Exercícios de Cálculo Multivariável

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1. Seja z = f(x, y) = x2 + y2. Determinar a equação da reta tangente à interseção do gráfico de f com o plano de equação y = 2, no 
ponto (2, 2, 8). 
2. Seja z = f(x, y) = y2. Determine a equação da reta tangente à interseção do gráfico de f com o plano de equação x = xo, no ponto 
(xo, 1, 1). 
3. Dado o elipsoide 
2 2x y
z 2 1
16 9
  
. 
a) Determinar a inclinação da seção produzida pelo plano y = 2, no ponto em que x = 2. 
b) Idem para o plano x = 2 e o ponto em que y = 2. 
4. A resistência elétrica R de certo fio é dada por R = 
2
k
r
, onde k é uma constante e r o raio do fio. Supondo que o raio tenha 
um erro possível de 

5%, use diferenciais para estimar o erro percentual em R (suponha k exato ). 
5. Calcular aproximadamente o aumento de volume de um cilindro de 3m de raio e 4m de altura, quando o raio aumenta de 5cm 
e a altura de 3cm. R.: dV = 4,62m3 ΔV = 4,68 m3 ΔV- dV = 0,06 m3. 
6. Usando diferencial determine a variação do volume do recipiente mostrado na figura abaixo, quando sua altura aumenta em 
3% e seu raio decresce em 1%. 
 
7. Vamos considerar uma lata cilíndrica fechada, com dimensões r = 2cm e h = 5cm. O custo do material em sua confecção é de 
R$ 0,81 por cm2. Se as dimensões sofrerem um acréscimo de 10% no raio e 2% na altura, a) qual será o valor aproximado no 
custo da lata? b) E qual é o valor exato do acréscimo no custo da lata? 
8. A altura de um cone circular é 100cm e decresce a uma razão de 10cm/s. O raio da base é 50cm e cresce à razão de 5cm/s. 
Determinar a velocidade da variação do volume do cone. 
9. Encontre a aproximação linear local L da função f (x, y) = 
2 2x y
 no ponto (3, 4) e compare com o erro da aproximação de 
f(3,04 ; 3,98). 
10. Encontre a aproximação linear local L da função f (x, y) = xyz no ponto (1, 2, 3) e compare com o erro da aproximação de 
f(1,001 ;2,002; 3,003). 
11. Calcule 
2
R
(3x 4y )dA 
donde R é a região no semipleno limitada pelos círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4. 
12. Determine o volume do sólido limitado pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = 1 - x2 - y2. 
13. Calcule 
R
sen dA 
na região R definida por x2 + y2 = 9 
14. Calcule 
R
sen dA 
onde R é a região no primeiro quadrante fora do círculo r = 2 e dentro da cardioide r = 2(1+cosθ) 
15. Use uma integral dupla polar para calcular a área compreendida pela rosácea de três pétalas r = 3sen3θ. 
16. Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m2 de papelão. Determine o volume máximo dessa caixa. 
17. Determine os valores extremos da função f(x,y) = x2 + 2y2 no círculo x2 + y2 = 1. 
18. Em que ponto ou pontos do círculo x2 + y2 = 1 tem f(x, y) = xy um máximo absoluto e qual é esse máximo? 
19. Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar as dimensões do retângulo com perímetro p e área máxima. 
20. Determine os pontos da esfera x2 + y2 + z2 = 36 que estão o mais próximo e o mais afastado do ponto (1, 2, 2). 
21. Determine as dimensões de uma caixa retangular aberta no topo, com um volume de 32 pés e cuja construção requeira uma 
quantidade mínima de material. 
22. Calcule o valor da integral 

R
2 ydAx
, onde R = [0,3] x [1,2] R. 13,5 
23. Calcule 

R
dAxyysen )(
, onde R = [1,2] x [0,]. 
24. Use uma integral dupla para encontrar o volume do sólido delimitado acima pelo plano z = 4 – x – y e abaixo pelo 
 retângulo R = [0 , 1] x [0 , 2]. 
25.Calcule a integral dupla 
R
24xydxdy 
 no retângulo R = {(x,y): -3 ≤ x ≤ 2,0, 0 ≤ y ≤ 1} 
 
26.Calcule: 
 a)
3 4
1 2
(40 2 )xy dydx 
 b) 
ln 3 ln 2
0 0
x ye dydx 
 c) 
2
1
2
cos( )x xy dydx

 
 
27.Calcule o volume do sólido compreendido entre a superfície z = 3x3 + 3x2y e abaixo pelo retângulo 
 R = {(x ,y): 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}. 
28.Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide elítico 2 2
1
4 9
x y
z  
 e acima do retângulo 
 R = [-1 , 1] x [-2 , 2]. 
29. Calcule 

D
xydA
, onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6. 
30.Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. 
 
31.Calcule: a) 
2 1 2x
0 y/2
e dxdy 
 b) 
cos y
0 0
xsenydxdy

 
 
32. Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro x2 + y2 = 4 e os planos y + z = 4 e z = 0. 
33.Calcular o valor da integral 
R
24xydxdy 
sendo R a região delimitada pelas curvas y = x2 e y = 
x
. 
34. Calcule 

D
xydA
, onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6. 
35. Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. 
36. Esboce a região de integração para a integral iterada 
5 2x
1 x
sen(x)dydx 
 
37. Calcule as integrais invertendo a ordem de integração: 
 a) 
1 1 2x
y
0
2
e dxdy 
 b 
3 9
2
20 y
ysen(x )dxdy 
 c) 
1 1
3
0 y
2 x dxdy  
d) 
4 2x 8
0 0
f (x, y)dydx
 
 
 e) 
1 4 2y
0 4x
e dydx 
 
38.Calcule 
2
c
(2 x y)ds
, onde C é a metade superior do círculo unitário x2 + y2 = 1 
 39.Calcule 
2 2
C
(x y z)ds 
, onde C é a hélice circular dada através das equações paraméticas: 
 x(t) = cost, y(t) = sent e z(t) = t do ponto P(1, 0, 0) até o ponto Q(1, 0, 2π). 
 
40.Calcule: 
2 2
C
(3x y )dx 2xydy 
 ao longo do arco circular C dado por x = cost, y = sent (0 ≤ t ≤ π/2 ) 
41.Calcule a integral tripla: 
 a)
G S
f (r, , z)dV f (r, , z)r dz dr d    
 sendo S a região dada por: -1≤ 𝑥 ≤ 2, 0≤ 𝑦 ≤ 3 , 0≤ 𝑧 ≤ 2 
 b) ∫ ∫ ∫ 8𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑉 
𝑆
, sendo S a região dada por 0≤ 𝑥 ≤ 1, 1≤ 𝑦 ≤ 2 , 2≤ 𝑧 ≤ 3 
 42.Seja G o sólido no 1º octante limitado abaixo pela superfície z = y + x2 e acima pelo plano z = 4. Preencha as lacunas com 
 Os extremos de integração que faltam: 
 a) 
4
2y x
f (x, y, z)dzdydx f (x, y, z)dydzdx

      
=
4
2y x
f (x, y, z)dzdxdy f (x, y, z)dydxdz

     
= 
 =
f (x, y,z)dxdzdy f (x, y,z)dxdydz     
 
43. Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro x2 + y2 = 9 e entre os planos z = 1 e x+ z = 5 
44.Calcule a integral iterada: 
23 x ln z y
1 x 0
xe dydzdx  
 
 45. Use a integral tripla para encontrar o volume do sólido do primeiro octante limitado pelos planos coordenados e o plano 
 3x + 6y + 4z = 12 
 46.. Calcule a área da superfície que se estende verticalmente desde o círculo x2 + y2 = 1 no plano xy até o cilindro 
 parabólico z = 1 – x2. 
 47. Calcule 
2 2
C
(3x y )dx 2xydy 
 ao longo do arco circular C dado por x = cost, y = sent (0 ≤ t ≤ π/2) 
 48. 
3x 2 5
C
(e y )dx (x y )dy  
 onde C é formada por y = x e y = 0, 0 ≤ x ≤ 1, que vai do ponto (1, 1) ao ponto (1, 0) 
 49. Calcule a integral de linha 
4
C
xy ds
, onde C é a metade do círculo x2 + y2 = 16 
50.Calcular a integral 
2 2
C
(x y z)ds 
 onde C é a hélice circular dada por : 
51 Calcule 
C
xzds
 onde C é a interseção da esfera x² + y² + z² = 4 com o plano x = y. 
52. Calcule 
C
xyds
, onde C é a elipse 2 2
2 2
x y
1
a b
 
 . 
53. 
C
(3y z)ds
 , onde C é o arco da parábola z = y² e x = 1 de A(1,0,0) a B(1,2,4). 
54. 
C
| x | ds
 ondeC é a curva dada por y = x³ de (-1,-1) a (1, 1). 
 
55.Se F(x, y, z) = y2i + (2xy + e3z)j + 3ye3z k. Encontre uma função f tal que 

f = F 
 
56. Determine o trabalho realizado pelo campo de força F ao mover um objeto de P para Q dado que: 
 a) F(x , y) = 
3/22 3y i x y j
; P(1 ,1) a Q(2, 4) 
57. Determine se F é ou não um campo vetorial conservador (*). Se for, determine um função F = 

f 
 a) F(x , y) = (2x – 3y)i + (-3x + 4y – 8)j 
 
 b) F(x , y) = ex seny i + ex seny j 
 
 c) F(x , y) = (3x2 – 2y2)i + (4xy + 3)j 
 
 58. Calcule: a) 
4
c
x dx xydy 
, onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de (0 , 0) a (1 , 0), de 
 (1 , 0) a (0 , 1) e de (0 , 1) a (0 , 0). 
 b) 
2
 3 c y dx xy dy 
, onde C é o limite da região semianular D contida no semiplano superior entre os 
 círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4 
 59. Uma partícula inicialmente no ponto (-2 , 0) se move ao longo do eixo x para (2 , 0), e então ao longo da 
 semicircunferência 
24y x 
 até o ponto inicial. Utilize o teorema de Green para determinar o trabalho 
 
24y x 
 realizado nessa partícula pelo campo de força F(x , y) = <x , x3 + 3xy2 >. 
60. Calcule 
C
3xy ds, onde C é a curva dada pelo gráfico abaixo.