Materiais para construção mecânica I Estrutura Cristalinas

Prévia do material em texto

18/08/2016
1
Materiais para construção 
Mecânica I
Prof. Natália F. Daudt
UFSM – Campus Cachoeira do Sul
2016.natalia.daudt@ufsm.br
Estrutura cristalina
Estrutura Cristalina
� Introdução
� Ordenação dos Átomos
� Células Unitárias
� Sistemas Cristalinos
� Direções e Planos no Cristal
� Metais
� Cristais Iônicos
� Cristais Covalentes
� Polímeros
2
18/08/2016
2
Introdução
antes de entender fenômenos que determinam propriedades nos materiais a partir da MICROESTRUTURA
deve-se primeiramente entender a (ESTRUTURA ATÔMICA) e ESTRUTURA CRISTALINA dos materiais 
porque estas definem algumas de suas propriedades
ESTRUTURA ATÔMICA
ESTRUTURA CRISTALINA
MICROESTRUTURA
ESTRUTURA PROPRIEDADES
CIÊNCIA DOS MATERIAIS
3
Introdução
4
18/08/2016
3
Introdução
• Como os átomos estão dispostos em um sólido?
• Como a densidade de um material depende da sua estrutura?
• Quando as propriedades de um material variam por exemplo com a orientação 
da amostra?
5
Introdução: Energia e empacotamento
6
• Não-denso, empacotamento aleatório
• Denso, empacotamento ordenado
Estruturas densas, empacotadas ordenadamente tendem a ter menor energia.
Energia 
r
comprimento de ligação típico
comprimento de 
ligação típico
Energia
r
comprimento de ligação típico
comprimento de 
ligação típico
18/08/2016
4
7
• átomos empacotados em períodos,
arranjos cristalinos 3D
Materiais cristalinos
-metais
-muitos cerâmicos
-alguns polímeros
• átomos não tem empacotamento em períodos
Materiais não-cristalinos
-estruturas complexas
-resfriamento rápido
SiO2 cristalino
SiO2 não-cristalino"Amorfos" = Não-cristalinos
Introdução: Materiais e empacotamento
Si Oxigênio
• exemplos:
• ocorre:
� As propriedades de alguns materiais estão diretamente 
associadas à sua estrutura cristalina.
Ex: magnésio e berílio que têm a mesma estrutura 
(HC) se deformam muito menos que ouro e prata (CFC) 
que têm outra estrutura cristalina.
� Explica a diferença significativa nas propriedades de 
materiais cristalinos e não cristalinos de mesma 
composição.
Ex: Materiais transparentes, translúcidos opacos e 
não-cristalinos.
� As propriedades dos materiais sólidos cristalinos 
depende da estrutura cristalina, ou seja, da maneira na 
qual os átomos, moléculas ou íons estão 
espacialmente dispostos.
A diferença no comportamento mecânico de 
um material sólido é definida no arranjo 
atômico, e conseqüentemente na sua 
estrutura cristalina.
Introdução
8
18/08/2016
5
Importância da estrutura cristalina
Grande parte da diferença das propriedades dos materiais é de interesse tecnológico, assim as diferenças
na estrutura cristalina de um mesmo composto é de grande importância na Engenharia.
cúbico
grafite
O que se pode fazer para 
modificar a resistência 
mecânica de um material ?
Alotropia ou Polimorfismo:
Introdução
grafite hexagonal
diamante cúbico
CCC
CFC
Fe
Nitreto de boro
Carbono
9
Ordenação de Átomos
Cristal Vidro Gás
Ordem a longo 
alcance
Ordem a curto 
alcance
Sem ordenamento
Os materiais sólidos podem ser classificados de acordo com a regularidade na qual os átomos ou íons 
se dispõem em relação à seus vizinhos.
10
18/08/2016
6
Sem ordem
Em gases, como o Ar e outros gases nobres.
Se confinados, os gases não apresentarão nenhuma ordem entre seus átomos constituintes.
Argônio
Hélio
Ordenação de Átomos
11
Ordenamento a curto alcance
♦ Ângulos, distâncias e simetria com ordenação a curto alcance.
♦ Ocorre na H2O, que apresenta uma orientação preferencial, no SiO2 e 
no polietileno.
em materiais não-cristalinos ou amorfos
H
OO
H2O
SiO2
Polietileno
Ordenação de Átomos
Si Oxigênio 12
18/08/2016
7
Ordem a longo alcance
Material cristalino
Átomos ordenados em longas distâncias atômicas
formam uma estrutura tridimensional 
rede cristalina
Ordenação de Átomos
Metais, muitas cerâmicos e alguns 
polímeros formam estruturas 
cristalinas sob condições normais 
de solidificação 
13
⇒Na rede a relação com vizinhos é constante:
- simetria com os vizinhos;
- distâncias define o parâmetro de rede;
- ângulos entre arestas
PARÂMETROS PELOS QUAIS SE DEFINE UM CRISTAL
Exemplo esquemático de rede
Ordem a longo alcance
Ordenação de Átomos
REDE: conjunto de pontos espaciais que possuem 
vizinhança idêntica.
⇒A rede é formada por átomos se repete regularmente
14
18/08/2016
8
Célula Unitária
⇒A ordem atômica no cristal sólido indica que pequenos grupos de átomos formam um padrão
repetitivo. Este padrão descreve a estrutura do cristal célula unitária
⇒menor subdivisão da rede cristalina que retém as características de toda a rede.
⇒Para maioria das estruturas cristalinas são paralelepípedos ou prismas.
15
Célula Unitária menor subdivisão da rede cristalina que retém as características de toda a rede.
Célula unitária
Arranjo de 
átomos em 
um cristal
Rede 
cristalina
Célula Unitária
16
18/08/2016
9
Sistemas Cristalinos
⇒ Há várias estruturas cristalinas possíveis.
⇒ Classificadas de acordo com a célula unitária ou arranjo atômico.
⇒A geometria da célula unitária é definida em função de 6 parâmetros: 3 comprimentos das
arestas a, b e c, e 3 ângulos internos α, ββββ e γγγγ.
⇒São chamados parâmetro de rede.
�Sistemas cristalinos: 7 diferentes
�Redes de Bravais: 14 diferentes
17
CÉLULA UNITÁRIA
⇒ Existem 14 tipos diferentes: redes de Bravais, 
agrupadas em sete tipos de estruturas cristalinas 
(sistemas cristalinos). 
Três diferentes tipos de estruturas cristalinas
Sistemas Cristalinos
HexagonalCúbico Ortorrômbico
existem diferentes tipos de células unitárias, que 
dependem da relação entre seus ângulos e arestas.
a
c
a
a
b
c
a a
a
18
18/08/2016
10
Hexagonal
Cúbico
Tetratagonal
Romboédrico
(Trigonal)
Ortorrômbico
Monoclínico
Triclínico
Sistema cristalino Relação AngularRelação Axial Célula unitária
Sistemas Cristalinos
19
Metais cristalizam 
preferencialmente:
- hexagonal
- CCC
- CFC
- CS → muito raro
7 sistemas cristalinos e 14 redes de Bravais METAIS
Ligação metálica → não-
direcional: não há restrições 
quanto ao número e posições 
dos vizinhos mais próximos.
Estrutura cristalina dos metais 
têm geralmente um número 
de vizinhos grandes e alto 
empacotamento atômico.
Romboédrico
Hexagonal
Sistemas Cristalinos
20
18/08/2016
11
Número de átomos por célula unitária
⇒ É o número específico de pontos da rede que define 
cada célula unitária.
-Átomo no vértice da célula unitária cúbica: partilhado 
por sete células unitárias em contato
-somente 1/8 de cada 
vértice pertence a uma 
célula particular.
- Átomo da face centrada: partilhado por duas células 
unitárias
Sistemas Cristalinos
½ atomo
1/8 atomo
Cúbico Face Centrada (CFC)
21
22
• Tendem a ter um empacotamento denso.
• Razões para o empacotamento denso:
- Tipicamente um elemento é presente, então todos os átomos são os mesmos.
- Ligação metálica não é direcional.
- A distância até o próximo vizinho tende a ser menor possível com o objetivo de diminuir a 
energia de ligação.
- A nuvem de elétrons cobre o núcleo de cada um.
• Tem a estrutura de cristalina mais simples.
Estrutura cristalina dos Metais
18/08/2016
12
Cúbico Simples (CS) Cúbico Corpo Centrado (CCC) Cúbico Face Centrada (CFC)
Sistema Cúbico
Sistemas Cristalinos
23
Número de átomos por célula unitária
Exemplo 1: Determine o número de átomos da rede cristalina por célula no sistema cristalino cúbico simples.
Resposta:CS n° pontos da rede = 8(cantos) *1 = 1 átomo
célula unitária 8
Sistemas Cristalinos
24
18/08/2016
13
Resposta:
CCC n° pontos da rede = 8(cantos)*1 + 1 (centro)= 2 átomos
célula unitária 8
Exemplo 2: Determine o número de átomos da rede cristalina por célula no sistema cristalino cúbico de corpo 
centrado. 
Número de átomos por célula unitária
Sistemas Cristalinos
25
Resposta:
CFC n° pontos da rede = 8(cantos)*1 + 6 (faces)*1= 4 átomos
célula unitária 8 2
Exemplo 3: Determine o número de átomos da rede cristalina por célula no sistema cristalino cúbico de face 
centrada.
Número de átomos por célula unitária
Sistemas Cristalinos
26
18/08/2016
14
CS 1 átomo
CCC 2 átomos 
CFC 4 átomos
CFC
CS
CCC
Número de átomos por célula unitária
Sistemas Cristalinos
27
Célula Unitária
⇒ Determina-se primeiramente como os átomos estão em contato (direção de empacotamento 
fechado, ou de maior empacotamento)
⇒ Geometricamente determina-se a relação entre o raio atômico (r) e o parâmetro de rede (ao).
Relação entre raio atômico e parâmetro de rede
28
18/08/2016
15
Exemplo 1: Determine a relação entre o raio atômico e o parâmetro da rede cristalina para as 
células unitárias do sistema cristalino cúbico (CS, CFC, CCC). 
CÚBICO SIMPLES
ao = 2r
Contato entre os átomos ocorre através da aresta da 
célula unitária
ao = r + r
Célula Unitária
Relação entre raio atômico e parâmetro de rede
29
Relação entre raio atômico e parâmetro de rede
ao = 4r
21/2
Contato entre os átomos ocorre através da 
diagonal da face da célula unitária
dface2 = ao2 + ao2
(4r)2 = 2ao2
CÚBICO DE FACE CENTRADA
Célula Unitária
Exemplo 2: Determine a relação entre o raio atômico e o parâmetro da rede cristalina para as 
células unitárias do sistema cristalino cúbico (CS, CFC, CCC). 
30
18/08/2016
16
CÚBICO DE CORPO CENTRADO Contato entre os átomos ocorre através da 
diagonal do cubo da célula unitária
Dcubo2 = ao2 + dface2
(4r)2 = 3ao2
a
R
Relação entre raio atômico e parâmetro de rede
Célula Unitária
Exemplo 3: Determine a relação entre o raio atômico e o parâmetro da rede cristalina para as 
células unitárias do sistema cristalino cúbico (CS, CFC, CCC). 
a
a2
a3
31
Fe CCC
Exemplo 4: O raio atômico do ferro é 1,24 A .Calcule o parâmetro de rede do Fe CCC e CFC.
Fe CFC
ao = 4r
31/2
ao = 4 x 1,24 = 2,86 A
31/2
ao = 4r
21/2
ao = 4 x 1,24 = 3,51 A
21/2
Relação entre raio atômico e parâmetro de rede
Célula Unitária
32
18/08/2016
17
⇒ O número de coordenação é o número de 
vizinhos mais próximos, depende de:
⇒ covalência: o número de ligações covalentes 
que um átomo pode compartilhar;
⇒ fator de empacotamento cristalino.
CÚBICO 
SIMPLES
NC = 6
Número de coordenação
Célula Unitária
33
CÚBICO DE CORPO 
CENTRADO
NC = 8
Número de coordenação
Célula Unitária
34
18/08/2016
18
CÚBICO 
DE FACE 
CENTRADA NC = 12
Número de coordenação
Célula Unitária
35
HEXAGONAL 
COMPACTO
NC = 12
Número de coordenação
Célula Unitária
36
18/08/2016
19
⇒ Fator de empacotamento é a fração de volume da célula unitária efetivamente ocupada por átomos, 
assumindo que os átomos são esferas rígidas.
FE = (n° átomos / célula) * volume cada átomo
volume da célula unitária
Exemplo 1: Calcule o fator de empacotamento do sistema cúbico (CS, CFC e CCC).
Fator de empacotamento
Célula Unitária
37
CS FE = (1 átomo / célula) * (4pipipipir3/3)
ao3
FE = (1 átomo / célula) * (4pipipipir3/3) = 0,52
(2r)3
CCC FE = (2 átomo / célula) * (4pipipipir3/3) 
ao3
FE = (2 átomo / célula) * (4pipipipir3/3) = 0,68
(4r/31/2)3
CFC FE = (4 átomo / célula) * (4pipipipir3/3)
ao3
FE = (4 átomo / célula) * (4pipipipir3/3) = 0,74
(4r/21/2)3
Exemplo 1: Calcule o fator de empacotamento do sistema cúbico. 
Célula Unitária
38
18/08/2016
20
Densidade
⇒ A densidade teórica de um cristal pode ser calculada usando-se as propriedades da estrutura 
cristalina.
ρρρρ = (n° átomos / célula)*(massa atômica de cada átomo)
(volume da célula unitária) * (n° de Avogadro)
Exemplo 1: Determine a densidade do Fe CCC, que tem um a0 de 2,866 A.
Célula Unitária
39
A densidade medida é 7,870 Mg/m3. Por que a diferença da densidade teórica e a medida?
ρρρρ = (2 átomos / célula)*(55,85 g/g.mol)
(23,55 10-24 cm3/célula) * (6,02 1023 átomos/g.mol)
ρρρρ = 7,879 Mg/m3
Átomos/célula = 2 átomos
Massa atômica = 55,85 g/g.mol
Volume da célula unitária = a03 = 23,55 10-24 cm3/célula 
Número de Avogadro = 6,02 1023 átomos/g.mol
Exemplo 5: Determine a densidade do Fe CCC, que tem um a0 de 2,866 A.
Densidade
Célula Unitária
40
18/08/2016
21
41
Densidade por Classe de Material
ρmetais > ρcerâmicas > 
r
(g
/c
m
 )3
Grafite/ 
Cerâmicos/ 
Semicond
Metais/ 
Ligas
Compósitos/ 
fibras
Polímeros
1
2
20
30
*GFRE, CFRE, & AFRE are Glass,
Carbon, & Aramid Fiber-Reinforced
Epoxy composites (values based on
60% volume fraction of aligned fibers
in an epoxy matrix).10
3
4
5
0.3
0.4
0.5
Magnesium
Aluminum
Steels
Titanium
Cu,Ni
Tin, Zinc
Silver, Mo
Tantalum
Gold, W
Platinum
G raphite
Silicon
Glass -soda
Concrete
Si nitride
Diamond
Al oxide
Zirconia
H DPE, PS
PP, LDPE
PC
PTFE
PET
PVC
Silicone
Wood
AFRE *
CFRE *
GFRE*
Glass fibers
Carbon fibers
A ramid fibers
Metais:
• empacotamento denso
(ligação metálica)
• freqüentemente grande valor de massa atômica
Cerâmicas:
• empacotamento menos denso
• freqüentemente elementos mais leve
Polímeros tem:
• baixo densidade de empacotamento
(freqüentemente amorfos)
• elementos leves (C,H,O)
Compósitos:
• valores intermediários
Em geral:
ρ polímeros
CS CCC CFC
Resumo da estrutura cúbica
Célula Unitária
Átomos 
empacotamento
Número de 
coordenação 
Parâmetro de 
rede
Fator de por 
célula
CS 1 6 2R 0,52
CCC 2 8 4R/(3)1/2 0,68
CFC 4 12 4R/(2)1/2
0,74
42
18/08/2016
22
⇒ Metais não cristalizam no sistema hexagonal simples
o fator de empacotamento 
é muito baixo
⇒ Cristais com mais de um tipo
de átomo podem cristalizar neste
sistema.
Estrutura hexagonal simples
Célula Unitária
c
a
43
⇒ O sistema Hexagonal Compacto é mais comum nos metais (ex: Mg, Zn)⇒ Neste sistema cada 
átomo em seu nível está localizado acima ou abaixo do interstício de 3 átomos de níveis adjacentes. 
Estrutura hexagonal compacta
Célula Unitária
44
18/08/2016
23
Estrutura hexagonal compacta
Célula Unitária
45
Estrutura hexagonal compacta
Célula Unitária
46
18/08/2016
24
Estrutura hexagonal compacta
Célula Unitária
47
Estrutura hexagonal compacta
⇒ O número de coordenação deste sistema é 12, pois cada átomo toca 3 átomos no seu nível inferior,
seis no seu próprio plano e mais três no nível superior ao seu, resultando em um.
⇒ A razão c/a ideal é 1,633, mas a maioria dos metais tem essa razão modificada devido a presença 
de ligações não metálicas.
Célula Unitária
48
18/08/2016
25
Projeção 3D Projeção 2D 
c
a
Sitios A
Sitios B
Sitios A Camada de baixo
Camada do meio
Camada de cima
Estrutura hexagonal compacta
Célula Unitária
• Coordenação = 12
• Fator de empcotamento = 0.74
6 atoms/célula unitária
ex: Cd, Mg, Ti, Zn
• c/a = 1.633
49
Alotropia ou transformações polimórficas
⇒ Alguns metais e não-metais podem ter mais de uma estrutura cristalina dependendo da 
temperatura e pressão.
Materiais de mesma composição química, mas que podem apresentar estruturas 
cristalinas diferentes, são denominados de alotrópicosou polimórficos.
⇒ Geralmente as transformações polimórficas são acompanhadas de mudanças na densidade e 
mudanças de outras propriedades físicas.
Célula Unitária
50
18/08/2016
26
Célula Unitária
Alotropia ou transformações polimórficas
CCC
CFC
CCC
1538ºC
1394ºC
912ºC
δδδδ-Fe
γγγγ-Fe
αααα-Fe
líquido
Sistema do Ferro
NC 8
FE 0,68
NC 12
FE 0,74 
NC 8
FE 0,68
51
Carbono grafite
Nitreto de boro
Fe
Titânio
SiC (chega ter 20 modificações 
cristalinas)
Exemplos
Diamante
Grafite
Célula Unitária
CCC
CFC
Grafite
diamante
α
β
Hexagonal
cúbico
Grafite
cúbico
Alotropia ou transformações polimórficas
52
18/08/2016
27
Polimorfismo
53
Exemplo 1: Calcule a mudança de volume que ocorre quando o FeCCC é aquecido e transforma-se em 
FeCFC. Na transformação o parâmetro de rede muda de aCCC = 2,863 A para aCFC = 3,591 A.
Volume da célula CCC = a3 = 23,467A3
Volume da célula CFC = a3 = 46,307A3
FeCCC 2 átomos
FeCFC 4 átomos
1FeCFC 2FeCCC
Mudança de Volume = Vf - Vi * 100 = 46,307 - 46,934 * 100
Vi 46,934
Mudança de Volume = -1,34%
Célula Unitária
Alotropia ou transformações polimórficas
54
18/08/2016
28
Mudança de Volume = -1,34%
Transformações de 
fase versus 
dilatometria:
a 906°C e 1409°C
A diferença deve-se 
provavelmente a 
impurezas e à 
policristalinidade. 
Célula Unitária
Alotropia ou transformações polimórficas
55
Direções e Planos no Cristal
⇒ As propriedades de muitos materiais são direcionais, por exemplo o módulo de elasticidade do 
FeCCC é maior na diagonal do cubo que na direção da aresta.
Coordenadas dos pontos
⇒ Pode-se localizar os pontos das posições 
atômicas da célula unitária cristalina construindo-
se um sistema de eixos coordenados.
56
18/08/2016
29
Direções da célula unitária
⇒Algumas direções da célula unitária são de particular importância, por exemplo os metais se 
deformam ao longo da direção de maior empacotamento.
⇒Algumas propriedades dos materiais dependem da direção do cristal em que se encontram e são 
medidas.
⇒ Os índices de Miller das direções são usados para descrever estas direções.
Direções e Planos no Cristal
57
Índices de Miller para Direções:
1. Definir dois pontos por onde passa a direção
2. Definir o ponto alvo e origem, fazendo-se: ALVO-ORIGEM
3. Eliminar as frações e reduzir ao m.m.c.
4. Escrever entre colchetes, e se houver n° negativo o sinal é colocado sobre o n°.
[h k l]
x y z 
Direções da célula unitária
Direções e Planos no Cristal
58
18/08/2016
30
-4, 1, 2
Famílias de direções <uvw>
z
x
Onde a barra representa o sinal negativo.[ 412 ]=>
y
Exemplo 2: 
pt. 1 x1 = a, y1 = b/2, z1 = 0
pt. 2 x2 = -a, y2 = b, z2 = c
=> -2, 1/2, 1
c
c
b
bb 0
 
2
 
−−−−
a
aa
pt. 2 
head
pt. 1: 
tail
Mutiplicando por 2 para eliminar a fração
Direções da célula unitária
Direções e Planos no Cristal
59
Exemplo 1: Determine os Índices de Miller das direções A, B e C, da figura abaixo.
Direções da célula unitária
Direções e Planos no Cristal
60
18/08/2016
31
⇒ Algumas observações:
- direção e suas múltiplas são idênticas [111] ≡ [222];
- índices de Miller simétricos não são da mesma direção (direções e suas negativas não são 
idênticas) [111] ≡ [111];
FAMÍLIA DE DIREÇÕES: conjunto de Índices de Miller onde todos tem mesma 
simetria.
Exemplo para 
simetria cúbica:
Direções da célula unitária
Direções e Planos no Cristal
61
Para o sistema cúbico:
A simetria da estrutura permite que as direções equivalentes sejam agrupadas: 
<100> para as faces
<110> para as diagonais das faces
<111> para a diagonal do cubo
CCC
Família de direções <111> 
empacotamento 
atômico fechado
CFC
Família de direções <110> 
empacotamento 
atômico fechado
Direções da célula unitária
Direções e Planos no Cristal
Família de direções:
62
18/08/2016
32
⇒ Outra maneira de caracterizar as direções é através da distância de repetição, fator de 
empacotamento e densidade linear.
DENSIDADE LINEAR: É o número de átomos por unidades de comprimento.
ρρρρL = número de átomos
unidade de comprimento
Direções da célula unitária
Direções e Planos no Cristal
63
Exemplo 2: Calcular a densidade linear na direção [1 0 0] para o potássio.
Dados: K - CCC
r - 0,2312 nm ρL = n° átomos
unid comprimento
ρL = 1/2 + 1/2
ao
ao= 4r/31/2
ρL = 0,187 átomos/Å
Exercício: Qual a densidade linear na direção [1 1 0] para o Cu?
Direções da célula unitária
Direções e Planos no Cristal
64
18/08/2016
33
DISTÂNCIA DE REPETIÇÃO: De quanto em quanto se repete o 
centro de um átomo. É o inverso da densidade linear.
FATOR DE EMPACOTAMENTO LINEAR: É quanto da direção está definitivamente coberta por átomos.
Direções da célula unitária
Direções e Planos no Cristal
65
Exemplo 3: Calcule a distância de repetição, densidade linear e o fator de empacotamento para a 
direção [1 1 1] do Cu CFC. (ao=3,6151 A)
Direções da célula unitária
Direções e Planos no Cristal
66
18/08/2016
34
Planos
⇒ Um cristal possui planos de átomos que influenciam as propriedades e o comportamento de um 
material.
⇒ Os Índices de Miller também são determinados para planos.
ÍNDICES DE MILLER PARA PLANOS:
1. Definir três pontos onde o plano corta x, y e z.
2. Calcular os recíprocos dos valores obtidos.
3. Eliminar as frações sem reduzir ao m.m.c.
4. Escrever entre parênteses, e se houver n° negativo o sinal é colocado sobre este n°.
OBS.: Se o plano passar pela origem, desloque-a.
(h k l)
x y z 
Direções e Planos no Cristal
67
Exemplo 1: Determine os Índices de Miller para os planos A, B e C da figura abaixo.
Planos
Direções e Planos no Cristal
68
18/08/2016
35
Observações importantes: 
- Iguais Índices de Miller para direção e plano, significa que 
estes apresentam perpendicularidade.
Exemplo: (1 0 0) ⊥ [1 0 0]
- Índices de Miller simétricos são o mesmo plano, depende 
apenas do referencial (planos e seus negativos são 
idênticos). 
Exemplo: (0 2 0) ≡ (0 2 0)
- Planos e seus múltiplos não são idênticos (densidade 
planar diferente).
Planos
Direções e Planos no Cristal
69
DENSIDADE PLANAR: É o número de átomos por unidades de comprimento.
ρρρρP = número de átomos no plano
área do plano
FATOR DE EMPACOTAMENTO PLANAR: É quanto da área está efetivamente coberta por átomos.
FEP = área dos átomos
área do plano
Planos
Direções e Planos no Cristal
70
18/08/2016
36
Distância interplanar: É a distância de dois planos com mesmos índices de Miller.
D (h, k, l) = a0
(h2 + k2 + l2)1/2
Para o sistema 
cúbico
d (110) = a
(12 + 12 + 02)1/2
d (110) = a
21/2
Ou, geometricamente:
d = dface = a 21/2
2 2
Planos
Direções e Planos no Cristal
71
Exemplo 5: Calcule a densidade planar e o fator de empacotamento planar para os planos (0 1 0) e (0 
2 0), para o sistema cúbico simples do polônio, o qual tem a0 = 3,34 10-8 cm.
ρplanar (0 2 0) = zero
FEplanar (0 2 0) = zero
(010)
(020)
Planos
Direções e Planos no Cristal
72
18/08/2016
37
Família de planos: em cada célula unitária os planos formam um grupo equivalente que tem índices 
particulares devido a orientação de suas coordenadas. 
Exemplo: planos da família {1 1 0}
(1 1 0) (1 0 1) (0 1 1)
(1 1 0) (1 0 1) (0 1 1)
O átomo do centro do cubo é interceptado pela família de planos {111} para o CCC?
Planos
Direções e Planos no Cristal
73
FAMÍLIA DE PLANOS {110} é paralelo a um eixo
⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄ z
⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄ y
⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄ xPlanos
Direções e Planos no Cristal
74
18/08/2016
38
FAMÍLIA DE PLANOS {111} 
Planos
Direções e Planos no Cristal
75
⇒ A simetria do sistema cúbico faz com que a família de planos tenha o mesmo arranjo e densidade
⇒ Deformação em metais envolve deslizamento de planos atômicos
⇒ Deslizamento ocorre mais facilmente nos planos e direções de maior densidade atômica
CCC
Família de planos {110}:
maior densidade atômica
CFC
Família de planos {111}:
maior densidade atômica
Planos
Direções e Planos no Cristal
76
18/08/2016
39
Índices de Miller para a Célula Hexagonal
⇒ Chamados índices de Miller Bravais, devido a modificação em relação ao sistema cristalino
⇒ Estabelece-se 4 eixos, 3 coplanares
⇒ Tem-se 4 interseções e 4 índices de Miller
Índices de Miller Bravais: h k i l
onde: h + k = - i
⇒ Similar aos índices de Miller para plano da estrutura cristalina cúbica, determina-se os Índices de Miller 
Bravais.
Direções e Planos no Cristal
77
Exemplo 7
a1 a2 a3 c
4. Índice de Miller-Bravais (1011)
1. Interceptos 1 ∞ -1 1
2. Recíprocos 1 1/∞
1 0 
-1
-1
1
1
3. Redução 1 0 -1 1
a2
a3
a1
z
Planos
Direções e Planos no Cristal
78
18/08/2016
40
⇒ Direções na célula unitária 
hexagonal
[h k i l]
⇒ Eixos: a1 a2 a3 c
Índices de Miller para a Célula Hexagonal
Direções e Planos no Cristal
Na célula hexagonal a mesma idéia é aplicada.
79
Direções e Planos no Cristal
80
18/08/2016
41
Sistema cúbico Sistema
hexagonal
compacto
Metais
Sumarizando: os metais cristalizam preferencialmente em sistemas cúbico (CCC, CFC) ou hexagonal (HC). 
Logo, a estrutura cristalina destes materiais já foi estudada.
CCC CFC
81
Metais
Características de cristais metálicos comuns
Estrutura a0 x R Átomos NC FE Metais
CS a0 = 2R 1 6 0,52 Po
CCC a0 = 4R/31/2 2 8 0,68
Fe, Ti, W, Mo, Nb, Ta, 
K, Na, V, Cr, Zr
CFC a0 = 4R/21/2 4 12 0,74
Fe, U, Al, Au, Ag, Pb, 
Ni, Pt
HC a0 = 2R 6 12 0,74
Ti, Mg, Zn, Be, Co, 
Zr, Cd
82
18/08/2016
42
⇒ Muitos materiais cerâmicos possuem ligações iônicas entre ânions e cátions.
Possuem estruturas cristalinas que asseguram a neutralidade elétrica.
⇒ Relação de raios: ânion (geralmente maior) e cátion
⇒ Considera-se que o ânion vai formar a rede cristalina e o cátion preencherá os vazios da
rede.
Cristais Iônicos
Introdução
determina o tipo de 
arranjo cristalino.
83
⇒ Estruturas iônicas (como muitos cerâmicos) podem ser entendidas como o ânion formando a
rede cristalina e o cátion preenchendo os sítios intersticiais, respeitando a neutralidade iônica.
Sítios intersticiais
Cristais Iônicos
⇒ Estrutura cristalina de uma célula unitária existem pequenos
espaços não ocupados (vazios) sítios intersticiais.
Podem ser ocupados por átomos estranhos a rede
ex: impurezas e elementos liga nos metais
84
18/08/2016
43
Localização dos sítios intersticiais nas células unitárias cúbicas e hexagonal.
Apenas um de cada grupo está representado.
Sítios intersticiais
Cristais Iônicos
85
Interstícios
18/08/2016
44
Interstícios
• Um átomo em um sítio intersticial toca dois ou mais átomos da célula unitária⇒ NC
• O tamanho de cada sítio intersticial pode ser calculado em termos do tamanho dos átomos da
posição regular da rede.
Exemplo 1: Supondo uma esfera, calcule o tamanho de um sítio intersticial: (a) 
cúbico (b) octaédrico. 
Sítios intersticiais
Cristais Iônicos
88
18/08/2016
45
2R + 2r = 2R 3½
r = 3½ R - R 
r = (3½ - 1) R
r /R= 0,732
Exemplo 1: Supondo uma esfera, calcule o tamanho de um sítio intersticial: (a) cúbico (b) octaédrico. 
Sítios intersticiais
Cristais Iônicos
2R + 2r = 2R 2½
r = 2½ R - R 
r = (2½ - 1) R
r /R= 0,414 89
O átomo intersticial 
- tamanho menor do sítio 
intersticial
- tamanho maior do sítio 
intersticial
Razão entre raios 
determina NC e a 
localização do interstício
2 0 - 0,155
3 0,155 - 0,225
4 0,225 - 0,414
6 0,414 - 0,732
8 0,732 - 1,000
NC Razão raios
Cristais Iônicos 
Repulsão Mínima Relação MX Geometria
Sítios intersticiais
90
18/08/2016
46
Cristais Iônicos
Tipos de estruturas
91
Teoria da rede cristalina para cristais iônicos
Modelo matemático da estrutura cristalina de cristais iônicos
cálculo de propriedades do cristal: energia de ligação e espaçamento de equilíbrio dos 
íons no cristal
Considera-se que:
- rede construída com esferas rígidas que tocam-se em uma direção;
as esferas tem um raio fixo e definido;
- as esferas são eletricamente carregadas com cargas elementares;
- as cargas formam um arranjo periódico;
- a rede empacota de forma simples: cúbico, hexagonal ou cúbico de face centrada
Ex: NaCl
Características da rede:
- Arranjo periódico de esferas
- Esferas rígidas com raio fixo e definido
- Esferas carregadas com cargas elementares
- Tamanho dos íons: Na+: 0,98Ả e Cl-: 1,81Ả
Cristais Iônicos
92
18/08/2016
47
Cálculo da Energia de ligação entre duas esferas vizinhas
2,1
2
21
0
2,1 4
1
r
ezzE •=
piε
121 =−= zz
2,1
2
0
2,1 4
1
r
eE •−=
piε
As outras esferas também devem ser consideradas
CADEIA LINEAR
- + - + - + - ++
a0 d0
12345 2’ 3’ 4’ 5’
∑
∞
=
=++++++=
=
2
1413'12141312 2... '''
k
CLCL EEEEEEEE
Como:
CL
k
CL
r
eE
2
04
1)1( ••−−=
piε
e
041031021 3 2 drdrdr ===
Então:












−+−+−−= ...
5
1
4
1
3
1
2
11
4
2
00
2
d
eECL piε
ln 2
00
2
4 d
eAE CLCL
piε
−= ACL = 2 ln2 = 1,386
Teoria da rede cristalina para cristais iônicos
Cristais Iônicos
93
CADEIA LINEAR
Por comparação, a energia de ligação de um simples íon em uma molécula de dois íons, separado 
por uma distância d0, é:
00
2
4 d
eEMol piε
−=
Logo, ACL é a razão da energia de ligação de um íon na cadeia linear em relação a um íon na 
molécula:
Mol
CL
CL E
EA =
IMPORTANTE: ACL > 1 significa que a situação de um íon na cadeia linear é energeticamente mais 
favorável que em uma molécula de dois íons, embora na cadeia linear, há a repulsão entre cargas.
ENERGIA DE LIGAÇÃO EM UMA REDE TRIDIMENSIONAL?
Teoria da rede cristalina para cristais iônicos
Cristais Iônicos
94
18/08/2016
48
ENERGIA DE LIGAÇÃO EM UMA REDE TRIDIMENSIONAL
Caso dos cristais iônicos CONSTANTE DE MADELUNG
Energia de ligação de um íon na rede, EG é: com i, k = 1...N
Pode-se escrever que: com e A = constante de Madelung
Então a primeira aproximação de EG é:
Fórmula geral para o cálculo da energia da rede em um cristal iônico:
∑
≠
=
ki
ikG EE
∑⋅−=
ik
G
nd
eE 1
4
1
0
2
0piε
∑ = A
nik
1
00
2
4 d
eAEG piε
−=
Significado de A:
Razão entre a energia de 
ligação do íon na rede 
cristalina e a energia de 
ligação do íon na molécula
N
d
ezzAEG
00
2
21
4piε
−=
Teoria da rede cristalina para cristais iônicos
Cristais Iônicos
95
ENERGIA DE LIGAÇÃO EM UMA REDE TRIDIMENSIONAL
Constante de Madelung de vários cerâmicos:
Tipo Estrutura Nome Valor de A
AX NaCl Cloreto de sódio 1,748
CsCl Cloreto de césio 1,763
ZnS Blenda de zinco 1,638
ZnS Wurtzita 1,641
AX2 CaF2 Fluorita 5,03
A2X3 Al2O3 Corindum 25,0
• Os valores de A para a estrutura AX não são 
muito maiores que 1;
• Diferença no tipo de estrutura AX difere muito 
pouco os valores de A;
• A ligação mais forte é da estrutura do corindum
Material Eteorica (kJ/mol) Eexperimental (kJ/mol) ∆E/ Eteorica
NaCl 858 766 - 0,11
CsCl 687 649 - 0,05
• Os valores medidossão 
menores que os valores teóricos
• A diferença pode ser explicada 
pelo potencial de repulsão
Verificação experimental da energia de ligação calculada
Teoria da rede cristalina para cristais iônicos
Cristais Iônicos
96
18/08/2016
49
⇒ Os compostos cerâmicos mais simples possuem igual número de átomos
metálicos e não-metálicos. Podem ser iônicos como o MgO (Mg+2, O-2), ou
covalentes como o ZnS.
NC
Três formas principais: CsCl 8
NaCl 6
ZnS 4
Estruturas do tipo AX
Cristais Iônicos
97
Tipo CsCl
⇒ Cada átomo A tem 
oito vizinhos X
rCs+ = 1,69 Å 
RCl- = 1,81Å 
NC = 8
r/R=0,92
Estruturas do tipo AX
Cristais Iônicos
98
18/08/2016
50
Tipo CsCl
Dc = 2 (R+r)
Os íons se tocam pela diagonal do cubo
ao= 2(r+R)
31/2
Estruturas do tipo AX
Cristais Iônicos
99
Tipo NaCl
⇒ Cada átomo A tem 
seis vizinhos intersticiais
rNa+= 1,02 Å 
RCl- = 1,81Å 
NC = 6
r/R=0,56
Exemplos: MgO, MnS, LiF, FeO
Na
Cl
Estruturas do tipo AX
Cristais Iônicos
100
18/08/2016
51
Tipo NaCl
Os íons se tocam pela aresta do cubo.
ao= 2(r+R)
Estruturas do tipo AX
Cristais Iônicos
101
Tipo ZnS
⇒ Os cátions ocupam 4 das 8 posições 
intersticiais tetraedrais possíveis.
rZn+= 0,74 Å 
RS- = 1,84Å 
NC = 4
r/R=0,40
Exemplos: 
BeO
Estruturas do tipo AX
Cristais Iônicos
102
18/08/2016
52
Tipo ZnS
Dc = 4 (R+r)
Os íons se tocam pela diagonal do cubo
ao= 4(r+R)
31/2
Estruturas do tipo AX
Cristais Iônicos
103
Tipo NiAs
Estrutura hexagonal com seis interstícios com Ni+2
Estruturas do tipo AX
Cristais Iônicos
104
18/08/2016
53
⇒ Relação de 1 cátion para 2 ânion
⇒ Estrutura cubica de face centrada
⇒ 8 interstícios octaédricos ocupados
Estruturas do tipo AnXm
Ex: estruturas AX2 ou A2X3
Tipo AX2
Exemplos: UO2, PuO2, ThO2
CaF2
Exemplo: UO2, interstícios octaedrais disponíveis combustível nuclear produtos de fissão 
acomodados nas posições vazias.
Cristais Iônicos
105
Exemplo: ZrO2
Tipo AX2
Estruturas do tipo AnXm
Cristais Iônicos
106
18/08/2016
54
Exemplo: Pirita
Tipo AX2
FeS2
Fe
S
Estruturas do tipo AnXm
Cristais Iônicos
107
Exemplo: Al2O3
Tipo A2X3
Mantém neutralidade 
elétrica devido a valência
Estruturas do tipo AnXm
Cristais Iônicos
2/3 dos 
interstícios 
octaédricos
ocupados por 
Al3+
108
18/08/2016
55
Tipo BaTiO3
⇒⇒⇒⇒ Óxido duplo com dois cátions
⇒⇒⇒⇒ Estrutura mais complexa devido a 
presença de mais um átomo
Estrutura da Perovskita
Exemplos: CaTiO3, SrZnO3, SrSnO3, Ferritas e Espinélios
Estruturas do tipo AnXm
Cristais Iônicos
109
Tipo MgAl2O4
Estrutura do Espinélio
A ⇒ metal valência +2
B ⇒ metal valência +3
O ⇒ forma rede CFC
A ⇒ interstício octaédrico
B ⇒ interstício tetraédrico
Estruturas do tipo AnBmXP
Cristais Iônicos
Sítio A: um metal 
com 4 oxigênios 
vizinhos. Sítio 
tetraedral
Sítio B: um metal com 6 O 
vizinhos. Sítio Octaedral
Uso: materiais magnéticos não metálicos em 
aplicações eletrônicas
110
18/08/2016
56
Exemplo 1: Calcule a densidade e o fator de empacotamento do MgO, sabendo-se que MMg é 24,31 g/mol e 
do MO é 15,99 g/mol.
ρρρρ= m/V
Massa cél. unit.= 4Mg+2 + 4O-2 ⇒⇒⇒⇒ (4.MMg+ 4. MO)/6,02.1023 íons= 26,78 . 10-23 g
Volume da célula unitária = a03 = 0,0621 . 10-27m3
ρρρρ= 26,78 . 10-23 g/ 0,0621 . 10-27 m3 = 4,31 . 106 g/m3 ou 4,31 g/cm3
FE = Víons/Vcél. Unit.
Vol íons cél. unit.= 4VMg+2 + 4VO-2 ⇒⇒⇒⇒ (4. 4/3pipipipi r3 + 4. 4/3pipipipi R3 )= 0,0433 . 10-29 m3
Volume da célula unitária = a03 = 0,0621 . 10-27 m3
FE = 0,0433 . 10-29 m3 / 0,0621 . 10-27 m3 = 69,8%
Solução: ρρρρ= m/V FE = Víons/Vcél. Unit. ao=?
rMg+2= 0,066 nm RO-2 = 0,132 nm
rMg+2/ RO-2 = 0,5 ⇒⇒⇒⇒ NC=6 CFC tipo NaCl
ao=(2 RO-2 + 2 rMg+2 ) = 0,396 nm
Cristais Iônicos
111
C
⇒ Ocupação dos interstícios ~ ZnS
⇒ Totalmente covalente
⇒ Forma metaestável
Exemplos: Ge, Si, Pb
Estruturas do Diamante
Cristais Covalentes
C
112
18/08/2016
57
Dc = 8r
Os átomos se tocam pela diagonal 
do cubo
ao= 8r
31/2
Estruturas do Diamante
Cristais Covalentes
113
Solução:
ρρρρ = m/V
Massa cél. unit.= 8 C ⇒ 8 x 12/6,02.1023 = 15,95 . 10-23 g
Volume da célula unitária: ao3 ao= 8 r / 3 0,5 r = 0,077 nm
ao= 8 . 0,077 nm / 3 0,5 = 0,356 nm
a03 = 0,0451 . 10-27m3
ρ = 15,95 . 10-23 g / 0,0451 . 10-27 m3 = 3,54 . 106 g/m3 ou 3,54 g/cm3
Exemplo 2: Calcule a densidade do Diamante.
Estruturas do Diamante
Cristais Covalentes
114
18/08/2016
58
⇒ Tipicamente: amorfos (ordem a 
curto alcance)
⇒ Sob condições especiais: estrutura cristalina.
Ex.: polietileno ⇒ estrutura ortorrômbica
Polímeros
115
116
X-Ray Diffraction
Redes de difração devem ter espaçamentos comparáveis ao comprimento de onda da radiação difratada. 
Não pode resolver espaçamentos < λ
Espaçamento (d) é a distância entre planos paralelos. 
Difração de Raios X
Espectro de radiação eletromagnética
Frequência (HZ)
18/08/2016
59
A luz visível tem comprimento de onda da ordem de 1000 nm – ranhuras em um vidro. 
Na estrutura cristalina:
• Interação do fóton com o orbital de 
elétrons.
• O empilhamento de átomos tem a 
mesma função que as ranhuras da 
figura ao lado.
Difração de Raios X
117
O FENÔMENO DA DIFRAÇÃO:
Quando um feixe de raios x é dirigido à um material cristalino, esses raios são difratados pelos planos dos 
átomos ou íons dentro do cristal
• T= fonte de raios X
• S= amostra
• C= detector
• O= eixo no qual a amostra e o detector 
giram
Detector
Fonte
O DIFRATÔMETRO:
Difração de Raios X
118
18/08/2016
60
• Para que ocorra a difração, o feixe de raios X precisa estar em fase com os planos do cristal.
• De outra maneira, interferências destrutivas de ondas ocorrem e não é possível detectar um feixe de 
difração intenso.
ABC = nλ
AB = BC = d senθ
Então:
nλ = 2d sen θ
Difração de Raios X
espaçamento
entre 
planos
d
θ
λ
θ
A
B
Cθ θ
Intensidade dos 
Raios X
(a partir do
detector)
θθc
d =
nλ
2 sin θc
Medições do ângulo crítico, qc, permitem a 
obtenção da distância interplanar, d.
Distância extra
viajada
pela onda“2”
119
• Na interferência construtiva, com feixes em fase, a diferença no comprimento da trajetória dos feixes de 
raios X adjacentes é um número inteiro de comprimentos de onda. 
ABC = nλ
AB = BC = d senθ
• Esta relação é dada pela equação de Bragg: 
nλ= 2d sen θ
onde d é o espaçamento atômico e θ é o ângulo de difração com a superfície (2θ = ângulo de difração -
ângulo medido experimentalmente)
d é o espaçamento interplanar – função dos índices de Miller para planos.
Difração de Raios X
120
18/08/2016
61
Distância interplanar (exemplos):
Cúbico
Dhkl= ao/(h2+k2+l2)0,5
Hexagonal
Dhkl= ao/[4/3(h2+hk+k2)+l2(ao2/co2)]0,5
CS CCC CFC
Difração de Raios X
121
122
(110)
(200)
(211)
z
x
y
a b
c
Anglo de difração (2θ)
Padrões de raios X para o Ferro-a (CCC) 
In
te
n
si
da
de
 
 
re
la
tiv
a
z
x
y
a b
c
z
x
y
a b
c
Difração de Raios X
18/08/2016
62
Exemplo de difração de raios X em um pó de alumínio.
λ = 0,1542 nm (radiação CuKa)
Difração de Raios X
123
Exemplo 1: Uma amostra de ferro CCC foi colocada num difractômetro de raios X incidentes com λ= 
0,1541nm. A difração pelos planos {110} ocorreu para 2θ= 44,704o. Calcule o valor do parâmetro de rede 
do ferro CCC (considere a difração de 1a ordem, com n=1). 
Solução:
d[110]
2θ= 44,704o θ= 22,352oλ= 2.d[hkl] sen θ
d[110]= λ / 2 sen θ = 0,1541nm / 2(sen 22,35o) = 0,2026 nm
ao(Fe)
d[110]= ao / (h2+k2+l2)0,5
ao(Fe)= d[110]= ao / (h2+k2+l2)0,5 = 0,2026nm (1,414) = 0,287 nm
Difração de Raios X
124
18/08/2016
63
125
• Algumas aplicações de engenharia requerem cristais únicos:
• Propriedades de materiais cristalinos são freqüentemente
relacionadas com a estrutura do cristal
Ex: Quartzo fratura mais facilmente ao longo do 
mesmo planos cristalinos do que outros.
- cristal único de diamante abrasivo
- lâmina de turbina
Materiais Monocristalinos
126
• A maioria dos materiais de engenharia são policristalinos.
• Placa de Nb-Hf-W com uma solda feita por feixe de elétrons
• Cada “grão” é um cristal único.
• Se os grãos são orientados aleatoriamente,
as propriedades do material não são direcionais: isotrópico.
• Tamanho de grãos típicos 1 nm a 2 cm
(ex. de poucos até milhões de camadas de átomos).
1 mm
Materiais Policristalinos
Isotrópico
Anisotrópico
18/08/2016
64
127
• Cristal único
-Propriedades variam com a direção: anisotrópico.
-Exemplo: módulo de elasticidade (E) em ferro CCC.
• Policristais
-Propriedades podem ou não variar com a direção.
-Se os grãos são orientados aleatoriamente: 
isotrópico.
(Epoly iron = 210 GPa)
-Se os grãos tem textura,
anisotrópico.
200 mm
Cristal único versus Policristal
E (diagonal) = 273 GPa
E (aresta) = 125 GPa