Aula 11 A FIR e a DV 2

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ECONOMETRIA DE 
SÉRIES TEMPORAIS
AULA 11 – A FUNÇÃO DE IMPULSO RESPOSTA E A 
DECOMPOSIÇÃO DA VARIÂNCIA 
Prof. Ricardo Chaves Lima
1
O Modelo VAR
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A Função de Impulso Resposta
• Da mesma forma que um modelo do tipo autoregressivo pode 
ser representado na forma de média móvel, um modelo do 
tipo VAR também pode ser representado na forma de vetor 
de média móvel (VMA);
• A representação na forma de VMA permite traçar uma 
trajetória temporal dos vários choques a que são submetidas 
as variáveis no modelo VAR;
• Considere o modelo VAR na forma reduzida:
O Modelo VAR
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A Função de Impulso Resposta
• Transformando O VAR em VMA, após infinitas iterações, 
temos:
onde 
• Em forma de matriz, temos:



























it
it
i
i
A
t
t
e
e
aa
aa
z
y
z
y
i
,2
,1
0
2221
1211

O Modelo VAR
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A Função de Impulso Resposta
• Escrevendo-se as sequência dos erros da forma reduzida em 
termos dos erros da forma primitiva, temos:
• O VMA fica:
O Modelo VAR
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A Função de Impulso Resposta
• O VMA pode ser reescrito da seguinte forma:
• Ou, de forma simplificada:
• A representação do modelo VAR na forma VMA é 
especialmente útil para examinar as interações entre as 
sequências {yt} e {zt};
O Modelo VAR
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A Função de Impulso Resposta
• Os coeficientes ϕi podem ser utilizados para gerar os 
impactos dos choques εyt e εyt na trajetória das variáveis {yt} e 
{zt};
• Em um modelo var com duas variáveis, o coeficiente ϕ12(0), 
por exemplo, significa o impacto instantâneo (tempo t = 0), de 
uma unidade de variação do erro da segunda variável (εzt) na 
primeira sequência {yt};
• Da mesma forma, o coeficiente ϕ11(1) significa o impacto 
retardado de um período, de uma unidade de variação do 
erro da primeira variável (εyt) nela mesma {yt}, e assim por 
diante;
• O impacto acumulado dos choques unitários em εyt e εzt
podem ser obtidos pela soma dos coeficientes da função de 
impulso resposta;
O Modelo VAR
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A Função de Impulso Resposta
• Por exemplo, depois de n períodos, o efeito de εzt no valor de 
yt+n é ϕ12(n). O impacto acumulado após n períodos é: 
• Os quatro conjuntos de coeficientes ϕ11(1), ϕ12(1), ϕ21(1), e 
ϕ22(1) são chamados função de impulso resposta;
• Para que se observe os impactos dos choques nos erros do 
sistema primitivo nas sequências {yt} e {zt}, é preciso 
identificar o modelo VAR usando-se decomposição de 
Cholesky (no nosso exemplo b21 = 0), como apresentado 
abaixo;
O Modelo VAR
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A Função de Impulso Resposta
• Ou seja,
e1t = εyt – b12 εzt
e2t = εzt
• Portanto, todo os erros observados da sequência e2t são 
atribuídos a choques em εzt ;
• Dado que conhecemos os valores de εzt por e2t, conhecemos 
e1t e o coeficiente de correlação entre e1t e e1t (b12), podemos 
calcular a sequência εyt;
O Modelo VAR
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A Função de Impulso Resposta: Exemplo
• Seja o modelo VAR abaixo, 
)(7,02,0
)8,0(2,07,0
Portanto,
8,0
onde
7,02,0
2,07,0
11
11
2
1
2
1
1
1
ztttt
ytztttt
ztt
ytztt
t
t
t
t
t
t
zyz
zyy
e
e
e
e
z
y
z
y




































O Modelo VAR
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0
A Função de Impulso Resposta: Exemplo
• Dando-se um choque εzt=1 e mantendo-se εyt=0, no tempo 
t = 0, os impactos em yt e zt são dados pela FIR. Para 20 
períodos à frente, tem-se;
tempo yt zt
t 0,80 1,00
t+1 0,76 0,86
t+2 0,70 0,75
t+3 0,64 0,67
t+4 0,58 0,60
t+5 0,53 0,53
t+6 0,48 0,48
t+7 0,43 0,43
t+8 0,39 0,39
t+9 0,35 0,35
t+10 0,31 0,31
t+11 0,28 0,28
t+12 0,25 0,25
0,000	
0,200	
0,400	
0,600	
0,800	
1,000	
1,200	
1	 2	 3	 4	 5	 6	 7	 8	 9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	
yt	
zt	
O Modelo VAR
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1
A Decomposição da Variância
• Considerando que o modelo VAR é superparametrizado, 
esses não são úteis para a realização de previsão de longo 
prazo;
• No entanto, o entendimento das propriedades dos erros de 
previsão é de grande utilidade para examinar inter-relações 
entre variáveis no sistema;
• A decomposição da variância indica quanto da variação em 
uma série é devido a choques da própria série (auto-
choques), ou devido a choques de outras sequências;
• Supondo que conhecemos A0 e A1, e queremos prever 
valores de xt+i condicional aos valores observados de xt;
O Modelo VAR
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A Decomposição da Variância
• Considere o modelo em forma de VMA;
• Para previsão n-passos à frente temos;
• O erro de previsão n-passos à frente é dado por;
O Modelo VAR
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A Decomposição da Variância
• Desenvolvendo somente para a sequência yt, temos,
• A variância do erro é dada por,
• Lembrando que E(ε2) = σ2 e E(εiεj)=0 para todo i ≠ j, temos,
+
O Modelo VAR
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A Decomposição da Variância
• Note que é possível decompor o erro da previsão n-passos 
à frente em proporções devido a cada choque;
• As proporções de devido a choques em {εyt} e {εzt} 
são,
• A mesma decomposição pode ser feita para a sequência 
{zt};
O Modelo VAR
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A Decomposição da Variância
• Portanto, a decomposição da variância é: a proporção dos 
movimentos nas variáveis em um modelo VAR devido a 
auto choques e choques em outras variáveis.