Relatório: Estudo da oscilação de pêndulo de torção pelo método científico

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
FÍSICA EXPERIMENTAL A – TURMA A
PRÁTICA 7: ESTUDO DA OSCILAÇÃO DE PÊNDULO DE TORÇÃO PELO MÉTODO CIENTÍFICO
FELIPE TETSUO OHASHI RA: 595942
FRANCO NUNES DOS SANTOS RA: 727723
RENAN BARTHUS RA: 510408
SÃO CARLOS,
2017
RESUMO
O principal objetivo deste relatório foi verificar experimentalmente, pelo método científico, o comportamento do período de oscilação de um pêndulo de torção, bem como determinar o módulo de rigidez (G) e identificar o material dos fios utilizados na prática. O módulo de rigidez (G) pode ser verificado através de uma equação que consiste em variáveis intrínsecas e extrínsecas, como o momento de inércia (I) do disco suspenso, o diâmetro (d) e o comprimento (L) do fio que sofre a torção. As potências m e n da equação empírica foram obtidas como sendo coeficientes angulares de gráficos di-logs construídos no decorrer do experimento; a potência p, pela análise dimensional. Por fim, calculado o módulo de rigidez (G), obteve-se, aproximadamente, 95,6% de concordância com o valor tabelado.
 
OBJETIVO
Os objetivos para esta prática experimental baseiam-se em obter, por meio do método científico, a equação empírica para o período de oscilação de um pêndulo de torção, em função de grandezas intrínsecas e extrínsecas, e determinar o módulo de rigidez (G) dos fios usados no experimento, identificando o material de que são feitos.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Oscilações são comuns no mundo o qual estamos inseridos. Uma turbulência do ar atinge as asas de um avião de forma tão intensa que as asas podem oscilar bruscamente e quebrarem, causando a queda da aeronave; um terremoto atinge uma região e seus prédios oscilam tão fortemente que desmoronam; o pêndulo de um relógio de torção (Figura 1) oscila de um lado para o outro marcando as horas. São inúmeros os exemplos envolvendo acontecimentos de oscilação, variando de casos simples até perigosos. 
Figura 1: Relógio de torção. Existem alguns relógios de torção que são, geralmente, cobertos com uma cápsula de vidro para que o diâmetro do fio não sofra influência do meio externo, alterando os períodos de rotação e prejudicando o funcionamento do equipamento.
Fonte: http://www.antigosecontemporaneos.com.br/relogios-termometros-e-barometros/antigo-relogio-de-torcao-aniversario-kundo-kieninger-obergfell/
Dentre as grandezas mais importantes do movimento oscilatório, além do próprio tempo das oscilações (t), está o número de oscilações completas (N), as quais permitem obter o período de oscilação do pêndulo de torção (T), por segundo, pela relação
 Para o caso das oscilações que apresentam repetições durante determinado intervalo de tempo, o movimento recebe um nome especial: movimento harmônico ou periódico. [1: Movimento harmônico, em Física, é o movimento periódico em que a lei de variação com o tempo é uma função harmônica, ou seja, é uma solução não trivial da equação de Laplace cujas derivadas primeira e segunda são contínuas.]
Para o estudo de pêndulos no movimento harmônico, há dois casos: o estudo do movimento para o pêndulo simples e o estudo para o movimento do pêndulo angular ou pêndulo de torção.
Um sistema composto por um corpo rígido suspenso por um fio e capaz de oscilar em torno de um eixo comum com o fio é o que se denomina por pêndulo de torção (Figura 2). O pêndulo de torção é, basicamente, um sistema físico que realiza oscilações harmônicas quando deslocado (angularmente) da sua posição de equilíbrio. O que difere o pêndulo de torção dos demais pêndulos é o fato de oscilar de forma giratória. 
No pêndulo de torção, diferentemente do pêndulo simples, há em sua extremidade um disco, contendo massa e diâmetro, conectado ao teto por intermédio de um fio. Se o disco for girado a partir de sua posição de equilíbrio, ele oscilará entre + ϴ e – ϴ, conforme mostra a Figura 2.
Figura 2: Pêndulo de torção
Fonte: Universidade Federal de São Carlos (UFSCar), Departamento de Física. Apostila de Física Experimental A. São Carlos: EDUFSCar, 2013.
Girando o disco em qualquer direção do ângulo ϴ, em relação à posição de equilíbrio, surgirá um torque restaurador τ, dado pela equação
em que K é uma constante própria do fio, denominada de coeficiente de restituição. A constante K depende do comprimento L, do diâmetro d e do módulo de rigidez G do fio que sofre a torção, segundo a igualdade[2: O módulo de rigidez ou módulo de cisalhamento é, basicamente, o valor numérico que expressa a resistência de um corpo à deformação por uma força aplicada. ]
em que p, m e n são constantes (números inteiros). 
Como o torque é sempre oposto ao deslocamento angular, se ao corpo for dado um deslocamento inicial (ϴ ≤ 20°), e depois abandonado, ele irá oscilar com um período T, dado pela equação
em que I é o momento de inércia do disco suspenso ( de diâmetro D e massa M), sendo parâmetro análogo à massa de um oscilador harmônico linear simples.[3: Neste caso, o momento de inércia (I) é calculado pela relação]
Neste experimento, substituindo a equação (3) na expressão (4), obtem-se para o período T de um pêndulo de torção a seguinte expressão
Assim, estudando o período de oscilação de um pêndulo de torção em função do diâmetro e do comprimento do fio, torna-se possível determinar as constantes p, m e n através do método científico, determinando-se a equação empírica para este movimento de oscilação.
MATERIAL UTILIZADO
Micrômetro (marca Kingtools) com resolução de 0,01 mm;
Balança mecânica (marca JB) com resolução de 0,2 g; 
Disco de metal;
5 fios de um mesmo material, com diferentes diâmetros;
Trena (marca Worker 5M) com resolução de 0,1 m;
Paquímetro (marca Kingtools) com resolução de 0,02 mm;
Cronômetro manual (Kenko KK – 613D);
Papéis de gráfico mono-log, di-log e milimetrado;
Suportes para fixação do pêndulo.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
O procedimento experimental consistiu, primeiramente, em realizar, com o auxílio de um micrômetro, a medição do diâmetro de cinco fios em cinco pontos diferentes e determinar, assim, seu valor médio () e sua respectiva incerteza (u()). Os fios foram enumerados de 1 a 5 em ordem crescente do diâmetro (Tabela 1, Apresentação dos Resultados).
Após isso, com o fio de número 3 (diâmetro intermediário), mediu-se o período de oscilação do pêndulo de torção (T), e sua incerteza u(T), com seis comprimentos (L) diferentes para o fio, espaçados entre 10 e 60 cm. Para cada L, mediu-se, também, o tempo de oscilações completas (t) e sua incerteza u(t), assim como o número de oscilações completas (N); foi usado um cronômetro de acionamento manual para o auxílio dessa etapa (Tabela 2, Apresentação dos Resultados).
Depois, escolheu-se um comprimento (L) fixo de 20 cm para determinar o período de oscilação, o número de oscilações completas e o tempo de cada oscilação, juntamente com suas respectivas incertezas para cada fio (Tabela 3, Apresentação dos Resultados). Ainda, foi necessário medir a massa M e o diâmetro D do disco de inércia encontrado na extremidade do pêndulo de torção.[4: Para realizar a medição do tempo de várias oscilações completas (Tabela 2 e 3), utilizou-se um intervalo de tempo maior ou igual a 60 segundos. ]
A partir dos dados obtidos, construiu-se dois gráficos em papel di-log: período de oscilação (T) x média do diâmetro de cada fio (<d>) e período de oscilação (T) x comprimentos utilizados do fio de número 3 (L). Aplicou-se o critério de ajuste da reta mais provável pelo método visual nos gráficos e, calculados os coeficientes por meio da inclinação de cada função gráfica, determinou-se o valor das potências m e n – arredondando sempre para o número inteiro mais próximo - da equação
Para determinar o valor da potência p, utilizou-se o método de análise dimensional, empregando os valores encontrados das outras potências (m e n). Assim, determinou-se a fórmula empírica do períodode oscilação de um pêndulo de torção. Posteriormente, calculou-se o momento de inércia (I) do disco (vide Fundamentos Teóricos) com o intuito de se obter o módulo de rigidez (G), pelo método visual, utilizando-se L fixo em 20 cm e o diâmetro do fio intermediário (8,03x10-4 m). Considerou-se, aqui, que o módulo de rigidez foi expresso nas unidades N/m2 e o momento de inércia em kgm2.
Para se obter um valor mais exato do módulo de rigidez (G) e de sua incerteza (u(G)), construiu-se um terceiro gráfico em papel milimetrado do período de oscilação ao quadrado (T²) x comprimentos utilizados do fio de número 3 (L), e calculou-se os coeficientes angular e linear, e suas respectivas incertezas, por intermédio do Método dos Mínimos Quadrados (MMQ).
Comparou-se o valor de G, encontrado pelo MMQ, na literatura específica, para identificar o material de que são feitos os fios e a concordância percentual obtida no experimento. 
APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
Tabela 1: Diâmetro (d) dos fios
	Fio
	d1 ± u(d1)
[mm]
	d2 ± u(d2)
[mm]
	d3 ± u(d3)
[mm]
	d4 ± u(d4)
[mm]
	d5 ± u(d5)
[mm]
	 ± u() 
[mm]
	1
	0,300 ± 0,005 
	0,300 ± 0,005 
	0,310 ± 0,005 
	0,300 ± 0,005 
	0,300 ± 0,005 
	0,302 ± 0,005
	2
	0,350 ± 0,005 
	0,350 ± 0,005 
	0,350 ± 0,005 
	0,350 ± 0,005 
	0,350 ± 0,005 
	0,350 ± 0,005
	3
	0,810 ± 0,005 
	0,810 ± 0,005 
	0,820 ± 0,005 
	0,850 ± 0,005 
	0,840 ± 0,005 
	0,83 ± 0,01
	4
	1,000 ± 0,005 
	1,000 ± 0,005 
	0,990 ± 0,005 
	0,990 ± 0,005 
	1,000 ± 0,005 
	0,996 ± 0,006
	5
	1,200 ± 0,005 
	1,190 ± 0,005 
	1,200 ± 0,005 
	1,210 ± 0,005 
	1,200 ± 0,005 
	1,200 ± 0,006
Tabela 2: Comprimento L do fio, número de oscilações completas N, tempo das oscilações t e período de oscilação do pêndulo de torção para o fio 3
	L ± u(L)
[cm]
	N
	t ± u(t)
[s]
	T ± u(T)
[s]
	10,00 ± 0,05
	24
	61,2 ± 0,5 
	2,55 ± 0,02 
	20,00 ± 0,05
	18
	63,1 ± 0,5
	 3,50 ± 0,03
	30,00 ± 0,05
	15
	64,8 ± 0,5
	4,32 ± 0,03
	40,00 ± 0,05
	13
	63,6 ± 0,5
	4,90 ± 0,04
	50,00 ± 0,05
	12
	65,6 ± 0,5
	5,47 ± 0,04
	60,00 ± 0,05
	11
	65,7 ± 0,5
	5,97 ± 0,05
Tabela 3: Comprimento L do fio, diâmetro médio <d> do fio, número de oscilações completas N, tempo das oscilações t e período de oscilação do pêndulo de torção 
	L ± u(L)
[cm]
	 ± u()
[mm] 
	N
	t ± u(t)
[s]
	T ± u(T)
[s]
	20,00 ± 0,05
	0,302 ± 0,005
	3
	 80,9 ± 0,5
	 27,0 ± 0,2
	20,00 ± 0,05
	0,350 ± 0,005
	4
	75,7 ± 0,5
	18,9 ± 0,1
	20,00 ± 0,05
	0,83 ± 0,01
	18
	63,1 ± 0,5
	3,50 ± 0,03
	20,00 ± 0,05
	0,996 ± 0,006
	26
	60,8 ± 0,5
	2,34 ± 0,02
	20,00 ± 0,05
	1,200 ± 0,006
	39
	61,8 ± 0,5
	1,58 ± 0,01
Legenda:
d1,2,3,4,5 = diâmetro do fio
u(d1,2,3,4,5) = incerteza do diâmetro do fio
 = média do diâmetro do fio
L = Comprimento do fio
u(L) = incerteza do comprimento do fio
N = número de oscilações completas do fio
t = tempo das oscilações completas
u(t) = incerteza do tempo das oscilações completas
T = período de oscilação do pêndulo de torção
u(T) = incerteza do período de oscilação do pêndulo de torção
Massa do disco = 1664,5 g ± 0,1 g
Diâmetro do disco = 151,00 mm ± 0,01 mm
DISCUSSÃO
Para a execução deste experimento, o primeiro passo foi medir, através de um micrômetro, o diâmetro dos cinco fios dispostos para a prática, em cinco pontos diferentes. Feito isso, calculou-se a média do diâmetro para cada fio. Esses resultados serviram de base para a construção da Tabela 1 (vide Apresentação dos Resultados). A fim de demonstração, o fio de número 4 obteve diâmetros de valores 1,000 ± 0,005 cm, 1,000 ± 0,005 cm, 0,990 ± 0,005 cm, e 1,000 ± 0,005 cm; logo, sua média obtida foi de 0,996 ± 0,006 cm (vide Tabela 1). Aqui, a incerteza do d é nada mais que a incerteza do tipo B, que apenas considera a incerteza do equipamento – no caso, o micrômetro; a incerteza da média do diâmetro é uma incerteza padrão combinada, calculada através da fórmula
Em seguida, mediu-se o comprimento (L) do fio do pêndulo de torção com intervalos de 10,00 ± 0,05 a 60,00 ± 0,05 cm e para cada fio calculou-se o número (N) de oscilações completas, o tempo (t) de cada oscilação completa e seu período (T), assim como as incertezas do comprimento (L), do tempo (t) e do período (T). Para um fio de 30,00 ± 0,05 cm, por exemplo, encontrou-se um valor de 15 oscilações completas num tempo de 64,8 ± 0,5 s e num período de 4,32 ± 0,03 s (vide Tabela 2). Aqui, a incerteza u(L), por estar relacionada apenas à incerteza do equipamento, pode ser encontrada através da mínima divisão do micrômetro dividida, ainda, por 2; a incerteza u(t), está associada ao tempo de reação do ser humano; e a incerteza u(T), foi tratada como a incerteza u(t) dividida pelo número de oscilações completas (N)[5: Pela necessidade do experimento de ter sido realizado por uma equipe, e não apenas por um experimentador, levou-se em consideração um tempo de reação maior do que 0,2 s.]
Para a construção da Tabela 3 (vide Apresentação dos Resultados), utilizou-se um comprimento (L) fixo de 20,00 ± 0,05 cm, o diâmetro médio de cada um dos cinco fios e encontrou-se o número (N) de oscilações completas, o tempo (t) para essas oscilações e o período (T). Todas as incertezas calculadas anteriormente valem para essa etapa do procedimento. Assim, para um fio de comprimento fixo de 20,00 ± 0,05 cm, com diâmetro de 0,302 ± 0,005 mm, houve três oscilações completas, num tempo de 80,9 ± 0,5 s e período de 27,0 ± 0,2 s. 
As Tabelas 2 e 3 proporcionaram a construção de gráficos di-log como forma de comprovar a relação do período de oscilação de um pêndulo de torção (T) em função da média do diâmetro dos cinco fios utilizados (Gráfico 1), e em função de diferentes comprimentos de um mesmo fio – o fio intermediário – (Gráfico 2). Numericamente falando, os Gráficos 1 e 2 permitiram calcular os expoentes m = -4,09 e n = 0,98 (vide Apêndice) da equação
Aproximando o valor numérico do expoente n igual a 1, permitiu-se a construção de um terceiro gráfico (Gráfico 3), com o objetivo de calcular os valores para os coeficientes angular (a) e linear (b), e suas respectivas incertezas, a partir do MMQ (vide Conclusões). [6: O MMQ é uma técnica de otimização estatística/ matemática que procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados experimentais.]
Vale ressaltar ainda que o expoente p foi calculado pelo método de análise dimensional (vide Apêndice), obtendo-se p = -1, e o momento de inércia do disco em suspensão (I) foi admitido pela relação
sendo M a massa e D o diâmetro do disco (vide Apresentação dos Resultados).
Por fim, arredondando os valores obtidos de m e n para o número inteiro mais próximo – no caso, m = -4 e n = 1 –, foi possível encontrar o valor mais exato do módulo de rigidez (G), e a incerteza associada a ele u(G), pelo MMQ. A título de curiosidade, o valor de G pôde ser comparado com a seguinte tabela, determinando-se sua concordância percentual e identificando o material dos fios utilizados (vide Conclusões):
Tabela 4: Módulos de elasticidade para alguns materiais em dina/cm² (1 dina/cm² = 0,1 N/m²).
	Material
	Young (E)
	Cisalhamento (G)
	Volumétrico (K)
	Aço
	19 – 20x1011
	6 - 8 x1011
	16 x1011
	Chumbo
	1,5x1011
	0,5 x1011
	0,8 x1011
	Alumínio
	7 x1011
	2,4 x1011
	7 x1011
Fonte: Universidade Federal de São Carlos (UFSCar), Departamento de Física. Apostila de Física Experimental A. São Carlos: EDUFSCar, 2013.
 
CONCLUSÕES
A Tabela 1 proporcionou, basicamente, os valores médios dos diâmetros dos fios que foram utilizados nos cálculos para obtenção do período de oscilação do pêndulo de torção (T), a partir da equação (9), e nas construções da Tabela 3 e Gráfico 1. Utilizar valores médios, no caso, para os diâmetros dos fios, é extremamente importante como forma de reduzir os erros nos cálculos.
A partir da Tabela 2, pode-se começar a observaro comportamento do período de oscilação do pêndulo de torção (T) em função da variação do comprimento do fio 3. Verifica-se que quanto maior for o comprimento do fio, maior é o período de oscilação, uma vez que o tempo de oscilação é maior e o número de oscilações menor. 
Na Tabela 3, o comprimento dos fios manteve-se fixo em 20,00 ± 0,05 cm, porém variou-se os próprios fios. Nota-se que quanto maior o diâmetro do fio, menor o período de oscilação, já que o tempo das oscilações diminui e o número de oscilações aumenta bruscamente.
As tabelas proporcionaram a construção de dois gráficos em papel di-log (Gráficos 1 e 2), em que a partir deles foi obtido os valores dos coeficientes m e n (m = -4,09 e n = 0,98). Esses valores foram aproximados para os seus números inteiros mais próximos, -4 e 1 respectivamente, com o intuito de se calcular o módulo de rigidez G pelo método visual, G = 6,56x1010 N/m².
O Gráfico 3, construído em papel milimetrado, permitiu calcular os coeficientes angular (a) e linear (b). Torna-se dificultoso auferir uma análise sobre o coeficiente linear calculado, visto que seu módulo é zero e, portanto, inconveniente do ponto de vista físico – o mesmo vale para sua incerteza. O cálculo do coeficiente angular resultou em a = 60,05 ± 0,44 (vide Apêndice). De acordo com a equação (9), o coeficiente angular a demonstra a relação entre as grandezas momento de inércia (I), módulo de rigidez (G) e diâmetro do fio (d). Com o valor de a pôde-se escolher três valores hipotéticos quaisquer de L (variável que T depende linearmente) para traçar uma reta no Gráfico 3 (vide Apêndice e Gráfico 3). 
Posteriormente, calculou-se o módulo de rigidez e a incerteza associada a ele pelo MMQ, G = 6,69x1010 N/m², identificando, de acordo com a Tabela 4, que o material utilizado no fio é o aço.
Adotando o valor intermediário tabelado de 7,0x1010 N/m² como referência, chegou-se a uma concordância percentual de, aproximadamente, 95,6% (vide Apêndice). 
APÊNDICE
Para a construção da Tabela 1:
Para a construção da Tabela 2:
 
 
Para a construção da Tabela 3:
 
 vide Tabela 1
 
Para obtenção do coeficiente angular (m) pelo método visual:
Para obtenção do coeficiente angular (n) pelo método visual:
Para obtenção do expoente (p) pela análise dimensional da equação (5) (vide Fundamentos Teóricos):
Equação obtida empiricamente para o período de oscilação de um pêndulo de torção (T):
Para a obtenção do valor do módulo de rigidez (G) através da equação empírica, empregando valores de grandezas obtidos experimentalmente:
Para obtenção do coeficiente angular (a) pelo método de mínimos quadrados: 
Para obtenção da incerteza do coeficiente angular (a) pelo método de mínimos quadrados:[7: “Se a melhor reta obrigatoriamente tiver de passar pela origem do sistema de coordenadas, ou seja, possuir o coeficiente linear nulo (b = 0), sua inclinação a e a sua respectiva incerteza u(a) poderão ser reescritos como: e ” (Apostila de Física Experimental A, p. 37).]
Para obtenção do coeficiente linear (b) pelo método de mínimos quadrados:
 (não é conveniente do ponto de vista físico do problema)
Para obtenção da incerteza do coeficiente linear (b) pelo método de mínimos quadrados:
 (não é conveniente do ponto de vista físico do problema)
Para a construção da reta no Gráfico 3:
Para a obtenção do valor do módulo de rigidez (G) pelo método de mínimos quadrados:
Para obtenção da concordância entre o valor do módulo de rigidez (G) obtido pelo valor encontrado em literatura específica:
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
HALLIDAY, David, RESNIK Robert, KRANE, Denneth S. Física 1, volume 1, 4. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. 326 p.
Universidade Federal de São Carlos (UFSCar), Departamento de Física. Apostila de Física Experimental A. São Carlos: EDUFSCar, 2013.