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4. Retas 4.1 Equações da reta Equação cartesiana na forma reduzida: baxy onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. Equação cartesiana na forma ).( 00 xxmyy , onde AB AB xx yy m e ) ,() ,( 00 AA yxyx ou ) ,() ,( 00 BB yxyx . Equação cartesiana na forma geral: 0 cbyax Equação vetorial: )direçãovetor ()posiçãovetor ()( ttr , Rt Para retas em R2: ),.(),()( BBAA yxtyxtr Para retas em R3: ),,.(),,()( BBBAAA zyxtzyxtr Equações paramétricas da reta: Retas no R2: BA BA ytyy xtxx . . Retas no R3: BA BA BA ztzz ytyy xtxx . . . 4.2 Ângulo entre retas, paralelismo e perpendicularismo Ângulo entre duas retas: ||.|| |.| cos vu vu , com 2 0 Retas ortogonais: 0. 2121 vvrr onde 1v e 2v são as direções de 1r e 2r , respectivamente. Se 1r e 2r são concorrentes, então 1r e 2r são perpendiculares. Obs.: Duas retas são concorrentes quando há um ponto de intersecção entre elas. Retas paralelas: Duas retas são paralelas quando o ângulo entre elas é igual a 0. Intersecção de retas: Duas retas r1 e r2 possuem intersecção caso haja um ponto P comum às duas retas. 1. Sabendo que a equação reduzida da reta r é y=ax+b, encontre a equação da reta que passa pelos pontos A=(3, 1) e B=(4, 3). Resolução: A figura a seguir apresenta os pontos A e B. Um modo bastante prático de encontrarmos a equação da reta r que passa pelos pontos A e B é substituirmos as coordenadas de cada um desses pontos na equação y=ax+b. Com isso podemos obter os coeficientes a e b da equação da reta. Vamos considerar, inicialmente, o ponto A=(3, 1). Para esse ponto, temos x=3 e y=1. Precisamos, agora, substituir os valores de x e y na equação y=ax+b: 1=a.3+b Multiplicando a por 3, temos 1=3a+b ou, equivalentemente, 3a+b=1 que é a primeira equação. Como temos uma equação e duas variáveis, precisamos de mais uma equação para determinarmos os valores de a e b. A segunda equação pode ser obtida substituindo as coordenadas do ponto B=(4, 3) na equação y=ax+b. Nesse caso, x é igual a 4 e y é igual a 3. Portanto 3=a.4+b Fazendo a.4 igual a 4a, temos 3=4a +b que corresponde a 4a +b=3 Como temos duas variáveis e duas equações, podemos encontrar os valores de a e b. Vamos resolver o sistema 34 13 ba ba . Temos alguns métodos destinados à resolução de sistemas lineares. Dentre esses métodos, vamos utilizar o método da adição. Relembrando, o método da adição consiste em multiplicarmos as duas equações por números convenientes de modo que, somando as duas equações, possamos obter uma nova equação com apenas uma variável. Calculando o valor dessa variável, basta substituí-la em uma das duas equações originais para que possamos obter o valor da outra variável. Em particular, no caso do sistema 34 13 ba ba podemos multiplicar a primeira equação por -1. Essa multiplicação faz com que, ao somarmos as duas equações, seja possível obtermos uma nova equação contendo agora apenas a variável a. Veja como é fácil! 34 )1( x 13 ba ba Multiplicando cada termo da primeira equação por (-1), temos 34 13 ba ba Agora podemos somar, termo a termo, as duas equações, ou seja, vamos calcular os valores de -3a+4a, -b+b e -1+3. Sendo assim, temos 20 34 13 a ba ba Como a+0=2, temos que a=2 Como já temos o valor de a, podemos calcular o valor de b substituindo esse valor em uma das duas equações. A escolha é feita de forma aleatória. Vamos substituir a=2 na primeira equação, 3a+b=1, para que possamos calcular o valor de b 3(2)+b=1 Multiplicando 3 por 2, temos 6+b=1 Para obtermos o valor de b, vamos subtrair 6 dos dois membros da equação 6-6+b=1-6 Fazendo 6-6=0 e 1-6=-5, temos 0+b=-5 Como 0+b é igual a b, temos b=-5 Portanto, b=5. Logo, a equação cartesiana da reta, na forma reduzida, que passa pelos pontos A e B corresponde a y=2x-5. 2. Determine a inclinação da reta r de equação y=2x-5. Resolução: Para facilitar a compreensão do exercício, temos a seguir o gráfico da reta y=2x-5. A inclinação da reta r é dada pelo coeficiente angular a, que é igual à tangente do ângulo de inclinação dessa reta. Como a=2, podemos obter a inclinação da reta através da equação 2)(tg donde )2( tgarc o que resulta em 43,63 Portanto, a inclinação da reta r é igual a 63,43°. Relembrando, o valor do arco tangente de 2 é obtido facilmente com o uso de uma calculadora científica. 3. Verifique se o ponto P=(1, -3) pertence à reta r definida por y=2x-5 apresentada no exercício anterior. Resolução: É possível verificarmos se um determinado ponto pertence ou não a uma reta se, ao substituirmos as coordenadas desse ponto na equação da reta, a igualdade seja verificada. No caso do ponto P=(1, -3), basta substituirmos x por 1 e y por -3 na equação y=2x-5. -3=2(1)-5 Multiplicando 2 por 1, temos -3=2-5 Subtraindo -5 de 2, temos -3=-3 Como a igualdade se verifica, podemos afirmar que o ponto P=(1, -3) pertence à reta de equação y=2x-5. O gráfico a seguir ilustra o fato. 4. Considere a reta r dos Exercícios 1 e 2 cuja equação é y=2x-5. Verifique se o ponto Q=(2, 6) pertence à reta r. Resolução: Vamos substituir as coordenadas do ponto Q na equação y=2x-5. Nesse caso, x é igual a 2 e y é igual a 6. 6=2(2)-5 Efetuando a multiplicação de 2 por 2 6=4-5 Vamos agora subtrair -5 de 4 6=-1 Observe que a igualdade não se verifica, pois 6 não é igual a -1. Por isso é possível concluir que o ponto Q=(2, 6) não pertence à reta r. A figura a seguir apresenta a localização do ponto Q e da reta r no sistema de eixos coordenados. 5. Qual é o ponto de intersecção da reta r de equação y=2x-5 com o eixo y. Resolução: O ponto de intersecção da reta r com o eixo y ocorre quando x é igual a 0. Nesse caso, vamos substituir x por 0 na equação y=2x-5. y=2(0)-5 O próximo passo é multiplicarmos 2 por 0 y=0-5 Vamos calcular o valor de 0-5, o que corresponde a -5 y=-5 Portanto o ponto de intersecção procurado tem coordenadas (0, -5). Vamos chamar esse ponto de A, ou seja, A=(0, -5). Note que, quando x é igual a 0, o valor de y coincide com o valor de b da equação y=ax+b. No nosso caso, tanto b quanto y são iguais a -5. O gráfico abaixo ilustra esse fato. 6. Considere a reta 123 xy . Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear dessa reta. Resolução: O coeficiente angular corresponde ao escalar que multiplica x. Logo, esse coeficiente é igual a 3. Podemos dizer, então, que 3a . Em relação ao coeficiente linear, temos 12b . Veja o gráfico a seguir. Observe que a reta de equação y=3x+12 corta o eixo-y no ponto onde x é igual a 0 e y é igual a 12. Para representarmos graficamente a reta, atribuímos dois valores aleatórios para a variável x e em seguida calculamos os valores de y substituindoesses valores na expressão 123 xy . 7. Utilizando a expressão ).( 00 xxmyy , determine a equação da reta s que passa pelos pontos A=(2, 5) e B=(4, 3). Resolução: Abaixo temos a representação gráfica dos pontos A e B. O primeiro passo é determinarmos o valor de m. Para isso, vamos utilizar a fórmula AB AB xx yy m . Os pontos A=(2, 5) e B=(4, 3) serão necessários para que possamos calcular o valor de m. Os valores de xA e de yA correspondem, respectivamente, a 2 e 5 e os valores de xB e de yB correspondem, respectivamente, a 4 e 3. Substituindo xA, yA, xB e y, na expressão AB AB xx yy m temos 24 53 m Vamos calcular os valores de 3-5 e 4-2, o que resulta em 2 2 m Finalmente, dividindo -2 por 2, temos 1m Com isso, podemos afirmar que o coeficiente angular da reta s é igual a -1. Agora que temos o valor de m, para encontrarmos a equação da reta s, precisamos definir os valores de x0 e de y0. Como x0 e y0 precisam ser pontos sobre a reta, podemos considerar tanto o ponto A quanto o ponto B. Vamos escolher o ponto A=(2, 5). Sendo assim, x0=2 e y0=5. Como já sabemos os valores de m, x0 e y0, podemos encontrar a equação da reta s substituindo esses valores na expressão ).( 00 xxmyy . Vamos então substituir m por -1, x0 por 2 e y0 por 5. )2.(15 xy Aplicando a propriedade distributiva, vamos multiplicar -1 por x e também -1 por 2, o que resulta em 25 xy Para que possamos isolar y, vamos somar 5 nos dois membros da igualdade 5255 xy O que resulta em 70 xy Como y+0 é igual a y, temos 7 xy Sendo assim, a equação da reta s é dada por 7 xy . A figura a seguir ilustra a reta s. 8. Considere a reta t representada na figura abaixo. Com base nas informações apresentadas, escreva a equação reduzida da reta t. Resolução: Note que nesse caso temos a inclinação da reta t em relação ao eixo x e o ponto de intersecção da reta com o eixo y. Sabemos que a equação reduzida de uma reta corresponde a baxy onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. Sendo assim, conhecendo os valores de a e de b podemos encontrar a equação desejada. O coeficiente angular a corresponde à inclinação da reta t com o eixo x. Sabemos que essa inclinação é igual a 30°. Como 30tga e como 3 3 30tg temos que 3 3 a . O coeficiente linear b é igual a 4, pois esse é o valor de y no ponto de intersecção da reta t com o eixo y. Como já temos os valores de a e de b, podemos escrever a equação reduzida da reta t como sendo 4 3 3 xy . 9. Considere a reta t apresentada no exercício anterior. Encontre a equação reduzida de t utilizando a expressão ).( 00 xxmyy . Resolução: Para que possamos determinar a equação reduzida da reta t, precisamos do coeficiente angular m e de um ponto qualquer ) ,( 00 yx . Observe que 30tgam , ou seja, 3 3 m , pois 3 3 30tg . O ponto ) ,( 00 yx pode ser o ponto )4 ,0( , o que corresponde à intersecção da reta t com o eixo y, pois quando x=0, temos que y=4. Substituindo m por 3 3 , x0 por 0 e y0 por 4 na expressão ).( 00 xxmyy temos )0.( 3 3 4 xy Vamos aplicar a propriedade distributiva para resolvermos a expressão )0.( 3 3 x . Basta multiplicarmos 3 3 por x e multiplicarmos 3 3 por 0. Fazendo isso, temos 0 3 3 4 xy donde xy 3 3 4 Vamos agora somar 4 nos dois membros da igualdade para que possamos isolar y no primeiro membro. 4 3 3 44 xy Como -4+4 é igual a 0 e y-0 é igual a y, temos 4 3 3 xy que é a equação reduzida da reta t. 10. Seja a reta r definida pela equação reduzida 115 xy . Escreva a equação de r no formato geral. Resolução: A forma geral da equação da reta é dada por 0 cbyax . Considerando a equação 115 xy , vamos fazer algumas operações simples para escrevermos a equação reduzida na forma geral. Inicialmente, vamos adicionar -5x nos dois membros da equação reduzida 11555 xxyx Como -5x+5x é igual a 0, temos 1105 yx que corresponde a 115 yx O próximo passo é adicionar -11 nos dois membros 1111115 yx donde 0115 yx Logo, a equação no formato geral da reta r é igual a 0115 yx . É importante ressaltar que podemos ter diversas equações distintas, mas equivalentes entre si, na forma geral, para uma mesma reta. 11. Determine uma equação vetorial da reta r que passa pelos pontos M=(2, 4) e N=(5, 3). Resolução: A figura a seguir apresenta os pontos M e N. Utilizando os pontos M e N, precisamos definir um vetor posição e um vetor direção para podermos encontrar uma equação vetorial da reta r. Temos diferentes possibilidades de escolhas. Vamos fazer )4 ,2(OM o vetor posição e MN o vetor direção. Para encontrarmos as componentes de MN , vamos fazer )4 ,2()3 ,5( MN . Subtraindo as respectivas componentes, temos )43 ,25( MN Logo )1 ,3( MN Como a equação vetorial de r corresponde a )direçãovetor ()posiçãovetor ()( ttr temos )1- 3,()4 ,2()( ttr onde Rt . Na imagem a seguir, temos a representação dos vetores OM e MN e também da reta r. 12. Encontre uma equação vetorial para a reta r passando pelos pontos A=(1, 2, 1) e B=(2, 3, 3). Resolução: Podemos visualizar os pontos A e B na figura a seguir. Para escrevermos uma equação vetorial para a reta r, precisamos de um vetor posição e de um vetor direção. Temos várias possibilidades de definirmos esses vetores. Podemos considerar o vetor OA como sendo o vetor posição e o vetor AB como sendo o vetor direção. Note que o vetor OA corresponde à tripla ordenada (1, 2, 1). Em relação ao vetor AB , suas componentes correspondem a (2, 3, 3)-(1, 2, 1). As componentes de AB correspondem a (2-1, 3-2, 3-1) Logo )2 ,1 ,1(AB Agora que já temos um vetor posição e um vetor direção, podemos obter a equação vetorial de r. Sabemos que )direçãovetor ()posiçãovetor ()( ttr Sendo assim )2 1, 1,()1 ,2 ,1()( ttr com Rt . A figura abaixo apresenta os vetores OA e AB e a reta r. 13. Considere o Exercício 11. Obtenha as equações paramétricas da reta r. Resolução: A partir dos pontos M=(2, 4) e N=(5, 3), obtivemos a equação vetorial )1- 3,()4 ,2()( ttr . Tendo a equação vetorial, facilmente podemos obter as equações paramétricas da reta r. Como r está no R2, as equações paramétricas são BA BA ytyy xtxx . . onde ) ,( AA yx é o vetor posição e ) ,( BB yx é o vetor direção. Como )(tr é um vetor da forma ) ,( yx , ou seja, ) ,()( yxtr , podemos obter as equações paramétricas através da substituição de xA por 2, yA por 4, xB por 3 e yB por -1 nas equações BA BA ytyy xtxx . . Sendo assim, temos )1.(4 3.2 ty tx ou, equivalentemente, ty tx 4 32 que são as equações paramétricas de r. 14. Determine o ângulo entre as retas r1 e r2 de equações tz ty tx r 32 41 23 :1 e tz ty tx r 4 52 31 :2 Resolução: Os vetores diretores de r1 e r2 são, respectivamente, )3 ,4 ,2( u e )1 ,5 ,3(v . Para determinarmos qual é o ângulo entre as retas r1 e r2 vamos utilizar esses vetores. Sabemos que o ângulo pode ser calculado através da relação ||.|| |.| cos vu vu Vamos substituir os vetores u e v por )3 ,4 ,2( e )1 ,5 ,3( . Logo |)1 ,5 ,3(|.|)3 ,4 ,2(| |)1 ,5 ,3).(3 ,4 ,2(| cos Relembrando, 212121. zzyyxxvu e 222|| zyxv . Sendo assim 222222 153.)3(42 |x1)3(x543x2| cos Efetuando as multiplicações do numerador e as potências do denominador, temos 1259.9164 |)3(206| cos Vamos agora calcular as somas que aparecem no numerador e no denominador 35.29 |23| cos Multiplicando as raízes de 29 e de 35 e calculando o módulo de 23, temos 1015 23 cos O próximo passo é calcularmos a raiz quadrada de 1015, donde 8591,31 23 cos que resulta em 7219,0cos Para calcularmos o valor de , vamos utilizar a função arco cosseno que pode ser facilmente encontrada em uma calculadora científica. Vamos usar a calculadora: Assim como no cálculo do arco tangente, para calcularmos o arco cosseno (arc cos), vamos utilizar uma calculadora científica. Precisaremos utilizar as teclas e . Vamos digitar o valor do cosseno de . Nesse caso, 0,7219. Depois precisamos pressionar a tecla [SHIFT] e em seguida a tecla [cos-1]. Em alguns outros modelos, primeiro pressionamos a tecla [SHIFT], em seguida a tecla [cos-1] e depois digitamos o valor 0,7219. Veja como é simples: 1° Caso: [0,7219] [SHIFT] [cos-1] 2° Caso: [SHIFT] [cos-1] [0,7219] [=] Logo 7219,0cos arc que resulta em 43,7884 Portanto, o ângulo entre as retas r1 e r2 é igual a 43,7884°. É importante ressaltar que utilizamos quatro casas decimais nos cálculos realizados. Se utilizarmos mais casas decimais, pode haver uma pequena diferença no resultado obtido. Essa diferença é matematicamente aceitável e conhecida como erro de arredondamento. 15. Mostre que as retas r e s dadas por tz ty tx r 31 4 21 : e tz y tx s 21 5 32 : são ortogonais. Resolução: A ortogonalidade entre duas retas pode ser mostrada facilmente. Basta calcularmos o produto interno entre os vetores direção u e v das retas r e s. Se vu . for igual a 0, as retas r e s são ortogonais. Em particular, )3 ,1 ,2(u e )2 ,0 ,3( v . Vamos calcular o produto vu . . )2 ,0 ,3).(3 ,1 ,2(. vu Como já sabemos, o produto interno é dado pela soma do produto das respectivas componentes de cada vetor, ou seja )2(x30x13x2. vu Efetuando as devidas multiplicações, temos 606. vu Agora vamos somar 6+0-6, o que resulta em 0. vu Como o produto interno vu . foi igual a 0, as retas r e s são ortogonais. Uma outra alternativa para mostrarmos a ortogonalidade de r e s é calcularmos o ângulo formado entre as retas r e s utilizando a relação ||.|| |.| cos vu vu . Se o ângulo for igual a 90°, as retas são ortogonais. 16. Considere as retas g e h definidas pelas equações vetoriais g=(1, 9, 6)+t.(3, -2, 4) e h=(0, 3, -5)+t.(-6, 4, -8). Mostre que g e h são paralelas. Resolução: Vamos utilizar a relação ||.|| |.| cos vu vu para podermos mostrar que as retas g e h são paralelas. Para isso, basta mostrarmos que o ângulo formado entre elas é igual a 0°. Os vetores direção de g e h são, respectivamente, )4 ,2 ,3( u e )8 ,4 ,6( v . Inicialmente precisamos substituir os vetores u e v por )4 ,2 ,3( e )8 ,4 ,6( . Fazendo isso, temos |)8 ,4 ,6(|.|)4 ,2 ,3(| |)8 ,4 ,6).(4 ,2 ,3(| cos Como 212121. zzyyxxvu e 222|| zyxv , temos 222222 )8(4)6(.4)2(3 |x(-8)4x4)2()6(x3| cos Efetuando as multiplicações do numerador e as potências do denominador, temos 641636.1649 |)32()8(18| cos Vamos agora calcular as somas que figuram no numerador e no denominador, o que resulta em 116.29 |58| cos Agora precisamos calcular o módulo de -58, que é igual a 58 e também a multiplicação das raízes de 29 e de 116 3364 58 cos Calculando a raiz de 3364, temos 58 58 cos que resulta em 1cos Sabemos que 10cos . Logo 0 Portanto, as retas r1 e r2 são paralelas, pois o ângulo entre elas é igual a 0°. 17. Sejam as retas tz ty tx w 23 33 52 : e hz hy hx s 41 23 21 : Verifique se w e s são concorrentes. Em caso afirmativo, determine o ponto P de intersecção dessas retas. Resolução: Duas retas são concorrentes quando há um ponto de intersecção entre elas. Caso haja um ponto de intersecção entre as retas w e s, então existe um valor de h e um valor de t tal que as equações paramétricas de w e de s podem ser igualadas em relação aos termos x, y e z. Veja como é simples! ht ht ht 4123 2333 2152 Os termos que possuem as variáveis t e h devem estar no primeiro membro e os termos independentes no segundo membro 3142 3323 2125 ht ht ht que corresponde a 442 023 125 ht ht ht Agora precisamos resolver esse sistema de equações lineares. Note que temos três equações e duas variáveis. Sistemas assim são chamados de sistemas sobredeterminados. Uma maneira de verificarmos se há uma solução para esse sistema é resolvermos, por exemplo, as duas primeiras equações e, em seguida, verificarmos se a solução obtida satisfaz a terceira equação. Considerando apenas as duas primeiras equações, temos 023 125 ht ht Para podermos resolver o sistema pelo método da adição, vamos multiplicar a segunda equação por -1 )1( x023 125 ht ht o que resulta em 023 125 ht ht Vamos agora somar os termos correspondentes dessas equações 102 023 125 t ht ht Para resolvermos a equação 102 t vamos somar 2t com 0 12 t Para que possamos obter o valor de t, precisamos agora dividir os dois termos da equação por 2 2 1 2 2 t donde 2 1 t ou, na forma decimal, t=-0,5. Vamos agora encontrar o valor de h. Para que possamos encontrar o valor de h, vamos substituir t=-0,5 em uma das duas equações do sistema que acabamos de resolver. A escolha é feita aleatoriamente. Substituindo t por -0,5 na equação 125 ht temos 12)5,0(5 h Multiplicando 5 por -0,5, temos 125,2 h Vamos agora somar 2,5 nos dois membros 5,2125,25,2 h o que resulta em5,120 h que é igual a 5,12 h Dividindo os dois membros por -2, temos 2 5,1 2 2 h Dividindo -2 por -2 e 1,5 por -2, temos 75,0h Agora que já calculamos os valores de t e de h, precisamos verificar se esses valores também satisfazem a terceira equação do sistema original. Para isso, vamos substituir os valores de t e de h na equação 442 ht Como t=-0,5 e h=-0,75, temos 4)75,0(4)5,0(2 Multiplicando 2 por -0,5 e 4 por -0,75, temos 431 Somando -1 com -3 44 Como a igualdade se verificou, t=-0,5 e h=-0,75 correspondem à solução do sistema 442 023 125 ht ht ht Nesse caso, podemos concluir então que as retas w e s são concorrentes. Vamos agora determinar as coordenadas do ponto de intersecção dessas retas. As coordenadas do ponto de intersecção podem ser obtidas com a substituição de t nas equações paramétricas de w ou com a substituição de h nas equações paramétricas de s. A escolha é aleatória. Vamos substituir t=-0,5 nas equações de w )5,0(23 )5,0(33 )5,0(52 z y x Multiplicando os respectivos valores, temos 13 )5,1(3 )5,2(2 z y x O próximo passo é realizar a somas indicadas 2 5,1 5,0 z y x Logo, o ponto de intersecção das retas w e s corresponde a P=(-0,5, 1,5, 2).
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