relatório sobre oscilação (pendulo simples)

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Física Geral I – MIEET Departamento de Física – Universidade do Algarve 
Protocolos das Aulas Práticas 
 
PS - 21 
 
 
 
PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
 
1. Resumo 
 
Um pêndulo é largado de uma determinada altura, medindo-se a sua velocidade linear 
quando passa pela posição mais baixa. Este procedimento é repetido para diferentes alturas. Os 
dados assim obtidos são processados de modo a verificar a conservação da energia mecânica 
do sistema e a calcular o valor da aceleração gravítica. 
 
 
2. Tópicos teóricos 
 
Considere-se um pêndulo simples. Se desenharmos o diagrama de forças (ver fig. 1) que 
lhe estão aplicadas, facilmente se observa que a resultante dessas forças não é constante no 
tempo. Basta para tanto reparar que se o peso se mantém constante, a tensão varia consoante a 
posição do pêndulo. Por este motivo, torna-se um pouco mais difícil recorrer ao formalismo 
newtoniano para descrever o movimento do pêndulo. Assim, este sistema é, muitas vezes, 
estudado com base no princípio da conservação da energia mecânica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 1 
 
 
Recorde-se que este princípio se traduz pela expressão: 
 
 
te
PCM c=+= EEE (1) 
 
onde as variáveis têm o seguinte significado: 
 
A 
B 
T
r
 
P
r
 
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 EM – energia mecânica 
 EC – energia cinética 
 EP – energia potencial 
 
Se aplicarmos (1) às posições mais alta (A) e mais baixa (B) de um pêndulo simples, é 
possível provar que: 
 Aghvmvmgh 22
1 2
B
2
BA =⇔= (2) 
Deste modo, a expressão (2) relaciona a velocidade do pêndulo no ponto mais baixo com 
a altura máxima do mesmo, chegando-se a este resultado através apenas da conservação da 
energia mecânica do sistema. 
 
 
3. Problemas propostos 
 
Pretende-se estudar o movimento de um pêndulo no sentido de: 
 
3.1. verificar experimentalmente a conservação da energia mecânica; 
3.2. determinar o valor experimental da aceleração da gravidade. 
 
 
4. Material 
 
Pêndulo simples composto por um fio e uma esfera opaca. 
Detector fotoeléctrico. 
Relógio electrónico. 
Régua graduada com cursores. 
Disparador mecânico. 
Craveira 
Bases e suportes. 
Fios de ligação. 
 
 
5. Procedimento experimental 
 
Tenha o cuidado de anotar os erros de leitura de escala associados a todos os aparelhos de 
medida que usar. 
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5.1. Verifique a montagem experimental: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 2 
 
5.2. Meça com a craveira o diâmetro da esfera constituinte do pêndulo e anote o valor. 
5.3. Fixe uma altura máxima para o pêndulo. Utilize os cursores da régua graduada para 
a medir. Tenha em atenção os erros sistemáticos que pode cometer nessa 
determinação. 
5.4. Largue o pêndulo 10 vezes. De cada vez o relógio medirá automaticamente o tempo 
que a esfera demora a passar pelo detector fotoeléctrico. 
5.5. Registe numa tabela, para a altura escolhida, os 10 valores obtidos para o tempo de 
passagem da esfera. 
5.6. Fixe uma nova altura de queda (menor que a anterior) e repita os passos anteriores. 
5.7. Proceda como indicado, realizando, pelo menos, 10 alturas diferentes. 
 
 
6. Análise dos resultados obtidos 
 
6.1. A partir dos resultados obtidos calcule os valores médios e estime os erros 
estatísticos associados às medidas de tempo correspondentes a cada altura. Anote 
estes cálculos numa tabela. 
6.2. Anote numa outra tabela os valores de v, v2 e h (sem esquecer os erros associados a 
cada uma das grandezas). 
Legenda: 
1. Régua graduada 
2. Cursores 
3. Pêndulo 
4. Disparador mecânico 
5. Detector fotoeléctrico 
6. Relógio electrónico 
1 
2 
3 
4 5 
6 
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6.3. Construa, a partir da tabela anterior, um gráfico de v2 em função de h. Represente 
também, se possível, as barras de erro associadas a cada ponto. Verifique a forma 
do gráfico obtido. Como relaciona estes resultados com a expressão (2)? 
6.4. Calcule o declive e a ordenada na origem da recta que melhor se ajusta aos pontos 
experimentais do gráfico anterior, utilizando o método dos mínimos quadrados. 
6.5. Represente a recta obtida sobre o mesmo gráfico. 
6.6. Estime o erro associado ao declive da recta e à ordenada na origem. 
6.7. Calcule, a partir da regressão linear, o valor experimental da aceleração da 
gravidade. 
6.8. Tendo em conta o erro associado ao declive da recta, determine o erro experimental 
associado à aceleração da gravidade. 
 
 
 
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Apêndice 
 
Estudo da conservação da energia mecânica de um pêndulo 
 
Se definirmos energia mecânica (EM) como a soma da energia cinética (EC) com a 
energia potencial (EP), então, é possível dizer que a energia mecânica de um corpo se mantém 
constante, desde que sobre ele actuem apenas forças que não realizem trabalho ou cujo 
trabalho seja independente da trajectória do corpo1. 
Concentremo-nos no pêndulo simples. Observe-se que sobre ele actuam duas forças: a 
tensão do fio e o peso. Se recordarmos que o trabalho realizado por uma força F
r
é dado pela 
expressão: 
 ∫= sdFW
rr
.
 (A.1) 
onde sdr é o elemento infinitesimal da trajectória do corpo, facilmente se verifica que a tensão 
do fio não realiza trabalho, uma vez que é sempre perpendicular à trajectória. Quanto ao 
trabalho da força gravítica virá dado por: 
 hmgW
gF
∆=r (A.2) 
Tomando as variáveis o seguinte significado: 
m – massa do pêndulo 
g – aceleração da gravidade 
∆h – variação na altura do pêndulo 
Ou seja, não depende da trajectória, mas apenas da posição inicial e final do corpo. De 
onde se conclui que o peso é uma força conservativa. Nestas condições, é possível afirmar que 
a energia mecânica de um pêndulo simples se mantém constante: 
 
te
PCM c=+= EEE (A.3) 
Atente-se no facto de a energia cinética de um corpo se poder escrever sob a forma: 
 
2
C 2
1
mvE = (A.4) 
onde v é a velocidade linear do corpo (neste caso, será a velocidade do pêndulo). E 
considere-se que a energia potencial é dada por: 
 mghE =P (A.5) 
onde h é a altura do pêndulo. Substituindo (A.4) e (A.5) em (A.3), obtém-se: 
 
te2 c
2
1
=+ mghmv (A.6) 
 
1
 Às forças cujo trabalho não depende da trajectória do corpo ao qual estão aplicadas, dá-se o nome de forças 
conservativas. 
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Aplique-se, então, o resultado (A.6) às alturas máxima (à qual corresponde o índice A) e 
mínima (à qual corresponde o índice B) (ver fig. A.1): 
 B
2
BA
2
A 2
1
2
1
mghmvmghmv +=+ (A.7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. A.1 
 
À direita da equação, em virtude da velocidade na altura máxima ser nula, desaparece o 
termo respeitante à energia cinética. À esquerda da equação, se a origem de eixos for colocada 
na posição mais baixa do pêndulo, desaparece otermo respeitante à energia potencial. Assim, é 
possível escrever: 
 
2
BA
2
BA 2
1
2
1
vghmvmgh =⇔= (A.8) 
Ou seja: 
 A
2
B 2ghv = (A.9) 
que é a expressão (2) do protocolo. 
T
r
 
gF
r
 
sdr 
B 
A