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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA -UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT A01 – CÁLCULO A 3a LISTA DE EXERCÍCIOS Atualizada em 2009.1 01.Resolva as seguintes integrais: 1.1) dx x x∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +− 452 23 1.2) ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − dxxx 3 1.3) ∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − dx x x 12 1.4) dxx)3sen(∫ 1.5) dxxx cossen∫ 1.6) dx sec25∫ xxtg 1.7) ∫ + dxxx 21 1.8) ∫ xxdxln 1.9) ∫ + 52 2xdx 1.10) ∫ + dxxx 41 1.11) ∫ + dxx xarctg 2 3 1 1.12) ∫ dxxx cos5sen 1.13) ∫ dxe x 3 1.14) ∫ xedx3 1.15) dxe e x x∫ − 24 1.16) ( )∫ xsendx32 1.17) ( )∫ xdx7cos2 1.18) ∫ − xdx25 1.19) ∫ dxxtg 2 1.20) dxeeg xx∫ )]([cot 1.21) dssgstg∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − )4( cot)4( 1.22) ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + dxxx 12 1.23) ∫ + dxx x 32 2 1.24) ∫ + dxx x 13 2 125) ∫ dxxx3cossen 1.26) ∫ − dxx2916 1 1.27) ∫ ++ )1( )1(cos2 xtgx dx 1.28) ( )dx x x∫ ++11ln 1.29) ( )∫ + dxxx 22cos1 2sen 1.30) ∫ + dxx x 2sen1 2sen 1.31) ∫ dx x x 3 4 3cos 3sen 1.32) ∫ − dxx x 2 2 1 arccos 1.33) ∫ dxx x)cos(ln 1.34) dx x e x∫ 1.35) dxxe x sencos∫ 1.36) dxxa x 2∫ 1.37) ( )∫ dxe x 22 1.38) dxee x x∫ + 2 2 2 1.39) ∫ − dxe e x x 21 1.40) dx x x∫ +1 1.41) ∫ +++ dxxxx )2(3 )34( 2 1.42) ∫ + xxdx 22 cos3sen2 1.43) dxxx 12∫ + 1.44) ∫ xdxx 2cos 1.45) ∫ dxxe x3 1.46) ∫ xdx5ln 1.47) ∫ − dx x x 2 3 1 1.48) dxsexx 2)(cos∫ 1.49) dttgttt ))((sec∫ 1.50) ∫ xdxx ln2 1.51) ∫ dxex x22 2 1.52) ∫ xdxex cos 1.53) ∫ dxxarctg )3( 1.54) ∫ + dxexx x)2( 2 1.55) ∫ − dxxarcsen )2( 1.56) ∫ dxx)arccos( 1.57) ∫ dxx)cos(ln 02. Determine uma função f sabendo que f ’(x) é contínua e que: 2.1) f(π ) = 2 e satisfaz a equação Cxcosxsendxtgx)x('f +−=∫ 3 ,sendo C uma constante real. 2.2) f (0) = 5 e satisfaz a equação ∫ += Cxdxx )x('farctg 3 , sendo C uma constante real. 2.3) f (0) = 1 e satisfaz a equação ∫ +=+ Cxdx)x('f)x( 1 2 ,sendo C uma constante real. 03. Em cada ponto da curva y = f(x), tem-se )(22 2 xtg dx yd = . Sabendo-se que a reta tangente a essa curva no ponto (0,1) é paralela ao eixo Ox, determinar a equação da mesma. 04.Determine o valor médio de f no intervalo indicado e os valores de x em que este ocorre: a) f(x) = x2 em [0,1] b) f(x) = a + b cos x em ],[ ππ− , a ≠ 0 e b ≠ 0. c) )( )( 2 122 xaxxf −= em [-a,a], a ≠ 0 d) )()( 2 xsenxf = em [0, π ]. 05. Determine a derivada dx dy de cada uma das funções dadas abaixo: a) ∫= x dtty 1 0> x; ln b) ( )∫ += 0 2/121 x dtty c) ( )∫ += 2 1 2/141 x dtty d) ( )∫ − −+= x x dtty 123 e) dtey x x t∫ −= 2 2 f) 0dt sen 00 =+ ∫∫ xy t tdte g) 0)(sen 2 00 2 2 =+ ∫∫ − dttdte xy t h) 0=dz cos sen3 02 2 ∫∫ +− yx zdzz π 06. Sendo f definida por ( ) dtduuxf x t∫ ∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += 0 0 2 7 )( , calcule ''f . 07. Mostre que a função ∫= x a t dttexf sen)( tem um mínimo em x = 0 e um máximo em x = π . 08. Determine os pontos extremos das funções: a) ( )dttexF x t∫ −= − 1 22/ 1)( 2 b) ∫ + +−= 2 0 2 2 45)( x t dte ttxF 09. Calcule as seguintes integrais: a) ∫ +− 3 1 2 23 542 dx x xx b) ( )∫ −0 1 32 dtttt c) dxx∫ − − 6 3 4 3 10. Sendo ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤= 2x1 , 10 , )( 2 sex xsex xf , calcule dxxf∫ 2 0 )( 11. Determine a área da região limitada pelas curvas: a) y = cosx, x = 0, x = π , y = 0 b) y = x2 + 1, y = 5 c) y = x2 e y = 4x d) ,12x y = y = – x2, x = 1 e x = 2 e) x = y2, x =1 e x = 4 f) y = | x2 – 4| e y = 2 g) x = (y – 2)2 e x = y h) f(x) = x3 e g(x) = 3 x i) f(x)= x|x| e g(x) = x3 j) x = y2 – 2 e x = 6 – y2 l) y = 2x, y = 2x – x2, x = 0 e x = 3. 12) Determine a expressão da integral que permite calcular a área da região do plano: a) Exterior à parábola y2 = 2x e interior ao círculo x2 + y2 = 8. b) Limitada pela hipérbole x a y b 1 2 2 2 2− = e a reta x = 2a. c) Comum aos círculos x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 4x. 13. Resolva as seguintes integrais: ∫ ++ 5x2x dx)1 2 ∫ +− 5x6x dx)2 2 ∫ ++ + 34x22x 5)dx(x3) 4) dx x4x43 3x 2∫ −+ + 5) ∫ ++ + 34x22x 5)dx(x 6) dx )1x2(x 5x3∫ −+ 7) dx x x∫ + + 12 1 8) ∫ +++ )5)(3)(1( xxx xdx 9) ∫ −− )2()1( 2 xx dx 10) dx xxx x∫ +− − 44 8 23 11) dx x34x 13x ∫ − + 12) dx xxx xx∫ +−− −− )52)(1( 332 2 2 13) dx xx x∫ ++ − 86 6 24 3 14) dxxxx x∫ +++ − 44 73 23 15) dx x16 168x 4∫ − − ∫ −+ +− 22 2 1)1)(x(x 3)dx2x(x 16) 17) ∫ +− + 4x5xx 12)dx(5x 23 3 18) ∫ dxxxarctg )( 19) dx x x∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + 11ln 20) ∫ +− + 3)x2x(x 3)dx(x 21) dx x xx∫ −4 33 6 22) ∫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−− 1)2()2( 3 26 5 xx dx 23) ∫ + dxxx 3 2 )1.( 24) ∫ + xx dx 32 25) 21 1 x dx x x∫ + − 26) ∫ + − x dx x x 1 1 4 27) ∫ dxxsen )(3 28) ∫ dxxxsen )(cos)( 32 29) ∫ dx xsen x )( )(cos 4 3 30) ∫ dxx)2sec( 31) ∫ 3 4 3 )(cos )( x dxxsen 32) ∫ dxxsen )3( 2 33) ∫ dxxxsen )((cos).( 22 34) ∫ dxxtg )(3 35) n(3x).dx sen(5x).se∫ 36) ∫ (5x).dxsen(x).cos 37) ∫ dxxxg )(seccos)(cot 35 38) ∫ dxxxtg )(sec)( 43 39) ∫ dxxxtg )2sec())2(( 3 40) ∫ −1)(xtg dx 41) ∫ + dxsenxxsen1 )( 42) ∫ +− )cos()(1 xxsen dx 43) dx x xa∫ −2 22 44) dxxx 22 4 −∫ 45) ∫ + 22 1 xx dx 46) dx x ax∫ − 22 47) ∫ + 52 )x(4 dx 48) 102xx. 1)+(x dx 24 ∫ ++ 49) x4 2∫ + dx 50) 22x2x21)(x dx∫ +++ 51) ∫ + 22 )9(x dx 52) ∫ + + 22 )9(x 1)dx(x 53) ∫ ++ + 22 )102(x 3)dx(2x x 54) dx xxx xxxx∫ +++ ++++ 22 234 )32)(1( 812114 RESPOSTAS 01. 1.1) (x4 /2) + (5/x) + 4x + c 1.2) (2/3)x3/2 – 3ln|x| + c 1.3) (x2/2) – ln|x| + c 1.4) cx +− 3 )3cos( 1.5) cx +3sen)3/2( 1.6) (tgx)6/6 + c 1.7) (1/2)ln|1 + x2| + c 1.8) ln|lnx| + c 1.9) cxarctg +)5/2()52/2( 1.10) (1/2) arctgx2 + c 1.11) cxarctg +4 4 1 1.12) c x + 5ln 5sen 1.13) 3ex/3 + c 1.14) ce x +− − 3 3 1.15) arcsen(ex/2) + c 1.16) – cotg(3x)/3 + c 1.17) (tg7x)/7 + c 1.18) (–1/2)ln|5 – 2x| + c 1.19) (–1/2)ln|cos2x| + c 1.20) ln|sen(ex)| + c 1.21) css +−− )4/sen(ln4)4cos(ln)4/1( 1.22) cx ++ ])1[( 3 1 2/32 1.23) 2 )32( 2 12 +x + c 1.24) cx ++ ])1(2[ 3 1 2/13 1.25) c x +2cos2 1 1.26) cxarcsen +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 4 3 3 1 5 1.27) cxtg ++ )1(2 1.28) cx ++ )1(ln 2 1 2 1.29) c x ++ )2cos1(2 1 1.30) cx ++ 2sen12 1.31) c x + 3/1)3(cos 1 1.32) cx +− 3 arccos3 1.33) cx +)sen(ln 1.34) 2e cx + 1.35) − +e cxcos 1.36) c a a x + ln2 2 1.37) ce x + 4 4 1.38) 2 2ln 2xe+ + c 1.39) ce x +)arcsen( 1.40) ( ) c x1 3 4 2/3 ++ 1.41) c xx + ++ 3ln2 3 )34( 2 1.42) ctgxarctg +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 3 2 6 6 1.43) ( ) ( ) ( ) cxxx ++++−+ 2/32/52/7 1 3 21 5 41 7 2 1.44) cxxsenx ++ 2cos 4 12 2 1.45) cexe xx +− 33 9 1 3 1 1.46) x ln(5x) – x + c 1.47) cxxx +−−−− 3222 )1( 3 21 ou ( ) cxx +−+−−322 1 3 11 1.48) –x cotgx + ln|senx| + c 1.49) t sect – ln|sec t + tg t| + c 1.50) cxx +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 3 1ln 3 3 1.51) cexeex xxx ++− 2222 4 1 2 1 2 1 1.52) ( ) cxsenxe x ++ cos 2 1 1.53) xarctg(3x) – 6 1 ln(9x2 + 1) + c 1.54) x2 ex + c 1.55) (x – 2)arcsen(x – 2) + cxx +−+− 342 1.56) xarccos(x) – cx +− 21 1.57) cxxsenxx ++ ))(ln( 2 1))cos(ln( 2 1 02. 2.1) f(x) = – cos3x + senx + 1 2.2) 53 6 1 2 +−= xcosln)x(f 2.3) f(x) = arctgx + 1 03. 1)cos(ln 2 2 +−− xx 04. a) 1/3 em (1/3)1/2 b) a em 2/π± c) 0 em 0 e ± a d) ½, em 4/π e 4/3π 05. a) lnx; b) ( ) 2/121 x+− ; c) ( ) 2/1812 xx + ; d) ( ) 1232 −+ x ; e) 242 xx exe −− − f) xey y sen' −−= 6 g) )(2' 22 2 xsenxey y−= h) y xseny cos 3' 2−−= 06. )('' xf = x2 + 7 08. a) x máx = 1 e x mín = -1; b) xmáx = -1 e xmáx = 1; xmín = -2, xmín = 0 e xmín = 2. 09 a) 10/3 b) -1/70 c) 53/2 10. 3 124 − 11. a) 2 b) 32/3 c) 32/3 d) 17/6 e) 28/3 f) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ 3 3261228 2 g) 9/2 h) 1 i) 1/6 j) 64/3 l) 7/ln2 12. 12a) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∫ ∫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−+∫ −+∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−− dxxxdxdyydyyy 0 22- 2 0 2222 2 22 2 2 2 28x-82ou 84 2 8 12b) dyyb b aa b∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +−30 2222 ou dxaxab a a ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −∫ 22 2 2 12c) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+− ∫∫ 21 210 2 442 dxxdxxx ou ( )dyy∫ −−30 2 144 13. 1) Cxarctg ++ 2 1 2 1 2) C x x +− − 1 5ln 4 1 3) Cxarctgxx +++++ )]1(2[.22|342|ln 4 1 2 4) Cxarcsenxx +−+−+− 2 12 4 7443 4 1 2 5) Cxxxxx ++++++++ |)1(2342|ln22342 2 1 22 6) Cxxxxx +−+−+− )2(814ln 24 232 2 3 22 7) Cxx +++ 12ln 4 1 2 1 8) C xx x +++ + )1()5( )3(ln 8 1 5 6 9) C x x x +− −+− 1 2ln 1 1 10) C x x x +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+− 22ln 2 3 11) Cxxxx +++−+− |]12|ln7|12|ln9[ 16 1||ln 4 12) Cxarctg x xx +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+− +− 2 1 2 1 1 )52(ln 2 3 2 13) Cxarctgxartg x x +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ + + 22 3 22 3 2 4ln 2 2 14) Cxarctg x x +++ + )2/( 2 1 )1( 4ln 2 2 15) Cxarctgxx +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−+−+ 2 |2|ln4ln 2 16) C x xxarctgx +−+−−++ 1 1|1|ln1ln 2 7 17) C||x||xxx +−+−−+ 4ln 3 831ln 3 17ln35 18) cxarctgxxarctgx ++− )( 2 1 2 1)( 2 2 19) ( ) cxx x x ++−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + )1ln( 2 111ln 2 2 20) Cxarctgx +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⋅+ 2 122ln2 21) Cxx +− 12 134 9 13 2 27 2 22) Cxarctg x x +−−+− −− 6 6 6 23 12 12ln 2 3 23) Cxx ++−+ 3538 )1( 5 3)1( 8 3 24) Cxxxx ++−+− )2ln(482462 663 25) C x x xx xx +−−+−− ++− 21 11 11ln 26) Cxx xx x xarctg ++−− ++−++ − 11 11ln 1 12 27) Cxx +− )cos()(cos 3 1 3 28) Cxsenxsen +− )( 5 1)( 3 1 53 29) Cxx +− )(csc 3 1)(csc 3 31) C x x ++ 3 3 5 )cos( 3)(cos 5 3 32) Cxsenx +− 12 )6( 2 33) Cxsenx +− 32 )4( 8 34) Cxxtg ++ )cos(ln 2 )(2 35) Cxsenxsen +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 4 )8()2( 4 1 36) C xx ++− 8 )4cos( 12 )6cos( 37) C xxx + −+− 357 ))sec((cos 3 1))sec((cos 5 2))sec((cos 7 1 38) Cxtgxtg ++ 64 ))(( 6 1))(( 4 1 39) Cxx +− )sec())2(sec( 5 1 5 40) Cxxtgxtg +−+−− 24 )1)(ln( 2 |1)(|ln 2 41) Cx xtg ++ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ 2 1 2 42) Cxtg +−− )2/(1ln 43) C a xarcsen x xa +−−− 22 44) Cxxxx xarcsen +−+−− 232 4 4 14 2 1 2 2 45) C x x ++− 21 46) Cx aaax +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−− arccos.22 47) C xx x x x +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ − + 22 3 2 4)4(3416 1 48) C x x x x ++ ++−+ ++ 35 32 4 2 )1(3 ])1(9[ )1(3 )1(9 49) Cxxxx +++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++ 22 4 2 4ln2 50) C x xx ++ ++− 1 222 51) Cxarctg x x +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛++ 354 1 )9(18 2 52) Cxarctg x x +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛++ − 354 1 )9(18 9 2 8 53) Cxarctg xx x +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++++ − 3 1 54 1 )102(18 17 2 54) Cx xarctg xx x ++ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−++ +− |1|ln 2 1 4 2 )32(2 2 2