b) corresponde ao retorno mínimo esperado de um investimento. 
c) a taxa é uma taxa de juros pura porque inclui o fator de risco, o qual está 
associado às operações de mercado. 
d) admitindo-se a hipótese de mercado perfeito, qualquer valor pode ser obtido 
ou aplicado a uma taxa maior que . 
e) a taxa corresponde à situação de equilíbrio, segundo a qual o montante de 
capital procurado é . 
 
13) ANPAD 2005 – A empresa Vax fabrica um determinado produto. Se o lucro 
da produção de unidades é dado por , quantas 
unidades a fábrica deveria produzir e vender para obter lucro máximo? 
 
a) 213. 
b) 85. 
c) 35. 
d) 32. 
e) 18. 
 
14) ANPAD 2005 – Uma firma produz, mensalmente, uma quantidade do 
produto Belex e pode vender toda a produção mensal a um preço de R$ 20,00 a 
unidade. Se unidades de Belex são produzidas mensalmente, o custo total, em 
reais é dado pela função 
 
49 
 
 
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Para que a empresa tenha um lucro mensal de R$ 1000,00, a quantidade de 
unidades do produto Belex que deve ser produzida e vendida mensalmente é, 
aproximadamente, 
 
a) 46. 
b) 56. 
c) 62. 
d) 75. 
e) 80. 
 
15) ANPAD 2005 – Considerando-se que uma tonelada de areia custa 15 u. 
m. e que uma tonelada de brita custa 150 u. m., qual dos gráficos abaixo melhor 
representa as quantidades de areia e de brita que podem ser compradas com 900 
u. m.? 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
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16) ANPAD 2005 – Sendo a função real definida por , o valor de 
 
 
 é 
 
a) 100.b) 64. 
c) 25. 
d) 16. 
e) 9. 
 
17) ANPAD 2005 – O lucro de uma empresa é dado pela expressão 
 
 
 
em que é a quantidade de produtos vendidos. Diante disso, pode-se afirmar que 
 
a) O lucro é máximo para igual a 24. 
b) o lucro é positivo para maior que 12. 
c) o lucro é negativo para menor que 14. 
d) o lucro é positivo para entre 4 e 20. 
e) o lucro é positivo para qualquer valor de . 
 
18) ANPAD 2005 – As funções de oferta e de demanda de um produto são dadas 
pelas expressões 
 
 
 
em que é a quantidade e é o preço do produto. Então, a quantidade que 
equilibra a demanda e a oferta é igual a 
 
a) 30. 
b) 35. 
c) 42. 
d) 50. 
e) 56. 
 
19) ANPAD 2004 – Sejam a quantidade e o preço, em reais, de um produto. 
Se a equação de demanda for e a equação de oferta for 
 , então o preço de equilíbrio é 
 
a) R$ 5,00. 
b) R$ 8, 00. 
c) R$ 10,00. 
51 
 
 
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d) R$ 13,33. 
e) R$ 40,00. 
 
20) ANPAD 2004 – Seja a função definida por . Então, 
 é igual a 
 
a) 1. 
b) 2. 
c) . 
d) . 
e) . 
 
21) ANPAD 2003 – O custo total, em reais, de uma empresa é expresso pela 
função 
 , . O nível atual de produção é de duas 
unidades, ou seja, . Se essa empresa aumentar a produção em uma unidade, 
então o custo médio aproximado de cada unidade 
 
a) aumentará em R$ 8,00. 
b) aumentará em R$ 5,15. 
c) aumentará em R$ 4,00. 
d) diminuirá em R$ 2,23. 
e) diminuirá em R4 3,17. 
 
22) ANPAD 2003 – Uma loja compra camisetas a R$ 8,00 a unidade, 
revendendo-as por R$ 20,00 e, a esse preço, vende 100 camisetas por mês. Para 
estimular a venda, a loja planeja reduzir o preço de venda. Estima-se que, para 
cada redução de R$ 1,00 no preço a loja venderá 25 camisetas a mais por mês. A 
função que expressa o lucro em função do número de reduções no preço é 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
 
23) ANPAD 2003 – Uma empresa produz um determinado produto com um 
custo fixo de R$ 2400,00 e com um custo variável médio de R$ 40,00 por 
unidade. O produto é vendido por R$ 70,00 a unidade. A função que expressa o 
lucro em função da quantidade produzida para é 
 
a) . 
b) . 
c) . 
52 
 
 
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d) . 
e) . 
 
24) ANPAD 2003 – Suponha que o custo total de produção de um determinado 
produto é dado por , , em que representa a quantidade 
produzida. Sabendo que o produto é vendido por R$ 32,00 a unidade, o menor 
valor de tal que o lucro seja positivo é maior que 
 
a) 2. 
b) 6. 
c) 8. 
d) 12. 
e) 16. 
 
25) ANPAD 2003 – Numa fábrica de vassouras, o lucro diário é dado pela 
fórmula , sendo o lucro e a quantidade de vassouras vendidas. 
A menor quantidade de vassouras vendidas por dia que garante lucro para a 
fábrica é 
 
a) 113. 
b) 120. 
c) 131. 
d) 149. 
e) 151. 
 
26) ANPAD 2008 – O preço de custo de um doce é R$ 0,40 por unidade. O 
fabricante calcula que, se vender cada doce por reais, os consumidores 
comprarão doces por dia. O preço unitário de venda que maximiza o 
lucro e o lucro máximo são, respectivamente, 
 
a) R$ 3,20 e R$ 7,84. 
b) R$ 3,60 e R$ 10,24. 
c) R$ 4,00 e R$ 12,96. 
d) R$ 4,20 e R$ 14,44. 
e) R$ 4,40 e R$ 16,00. 
 
27) ANPAD 2008 – Uma fábrica de calçados quer fixar o preço de uma sandália 
para o próximo verão. Por experiência, o gerente financeiro da empresa sabe que 
o número de sandálias vendidas está relacionado com seu preço , dado em 
reais pela função . Para obter a receita máxima, o gerente 
financeiro deverá fixar o preço da sandália em 
 
a) R$ 27,00. 
b) R$ 28,00. 
53 
 
 
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c) R$ 30,00. 
d) R$ 32,00. 
e) R$ 33,00. 
 
28) ANPAD 2008 – Ana foi a um atacadista que, para calcular o preço unitário, 
em reais, de um produto, usa a fórmula 
 
 
 , na qual é o número de 
unidades adquiridas. O preço unitário na compra de 14 unidades desse produto e 
o número máximo de unidades que poderá adquirir com R$ 780,00 são, 
respectivamente, 
 
a) R$ 16,00 e 59. 
b) R$ 16,00 e 69. 
c) R$ 16,00 e 70. 
d) R$ 17,00 e 69. 
e) R$ 17,00 e 70. 
 
29) ANPAD 2008 – A função 
 
 
, é equivalente a 
 
a) , . 
b) , . 
c) , . 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
30) ANPAD 2008 – Considere os gráficos abaixo 
 
 
 
 
 
54 
 
 
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Podemos afirmar que 
 
a) os gráficos I e II são representações aproximadas de funções logarítmicas. 
b) os gráficos I e III são representações aproximadas de funções trigonométricas. 
c) os gráficos II e III são representações aproximadas de funções polinomiais. 
d) os gráficos II e IV são representações aproximadas de funções lineares. 
e) os gráficos III e IV são representações aproximadas de funções exponenciais. 
 
31) ANPAD 2008 – O número de bactérias, em um meio de cultura, cresce 
aproximadamente, segundo a função , sendo o número de 
dias após o início do experimento. Considerando-se que , o tempo 
em que o número de bactérias irá duplicar será, aproximadamente, de 
 
a) 6h. 
b) 10h. 
c) 16h. 
d) 27h. 
e) 43h. 
 
32) ANPAD 2007 – Um aglomerado possui 10.000 habitantes, dos quais 
atualmente 50 estão com a doença X (não controlada). Admita que a função 
 forneça o número aproximado de pessoas atingidas pela epidemia 
desta doença X, onde é o número de meses decorridos a partir do momento em 
que pessoas são acometidas por tal doença. Supondo que não houve aumento 
nem redução populacional e que nada foi feito para debelar o mal, é provável, 
então, que toda a população esteja com a doença X a partir de 
 
a) 4 meses. 
b) 5 meses. 
c) 6 meses. 
d) 7 meses. 
e) 8 meses. 
 
33) ANPAD 2009 – O índice de crescimento r da população em certo período n 
(em anos) pode ser estimado por 
 
 
 
 , em que e são, 
respectivamente, a população final e inicial. Se o índice de crescimento em certo 
período n for 1,56, considerando e 
 
 
 , o período n é, 
aproximadamente, igual a 
 
a) 2 anos. 
b) 3 anos. 
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c) 4 anos. 
d) 5 anos. 
e) 6 anos. 
 
34) ANPAD 2009 – A função que melhor representa o gráfico da função f a 
seguir é 
 
 
 
a) 
b)c) 
d) 
e) 
 
35) ANPAD 2009 – Uma padaria produz diariamente x pães e consegue vender 
90% deles a um preço de R$ 0,30 a unidade. O restante é cortado, torrado e 
embalado em 25 saquinhos que são vendidos por R$ 2,00 cada. O custo para 
produzir x pães é de R$ 0,05 a unidade mais um custo diário fixo de R$ 100,00. 
 
A função que representa o lucro diário obtido é 
 
a) 50 – 0,25x. 
b) –50 + 0,22x. 
c) –50 + 0,25x. 
d) –100 + 0,25x. 
e) –100 + 0,22x. 
 
36) ANPAD 2009 – Em uma indústria, na venda de q unidades mensais do 
produto A, o lucro é dado, em reais, por uma função do 2º grau representada por 
L. Sabendo-se que L(20) = L(40) = 1500 e L(35) = 1875, então o lucro máximo é 
obtido quando são vendidas 
 
56 
 
 
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a) 38 unidades. 
b) 35 unidades. 
c) 30 unidades. 
d) 28 unidades. 
e) 25 unidades. 
 
37) ANPAD 2009 – No gráfico abaixo, elaborado para uma loja de chocolate 
quente, tem-se o valor dos lucros, em reais, para cada um dos doze meses do ano 
2000. 
 
 
 
A partir desse gráfico, conclui-se corretamente que 
 
a) os lucros decresceram durante o primeiro semestre. 
b) os lucros decresceram durante o segundo semestre. 
c) o maior lucro foi obtido no mês de julho. 
d) o lucro variou entre R$ 6.500,00 e R$ 24.000,00. 
e) o lucro total durante o ano foi, aproximadamente, de R$ 300.000,00. 
 
38) ANPAD 2009 – Se 
 
 
, então é igual a 
 
a) 0. 
b) 2. 
c) 8. 
d) 
 
 
. 
e) 
 
 
. 
 
57 
 
 
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39) ANPAD 2009 – Joaquim produziu feijão na sua fazenda, no período de 1998 
a 2001, e anotou a área plantada, a produção, a produtividade e o preço. Ele 
obteve os seguintes gráficos: 
 
 
 
Então, pode-se concluir que, na fazenda de Joaquim, 
 
a) a área plantada sempre aumentou no período de 1998 a 2001. 
b) a produção aumentou no período de 1999 a 2001, apesar da redução da área 
plantada. 
c) a produtividade aumentou no período de 1999 a 2001, devido ao aumento da 
área plantada. 
d) a receita aumentou no período de 2000 a 2001, apesar de o preço ter 
diminuído. 
e) o preço do feijão sempre aumentou nesse período. 
 
40) ANPAD 2009 – Uma fábrica de pizzas tem um custo mensal de 
 , em que x é o número de pizzas vendidas por mês. O lucro que o 
fabricante obteve neste mês, vendendo cada produto por R$ 7,00, foi de R$ 
46.000,00. Para o mês seguinte, ele quer dobrar o seu lucro sem aumentar o 
preço. Para isso, ele deverá 
 
a) dobrar a sua venda. 
b) vender 24.000 unidades no total. 
c) vender 75% a mais que este mês. 
d) vender 12.500 unidades a mais que este mês. 
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e) vender 11.500 unidades a mais que este mês. 
 
41) ANPAD 2010 – Um objeto desloca-se no plano cartesiano em função do 
tempo t, e suas coordenadas variam de acordo com as equações e 
 
 
 
 , em que t ≥ 0, t é medido em segundos e x e y são dados em 
metros. A distância percorrida por esse objeto quando t varia de 0 a 6s equivale a 
 
a) aproximadamente 6m. 
b) aproximadamente 8m. 
c) 9m. 
d) 10m. 
e) 12m. 
 
42) ANPAD 2010 – Com respeito a uma função , afirma-se: 
 
I. O seu domínio é o conjunto dos números reais. 
II. A sua imagem é o conjunto dos números reais. 
III. Se a é zero de f, então . 
IV. f será estritamente crescente se para todo . 
V. Se e , então . 
 
Das assertivas acima, 
 
a) apenas III e V são falsas. 
b) apenas I e III estão corretas. 
c) apenas I, III e IV estão corretas. 
d) apenas I, III e V estão corretas. 
e) apenas I, II, III e IV estão corretas. 
 
43) ANPAD 2010 – Certa companhia que oferece serviços de TV por assinatura 
estima que, com q milhares de assinaturas, a receita e o custo (em milhares de 
reais) são dados, respectivamente, por e 
 . Sabendo-se que o lucro consiste na diferença entre a receita e o custo, então o 
lucro máximo e o número de assinaturas que gera esse lucro são, 
respectivamente, 
 
a) R$ 146.000,25 e 27.500. 
b) R$ 150.000,00 e 35.000. 
59 
 
 
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c) R$ 151.000,25 e 32.000. 
d) R$ 151.250,00 e 32.500. 
e) R$ 151.250,00 e 60.000. 
 
44) ANPAD 2010 – Uma pessoa deposita uma quantia C em dinheiro na 
caderneta de poupança. Sabendo-se que o montante na conta, após t meses, é 
dado por , o tempo mínimo para triplicar a quantia depositada 
corresponde, aproximadamente, a 
 
a) 6 anos e 8 meses. 
b) 7 anos e 6 meses. 
c) 8 anos e 4 meses 
d) 9 anos e 3 meses. 
e) 10 anos e 2 meses. 
 
45) ANPAD 2010 – O preço médio (por unidade) de certo produto varia com o 
tempo de acordo com a função 
 
 
 , em que t é um 
número natural que representa os meses de um dado ano e corresponde ao 
preço médio, em reais, de venda no mês t. Considerando que t = 1 é o mês de 
janeiro, é CORRETO afirmar, com base no exposto, que o preço médio de 
venda por unidade, no mês de abril, será igual a 
 
a) R$ 83,00. 
b) R$ 81,50. 
c) R$ 80,00. 
d) R$ 78,50. 
e) R$ 77,00. 
 
46) ANPAD 2010 – A figura abaixo é um esboço do gráfico de uma função 
exponencial da forma 
 
 
 
 
, em que a e b são constantes e x R. O 
valor de é igual a 
 
60 
 
 
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a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7. 
 
47) ANPAD 2010 – Devido ao desgaste, o valor y de um determinado bem é 
depreciado linearmente com o tempo. A partir da função de depreciação, estima-
se que certa máquina, hoje avaliada em R$ 1.000,00, valerá, daqui a cinco anos, 
R$ 250,00. A expressão dessa função que relacional o valor y da máquina com o 
tempo de uso t é 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
 
48) ANPAD 2010 – O lucro L (em centenas de reais) relativo a certo produto em 
função da quantidade q vendida está representado na figura ao lado, cujo gráfico 
é uma parábola 
 
I. A função que descreve a relação entre o lucro L e a quantidade vendida q é 
 . 
II. O lucro máximo é obtido quando são vendidas entre 8 e 10 unidades do 
produto. 
III. O lucro máximo é igual a R$ 4.900,00. 
61 
 
 
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IV. Não haverá lucro positivo se forem vendidas apenasduas unidades do 
produto. 
 
 
 
Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, estão CORRETAS 
 
a) apenas as proposições II e III. 
b) apenas as proposições I, II e III. 
c) apenas as proposições I, II e IV. 
d) apenas as proposições II, III e IV. 
e) as proposições I, II III e IV. 
 
49) ANPAD 2011 – A função f é par se , para todo x no domínio 
de f. Então, o gráfico de uma função par 
 
a) não apresenta simetria. 
b) é simétrico com relação à origem. 
c) é simétrico com relação à reta y = x. 
d) é simétrico com relação ao eixo das abscissas. 
e) é simétrico com relação ao eixo das ordenadas. 
 
50) ANPAD 2011 – Em uma experiência no laboratório, observou-se que o 
tempo que certo rato leva para percorrer determinado labirinto na enésima 
tentativa é dado pela função minutos, em que n varia até 10. 
Com relação a essa experiência, pode-se afirmar que esse rato 
 
62 
 
 
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a) percorre esse labirinto em três minutos na décima tentativa. 
b) consegue percorrer esse labirinto em menos de dois minutos. 
c) leva três minutos e vinte segundos para percorre esse labirinto na quinta 
tentativa. 
d) percorre esse labirinto em uma das tentativas, em dois minutos e quarenta 
segundos. 
e) leva três minutos e cinquenta segundos para percorrer esse labirinto na quarta 
tentativa. 
 
51) ANPAD 2011 – O gráfico da função 
 
3 1, 0
3, 0
x x
f x
x x
  
 
 
 intercepta o eixo 
das abscissas nos pontos P(p,0) 
Q(n,0), sendo que 
p
é um número positivo e 
n
é um número negativo. Logo
2p n
 
é igual a 
 
a) 10. 
b) 4. 
c) 2. 
d) – 8. 
e) – 10 
 
52) ANPAD 2011 – Identifique o intervalo cujos valores de 
k
 tornam a função 
exponencial , 
   5 1
x
f x k 
decrescente. 
 
a) 1/5 < k < 2/5. 
b) 0 < k < 1/5. 
c) k < 2/5. 
d) k > 1/5. 
e) k < 1. 
 
53) ANPAD 2012 – O lucro (em reais) semanal de uma empresa é dado por 
 , em que p é o preço (em reais) por unidade do 
produto vendido. Para que o lucro seja superior a R$ 12.000,00 por semana, o 
valor do preço p deve 
 
a) estar entre R$ 3,00 e R$ 7,00. 
b) estar entre R$ 7,00 e R$ 10,00. 
c) estar entre R$ 1,00 e R$ 3,00. 
63 
 
 
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d) ser menor que R$ 1,00. 
e) ser maior que R$ 10,00. 
 
54) ANPAD 2012 – As funções de oferta e de demanda de um produto são x – 3p 
+ 6 = 0 e p
2
 + p + x – 39 = 0, respectivamente, em que p centenas de reais 
correspondem ao preço por unidade do produto e x milhares de unidades se 
referem à quantidade do produto. Na situação de equilíbrio de mercado, a 
quantidade e o preço do produto oferecido e demandado serão, respectivamente, 
 
a) 5.400 unidades e R$ 500,00. 
b) 7.500 unidades e R$ 450,00. 
c) 7.500 unidades e R$ 500,00. 
d) 9.000 unidades e R$ 450,00. 
e) 9.000 unidades e R$ 500,00. 
 
55) ANPAD 2012 – Seja C o custo total definido por , 
em que x é a quantidade produzida. 
 
Então, o custo mínimo é 
 
a) 15/4. 
b) 11/3. 
c) 17/5. 
d) 4. 
e) 5. 
 
56) ANPAD 2012 – O número de bactérias em uma cultura é dado pela fórmula 
 , sendo t medido em dias. Após 16 dias, a população dessa 
cultura teve um crescimento de 
 
a) 3.750 bactérias. 
b) 4.000 bactérias. 
c) 6.500 bactérias 
d) 20.000 bactérias. 
e) 20.250 bactérias. 
 
57) ANPAD 2012 – A escala decibel para medir a intensidade sonora é definida 
como 
 
 
, sendo D o nível do som em decibéis (dB), I a intensidade 
do som (medida em watts por metro quadrado – w/m2) e I0 a intensidade do 
64 
 
 
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menor som audível (x/m
2
). Se a intensidade de um som (em w/m
2
) é 1.000 vezes 
a intensidade de outro som, a diferença em decibéis (dB) entre os dois sons é de 
 
a) 10. 
b) 20. 
c) 30. 
d) 40. 
e) 50. 
 
58) ANPAD 2013 – Um fazendeiro pretende construir dois cercados de formato 
quadrado, sendo que, para isso, ele dispõe de 50m de cerca. Qual dos gráficos a 
seguir melhor representa a soma das áreas dos dois cercados em função do lado 
de um dos quadrados? 
 
 
 
 
 
59) ANPAD 2013 – Seja , tal que e . 
65 
 
 
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Então,o valor de é 
 
a) 1/2. 
b) 1/3. 
c) 1/3. 
d) 0. 
e) 1/2. 
 
60) ANPAD 2014 – Sejam x o valor, em reais, que uma empresa gasta 
anualmente em mão de obra e y o valor que investe anualmente em tecnologia. A 
produção anual dessa empresa é dada por , em que e são 
constantes reais positivas satisfazendo . Sabendo que a empresa 
dobrou a produção ao reduzir os gastos com mão de obra pela metade e 
quadruplicou o investimento em tecnologia, determine o valor da constante . 
 
a) 1/4. 
b) 1/3. 
c) 1/2. 
d) 2/3. 
e) 3/4. 
 
61) ANPAD 2014 – Considere a função f definida por: 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que o domínio dessa função são os números reais, determine qual é o 
conjunto imagem de f. 
 
a) ( , 4]. 
b) , 
 
 
 . 
c) 
 
 
 , ). 
d) [4, ). 
e) . 
 
62) ANPAD 2014 – Seja uma função com as seguintes 
propriedades: 
 
I. . 
II. . 
66 
 
 
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III. 
 
 
. 
 
Sendo , o valor de M é 
 
a) 246. 
b) 513. 
c) 1001. 
d) 2047. 
e) 4096. 
 
63) ANPAD 2014 – Seja uma constante real. Para que a parábola de equação 
 intersecte a reta de em apenas um ponto, é 
necessário que 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
 
64) ANPAD 2015 – Representado num sistema cartesiano, o gráfico de uma 
função polinomial de segundo grau corresponde a uma parábola que 
passa pelo ponto e que intersecta o eixo das ordenadas em . 
 
Se a abscissa do vértice dessa parábola é 4, então o produto das raízes é igual a: 
 
a) 8. 
b) 4. 
c) . 
d) . 
e) . 
 
65) FUNDATEC 2011 – Sabe-se que o valor máximo atingido por uma função 
do segundo grau, cuja concavidade está voltada para baixo, é a ordenada do seu 
vértice. Então, dada a função , que representa, em 
milhares de reais, o lucro de produção de unidades ( em centenas) de certo 
produto, qual será o lucro máximo (em milhares de reais) de produção desse 
produto? 
 
a) 1.800. 
b) 2.000. 
67 
 
 
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