Aula 2 Estacionariedade de Séries Temporais

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ECONOMETRIA DE 
SÉRIES TEMPORAIS
AULA 2 – ESTACIONARIEDADE DE 
SÉRIES TEMPORAIS
Prof. Ricardo Chaves Lima
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Processo Estocástico
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• Uma série temporal é um conjunto de observações geradas 
sequencialmente no tempo de forma aleatória;
• Assim, dada uma variável aleatória yt, ocorrendo em 
instantes t = 1, 2, ..., n, homogeneamente espaçados no 
tempo, diz-se que y1, y2,..., yn, é uma série temporal;
• Um processo estocástico, portanto, pode ser descrito como 
uma série temporal em que os valores são observados 
aleatoriamente e estão associados a uma distribuição de 
probabilidade;
• Uma série temporal é dita contínua quando é observada 
em tempo contínuo e é dita discreta quando é observada 
em tempo discreto. Na prática, as séries temporais 
utilizadas em trabalhos empíricos são observadas em 
tempos discretos;
Processo Estocástico
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Processo Estocástico
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• Um processo estocástico pode ser classificados como 
estacionários e não estacionários;
• Um processo estocástico é dito estacionário quando suas 
características são invariantes em relação ao tempo. Ou 
seja, suas propriedades não são afetadas por uma 
mudança na origem temporal da série;
• Os processos estacionários são definidos como 
estacionários estritos (ou fortes) e estacionários amplos 
(ou fracos);
• Ou seja, estacionariedade estrita ocorre quando a 
distribuição de probabilidade conjunta da série yt,…,yt+N é 
igual a distribuição de probabilidade conjunta da série 
yt+m,…,yt+N+m;
Processo Estocástico
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• Portanto, em um processo estritamente estacionário, a 
probabilidade conjunta de qualquer grupo de 
observações não deve ser afetada mudando-se a origem 
do tempo de observação em direção ao passado ou ao 
futuro (Box, Jenkins e Reisel, 1994);
• Um processo estocástico pode ser caracterizados como 
estacionários fracos quando satisfazem as seguintes 
condições:
Processo Estocástico
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• Onde E é o operador de esperança, σy a variância, μ a 
média do processo e Cov a cavariância;
• A condição (i) garante que a variância do processo 
estocástico é finita, a condição (ii) que o processo tem 
média constante, a condição (iii) que o processo tem 
variância constante e a condição (iv) que covariância 
covariância entre duas variáveis quaisquer yt e yt-k
depende só do intervalo de tempo que as separa;
Estacionariedade
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• As séries temporais não estacionários são aqueles em 
que as características do processo estocástico variam 
com relação ao tempo;
• Os processos não estacionários podem ser classificados 
como homogêneos e não homogêneos;
• Os processos não estacionários homogêneos são 
aqueles que podem ser transformados em estacionários 
através de processos de diferenciação; 
• Os processos estocásticos não estacionários não 
homogêneos não podem ser transformados em 
estacionários.
Estacionariedade
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Painel superior: série não estacionária,
Painel inferior: série estacionária por diferenciação
Estacionariedade
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• A diferenciação de uma série temporal (Δy) é feita da 
seguinte forma: 
• Onde Δ indica diferença e d o número de vezes que a 
série é diferenciada;
• A nova série obtida Δdyt, diferenciada d vezes, torna-se 
estacionária se a série original não estacionária for 
homogênea; 
• Na prática, d só assume valores 1 e 2; 
Estacionariedade
1
0
Exemplo de Diferenciação
Simulação – AR(1)
1
1
# x(t) = 2 + 1*x(t-1) + e(t)
x <- numeric(100+1)
# input initial values
x[1] <- 1
# set.seed keep same numbers in different simulations
# the number is a choice for multiple simulation
set.seed(123)
for(i in 2:102){
# sample e[1] as normal distribution, with 0 mean, 4 sd, 
# and 1 time for each [i]
e[i] <- rnorm(1,mean = 0, sd = 4)
x[i] <- 2 + 1 * x[i-1] + e[i]
}
x
plot.ts(x)
# differentiate x
dx <- diff(x)
plot.ts(dx)
Simulação – AR(1)
1
2
Propriedades do Processo Estocástico
1
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Media
(Estimativa da média amostral) 
Variância
(Estimativa da variância 
amostral) 
Propriedades do Processo Estocástico
1
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Convariância
(Estimativa da variância
amostral) 
Propriedades do Processo Estocástico
1
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Função de Autocorrelação
(Estimativa da FAC 
amostrall) 
Raiz Unitária e Equações Características
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• Seja um processo AR(p) do tipo,
yt = Φ1yt-1 +Φ2yt-2 + …+ Φpyt-p + εt
• Para saber se yt é estacionário, deve-se examinar as 
raízes da sua equação características;
(1 – Φ1L - Φ2L
2 - …- ΦpL
p) yt = εt
• Substituindo L por uma variável qualquer z e 
igualando o polinômio a zero, tem-se:
Note: L é um operador de defasagem (Lyt = yt-1) 
1 – Φ1z – Φ2z
2 - …- Φpz
p = 0
• As p raízes características são os valores de z que 
satisfazem a equação característica;
1
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Apêndice 01 
Condição de Estacionariedade 
para os Processos AR(1) e AR(2)
1
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I. Condição de Estacionariedade para o Processo AR(1) 
(1) Média Finita e Independente do Tempo
yt =ϕ0 + ϕ1yt-1 + εt
yt – ϕ1yt-1 = ϕ0 + εt
(1 – ϕ1L) yt = ϕ0 + εt
yt = ϕ0/(1 – ϕ1L) + [1/(1 – ϕ1L)] εt,
A equação característica é (1 – ϕL) = 0, substituindo 
L por z
1 – ϕz = 0, sendo que z = 1/ϕ, então a condição de 
estacionariedade para o modelo AR(1) é |ϕ1| < 1 e, 
consequentemente, |z| > 1. 
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Condição de Estacionariedade para o Processo AR(1) 
2
0
Condição de Estacionariedade para o Processo AR(1) 
2
1
Condição de Estacionariedade para o Processo AR(1) 
(2) Variância Finita e Independente do Tempo
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2
Condição de Estacionariedade para o Processo AR(1) 
(3) Autocovariância Finita e Independente do Tempo
2
3
Condição de Estacionariedade para o Processo AR(2) 
2
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Condição de Estacionariedade para o Processo AR(2) 
2
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Condição de Estacionariedade para o Processo AR(2)