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Geometria Analítica
Aula 3
Prof. Nacib Mattar Jr
Organização da Aula
� Retas: equações cartesianas
� Retas: equação vetorial
� Retas: ângulo, paralelismo 
e perpendicularismo
� Retas: intersecções
Retas: 
Equações Cartesianas
Equação reduzida: y = ax + b
� Todo ponto de r pode ser obtido 
a partir de sua equação
� Todo ponto obtido com a 
equação de r pertence a r
Reta r e dois pontos Exemplo: obtendo pontos 
da reta
2
Para x = 2 obtém-se 
pertencente à r:
Exemplo: verificação se um 
ponto pertence à reta
O ponto não 
pertencente à r:
Reta r: um ponto e a inclinação
Reta r: um ponto e a inclinação Equação da reta: formato
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Exemplo:
Exemplo:
Exemplo: Equação geral da reta:
Obtida a partir da equação 
reduzida:
Uma mesma reta possui 
inúmeras equações no formato 
geral, todas equivalentes 
entre si: Retas: 
Equação Vetorial
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Um vetor posição e um vetor 
diretor
� Vetor posição: ponto inicial na 
origem e ponto final em um 
ponto da reta
� Vetor diretor: 
pontos inicial e final 
sobre a reta (vetor 
paralelo à reta)
Vetor resultante:
O
Pontos da reta: Pontos da reta:
Pontos da reta: Pontos da reta:
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Exemplo: reta r
O
Exemplo: reta r:
O
Reta r:
� Todo ponto obtido 
pela substituição de 
um valor real em 
t pertence à reta
� Todos os pontos da reta podem 
ser obtidos pela equação vetorial: 
cada ponto é determinado por um 
valor real de t
Reta r:
� Cada reta possui inúmeras 
equações vetoriais, equivalentes 
entre si, geradas a partir da 
escolha dos vetores posição 
e diretor
Equações paramétricas
� Obtidas a partir da equação vetorial 
da reta:
ℝ
Equações paramétricas de:
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Algumas equações de r:
� Cada reta possui uma única 
equação na forma reduzida
� Nos demais formatos uma 
mesma reta possui inúmeras 
equações equivalentes entre si
Um exemplo em R³:
� Reta que passa por 
A(1,3,5) e B(–2,5,9)
Reta por A(1,3,5) e B(–2,5,9):
Reta por A(1,3,5) e B(–2,5,9): Reta por A(1,3,5) e B(–2,5,9):
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Reta por A(1,3,5) e B(–2,5,9):
Retas: 
Ângulo, Paralelismo 
e Perpendicularismo
Ângulo entre duas retas
� Coincide com o ângulo entre 
os vetores diretores
Cálculo do ângulo entre duas 
retas
� O ângulo entre os vetores 
diretores pode ser calculado pela 
formulação a seguir do produto 
escalar:
Exemplo 1: ângulo entre r e s Vetores diretores em r e s:
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Cálculo dos elementos da 
fórmula:
Cálculo dos elementos da 
fórmula:
Aplicação da fórmula: Exemplo 2: ângulo entre r e s
Vetores diretores:
Cálculo dos elementos da 
fórmula:
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Aplicação da fórmula:
Conclusão:
Retas paralelas entre si
� Possuem vetores 
diretores paralelos 
entre si: ângulo 0º
Exemplo 3: ângulo entre r e s
Vetores diretores:
Cálculo dos elementos da 
fórmula:
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Aplicação da fórmula:
Conclusão:
Retas ortogonais entre si
� Possuem vetores diretores 
ortogonais entre si: ângulo 90º
� Vetores ortogonais: 
Paralelismo e 
Perpendicularismo de Retas 
no Plano Cartesiano
Retas paralelas no Plano 
Cartesiano
� As retas r: y = ax + b e s: 
y = mx + n serão 
paralelas entre si se, 
e somente se, a = m
Exemplo:
� As retas r: y = 3x + 5 e 
s: y = 3x + 1 são paralelas 
entre si
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Retas perpendiculares 
no Plano Cartesiano
� As retas r: y = ax + b 
e s: y = mx + n serão 
perpendiculares entre si se, 
e somente se,
Exemplo:
� As retas 
são perpendiculares entre si
Retas paralelas no Plano 
Cartesiano
� As retas r: y = ax + b 
e s: y = mx + n serão 
paralelas entre si se, 
e somente se, a = m
Retas: 
Intersecções
Intersecção entre retas
� Dadas duas retas r e s, a 
intersecção entre elas, se 
houver, é dada pelo conjunto 
de pontos pertencentes 
a ambas as retas
Exemplo:
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Supondo-se um ponto 
P = (a, b, c) pertencente 
às duas retas:
Supondo-se um ponto 
P = (a, b, c) pertencente 
às duas retas:
Supondo-se um ponto P = (a, b, c) 
pertencente às duas retas:
As retas são concorrentes. O ponto 
de intersecção 
é dado por t=2: