Materiais circuitos magneticos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ 
 
ISEE / GESis 
Instituto de Sistemas Elétricos e Energia 
Grupo de Engenharia de Sistemas 
 
 
 
EEL401 – Eletrotécnica Geral II 
 
 
 
 
MATERIAIS E CIRCUITOS 
MAGNÉTICOS 
 
 
 
 
Prof. Pedro Paulo de Carvalho Mendes 
 
 
 
 
3a Edição 
 
 
 
 
 
Julho – 2004 
 
Universidade Federal de Itajubá__________________________________________________ 
 
“Materiais e Circuitos Magnéticos” ______________________________________________________ 
 
 
 
Índice 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Universidade Federal de Itajubá_______________________________________________ 
 
“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 1 
 
 
 
 
CAPÍTUL0 01 – CONCEITOS BÁSICOS 
 
 
______________________________________________________________________ 
 
1.1 – INTRODUÇÃO 
 
As máquinas elétricas (como transformadores, motores e geradores) são 
constituídas por circuitos elétricos e magnéticos acoplados entre si. Um circuito 
magnético é aquele onde existe um caminho para o fluxo magnético, de forma análoga 
ao circuito elétrico, que proporciona um caminho para a corrente elétrica. 
 
Os materiais magnéticos utilizados no desenvolvimento de circuitos magnéticos 
determinam as dimensões dos equipamentos, as suas capacidades, e introduzem 
limitações nos desempenhos, devido a saturações e perdas. É importante, portanto, 
conhecer suas características e propriedades básicas, para possibilitar um 
desenvolvimento mais econômico e adequado dos diversos equipamentos. 
 
O presente capítulo apresenta diversos conceitos básicos para a teoria dos 
circuitos magnéticos, como: fluxo magnético, leis de Lenz e Faraday, fluxo enlaçado, 
indutâncias próprias e mútuas. Nos capítulos posteriores serão consideradas as 
características e propriedades básicas dos materiais magnéticos, bem como suas 
aplicações em cálculos de circuitos magnéticos de configurações diversas. 
 
1.2 – INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 
 
1.2.1 Fluxo Magnético 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 2 
 
 
Considere um campo magnético não uniforme de módulo B onde são colocadas 
três espiras, conforme a figura 1.1, a seguir. 
 
Figura 1.1 - Espiras Colocadas em um Campo Magnético 
 
 A espira 01 tem uma área “A1” e ela está colocada de forma perpendicular ao 
vetor campo magnético de módulo B1. A espira 02 tem uma área “A2<A1” e ela está 
colocada de forma perpendicular ao vetor campo magnético de módulo B2, sendo B2 > 
B1. A espira 03 tem uma área “A3 = A2”, porém está posicionada de tal forma que existe 
um ângulo "q " entre a normal à superfície e o vetor campo magnético de módulo B3 
(observar que B3 = B2). Pode-se perceber da figura 1.1, que: 
 
a) O número de linhas de campo que atravessa as espiras 01 e 02 é igual, 
embora as áreas sejam diferentes. Isto se deve ao fato do campo magnético 
B2 ser mais intenso do que o campo magnético B1 (devido a maior 
densidade de linhas de campo); 
 
b) O número de linhas de campo que atravessa as espiras 02 e 03 é diferente, 
embora elas possuam a mesma área e estejam colocadas em posições de 
densidades iguais de campo magnético. Isto acontece porque a espira 03 esta 
inclinada em relação ao vetor campo magnético 3B , formando um ângulo 
“q ”; portanto, a sua área projetada na perpendicular ao campo é menor que 
a área real. 
 
 
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 Assim, pode-se dizer que, o fluxo magnético que atravessa uma espira 
corresponde ao número de linhas de campo que passa pela mesma e depende do campo 
magnético B, da área “A” da espira e do ângulo “q ” formado entre a normal à 
superfície da espira e o campo magnético. 
 De uma outra forma, pode-se dizer que o fluxo magnético corresponde ao 
conjunto de linhas de campo magnético que emerge do pólo norte de um imã. 
 
 Matematicamente pode-se expressar o fluxo magnético como sendo: 
 
 qf cos××= AB (1.1) 
 
 Ou ainda, de uma forma mais geral, 
 
 ò ××=
A
dAnBf (1.2) 
 
Onde: 
f = Fluxo magnético através de uma superfície; 
B = Vetor campo magnético; 
n = Vetor unitário normal à superfície; 
dA = Elemento de área de uma superfície. 
 
 Dimensões do Fluxo Magnético f : 
 
 No sistema internacional, a unidade de fluxo magnético é o Weber [Wb]. 
 
[ ] [ ] [ ]WbWeber ==f 
 
 A unidade [Weber] pode ser expressa, também, como sendo: 
 
[ ] [ ] [ ]MaxwelllinhasWb 88 10101 == 
 
 
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1.2.2 Lei de Faraday 
 
Em 1831, o físico inglês Michael Faraday descobriu o princípio da indução 
eletromagnética, através de diversas experiências. Estas experiências estão sintetizadas 
no exemplo a seguir. 
 
 Considere uma espira circular cujos terminais foram ligados a um amperímetro, 
fechando o circuito. Considere também um imã em forma de barra se aproximando da 
espira, conforme ilustra a figura 1.2, a seguir. 
A
N
S
 
Figura 1.2 - Espira Fechada com um Amperímetro 
 
Faraday verificou que, enquanto ele aproximava o imã da espira, a agulha do 
amperímetro se deslocava para um determinado lado (admitindo que ele estivesse 
trabalhando com um amperímetro de zero central), o que significava que havia 
aparecido no circuito uma corrente elétrica induzida. No momento em que Faraday 
parou de movimentar o imã, ele notou que a corrente através do circuito se anulava. 
Numa terceira etapa, afastando o imã da espira, o físico inglês viu a agulha do 
amperímetro novamente se deslocar, só que para o lado oposto, sinal de que havia 
surgido, outra vez no circuito, uma corrente induzida mas de sentido contrário àquele 
com a qual ela havia aparecido na primeira vez. 
 
Com base nesta e em outras experiências realizadas, Faraday concluiu que: 
 
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“Sempre que houver variação do fluxo magnético através de uma espira, 
surgirá nesta espira uma força eletromotriz induzida”. 
 
A este fenômeno dá-se o nome de “indução eletromagnética”. 
 
Da experiência desenvolvida por Faraday é necessário destacar que, para que 
surja uma f.e.m. induzida no circuito, não é necessária a existência de um fluxo 
magnético através da espira, mas sim o fato de que este fluxo deve variar no decorrer do 
tempo. 
 
 Assim, pode-se escrever matematicamente que: 
 
 [ ]V
dt
d
e
f= (1.3) 
 
Onde: 
f = Fluxo magnético,variável com o tempo, que atravessa o circuito; 
E = Forca eletromotriz induzida no circuito (ou espiral). 
 
1.2.3 Fatores que influem na variação do Fluxo Magnético 
 
a) Variação do Fluxo pela mudança da intensidade do Campo Magnético 
 
 Considere um circuito fechado fixo e um imã em forma de barra, conforme ilustra 
a figura 1.3, a seguir. 
N
S
imã móvel
circuito fechado
B
 
Figura 1.3 - Imã se Aproximando de um Circuito Fechado Fixo 
 
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 À medida que o imã se aproxima do circuito fechado, ocorre um crescimento do 
campo magnético e, portanto, há um aumento do fluxo através do circuito (maior 
número de linhas de campo o atravessam). A variação do campo magnético conduz a 
uma variação do fluxo magnético (lembrar que qf cos××= AB ). Por outro lado, o fluxo 
magnético variável faz surgir no circuito uma f.e.m. induzida (lei de Faraday). Como o 
circuito é fechado, irá circular no mesmo uma corrente elétrica. 
 
 É importante observar, ainda, que o fenômeno da indução também ocorre 
quando se mantém o imã fixo e se movimenta o circuito fechado. 
 
 b) Variação do Fluxo pela variação da Área 
 
 Considere um circuito fechado de área “A” movendo-se no plano do papel sobre 
um campo magnético uniforme e perpendicular à folha, conforme ilustra a figura 1.4, a 
seguir. 
 
Figura 1.4 - Circuito Fechado Entrando em um Campo Magnético 
 
 No instante em que o circuito passa a se movimentar, penetrando no campo, 
começa a aumentar o fluxo no seu interior, pois ocorre uma variação na área “A” imersa 
no campo magnético (“A” varia com o tempo). Aparece, então, uma f.e.m. induzida no 
circuito, esta f.e.m. dá origem a uma corrente e conseqüentemente o amperímetro sofre 
uma deflexão. 
 
 Quando o circuito estiver totalmente dentro do campo magnético, o fluxo através 
da área “A” não mais varia e portanto, não há corrente induzida no circuito. 
 
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 c) Variação do Fluxo pela variação do Ângulo “q ” 
 
 Considere um circuito fechado imerso em um campo magnético uniforme de 
módulo B, inicialmente na posição (01) perpendicular ao campo, conforme mostra a 
figura 1.5, a seguir. 
Bnn
(1) (2)
O
 
Figura 1.5 - Espira Girando em um Campo Magnético 
 
 Girando-se o circuito muda-se o ângulo entre a normal à superfície e o campo 
magnético. Nessas condições ocorre uma variação do fluxo através do circuito, esta 
variação produz uma f.e.m. induzida no mesmo e, conseqüentemente, haverá a 
circulação de uma corrente elétrica. 
 
 Observação: As análises anteriores podem ser verificadas através das 
expressões (1.1), do fluxo magnético e (1.3), da lei de Faraday. 
 
 d) Variação do Fluxo pela Variação da Corrente 
 
 Considere um circuito fechado colocado próximo de um eletroimã em forma de 
barra, sendo ambos fixos, conforme ilustra a figura 1.6 a seguir. 
 
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ELETROIMÃ
CIRCUITO
FECHADO
i
 
Figura 1.6 - Circuito Fechado Próximo de um Eletroímã 
 
 Para uma corrente “i” variável injetada na bobina do eletroimã, corresponderá 
um fluxo magnético variável que irá envolver o circuito fechado. Este fluxo variável 
dará origem a uma f.e.m. induzida (lei de Faraday) e conseqüentemente uma corrente 
elétrica irá circular no referido circuito. 
 
 Dos quatro casos analisados anteriormente pode-se concluir que: 
 
- A variação do fluxo causada, ou por mudança na intensidade do campo 
magnético, devido a aproximação relativa entre o imã e o circuito (caso 
“a”); ou por variação da área do circuito (caso “b”); ou ainda por variação 
do ângulo “q ” (caso “c”), produz uma f.e.m. induzida no circuito fechado. 
Esta f.e.m. é induzida por efeito de algum tipo de movimento. Desta forma 
ela é denominada “f.e.m. de movimento”; 
 
- A variação do fluxo causada por variação na intensidade da corrente, 
considerando o eletroimã e o circuito, fixos (caso “d”) produz uma f.e.m. 
induzida no circuito fechado. Esta f.e.m., que é induzida, não por efeito de 
movimento, mas sim pela variação da corrente na bobina é denominada 
“f.e.m. de efeito transformador”. 
 
1.2.4 Lei de Lenz 
 
 A intensidade da corrente elétrica originada pela variação do fluxo magnético, 
num circuito fechado, puramente resistivo, é dada por: 
 
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R
e
i = (01a Lei de Ohm) 
 
 O estudo do sentido da corrente elétrica é determinado pela Lei de Lenz, que diz 
o seguinte: 
 
 “O sentido da corrente elétrica induzida é tal que seus efeitos tendem sempre 
a se opor à variação de fluxo que lhe deu origem”. 
 
 Desta forma pode-se escrever a Lei de Faraday (expressa matematicamente pela 
equação 1.3), como sendo: 
 
 [ ]V
dt
d
e
f-= (1.4) 
 
 A equação (1.4) corresponde à expressão matemática da “Lei de Lenz-
Faraday”. 
 
1.2.5 Lei de Lenz-Faraday 
 
 Enunciado: “Sempre que houver variação do fluxo magnético através de um 
circuito surgirá neste uma força eletromotriz induzida. Se o circuito for fechado 
circulará uma corrente induzida cujo sentido será tal que tenderá a se opor às 
variações do fluxo que lhe deu origem”. 
 
 Expressão Matemática: 
 
 [ ]V
dt
d
e
f-= 
 
Onde: 
f = Fluxo magnético,variável com o tempo, que atravessa o circuito; 
e = Forca eletromotriz induzida no circuito (ou espiral); 
 
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sinal = Retrata a oposição ao fluxo de origem (Lei de Lenz). 
 
1.3 – FLUXO ENLAÇADO OU CONCATENADO 
 
 Considere a barra de ferro da figura 1.7, a seguir, envolvida por uma bobina de 
“N” espiras. 
i
N
O
a b
 
Figura 1.7 - Barra de Ferro com “N” Espiras 
 
 Para uma corrente “i” injetada no terminal “a” obtém-se um fluxo “f ” no 
material ferromagnético. Na figura 1.7, este fluxo “f ” enlaça ou concatena as “N” 
espiras da bobina. Assim, pode-se definir que: 
 
 
 
fl ×= N (1.5) 
Onde: 
l = Fluxo enlaçado ou concatenado. 
 
[ ] [ ] [ ]espWbuoespitaWeber ××=l 
 
 Portanto, “l ” corresponde ao fluxo que enlaça ou envolve as “N” espiras da 
bobina. 
 
 A figura 1.8, a seguir, apresenta outros exemplos. 
 
 
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(1)
(3)
(2)
(4)
o
o
1
2
 
Figura 1.8 - Fluxos Enlaçados ou Concatenados 
 
 Na figura 1.8 pode-se observar que: 
 
Þ×= 22 2 fl fluxo enlaçado com a bobina (02); 
Þ×= 23 1 fl fluxo enlaçado com a bobina (03); 
Þ×= 24 4 fl fluxo enlaçado com a bobina (04). 
 
 Considere agora o fluxo enlaçado com a bobina da figura 1.9, a seguir. 
a b
1 2 3
QQ Q Q
ö
N = 3
 
Figura 1.9 – Fluxo Enlaçado com uma Bobina 
 Se o fluxo “f ” for variável com o tempo obrem-se, através das leis de Lenz e 
Faraday, que: 
 
 
 dt
d
e
f-=1 (1.6) 
 
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 dt
d
e
f-=2 (1.7) 
 
 dt
d
e
f-=3 (1.8) 
 
 Compondo, agora, as equações (1.6), (1.7) e(1.8), vem: 
 
 
dt
d
dt
d
dt
d
eeee
fff ---=++= 321 (1.9) 
 
 Ou ainda, 
 
 
dt
d
e
f×-= 3 (1.10) 
 
 Para uma bobina de “N” espiras obtém-se: 
 
 
dt
d
Ne
f×-= (1.11) 
 
 Ou de outra forma: 
 
 
dt
Nd
e
)( f×-= (1.12) 
 
 Com fl ×= N (ver equação 1.5), pode-se escrever que: 
 
 
dt
d
e
l-= (1.13) 
 
 Sendo “ l ” o fluxo total enlaçado ou concatenado com a bobina. 
 
 
 
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1.4 – INDUTÂNCIA PRÓPRIA 
 
 A indutância própria é também chamada de auto- indutância. Para entender o seu 
significado, considere inicialmente a bobina de “N” espiras com corrente “i”, da figura 
1.10 a seguir. 
i
N
a b
 
Figura 1.10 – Bobina de “N” Espiras com Correntes “i” 
 
 A corrente “i” passando pela bobina de “N” espiras dá origem a um fluxo 
enlaçado “ l ”. Em determinadas condições pode-se dizer que existe uma 
proporcionalidade entre esta corrente e o fluxo enlaçado por ela produzido. Esta 
constante de proporcionalidade é denominada “indutância própria da bobina”, e é 
normalmente representada pela letra L. Desta forma, pode-se escrever que: 
 
 
i
L
l= (1.14) 
 
 Ou ainda: 
 
 iL ×=l (1.15) 
 
 Como fl ×= N , em (1.14), vem: 
 
 
i
N
L
f×= (1.16) 
 
 Considere agora uma corrente variável com o tempo sendo injetada na bobina de 
“N” espiras da figura 1.10. Pode-se escrever que: 
 
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dt
di
L
dt
d ×=l (1.17) 
 
 Através da lei de Lenz-Faraday, tem-se: 
 
 
dt
d
e
l-= (1.18) 
 
 Levando (1.18) em (1.17), obtém-se: 
 
 
dt
di
Le ×-= (1.19) 
 
 Portanto, da equação (1.19), observa-se que há uma queda de tensão na bobina, 
como efeito de sua indutância própria. Este comportamento pode ser representado 
através do circuito elétrico equivalente da figura 1.11, a seguir. 
v
i
L Q
 
Figura 1.11 – Circuito Elétrico Equivalente 
 
 Da equação (1.14) tem-se que a indutância própria apresenta uma dimensão de 
[Weber.espira]/[Ampère], esta dimensão é definida como sendo [Henry] ou [H]. 
 
 É importante observar também que, pela definição a indutância corresponde a 
uma constante de proporcionalidade entre o fluxo enlaçado e a corrente que o produz. 
Isto não é verdadeiro no caso de materiais ferromagnéticos onde, devido a saturação, a 
indutância pode apresentar valores variáveis com a corrente. 
 
 
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 De uma forma geral, pode-se dizer que a indutância própria de uma bobina 
depende: das dimensões, do número de espiras e do meio onde se encontra esta bobina. 
 
1.5 – INDUTÂNCIA MÚTUA 
 
 Para entender o significado da indutância mútua, considere a configuração com 
duas bobinas apresentada a figura 1.12, a seguir. 
i
N
1
1
N2
(1)
(2)
 
Figura 1.12 - Configuração com Duas Bobinas 
 
 A indutância mútua retrata o efeito de uma bobina com corrente, sobre uma ou 
mais bobinas adjacentes. Na figura 1.12, tem-se uma corrente “i1” passando pela bobina 
de “N1” espiras. Esta corrente “i1” dá origem a um fluxo enlaçado com a bobina de “N2” 
espiras, de valor “ 21l ”, ou seja: 
 
 
21221 fl ×= N (1.20) 
 
Onde: 
21f = Fluxo magnético da bobina (02), produzido pela corrente i1 ; 
N2 = Número de espiras da bobina (02). 
 
 
 
 Em determinadas condições, existe uma proporcionalidade entre a corrente “i1” e 
o fluxo enlaçado (“ 21l ”), por ela produzido. Esta constante de proporcionalidade é 
denominada indutância mútua entre as bobinas 02 e 01, e é normalmente representada 
por M21. Desta forma, pode-se escrever que: 
 
 
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1
21
21 i
M
l
= (1.21) 
 
 Ou ainda, 
 
 12121 iM ×=l (1.22) 
 
 De (1.20) e (1.21), tem-se: 
 
 
1
21
221 i
NM
f
×= (1.23) 
 
 Considere agora uma corrente “i1” variável com o tempo sendo injetada na 
bobina (01), da figura 1.12. Pode-se escrever que: 
 
 
dt
di
M
dt
d 1
21
21 ×=
l
 (1.24) 
 
 Através das leis de Lenz e Faraday, tem-se que: 
 
 
dt
d
e 212
l
-= (1.25) 
 
 Levando (1.25) em (1.24), obtém-se: 
 
 
dt
di
Me 1212 ×-= (1.26) 
 
Portanto, da equação (1.26), observa-se que há uma tensão induzida na bobina 
(02), como efeito da circulação de uma corrente variável com o tempo na bobina (01). 
Esta tensão induzida depende da indutância mútua entre as duas bobinas (M21). 
 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 17 
 
 
De forma análoga pode-se analisar a influência da passagem de uma corrente 
“i2” pela bobina (02), sobre a bobina (01). Neste caso, tem-se uma indutância mútua 
M12 cujo valor é idêntico ao da indutância M21, anteriormente descrita. 
 
Da equação (1.21) tem-se que a indutância mútua apresenta uma dimensão de 
[Weber.espira]/[Ampère], esta dimensão é definida como sendo [Henry] ou [H], da 
mesma forma que a indutância própria. 
 
É importante observar também que, pela definição a indutância mútua 
corresponde a uma constante de proporcionalidade entre um fluxo enlaçado e a corrente 
que o produz. Isto não é verdadeiro para o caso em que o meio entre as bobinas é 
constituído por materiais ferromagnéticos, onde as indutâncias mútuas podem 
apresentar valores variáveis com as correntes, em função da saturação. 
 
De uma forma geral pode-se dizer que a indutância mútua entre duas bobinas 
adjacentes depende: da distância entre as bobinas, das dimensões físicas das duas 
bobinas, do número de espiras em cada bobina, e do meio considerado. 
 
1.5.1 Coeficiente de Acoplamento 
 
 Na figura 1.12, a corrente “i1” na bobina (01) estabelece um fluxo magnético 
total “ 1f ”. Parte deste fluxo total atravessa a bobina (02), mais precisamente a parcela 
“ 21f ”. A relação entre a parcela de fluxo magnético “ 21f ” e o fluxo total “ 1f ” é 
denominada coeficiente de acoplamento (K) e pode ser expresso por: 
 
 
2
12
1
21
f
f
f
f
==K (1.27) 
 
 Da expressão (1.23) tem-se que: 
 
 
1
21
221 i
NM
f
×= 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 18 
 
 
 De forma análoga pode-se escrever que: 
 
 
2
12
121 i
NM
f
×= (1.28) 
 
 Como M12=M21, tem-se: 
 
 22112 MMM =× (1.29) 
 
 E ainda, 
 
 ú
û
ù
ê
ë
é
××ú
û
ù
ê
ë
é
×=
2
12
1
1
21
2
2
i
N
i
NM
ff
 (1.30) 
 
 Levando (1.27) em (1.30), vem: 
 
 ú
û
ù
ê
ë
é
××ú
û
ù
ê
ë
é
××=
2
12
1
1
21
2
22
i
N
i
NKM
ff
 (1.31) 
 
 Ou ainda, 
 
 ú
û
ù
ê
ëé
××ú
û
ù
ê
ë
é
××=
2
2
2
1
1
1
22
i
N
i
NKM
ff
 (1.32) 
 
 Como, 
 
 
1
1
11 i
NL
f
×= (1.33) 
 
 
2
2
22 i
NL
f
×= (1.34) 
 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 19 
 
 
 Temos que: 
 
 21 LLKM ××= (1.35) 
 
Onde: 
K = Coeficiente de acoplamento; 
L1 = Indutância própria da bobina (01); 
L2 = Indutância própria da bobina (02); 
M = Indutância mútua entre as bobinas (01) e (02). 
 
1.6 – PERGUNTAS PROPOSTAS 
 
 Responda as seguintes perguntas: 
 
 01) O que é um circuito magnético? Onde são utilizados? 
 
 02) Por quê é importante o estudo de circuitos magnéticos? 
 
 03) O que se entende por fluxo magnético atravessando uma espira? 
 
 04) Do que depende um fluxo magnético? 
 
 05) Quais são as unidades de fluxo magnético que normalmente utilizadas? 
 
 06) Fale sobre a experiência realizada por Michael Faraday. 
 
 07) Qual é o significado da lei de Faraday? 
 
 08) O que é uma f.e.m. de movimento? Onde se aplica? Dê exemplos. 
 
 09) O que é uma f.e.m. de efeito transformador? Onde se aplica? Dê um 
exemplo. 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 20 
 
 
 10) Qual é o significado da lei de Lenz? 
 
 11) Qual é o significado de fluxo enlaçado? 
 
 12) Dê exemplos de fluxos enlaçados com bobinas. 
 
 13) O fluxo enlaçado tem o mesmo significado que o fluxo concatenado? 
 
 14) O que é a indutância própria de uma bobina? 
 
 15) Qual é a relação entre a indutância própria e o fluxo enlaçado? 
 
 16) O que você entende por indutância mútua entre duas bobinas? 
 
 17) Qual é a unidade da indutância própria? 
 
 18) Qual é a unidade da indutância mútua? 
 
 19) O que é o coeficiente de acoplamento? 
 
 20) Qual é a relação entre a indutância mútua de duas bobinas e as suas 
respectivas auto-indutâncias? Faça uma dedução matemática. 
 
1.7 – PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
 Resolva os seguintes problemas: 
 
 01) Considere um fluxo magnético de 3000 linhas. Calcule seu valor em Weber. 
 
 02) Qual é a densidade de fluxo em Tesla quando existe um fluxo de 0.0006 
[Wb] através de uma área de 0.0003 m2? 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 21 
 
 
 03) Determine a polaridade magnética do eletroimã da figura a seguir (utilize a 
regra da mão direita): 
 
 
 04) O fluxo de um eletroimã é de 06 [Wb]. O fluxo aumenta uniformemente até 
12 [Wb] num intervalo de 02 [s]. Calcule a tensão induzida numa bobina que contenha 
10 espiras, se a bobina estiver parada dentro do campo magnético. 
 
05) No problema anterior, qual é o valor da tensão induzida se o fluxo 
magnético permanecer constante em 06 [Wb] após 02 [s]? 
 
 06) Um imã permanente desloca-se dentro de uma bobina e produz uma 
corrente induzida que passa pelo circuito da mesma, conforme figura a seguir. 
Determine a polaridade da bobina e o sentido da corrente induzida. 
 
 
 07) Uma bobina de 100 espiras, com auto- indutância de 10 [H], é percorrida por 
uma corrente de 05 [A], que tem uma taxa de variação de 200 A/s. Calcular o 
fluxo enlaçado com a bobina e a f.e.m. induzida na mesma. 
 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 22 
 
 
08) Uma bobina tem uma indutância própria igual a 5 [H] e corrente “i” dada 
por: ( )tii MÁX ××= 377sen . Fazer o gráfico do fluxo magnético, do fluxo enlaçado e da 
f.e.m. induzida em função do tempo. 
 
09) Qual é a densidade de fluxo de um núcleo que possui 20000 linhas e uma 
área da seção reta de 5 [cm2]? 
 
 10) Complete o quadro a seguir com os valores que estão faltando. Todas as 
respostas devem ser dadas em unidades do Sistema Internacional. 
 
f B A 
0.000035 [Wb] ? 0.001 [m2] 
? 0.8 [T] 0.005 [m2] 
10000 [linhas] ? 02 [cm2] 
0.000090[Wb] ? 0.003 [m2] 
 
 11) No campo estacionário de uma bobina de 500 espiras, calcule a tensão 
induzida produzida pelas seguintes variações de fluxo: 
(a) 04 [Wb] aumentando para 06 [Wb] em 01 [s]; 
(b) 06 [Wb] diminuindo para 04 [Wb] em 01 [s]; 
(c) 4000 linhas de fluxo aumentando para 5000 linhas em 5.10-6 [s]; 
(d) 04 [Wb] constante durante 01 [s]. 
 
 12) Em um par de bobinas acopladas, a corrente contínua na bobina (01) é de 05 
[A] e os fluxos correspondentes 11f e 21f são, respectivamente, 20000 e 40000 
[Maxwell]. Sendo N1 = 500 e N2 = 1500, os totais de espiras, determinar L1, L2, M e K. 
 
13) Duas bobinas L1 = 0.8 [H] e L2 = 0.2 [H] têm um coeficiente de 
acoplamento K = 0.9. Determinar a indutância mútua entre elas, bem como a relação 
N1/N2. 
 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 23 
 
 
14) Duas bobinas cujas respectivas auto- indutâncias são L1 = 0.05 [H] e L2 = 
0.20 [H] têm coeficiente de acoplamento igual a 0.5. A bobina (2) tem 1000 espiras. 
Sendo ( )ti ××= 400sen051 a corrente na bobina (01), determinar a tensão na bobina (02) 
e o fluxo máximo estabelecido pela bobina (01). 
 
15) Duas bobinas têm coeficiente de acoplamento igual a 0.85 e a bobina (01) 
tem 250 espiras. Com i1 = 02 [A] na bobina (01), o fluxo total 1f = 0.0003 [Wb]. 
Reduzindo-se i1 linearmente até zero, em dois milissegundos a tensão induzida na 
bobina (02) fica igual a 63.75 [V]. Determinar L1, L2, M e N2. 
 
16) O coeficiente de acoplamento de duas bobinas, respectivamente, com N1 = 
100 e N2 = 800 espiras é 0.85. Com a bobina (01) aberta e uma corrente de 05 [A] na 
bobina (02), o fluxo 2f é 0.00035 [Wb]. Determinar L1, L2 e M. 
 
17) Duas bobinas idênticas têm indutância equivalente de 0.08 [H], quando 
ligadas em série aditiva, e de 0.035 [H], quando em série subtrativa. Quais são os 
valores de L1, L2, M e K? 
 
18) Duas bobinas idênticas têm L = 0.02 [H] e coeficiente de acoplamento K = 
0.8. Determinar M e as duas indutâncias equivalentes, admitindo que elas estejam 
ligadas em série aditiva e em série subtrativa. 
 
19) Duas bobinas cujas indutâncias estão na relação de quatro para um têm 
coeficiente de acoplamento igual a 0.6. Ligadas em série aditiva, sua indutância 
equivalente é 44.4 [mH]. Determinar L1, L2 e M. 
 
20) Qual é a indutância de uma bobina que induz 20 [V], quando a corrente que 
passa pela bobina varia de 12 para 20 [A] em 2 [s]? 
 
21) Uma bobina tem uma indutância de 50 [mH]. Qual é a tensão induzida na 
bobina quando a taxa de variação da corrente for de 10000 [A/s]? 
 
 
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 22) Uma determinada bobina de 20 [mH] opera com uma frequência de 950 
[kHz]. Qual é a reatância indutiva da bobina? 
 
1.8 – BIBLIOGRAFIA 
 
 [1] Robert Stein and William T. Hunt Jr., “Electric Power System Components- Transformers and Rotating Machines”, Van Nostrand Reinhold Company, 
1979. 
 (Ver capítulo 02 - págs. 10 a 14); 
 
 [2] Milton Gussow, “Eletricidade Básica”, Coleção Schaum, Editora McGraw-
Hill do Brasil, Ltda, 1985. 
 (Ver capítulo 09 - págs. 232 a 235, capítulo 12 - págs. 307 a 316); 
 
 [3] Joseph A. Edminister, “Circuitos Elétricos”, Coleção Schaum, Editora 
McGraw-Hill, Ltda e Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1991. 
 (Ver capítulo 01 - págs. 6 e 7, capítulo 13 - págs. 362 a 365); 
 
[4] Paul A. Tipler, “Física”, Volume 2a, Editora Guanabara Dois S.A., Segunda 
Edição, 1986. 
 (Ver capítulo 27 - págs. 764 a 766, capítulo 28 - págs. 775 a 781 e 784 a 
786); 
 
[5] David Halliday e Robert Resnick, “Fundamentos de Física”, Parte 03 - 
Eletromagnetismo, LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, 1991. 
(Ver capítulo 32 - págs. 189 a 194, capítulo 33 - págs. 219 a 222 e 227 a 
228); 
 
[6] “Curso Completo de Eletricidade Básica”, U. S. Navy, Bureau of Naval 
Personnel, Training Publications Division, Hemus Livraria Editora Ltda. 
 (Ver capítulo 08 - págs. 209 a 213 e 220 a 222, capítulo 10 - págs. 241 a 248 
e 254 a 259); 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 25 
 
 
[7] L. Bessonov, “Applied Electricity for Engineers”, MIR Publishers - 
Moscow, 1973. 
 (Ver capítulo 04 - págs. 114 a 122 e 127 a 129). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 26 
 
 
 
 
CAPÍTUL0 02 – MATERIAIS MAGNÉTICOS 
 
 
______________________________________________________________________ 
 
2.1 – INTRODUÇÃO 
 
 Desde a antiguidade os gregos já conheciam o fato de que certas pedras tinham a 
capacidade de atrair pequenos pedaços de alguns metais. Como muitas destas pedras 
foram encontrados em Magnésia, na Ásia Menor, os gregos chamaram a substância de 
magnetita ou magnética. Esta substância (Fe3O4) constitui o que se chama na atualidade 
de “imãs naturais”. 
 
 Por volta de 2630 a.C., os chineses perceberam que pequenas barras de um certo 
minério tinham a estranha propriedade de apontar sempre em direção ao pólo norte, o 
que levou à descoberta da bússola, que nada mais é do que um pequeno imã natural. 
 
 Além dos imãs naturais, existem nos dias de hoje, imãs desenvolvidos pelas 
mãos do homem, são os chamados “imãs artificiais”. 
 
 Um imã qualquer apresenta duas regiões bem distintas, próximas as quais as 
ações magnéticas são mais intensas; pode-se verificar esta propriedade jogando limalha 
de ferro nas proximidades de um imã em forma de barra. A limalha será atraída pelo 
imã e se concentrará em grande parte nas extremidades dele. 
 
 Estas regiões são denominadas pólos do imã. A extremidade que aponta em 
direção ao norte é chamada de pólo norte do imã e a outra extremidade é o pólo sul. Os 
dois pólos de um imã, ou seja, os pólos norte e sul, formam um “dipolo magnético”. 
 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 27 
 
 
 Para se distinguir os pólos é costume hachurar o pólo norte, conforme ilustra a 
figura 2.1 a seguir. 
N S
 
Figura 2.1 - Pólos Norte e Sul de um Imã 
 
 Os pólos de mesmo nome se repelem (observar figura 2.2), enquanto que os 
pólos de nomes contrários se atraem (conforme figura 2.3). 
 
NS
S NS
S
N
N
 
Figura 2.2 – Repulsão dos Pólos 
 
NS
SNS
S
N
N
 
Figura 2.3 – Atração dos Pólos 
 
 O que acontecerá se tentar dividir ao meio o imã apresentado à figura 2.1? Serão 
obtidos pólos norte e sul separados? 
 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 28 
 
 
 Não, na realidade é impossível separar os pólos de um imã. Portanto, no caso da 
divisão ao meio, seriam obtidos dois novos imãs menores (com pólos norte e sul) e 
assim sucessivamente caso fossem realizadas novas divisões. 
 
 A figura 2.4, a seguir, ilustra esta condição. 
 
SN
N NS S
 
Figura 2.4 - Inseparabilidade dos Pólos 
 
 Portanto, os pólos norte e sul de um imã são inseparáveis. Isto ocorre porque a 
estrutura magnética mais simples que existe na natureza é o dipolo magnético 
elementar. Em outras palavras, os imãs, ou os materiais (de uma forma geral), possuem 
uma infinidade de dipolos magnéticos elementares, como àqueles apresentados 
esquematicamente à figura 2.5 a seguir. 
 
 
Figura 2.5 – Dipolos Magnéticos Elementares 
 
 Os dipolos magnéticos elementares (d.m.e.) são os responsáveis pelas 
propriedades magnéticas da matéria e estão associados aos elétrons. 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 29 
 
 
2.2 – CLASSIFICAÇÃO DOS CORPOS QUANDO A IMANTAÇÃO 
 
 Os corpos podem ser classificados de acordo com o grau de orientação de seus 
dipolos magnéticos elementares, ou seja, eles podem ser classificados quanto a sua 
imantação. A seguir serão apresentadas três disposições possíveis para os dipolos 
magnéticos elementares. 
 
2.2.1 Corpo Fortemente Imantado 
 
 A figura 2.6, a seguir, apresenta uma disposição típica de um corpo fortemente 
imantado. 
 
 
Figura 2.6 – Corpo Fortemente Imantado 
 
 Como pode ser observado, o corpo fortemente imantado é aquele que apresenta 
uma forte orientação dos dipolos magnéticos elementares. 
 
2.2.2 Corpo Fracamente Imantado 
 
 Um corpo fracamente imantado é aquele que demonstra uma ligeira orientação 
dos dipolos magnéticos elementares, como pode ser observado à figura 2.7, a seguir. 
 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 30 
 
 
 
Figura 2.6 – Corpo Fracamente Imantado 
 
2.2.3 Corpo Não-Imantado 
 
 Diferentemente dos dois casos anteriores, pode-se dizer que em um corpo não-
imantado a disposição dos dipolos magnéticos elementares é aleatória, ou seja, não há 
uma orientação definida. A figura 2.8, a seguir, ilustra esta condição. 
 
 
Figura 2.8 – Corpo Não-Imantado 
 
 Alguns materiais e substâncias podem assumir a característica de imantação 
forte, outros não. É importante portanto que se faça uma classificação magnética para os 
mesmos. Isto pode ser realizado, dividindo-os em grupos diferenciados quanto à 
possibilidade de orientação dos dipolos magnéticos elementares. 
 
 Esta classificação será realizada no item seguinte. 
 
 
 
 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 31 
 
 
2.3 – CLASSIFICAÇÃO MAGNÉTICA DOS MATERIAIS E SUBSTÂNCIAS 
 
 Os materiais e substâncias são classificados magneticamente, ou seja, 
classificados de acordo com a capacidade de orientação dosd.m.e (maior ou menor). 
Costumam ser considerados três grupos distintos: ferromagnéticos, paramagnéticos e 
diamagnéticos. Estes grupos serão apresentados a seguir. 
 
2.3.1 Materiais Ferromagnéticos 
 
 São materiais que possibilitam uma orientação abundante para os seus dipolos 
magnéticos elementares, isto é, podem ser fortemente imantados quando da ação de um 
campo magnético externo. De uma forma geral, estes materiais tendem a alinhar seus 
d.m.e. de forma paralela ao campo magnético aplicado. Fenômeno deste tipo ocorre em 
materiais como: ferro, níquel, aço, cobalto, etc. 
 
2.3.2 Materiais Paramagnéticos 
 
 A característica magnética deste tipo de material é a de permitir apenas uma leve 
orientação dos d.m.e., de forma paralela ao campo magnético externo que lhe é 
submetido. Boa parte dos chamados materiais isolantes é classificada como 
paramagnética. Podem ser citados exemplos como: madeira, vidro, ar, etc. 
 
2.3.3 Materiais Diamagnéticos 
 
 De forma semelhante aos materiais paramagnéticos, os diamagnéticos permitem 
apenas uma orientação muito fraca dos seus d.m.e., quando da ação externa de um 
campo magnético. Entretanto, estes materiais apresentam uma característica toda 
peculiar, que é de alinhar os d.m.e. de forma antiparalela ao campo exterior, ou seja, 
orientam os d.m.e. em sentido contrário ao campo magnético aplicado. São exemplos 
deste tipo magnético: a água, o cobre, a prata, o ouro, o diamante, etc. 
 
 Como pode ser observado nos exemplos anteriores, são classificados como 
diamagnéticos os chamados metais nobres (ouro, prata, cobre, etc). 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 32 
 
 
Alguns materiais não permitem uma forte orientação dos d.m.e., outros 
permitem e outros ainda são encontrados na natureza com características magnéticas 
acentuadas. Os materiais que permitem uma forte orientação dos d.m.e. podem ser 
chamados de imãs, sendo caracterizados como artificiais ou naturais, conforme será 
visto no item seguinte. 
 
2.4 – TIPOS DE IMÃ 
 
 Os imãs podem ser classificados em três tipos: imã natural, imã artificial 
permanente e imã artificial transitório. 
 
As principais características destes imãs serão consideradas neste item. 
 
2.4.1 Imãs Naturais 
 
Imãs naturais são materiais com características magnéticas próprias, obtidas 
diretamente da natureza. Estes materiais, que foram utilizados inicialmente na 
confecção de bússolas, apresentam uma orientação bem definida dos dipolos 
magnéticos elementares (d.m.e.). 
 
Exemplos de Imãs Naturais 
Minérios como a magnetita (Fe3O4) 
Tabela 2.1 – Exemplos de Imãs Naturais 
 
2.4.2 Imãs Artificiais Permanentes 
 
São materiais que apresentam comportamentos distintos quando da presença ou 
não de um campo magnético externo, ou seja: na ausência de um campo magnético 
externo estes materiais apresentam, de uma forma geral, uma disposição aleatória para 
os seus d.m.e. Sendo submetidos a um campo externo, tendem a alinhar os d.m.e. no 
sentido deste campo, ficando então imantados. Supondo agora que o campo externo seja 
retirado, boa parte dos d.m.e. permanecerá com a orientação anterior, podendo-se dizer, 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 33 
 
 
portanto, que o material permanecerá imantado. Esta característica de imantação 
residual (ou permanente) depende do tipo de material considerado. 
 
Exemplos de Imãs Artificiais Permanentes 
Algumas ligas metálicas como: aço, aço-carbono (aço com elevado teor de carbono), alnico 5 
(liga composta por: alumínio, níquel e cobalto), etc. 
Tabela 2.2 – Exemplos de Imãs Artificiais Permanentes 
 
2.4.3 Imãs Artificiais Transitórios 
 
Estes materiais também apresentam comportamentos distintos quando da 
presença ou ausência de um campo magnético externo, a saber: na ausência de um 
campo magnético externo estes materiais apresentam, como os anteriores, uma 
disposição aleatória para os seus d.m.e. Sendo submetidos a um campo externo, 
promovem um alinhamento dos d.m.e. no sentido deste campo, ficando então 
imantados. No caso da retirada do campo externo, uma parcela reduzida dos d.m.e. 
permanecerá com a orientação anterior, podendo-se dizer que o material praticamente 
perderá sua imantação. 
 
Exemplos de Imãs Artificiais Transitórios 
Ferro, ligas metálicas como o ferro-silício, etc. 
Tabela 2.3 – Exemplos de Imãs Artificiais Transitórios 
 
2.5 – INFLUÊNCIA DA TEMPERATURA 
 
A experiência mostra que, acima de um determinado valor de temperatura os 
materiais ferromagnéticos perdem as suas propriedades magnéticas principais, ou seja, 
perdem a orientação de seus d.m.e. Este valor de temperatura é denominado “Ponto 
Curie” ou “Temperatura de Curie”, de um dado material. 
 
 
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A tabela 2.4, a seguir, apresenta o ponto Curie e o ponto de fusão de alguns 
materiais ferromagnéticos importantes. 
 
Materiais 
Ponto Curie 
[ºC] 
Ponto de Fusão 
[ºC] 
Níquel 358 2566 
Ferro 770 1535 
Cobalto 1131 1480 
Tabela 2.4 - Ponto Curie e Ponto de Fusão de Alguns Materiais 
 
2.6 – CAMPO MAGNÉTICO DE UMA BARRA IMANTADA 
 
 Considere um condutor por onde passa uma corrente “i”, conforme ilustra a 
figura 2.9 a seguir. 
 
i
 
Figura 2.9 – Condutor com Corrente 
 
A passagem da corrente pelo condutor dá origem a um campo magnético ao seu 
redor. Se a corrente for variável o campo magnético será variável. Se por outro lado a 
corrente for constante, o campo magnético também será constante. 
 De acordo com o modelo de Ampère, todos os campos magnéticos, de uma 
forma ou de outra, provêm de correntes. Nos imãs naturais, e em outros materiais 
magnetizados, estas correntes se devem ao movimento intrínseco dos elétrons atômicos. 
Embora estes movimentos sejam complexos, pode-se admitir, para este modelo, que os 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 35 
 
 
movimentos sejam equivalentes a espiras fechadas, conforme ilustra a figura 2.10 a 
seguir. 
 
 
Figura 2.10 – Movimento dos Elétrons em uma Barra Imantada 
 
Se o material for homogêneo, a corrente resultante, em qualquer ponto no 
interior da barra, é nula, graças ao cancelamento das correntes vizinhas. No entanto, em 
virtude de não haver cancelamento na superfície do material, o resultado destas espiras 
equivale a uma corrente periférica, denominada “corrente superficial de Ampère”. Esta 
corrente superficial é semelhante a uma corrente de condução real em uma bobina (ou 
solenóide) de espiras justapostas, ou seja, uma bobina de espiras muito próximas umas 
das outras. O campo magnético devido a uma corrente superficial é o mesmo que o 
provocado por uma corrente “superficial” em uma bobina. 
 
Seja “M” a corrente superficial de Ampère por unidade de comprimento da 
superfície de um imã linear cilíndrico. A grandeza correspondente na bobina é o produto 
“ in × ”, sendo “n” o número de espiras por unidade de comprimento ( lN / ) e “i” a 
corrente que passa em cada espira. 
 
 Na região internade uma bobina, o campo magnético é aproximadamente igual 
a: 
 
 
l
iN
inB
××=××= 000 mm (2.1) 
 
 
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Esta aproximação será boa desde que o ponto considerado para o campo 
magnético não esteja próximo das extremidades da barra. 
 Substituindo a corrente por unidade de comprimento da bobina, n.i, pela corrente 
superficial de Ampère que lhe corresponde, por unidade de comprimento do imã, M, 
tem-se para o campo magnético no interior do imã, longe das extremidades, que: 
 
 
 
MBm ×= 0m (2.2) 
 
 Através deste modelo é possível fazer uma analogia entre o campo produzido no 
interior de uma bobina, quando por ela circula uma corrente “i”, ou seja: 
 
 inB ××= 00 m 
 
 Com o campo magnético no interior de um imã, produzido pela chamada 
corrente superficial de Ampère, 
 
 
 
MBm ×= 0m 
 
 Portanto, “M”, no caso do imã natural, corresponde ao produto “ in × ”, no caso 
de uma bobina ou solenóide. Assim, pode-se escrever que: 
 
 
l
iN
inM
×=×= (2.3) 
 
2.7 – MAGNETISMO EM MEIOS MATERIAIS 
 
 Considere um material (por exemplo o ferro) em forma de barra cilíndrica 
introduzida em uma bobina de “N” espiras, confo rme ilustra a figura 2.11 a seguir. 
 
 
 
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Figura 2.11 - Material Dentro de Uma Bobina 
 
Para uma corrente “i” injetado no ponto “a”, surgirá um campo magnético total 
“B”. Este campo magnético é formado pela ação da corrente “i” que passa pelas “N” 
espiras da bobina e pela ação da corrente superficial de Ampère, no material. 
 
 Desta forma, pode-se analisar o comportamento do dispositivo da figura 2.11 
anterior (na verdade um eletroímã) fazendo-se uma separação dos efeitos. Para tanto, 
considere inicialmente apenas a bobina de “N” espiras, conforme apresentado à figura 
2.12 a seguir. 
 
 
Figura 2.12 - Bobina de “N” Espiras com Corrente 
 
 A passagem da corrente pela bobina dará origem a um campo magnético “B0”, 
no seu interior, que poderá ser escrito como sendo: 
 
 
l
iN
inB
××=××= 000 mm (2.4) 
 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 38 
 
 
Onde: 
l = Comprimento da bobina. 
 
 Portanto, o campo magnético “B0” será produzido apenas pela passagem da 
corrente “i” na bobina. 
 
 Definindo agora o produto “ in × ” como sendo a intensidade de campo 
magnético (H), ou seja: 
 
 
l
iN
inH
×=×= (2.5) 
 
 Tem-se em (2.4) que: 
 
 HB ×= 00 m (2.6) 
 
Onde: 
B0 = Campo magnético no interior da bobina ou solenóide [ ]2/ mWb ; 
0m = Permeabilidade magnética do vácuo, de valor igual a [ ]mH /104 7-××p ; 
H = Intensidade de campo magnético [ ]mEA /× . 
 
A expressão (2.6) apresenta o campo magnético causado apenas pela passagem 
da corrente pela bobina. 
 
Introduzindo o material cilíndrico na bobina, conforme indicado à figura 2.11 
anterior, irá aparecer no interior deste material um campo magnético total “B”. Isto 
ocorre porque agora os dipolos magnéticos elementares estarão sujeitos à ação do 
campo externo “B0”, e desta forma proporcionarão o surgimento de uma corrente 
superficial de Ampère por unidade de comprimento (M). Esta corrente superficial dará 
origem a um campo magnético “Bm”, conforme visto anteriormente (observar expressão 
2.2). 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 39 
 
 
 Portanto, o campo magnético total “B” será formado pela ação conjunta dos 
campos “B0” e “Bm”, ou seja: 
 
 mBBB += 0 (2.7) 
 
 Das expressões (2.2) e (2.6), pode-se escrever que: 
 
 MHB ×+×= 00 mm (2.8) 
 
 Ou ainda, 
 
 ( )MHB +×= 0m (2.9) 
 
 A equação (2.9) pode ser colocada ainda na seguinte forma vetorial: 
 
 ( )MHB +×= 0m (2.10) 
 
Onde: 
B = Vetor densidade de campo magnético; 
H = Vetor intensidade de campo magnético; 
M = 
Vetor de magnetização, sendo o seu módulo igual à corrente superficial 
de Ampère por unidade de comprimento (M). 
 
2.8 – SUSCEPTIBILIDADE E PERMEABILIDADE MAGNÉTICAS 
 
 Nos materiais e substâncias paramagnéticas e diamagnéticas, existe uma 
proporcionalidade entre a corrente superficial de Ampère por unidade de comprimento 
(M) e a intensidade de campo magnético (H). Esta relação de proporcionalidade pode 
ser expressa por: 
 
 HxM m ×= (2.11) 
 
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Onde: 
xm = 
Constante de proporcionalidade entre “M” e “H”, definida como sendo 
a susceptibilidade magnética do material ou substancia (grandeza 
adimensional). 
 
 Levando (2.11) em (2.9), obtém-se: 
 
 ( )HxHB m ×+×= 0m 
 
 Ou ainda, 
 
 ( ) HxB m ×+×= 10m (2.12) 
 
 Definindo agora, 
 
 ( )mx+×= 10mm (2.13) 
 
 De onde tiramos a relação, 
 
 HB ×= m (2.14) 
 
Onde: 
m = Permeabilidade magnética do material [ ]mH / 
 
 Da expressão (2.13), pode-se fazer a seguinte relação: 
 
 
0
1
m
m=+ mx (2.15) 
 
 Como pode ser observado, o valor “ mx+1 ” corresponde a relação da 
permeabilidade magnética do material pela permeabilidade magnética do vácuo. Assim 
 
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sendo, “ mx+1 ” pode ser chamada de permeabilidade magnética relativa do material, ou 
seja: 
 
 
0
1
m
mm =+= mr x (2.16) 
 
 Portanto, a expressão (2.12) pode ser escrita ainda sob a forma: 
 
 HHB r ×=××= mmm 0 (2.17) 
 
Onde: 
rm = 
Permeabilidade magnética relativa do material ou substancia (grandeza 
adimensional) 
 
Definidas as diversas características magnéticas básicas para os materiais e 
substâncias, pode-se passar agora a uma análise do comportamento magnético dos 
materiais paramagnéticos, diamagnéticos e ferromagnéticos. 
 
2.9 – PARAMAGNETISMO 
 
Este fenômeno está associado aos materiais e substâncias paramagnéticas. O 
paramagnetismo apresenta as seguintes características básicas: 
 
a) Na ausência de um campo magnético externo os dipolos magnéticos 
elementares se apresentam dispostos de forma aleatória, sem indicar 
nenhuma orientação predominante. A figura 2.13 a seguir ilustra esta 
condição. 
 
 
 
 
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Figura 2.13 – Disposição Aleatória dos D.M.E. 
 
b) Na presença de um campo magnético externo os dipolos magnéticos 
elementares se alinham fracamente e de forma paralela ao campo aplicado. 
A figura 2.14 a seguir ilustra esta condição. 
 
 B 
 
Figura 2.14 – Disposição Fracamente Orientadados D.M.E. 
 
c) Retirando o campo externo os dipolos magnéticos elementares voltam a 
uma disposição aleatória. A figura 2.15 a seguir ilustra esta condição. 
 
 
Figura 2.15 – Disposição Aleatória dos D.M.E. 
 
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d) A disposição dos dipolos magnéticos elementares é sensível às variações de 
temperatura. Para elevadas temperaturas a orientação dos d.m.e. é 
extremamente fraca, devido às vibrações térmicas. 
 
e) Em temperaturas extremamente baixas, próximas do zero absoluto, os 
d.m.e. tendem a apresentar uma forte orientação, caracterizando um 
comportamento semelhante ao dos materiais ferromagnéticos; 
 
 f) A susceptibilidade magnética é positiva e bastante reduzida, ou seja: 
 
10 <<<< mx 
 
 Isto ocorre porque a orientação dos d.m.e. é fraca e se apresenta de forma 
paralela ao campo magnético externo; 
 
g) A permeabilidade magnética é pouca coisa superior a permeabilidade 
magnética do vácuo, podendo-se considerar até que: 
 
0mm @ 
 
 Desta forma, a permeabilidade magnética relativa é praticamente unitária. 
 
Exemplos de Materiais Paramagnéticos 
Alumínio, oxigênio, ar, magnésio, madeira, plástico, tungstênio, cromo, titânio, etc. 
Tabela 2.5 – Exemplos de Materiais Paramagnéticos 
 
2.10 – DIAMAGNETISMO 
 
 Este fenômeno está associado aos materiais e substâncias diamagnéticas. O 
diamagnetismo apresenta as seguintes características básicas: 
 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 44 
 
 
a) Na ausência de um campo magnético externo os dipolos magnéticos 
elementares se apresentam dispostos de forma aleatória, sem indicar 
nenhuma orientação predominante. A figura 2.16 a seguir ilustra esta 
condição. 
 
 
Figura 2.16 – Disposição Aleatória dos D.M.E. 
 
b) Na presença de um campo magnético externo os dipolos magnéticos 
elementares se alinham fracamente e de forma antiparalela ao campo 
aplicado. A figura 2.17 a seguir ilustra esta condição. 
 
 B 
 
Figura 2.17 – Disposição Fracamente Orientada dos D.M.E. 
 
c) Retirando o campo externo os dipolos magnéticos elementares voltam a 
uma disposição aleatória. A figura 2.18 a seguir ilustra esta condição. 
 
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“Materiais e Circuitos Elétricos”________________________________________________ página 45 
 
 
 
Figura 2.18 – Disposição Aleatória dos D.M.E. 
 
d) A disposição dos dipolos magnéticos elementares é pouco sensível às 
variações normais de temperatura. 
 
e) A susceptibilidade magnética é negativa e bastante reduzida, ou seja: 
 
10 ->>>> mx 
 
Isto ocorre porque a orientação dos d.m.e. é fraca e se apresenta de forma 
antiparalela ao campo magnético externo; 
 
f) A permeabilidade magnética é pouca coisa inferior a permeabilidade 
magnética do vácuo, podendo-se considerar até que: 
 
0mm @ 
 
Desta forma, a permeabilidade magnética relativa é praticamente unitária, 
ou seja: 
 
1@rm 
 
 
 
 
 
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Exemplos de Materiais Diamagnéticos 
Bismuto, cobre, diamante, ouro, prata, sódio, hidrogênio, dióxido de carbono, nitrogênio, água, 
mercúrio, etc. 
Tabela 2.6 – Exemplos de Materiais Diamagnéticos 
 
2.11 – FERROMAGNETISMO 
 
 O ferromagnetismo é um fenômeno que ocorre em materiais e substâncias como: 
 
Exemplos de Materiais Ferromagnéticos 
- Ferro 
- Níquel 
- Cobalto 
- Ligas Metálicas • Aço 
 • Aço-Carbono (aço com maior teor de carbono); 
 • Ferro-Silicio (96% Fe, 04% Si); 
 • Mumetal (77% Ni, 16% Fe, 5% Cu, 2% Cr); 
 • Alnico 5 (24% Co, 14% Ni, 8% Al, 3 Cu); 
 • Permalloy (55% Fe, 45% Ni); 
 • Etc. 
Tabela 2.7 - Exemplos de Materiais Ferromagnéticos 
 
 A característica fundamental dos materiais ferromagnéticos é a de admitir com 
facilidade elevadas magnetizações. 
 
 De uma forma geral, o ferromagnetismo apresenta as seguintes propriedades 
básicas: 
 
a) Os dipolos magnéticos elementares são agrupados em diversos setores, 
formando regiões dentro do material, com orientação bem definida. Este 
 
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agrupamento de d.m.e. é chamado de “domínio magnético elementar” e é 
uma propriedade básica dos materiais ferromagnéticos. A figura 2.19 ilustra 
esta condição. 
 
 
Figura 2.19 – Domínios Magnéticos Elementares 
 
b) Para um material que não tenha sofrido qualquer imantação, os domínios 
magnéticos elementares se apresentam dispostos de forma aleatória, 
conforme ilustra a figura 2.20 a seguir. 
 
 
Figura 2.20 – Disposição Aleatória dos Domínios Magnéticos 
 
Obs.: Uma exceção importante é a dos imãs naturais, que apresentam 
orientação “in natura” dos domínios magnéticos elementares. 
 
c) Supondo que o material do item anterior seja submetido a um campo 
magnético externo, haverá uma tendênc ia de orientação rápida dos domínios 
magnéticos elementares, de forma paralela ao campo aplicado. A figura 2.21 
ilustra esta condição. 
 
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 B 
 
Figura 2.21 – Orientação dos Domínios Magnéticos Elementares 
 
d) Considerando agora a retirada do campo magnético externo, haverá uma 
perda da orientação dos domínios magnéticos elementares que poderá ser 
pequena ou elevada, dependendo do tipo de material empregado. Esta 
condição está retratada à figura 2.22 a seguir. 
 
 
Figura 2.22 – Orientação Residual dos domínios Magnéticos 
 
 Portanto os materiais ferromagnéticos tendem a ficar com uma imantação 
residual ou remanescente. 
 
e) Os materiais ferromagnéticos perdem as suas propriedades de orientação 
dos domínios magnéticos elementares, quando submetidos a elevadas 
temperaturas. A temperatura limite para a perda de imantação destes 
materiais é chamada de “ponto Curie” ou “temperatura de Curie”. À partir 
desta temperatura os materiais ferromagnéticos apresentam propriedades 
magnéticas semelhantes as dos materiais paramagnéticos. 
 
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2.11.1 Curva de Saturação 
 
 Seja o dispositivo composto por uma bobina e um núcleo de material 
ferromagnético, da figura 2.23 a seguir. 
 
 
Figura 2.23 – Bobina com Material Ferromagnético 
 
Para uma corrente contínua “i” injetado no ponto “a”, obtém-se um campo 
magnético “B”. Aumentando-se gradualmente o valor desta corrente, haverá uma 
elevação também gradual do campo magnético “B”. Na verdade, o que está ocorrendo, é 
uma orientação lenta dos domínios magnéticos elementares do material. Quando 
praticamente todos estes domínios estiveremorientados, mais difícil ficará o incremento 
no campo magnético total que circunda o dispositivo. Neste ponto diz-se que o material 
está chegando a saturação. Portanto, a saturação de um material corresponde à condição 
de quase totalidade de orientação dos domínios magnéticos elementares. 
 
A figura 2.24, a seguir, ilustra a condição de saturação ocorrida no material, com 
o aumento do valor da corrente “i”. 
 
 
 
 
 
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Figura 2.24 – Curva de Saturação (B x i) do Material 
 
 Da equação (2.5), tem-se que: 
 
l
iN
inH
×=×= 
 
 Tomando o valor da corrente, vem: 
 
N
lH
i
×= 
 
 Como, o número de espiras (N) e o comprimento (l) da bobina, são constantes, 
existe uma relação de proporcionalidade entre a corrente (i) e a intensidade de campo 
magnético (H). Desta forma, a curva de saturação do material pode ser modificada, 
simplesmente através de mudança de escala na sua abscissa. Esta condição é 
apresentada à figura 2.25. 
 
 
Figura 2.25 – Curava de Saturação (B x H) do Material 
 
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 Como pode ser observada, até a saturação do material, a permeabilidade 
magnética permanece praticamente constante. A partir daí seu comportamento passa a 
ser eminentemente variável, caracterizando uma não- linearidade entre “B” e “H”. Assim 
sendo, pode-se dizer que: nos materiais ferromagnéticos a permeabilidade magnética 
( m ) é variável, devido a saturação. 
 
Na figura 2.25, o valor “HS” corresponde a intensidade de campo magnético 
saturante, ou seja, o valor de “H” para o qual o material começa a sofrer o efeito da 
saturação. A densidade de campo magnético correspondente vale “BS”. 
 
 A tabela 2.8 a seguir apresenta valores das densidades de campo magnético 
“BS”, bem como permeabilidades magnéticas relativas ( rm ), para alguns materiais 
ferromagnéticos. 
 
Material 
Ferromagnético 
Campo Magnético 
Bs (Tesla) 
Permeabilidade 
Relativa ( rm ) 
Ferro (temperado) 2.16 5500 
Ferro-Silicio 1.95 7000 
Permalloy 1.60 25000 
Mumetal 0.65 100000 
Tabela 2.8 – Valores de “BS” e “ m ” para a Alguns Materiais 
 
2.11.2 Ciclo de Histerese 
 
 No dispositivo da figura 2.23, considere uma corrente alternada senoidal “i” (do 
tipo apresentado à figura 2.26 a seguir), sendo injetada no ponto “a”. 
 
 
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Figura 2.26 – Corrente Alternada Senoidal 
 
A passagem desta corrente pela bobina dará origem a um campo magnético 
variável “B”. A corrente “i” é proporcional a intensidade de campo magnético “H”, 
desta forma, à medida que a corrente varia, a intensidade de campo magnético também 
varia. Esta variação irá ocasionar uma alteração no campo magnético total do 
dispositivo. 
 
 A figura 2.27, a seguir, mostra como será o comportamento do campo magnético 
“B”, para um ciclo completo da corrente alternada senoidal representada pela figura 
2.26. 
 
 
Figura 2.27 – Curva B x H (Ciclo de Histerese) 
 
 
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O ponto (01) corresponde à condição inicial, a corrente é nula e o material não 
apresenta qualquer imantação. O ponto (02) está associado à condição de máxima 
corrente no sentido positivo. Para este valor de corrente tem-se o valor máximo positivo 
da densidade de campo magnético (Bmáx). No ponto (03), a corrente se anula e o 
material mantém um magnetismo residual ou remanescente (Br) positivo, ou seja, 
permanece uma determinada orientação dos domínios magnéticos elementares. A partir 
deste último ponto, até (04), a corrente cresce negativamente até atingir seu máximo 
valor. No ponto (04) tem-se a correspondente densidade de campo magnético máxima 
em sentido contrário (ou negativa). Finalmente em (05), a corrente se anula novamente, 
restando no material um magnetismo residual (Br) negativo. 
 
Ao percurso fechado da figura 2.27 (curva B x H) dá-se o nome de “ciclo de 
histerese”. Portanto, a cada ciclo da corrente alternada “i” corresponde um ciclo da 
curva B x H. 
 
 A figura 2.28 a seguir apresenta, com maiores detalhes, alguns valores 
importantes de densidade de campo magnético (B) e de intensidade de campo 
magnético (H), do ciclo de histerese. 
 
 
Figura 2.28 – Ciclo de Histerese 
 
 
 
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Na figura 2.28, podem ser observados os seguintes valores: 
 
Br = Magnetismo Residual ou Remanescente Þ é a densidade de campo 
magnético que permanece no material após a retirada do campo magnético externo, ou 
seja, quando a corrente “i” se anula. Corresponde a orientação remanescente dos 
domínios magnéticos elementares do material; 
 
Bmáx = Densidade de Campo Magnético Máxima Þ corresponde ao máximo 
valor de campo magnético no material. É produzido pelo valor máximo da corrente “i” 
na bobina; 
 
Hc = Força Coercitiva ou Coerciva Þ é a intensidade de campo magnético 
necessária para eliminar o magnetismo residual ou remanescente do material. 
 
Com relação à polarização, pode-se observar na figura 2.28 as seguintes 
características dos materiais ferromagnéticos: 
 
• 01o Quadrante B (+) e H (+) Þ Mesmos Sentidos 
• 02o Quadrante B (+) e H (–) Þ Sentidos Opostos 
• 03o Quadrante B (–) e H (–) Þ Mesmos Sentidos 
• 04o Quadrante B (–) e H (+) Þ Sentidos Opostos 
Tabela 2.9 – Características dos Materiais Ferromagnéticos 
 
Os sentidos opostos, verificados nos quadrantes pares (02º e 04º), ocorrem 
devido ao processo de desimantação do material, ou seja, a eliminação do magnetismo 
residual através da inversão no sentido da corrente “i” (e conseqüentemente a inversão 
da intensidade de campo magnético “H”). 
 
2.11.3 Materiais Magnéticos Duros e Moles 
 
 a) Materiais Magnéticos Duros 
 
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Estes materiais apresentam as seguintes características básicas: 
 
- Ciclo de Histerese 
 
 Apresentam elevado magnetismo residual o que implica na necessidade de uma 
elevada força coercitiva. Conseqüentemente a área do ciclo de histerese é grande, como 
pode ser observado através da figura 2.29 a seguir. 
 
 
Figura 2.29 – Ciclo de Histerese dos Materiais Magnéticos Duros 
 
- Aplicação 
 
São utilizados como imãs permanentes e em dispositivos e equipamentos que 
requerem elevado grau de magnetismo residual, como: alto-falantes, telefones, 
medidores, etc. 
 
 A seguir estão listados alguns exemplos de materiais magnéticos duros: 
 
 
 
 
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Exemplos de Materiais Magnéticos Duros 
• Aço-Carbono (aço com maior teor de carbono) 
• Alnico 5 (24% Co, 14% Ni, 8% Al, 3% Cu) 
• Alcomax (24% Co, 14% Ni, 8% Al, 3% Cu, 1% Nb) 
• Bismanol (MnBi) 
Tabela 2.10 – Exemplos de Materiais Magnéticos Duros 
 
 b) Materiais Magnéticos Moles 
 
Estes materiais apresentam as seguintes características básicas: 
 
- Ciclo de Histerese 
 
 Apresentam magnetismo residual bastante reduzido, o que implica na 
necessidade de uma força coercitiva de pequena intensidade. Conseqüentemente a área 
do ciclo de histerese é reduzida, como pode ser observado através da figura 2.30 a 
seguir. 
 
 
Figura 2.30 – Ciclo de Histerese dos Materiais Magnéticos Moles 
 
 
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- Aplicação 
 
Por apresentarem reduzidas áreas dos ciclos de histerese, os materiais 
magnéticos moles são utilizados na confecção de núcleos de transformadores e 
máquinas elétricas rotativas. Como será visto posteriormente, a área do ciclo de 
histerese está associada às perdas no núcleo, que são indesejáveis em equipamentos de 
alto rendimento (perdas reduzidas), como é o caso dos transformadores e das máquinas 
rotativas. 
 
 A seguir estão listados alguns exemplos de materiais magnéticos moles: 
 
Exemplos de Materiais Magnéticos Moles 
• Ferro 
• Aços-Doces (aços com baixos teores de carbono) 
• Ferro-Silício (96% Fe, 4% Si) 
• Mumetal (77% Ni, 16% Fe, 5% Cu, 2% Cr) 
• Permalloy 
Tabela 2.11 – Exemplos de Materiais Magnéticos Moles 
 
2.12 – CORRENTES PARASITAS OU DE FOUCAULT 
 
 Seja o condutor com corrente “i” variável, mostrado à figura 2.31 a seguir. 
 
 
Figura 2.31 – Condutor com Corrente 
 
 
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A corrente “i” variável dá origem a um campo magnético variável ao redor do 
condutor. 
 
 Seja aproximar deste condutor uma determinada espira fechada. Através do 
princípio da indução eletromagnética sabe-se que, um campo magnético variável dá 
origem a uma f.e.m. induzida. Portanto, irá aparecer na espira uma f.e.m. induzida e 
como a espira está fechada haverá circulação de uma corrente. Este fato pode ser 
verificado à figura 2.32 a seguir. 
 
 
Figura 2.32 – Espira Fechada Próxima de um Condutor com Corrente 
 
 Seja agora aproximar do condutor uma determinada barra de ferro cilíndrica. 
Esta barra estará sujeita à ação do campo magnético variável (B), como pode ser 
observado à figura 2.33 a seguir. 
 
 
Figura 2.33 – Barra Cilíndrica Próxima de um Condutor com Corrente 
 
 
 
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 Nos núcleos magnéticos maciços, como aquele da figura 2.33, são encontradas 
imperfeições. Algumas delas formam trajetórias fechadas, como espiras, e apresentam 
uma determinada condutância elétrica. A presença de um campo magnético variando 
através destas pequenas “espiras” (ver figura 2.34) dará origem a correntes elétricas 
induzidas. 
 
Figura 2.34 – Barra de Ferro Cilíndrica com Imperfeições 
 
Estas correntes induzidas, circulando no material, causam perdas por dissipação 
de calor (efeito Joule). Portanto, quanto maior o número de trajetórias e quanto maiores 
forem as suas condutâncias (ou menores as suas resistências), maiores serão as perdas 
no núcleo, pelo efeito Joule. 
 
 Para uma determinada trajetória fechada (“espira”), tem-se que: 
 
 
r
e
i = (2.10) 
 
Onde: 
I = Corrente induzida na “espira”; 
e = F.e.m. induzida na “espira”; 
r = Resistência da trajetória fechada (“espira”). 
 
Estas correntes induzidas no material (“i”) são chamadas de “correntes 
parasitas” ou “correntes de Foucault” e provocam: 
 
 
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- Perdas por efeito Joule; 
- Aquecimento do material (núcleo magnético); 
- Redução na orientação dos domínios magnéticos elementares. 
 
Na maioria das aplicações, as correntes de Foucault são indesejáveis. Desta 
forma, é importante desenvolver um procedimento para evitá- las. 
 
 As correntes parasitas (ou de Foucault) podem ser reduzidas através da 
laminação do núcleo magnético. O efeito deste processo pode ser verificado à figura 
2.35 a seguir. 
 
 
Figura 2.35 – Laminação do Núcleo Magnético 
 
 Da figura 2.35, vê-se que através da laminação do núcleo magnético é possível 
aumentar as resistências elétricas das trajetórias fechadas (r) e conseqüentemente 
reduzir a intensidade das correntes parasitas (i). Notar que entre cada lâmina ou chapa 
existe uma película isolante, que causa a elevação das resistências das “espiras”. 
 
2.13 – PERGUNTAS PROPOSTAS 
 
 Responda as seguintes perguntas: 
 
 01) Por quê não se consegue isolar o pólo norte do pólo sul, em um imã natural? 
 
 02) O que são os dipolos magnéticos elementares? 
 
 
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 03) Como são classificados os corpos quanto à imantação? 
 
 04) Qual é o significado de imantação? 
 
 05) Como são classificados magneticamente os materiais e substâncias? 
 
 06) O que é um imã natural? 
 
 07) Quais são os tipos de imãs artificiais? 
 
 08) Qual é a diferença básica entre um imã artificial permanente e um imã 
artificial transitório? 
 
 09) Qual é o significado do ponto Curie? 
 
 10) Como surge o campo magnético em um imã natural? 
 
 11) O que é a corrente superficial de Ampère? Qual é o seu efeito? 
 
 12) Determine o campo magnético no interior de um solenóide ou bobina. 
 
 13) Qual é o significado da intensidade de campo magnético? Como determiná-
la? 
 
 14) O que acontece quando se introduz um material ferromagnético dentro de 
uma bobina com corrente? 
 
 15) Qual é a diferença entre densidade de campo magnético e intensidade de 
campo magnético? Como são representadas? Quais as suas unidades usuais? 
 
 16) Qual é o valor da permeabilidade magnética do vácuo? Como é 
representada? 
 
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 17) Qual é o significado do vetor de magnetização? 
 
 18) O que é a susceptibilidade magné tica de um material? Como é 
representada? Qual é a sua unidade? 
 
 19) A susceptibilidade magnética é definida para todos os materiais? Por quê? 
 
 20) O que é a permeabilidade magnética? Como é representada? Qual é a sua 
unidade usual? 
 
 21) O que é a permeabilidade magnética relativa? Como é representada? Qual é 
a sua unidade usual? 
 
 22) Qual é a diferença entre a permeabilidade magnética e a susceptibilidade 
magnética? Faça uma demonstração matemática. 
 
 23) Quais são as principais características dos materiais paramagnéticos? 
 
 24) Quais são