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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 25 A tabela de integração desenvolvida pelo pesquisador A. N. Vereshchagin fornece equações que geram resultados numericamente iguais aos obtidos no processo de integração. Esta tabela é apresentada a seguir como tabelas 3a e 3b. Tabela 3a: equações que representam o valor da integral do produto entre o diagrama de momento fletor real (M) e o diagrama de momento fletor virtual (Mu) 1/2.L.M.Mub 1/2.L.M.Mua 1/2.L.M.(Mua+ Mub) 1/2.L.M.(Mua+ Mub) 1/3.L.Mb.Mub 1/6.L.Mb.Mua 1/6.L.Mb.(Mua+2Mub) 1/6.L.Mb.(Mua+2Mub) 1/6.L.Ma.Mub 1/3.L.Ma.Mua 1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub) 1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub) 1/6.L.(Ma+2Mb).Mub 1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ Mb.(Mua+2Mub)] 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ Mb.(Mua+2Mub)] 1/6.L.(Ma+2Mb).Mub 1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ Mb.(Mua+2Mub)] 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ Mb.(Mua+2Mub)] 1/3.L.Mm.Mub 1/3.L.Mm.Mua 1/3.L.Mm.(Mua+ Mub) 1/3.L.Mm.(Mua+ Mub) # # 1/6.L.(Ma - 2Mb).Mub 1/6.L.(2Ma - Mb).Mua 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)- Mb.(Mua+2Mub)] 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)- Mb.(Mua+2Mub)] OBS1: Se M e Mu de uma barra tracionarem lados oposto da barra deve ser inserido o sinal de (-) no inicio da equação obtida nas tabelas 3a e 3b. Exemplos: Mub Mua M Mb Ma Ma Mb Ma par. 2º grau Mm Mb Ma Mb Mua Mub Mua Mub # # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb Mb Mub Mb Mub Mb Mub Mb Mub - 1/3.L.Mb.Mub 1/3.L.Mb.Mub 1/3.L.Mb.Mub - 1/3.L.Mb.Mub Mua ou Mub tracionando lado oposto ao do Ma: inserir o sinal de ( - ) no início da equação Inserindo o momento real em kN.m e o comprimento da barra em metros nas equações das tabelas 3a e 3b obtém-se valores expressos kN.m3 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 26 Tabela 3b: equações que representam o valor da integral do produto entre o diagrama de momento fletor real (M) e o diagrama de momento fletor virtual (Mu) ***** ***** L.M.Mu 1/2.L.M.( Mua - Mub) 1/2.L.M.(- Mua + Mub) 1/2.L.Mb.Mu 1/6.L.(Mua - 2Mub).Mb 1/6.L.(-Mua +2Mub).Mb 1/2.L.Ma.Mu 1/6.L.(2Mua - Mub).Ma 1/6.L.(-2Mua + 2Mub).Ma 1/2.L.(Ma+Mb).Mu 1/6.L[Mua.(2Ma+Mb)- Mub.(Ma+2Mb)] 1/6.L[-Mua.(2Ma+Mb)+ Mub.(Ma+2Mb)] 1/2.L.(Ma+Mb).Mu 1/6.L[Mua.(2Ma+Mb)- Mub.(Ma+2Mb)] 1/6.L[-Mua.(2Ma+Mb)+ Mub.(Ma+2Mb)] 2/3.L.Mm.Mu 1/3.L.(Mua - Mub).Mm 1/3.L.(- Mua + Mub).Mm # # 1/2.L.(Ma - Mb).Mu 1/6.L[Mua.(2Ma - Mb)+ Mub(-Ma+2Mb)] 1/6.L[Mua.(-2Ma + Mb)+ Mub(Ma - 2Mb)] # # 1/2.L.(-Ma + Mb).Mu 1/6.L[Mua.(-2Ma + Mb)+ Mub(Ma - 2Mb)] 1/6.L[Mua.(2Ma - Mb)+ Mub(-Ma+2Mb)] OBS: Se M e Mu de uma barra tracionarem lados oposto da barra deve ser inserido o sinal de (-) no inicio da equação obtida nas tabelas 3a e 3b. Exemplos: Mb Mub Mb Mub Mb Mub Mb Mub - 1/3.L.Mb.Mub 1/3.L.Mb.Mub 1/3.L.Mb.Mub - 1/3.L.Mb.Mub M Mb Ma Ma Mm Ma Mb Ma Mu Mua Mub Mub Mua Para os casos: Mua = Mub ; Mua > Mub E Mua < Mub Mb Ma par. 2º grau Mb Mb # # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb # # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb Inserindo o momento real em kN.m e o comprimento da barra em metros nas equações das tabelas 3a e 3b obtém-se valores expressos kN.m3 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 27 Resumo1: Método da Força Virtual Unitária (MFVU): Efeito de forças reais externas Este método é utilizado para calcular um determinado deslocamento de uma seção transversal qualquer de uma estrutura isostática submetida a ação de forças reais externas. Por exemplo, para o pórtico isostático plano submetido à ação das forças reais externas ilustrado na figura 11, a seção transversal C apresenta um deslocamento vertical V e um deslocamento horizontal h devido à ação das forças reais externas. Fig. 11: Pórtico isostático plano deformado devido a ação de forças reais externas. A seguir é apresentando o procedimento para determinar o deslocamento vertical da seção transversal C; Vale ressaltar que o procedimento apresentando a seguir é válido para calcular qualquer tipo de deslocamento de uma seção transversal s de uma estrutura isostática (VIGAS, PÓRTICOS, GRELHAS E TRELIÇAS) sob a ação de forças reais externas; h v Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 28 1º Passo: considera-se a estrutura submetida apenas à ação de uma força virtual unitária externa compatível ao deslocamento a ser determinado, sendo esta força aplicada sobre a seção transversalem questão. Esta força virtual unitária externa compatível é definida consultando a tabela 2; Por exemplo: Ex1: deseja-se calcular o deslocamento horizontal de uma seção s qualquer: Tabela 2: aplica-se uma força unitária virtual horizontal sobre a seção s. Ex2: deseja-se calcular o deslocamento vertical de uma seção s qualquer: Tabela 2: aplica-se uma força unitária virtual vertical sobre a seção s. Para determinar o deslocamento vertical da seção transversal c do pórtico isostático plano aplica-se uma força virtual unitária vertical sobre a seção c; Fig. 11: Estrutura sujeita à ação da força virtual unitária externa OBS1: Para vigas e pórticos planos esboçar o diagrama de momento fletor virtual �̅�, devido EXCLUSIVAMENTE a ação da força virtual unitária; OBS2: Para grelhas esboçar o diagrama de momento fletor virtual �̅� e o diagrama de momento torçor virtual �̅� devido EXCLUSIVAMENTE a ação da força virtual unitária; OBS3: Para treliça NÃO É NECESSÁRIO ESBOÇAR NENHUM DIAGRAMA DE ESFORÇO, basta apenas calcular o esforço normal virtual de cada barra �̅�, devido EXCLUSIVAMENTE a ação da força virtual unitária; �̅� = 𝟏 : força virtual unitária compatível ao tipo de deslocamento que deseja-se determinar �̅� = 𝟏 Esboçar o diagrama de momento virtual: �̅� devido EXCLUSIVAMENTE a ação da força virtual unitária �̅� = 𝟏 s �̅� = 𝟏 s Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 29 2º Passo: considera-se a estrutura submetida apenas à ação das forças reais externas; Fig. 12: Estrutura sujeita à ação de forças reais externas OBS4: Para vigas e pórticos planos esboçar o diagrama de momento fletor real 𝑴 m, devido EXCLUSIVAMENTE a ação das forças reais externas; OBS5: Para grelhas esboçar o diagrama de momento fletor real 𝑴 e o diagrama de momento torçor real 𝑻 devido EXCLUSIVAMENTE a ação das forças reais externas; OBS6: Para treliça NÃO É NECESSÁRIO ESBOÇAR NENHUM DIAGRAMA DE ESFORÇO, basta apenas calcular o esforço normal real de cada barra 𝑵, devido EXCLUSIVAMENTE a ação das forças reais externas; Esboçar o diagrama de momento fletor real: M devido EXCLUSIVAMENTE a ação das forças reais externas Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 30 3º Passo: Calcula-se as propriedades da seção transversal das barras da estrutura: Estas propriedades devem ser expressas utilizando as seguintes unidades: kN e m E e G (Módulo de elasticidade longitudinal e transversal) kN/m2 I e J (Momento de inércia e momento polar de inércia) m4 A (Área da seção transversal das barras) m2 4º Passo: Substituem-se os valores obtidos nos PASSOS 1, 2 e 3 nas expressões a seguir; VIGAS E PÓRTICOS PLANOS USUAIS: de barras de seção e material constantes; Inserir os valores dos momentos virtuais �̅� e dos momentos reais 𝑴 de cada barra obtidos nos PASSOS 1 e 2 na expressão a seguir; 𝜹 = ∑ [ ∫ �̅�𝑴 𝑬. 𝑰 𝟎 𝑳_𝒊 . 𝒅𝒙 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (16) Onde: i = Número da barra_i da estrutura E módulo de elasticidade longitudinal do material em kN/m2 I momento de inércia da seção transversal em m4 GRELHAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; Inserir os valores dos momentos virtuais �̅� ; �̅� e dos momentos reais 𝑴 ; 𝑻 de cada barra obtidos nos PASSOS 1 e 2 na expressão a seguir; 𝜹 = ∑ [ ∫ �̅�𝑴 𝑬. 𝑰 𝟎 𝑳_𝒊 . 𝒅𝒙 + ∫ �̅�𝑻 𝑮 . 𝑱 𝟎 𝒙 𝟎 . 𝒅𝒙] 0 𝑖=1,2,𝑛 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] + �̅�𝑻 𝑮 . 𝑱 . ∫ 𝒅𝒙 𝟎 𝒙=𝑳 𝟎 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 𝜹 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] + �̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑮 . 𝑱 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (estruturas usuais: grelhas)(17) Onde: i = Número da barra_i da estrutura E módulo de elasticidade longitudinal do material em kN/m2 G módulo de elasticidade transversal do material em kN/m2 I momento de inércia da seção transversal em m4 J momento polar de inércia da seção transversal em m4 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 31 TRELIÇAS PLANAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; Inserir os valores dos esforços normais virtuais �̅� e dos esforços normais reais 𝑵 de cada barra obtidos nos PASSOS 1 e 2 na expressão a seguir; 𝜹 = ∑ [ ∫( �̅�𝑵 𝑬. 𝑨 𝟎 𝑳_𝒊 ) . 𝒅𝒙] 0 𝑖=1,2,𝑛 = ∑ [ �̅�𝑵 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑬 . 𝑨 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (18) Onde: i = Número da barra_i da estrutura E módulo de elasticidade longitudinal do material em kN/m2 A área da seção transversal em m2 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 32 Exemplo1: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos: a) a rotação relativa do ponto b; b) o deslocamento horizontal do ponto c; Seção transversal das barras E = 205 GPa; υ = 0,3 Resolução: Expressando EI em: kN.m2 OBS: b = 7 cm; h = 40 cm; Momentode inércia da seção: I = Iz = (tabela 1) = b.h3/12 = 3,7333 . 10- 4 m4 Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 205 . 109 N/m2 = 205 . 106 kN/m2 EI = 205 . 106 kN/m2 . 3,7333 . 10- 4 m4 = 7,6533 . 10 4 kN.m2 Item a) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa no ponto b. =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força momento unitária em b. Caso 3 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ Ma= 0 + Vd . 6,0 + 1,0 = 0 Vd = 1/6 = - 0,167 Vd = 0,167 + Fy = 0 Va - Vd = 0 Va = Vd = 0,167 50 kN 4,0 m a 6,0 m 3,0 m b c d 1ª 2ª 3ª 10 kN/m Ha = 0 Mu = 1 4,0 m a 6,0 m 3,0 m b c d va = 0,167 Vd = 0,167 1ª 2ª 3ª 40 cm 7 cm 40 cm 40 cm 40 cm Diagrama de momento fletor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ - devido à ação força virtual unitária 𝑴 ̅̅̅̅ Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 33 3 - Esboçar o diagrama real: M Ma= 0 + Vd . 6,0 + 50,0 . 4,0 - R . 2,0 = 0 Vd = -120/6 = -20,0 kN Vd = 20 kN + Fy = 0 Va - Vd = 0 Va = Vd = 20,0 kN 4 - Cálculo da rotação relativa do ponto b ( =?) 𝛿 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ] 0 𝑖=1,2,𝑛 Onde: i = Número da barra_i da estrutura EI em kN.m2 Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: Neste caso apenas a barra 2 contribui para a rotação do ponto b Barra 2: 1/3.L.Ma.Mua = 1 . [ 0 + 1/3 . L2.Ma.Mua + 0 ] = 1 . [1/3 . 6 . 120 . 1 ] E.I 7,6533 . 10 4 = 3,14 .10- 3 rad lembrete: 2rad = 3600 O valor positivo indica que o sentido arbitrado está correto, ou seja, o ponto b sofre uma rotação de 3,14 .10- 3 rad no sentido anti-horário, conforme arbitrado inicialmente. Ha = 10 kN 50 kN 4,0 m a 6,0 m 3,0 m b c d va = 20,0 kN Vd = 20,0 kN R = 40 kN Ma = 120 kN.m Mua =1 Diagrama de momento fletor real: M - devido à ação das forças reais externas Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 34 Resolução: Item b) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto c. =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária em c. Caso 2 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ Ma= 0 + Vd . 6,0 - 1,0 . 4,0 = 0 Vd = 4/6 = 0,67 + Fy = 0 Va + Vd = 0 Va = - 0,67 = 0,67 3 - Esboçar o diagrama real: M ** Não será necessário esboçar este diagrama M, uma vez que, este já foi esboçado no item a, desta forma, serão utilizadas as informações deste mesmo diagrama. Ha = 1 Fu = 1 4,0 m a 6,0 m 3,0 m b c d va = 0,67 Vd = 0,67 1ª 2ª 3ª Diagrama de momento fletor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ - devido à ação força virtual unitária Diagrama de momento fletor real: M - devido à ação das forças reais externas Mesmo diagrama do item a; 𝑴 ̅̅̅̅ Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 35 4 - Cálculo do deslocamento horizontal do ponto c ( =?) 𝛿 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ] 0 𝑖=1,2,𝑛 Onde: i = Número da barra_i da estrutura EI em kN.m2 Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para o deslocamento do ponto c Barra 1: + - 1/3.L1.Ma.Mua + 1/3.L1.Mm.Mub - 1/3 . 4. 120 . 4 + 1/3 . 4 . 20 . 4 = - 533,33 Barra 2: - 1/3.L2.Ma.Mua -1/3 . 6 . 120 . 4 = - 960 = 1 . [ - 533,33 - 960 + 0 ] = 1 . [ - 1493,33 ] E.I 7,6533 . 10 4 = - 0,0195 m = - 19,5 mm O valor negativo indica que o sentidoarbitrado está errado, ou seja, o ponto c sofre um deslocamento horizontal de 19,5 mm para a esquerda, contrário ao arbitrado inicialmente. Exemplo2: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos: a) a rotação relativa entre as barras 1 e 2 que concorrem para a rótula b; b) o deslocamento vertical do ponto e; Seção transversal das barras E = 205 GPa; υ = 0,3 Ma = 120 kN.m Mua = 4 Mb = 120 kN.m Mub = 4 Mub = 4 Mm = 20 kN.m 10 kN 4,0 m a 5,0 m 3,0 m b c d 1ª 2ª 3ª 18 kN/m 15 kN 4ª e 3,0 m 40 cm 50 cm 2,5 cm 2 cm 40 cm 40 cm 40 cm 40 cm Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 36 Resolução: Expressando EI em: kN.m2 OBS: b = 40 cm; h = 50 cm; tb = 2,0 cm; th = 2,5 cm; Momento de inércia da seção: I = Iy = b3 tb /6 = 2,1333 . 10- 4 m4 Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 205 . 109 N/m2 = 205 . 106 kN/m2 EI = 205 . 106 kN/m2 . 2,1333 . 10- 4 m4 = 4,3733 . 10 4 kN.m2 Item a) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa entre as barras 1 e 2 que concorrem para a rótula b. =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada um par de força momento virtual unitária em torno da rótula b. Caso 4 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ 1ª ordem: Mb= 0 + Vd . 5,0 + 1,0 = 0 Vd = 1/5 = - 0,2 Vd = 0,2 + Fy = 0 Vb - Vd = 0 Vb = Vd = 0,2 2ª ordem: Ma= 0 + - Ma - 1,0 = 0 Ma = -1 Ma = 1 Mu = 1 Mu = 1 b 3,0 m b c d 2ª 4ª e 3,0 m Vd = 0,2 4,0 m a 5,0 m 1ª 3ª Mu = 1 Mu = 1 b c d e a Q. 1ª ordem Q. 2ª ordem Hb = 0 vb = 0,2 vb’ = 0,2 Ha = 0 va = 0,2 Ma = 1 Diagrama de momento fletor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ - devido à ação força virtual unitária 𝑴 ̅̅̅̅ Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 37 3 - Esboçar o diagrama real: M 1ª ordem: Mb= 0 + Vd .5,0 - R.2,5 - 15. 8,0=0 Vd = 345/5 = 69 kN + Fy = 0 Vb + Vd = 105 Vb = 36 kN 2ª ordem: Ma= 0 + - Ma + 10. 4,0 = 0 Ma = 40 kN.m 4 - Cálculo da rotação relativa entre as barras 1 e 2 no ponto b ( =?) 𝛿 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ] 0 𝑖=1,2,𝑛 Onde: i = Número da barra_i da estrutura EI em kN.m2 b 3,0 m b c d 2ª 4ª e 3,0 m Vd = 69 kN 4,0 m a 5,0 m 1ª 3ª b c d e a Q. 1ª ordem Q. 2ª ordem Hb = 10 kN vb = 36 kN vb’ = 36 kN Ha = 10 kN va = 36 kN Ma = 40 kN.m R = 90 kN 10 kN 18 kN/m 15 kN 10 kN 15 kN Hb’ = 10 kN Diagrama de momento fletor real: M - devido à ação das forças reais externas Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 38 Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para a rotação relativa solicitada; Barra 1: - 1/2.L1.Ma.Mu - 1/2. 4. 40.1 = - 80,0 Barra 2: 1/6.L2.Mb.Mua + -1/3.L2.Mm.Mua 1/6. 5. 45.1 + - 1/3.5. 56,25.1 = - 56,25 = 1 . [ - 80 - 56,25 ] = 1 . [ - 136,25 ] = - 3,115 .10-3 rad E.I 4,3733 . 10 4 O valor negativo indica que o sentido arbitrado está errado ou seja, as barras 1 e 2 sofrem uma rotação relativa 3,115 . 10-3 rad, no sentido contrário ao arbitrado inicialmente. O sentido correto é ilustrado ao lado. Resolução: Item b) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento vertical do ponto e. =? De acordo com a tabela 2:deve ser aplicada uma força virtual unitária em e Caso 1 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ 1ª ordem: Mb= 0 + Vd . 5,0 - 1. 8,0 = 0 Vd = 8/5 = 1,6 + Fy = 0 Vb + Vd = 1,0 2ª ordem: Vb = - 0,6 Ma= 0 + - Ma = 0 Vb = 0,6 Ma = 0 Mb = 45 kN.m Mua = 1 Ma = 40 kN.m Mu = 1 Mm = 56,25 kN.m Mua = 1 b 3,0 m b c d 2ª 4ª e 3,0 m Vd = 1,6 4,0 m a 5,0 m 1ª 3ª b c d e a Q. 1ª ordem Q. 2ª ordem Hb = 0 vb = 0,6 vb’ = 0,6 Ha = 0 va = 0,6 Ma = 0 Fu = 1 Fu = 1 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 39 3 - Esboçar o diagrama real: M ** Não será necessário esboçar este diagrama M, uma vez que, este já foi esboçado no item a, desta forma, serão utilizadas as informações deste mesmo diagrama. 4 - Cálculo do deslocamento vertical do ponto e ( =?) 𝛿 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ] 0 𝑖=1,2,𝑛 Onde: i = Número da barra_i da estrutura EI em kN.m2 Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: Neste caso apenas as barras 2 e 4 contribuem para o deslocamento do ponto e Barra 2: 1/3.L2.Mb.Mub + -1/3.L2.Mm.Mub 1/3. 5. 45.3 + - 1/3.5. 56,25.3 = - 56,25 Mb = 45 kN.m Mub = 3 Mm = 56,25 kN.m Mub = 3 Diagrama de momento fletor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ - devido à ação força virtual unitária Diagrama de momento fletor real: M - devido à ação das forças reais externas Mesmo diagrama do item a; 𝑴 ̅̅̅̅ Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 40 Barra 4: 1/3.L4.Ma.Mua 1/3 . 3 . 45 . 3 = 135,0 = 1 . [ - 56,25 + 135,0 ] = 1 . [ 78,75 ] = 1,80 x10-3 m = 1,80 mm E.I 4,3733 . 10 4 O valor positivo indica que o sentido arbitrado está correto, ou seja, o ponto e sofre um deslocamento vertical de 1,80 mm para baixo, conforme arbitrado inicialmente. Exemplo3: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos: a) a rotação absoluta da corda bc da grelha; b) o deslocamento vertical do ponto c; c) a rotação relativa entre as cordas ab e bc; Seção transversal das barras E = 205 GPa; υ = 0,3 Resolução: Expressando EI e GJ em: kN.m2 OBS: b = 15 cm; h = 20 cm; tb = th = 1,5 cm; Momento de inércia da seção: I = Iy = b2 (btb + 3hth)/6 = 4,2188 . 10- 5 m4 Momento de inércia polar da seção: J = Iz + Iy = h2 (hth + 3btb)/6 + b2 (btb + 3hth)/6 = 10,7187 . 10- 5 m4 Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 205 . 109 N/m2 = 205 . 106 kN/m2 Módulo de elasticidade transversal: G = E / [2 (1+ υ)] = 78,85 . 106 kN/m2 EI = 205 . 106 kN/m2 . 4,2188 . 10- 5 m4 = 8,6485 . 10 3 kN.m2 GJ = 78,85 . 106 kN/m2 . 10,7187 . 10- 5 m4 = 8,4517. 10 3 kN.m2 Ma = 45 kN.m Mua = 3 3 kN.m a 2,0 m b c 1ª 2ª 8 kN/m 6 kN 1,0 m 4 kN.m d 1,5 m X Y Z 15 cm 20 cm 1,5 cm 15 cm 15 cm Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 41 Item a) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação absoluta da corda bc da grelha. =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicado um par de forças virtuais unitárias no ponto b e no ponto c. Caso 6 da tabela 2 2 - Esboçar os diagramas virtuais: 𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑻 ̅̅ ̅ Tab = 0 + - Fu . 1,5 + Ta = 0 Ta = 1 Tbc = 0 + Ma = 0 3 - Esboçar os diagramas reais: M e T + Fz = 0 Va = 6 + R Va = 18 kN Tab = 0 + Ta - 4 - R . 0,75 = 0 Ta = 13 kN.m Tbc = 0 + Ma + Va . 2,0 - 6 . 1,0 + 3 = 0 Ma = - 33 kN.m Ma = 33 kN.m a 2,0 m b c 1ª 2ª Fu = 1/1,5 1,0 m d 1,5 m X Y Z Fu = 1/1,5 Va = 0 Ma = 0 Ta = 1 a 2,0 m b c 1ª 2ª R = 12 kN 1,0 m d 1,5 m X Y Z Va = 18 kN Ma = 33 kN.m Ta = 13 kN.m 3 kN.m 6 kN 4 kN.m Diagrama de momento fletor virtual e momento torçor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑻 ̅̅ ̅ - devido à ação força virtual unitária 𝑴 ̅̅̅̅ 𝑻 ̅ Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 42 4 - Cálculo da rotação absoluta da corda bc da grelha ( =?) 𝜹 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] + �̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑮 . 𝑱 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 Onde: i = Número da barra_i da estrutura EI e GJ em kN.m2 Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: Barra 1: Não contribui em termos de M = 0 || 𝑇1̅ = −1 ; T1 = - 13 kN.m 𝑇1̅ . 𝑇1 . 𝐿1 = −1 . (−13). 2 = 26 Barra 2: 𝑇2̅ = 0 ; T2 = 3 kN.m 1/6.L2.(2Ma+Mb).Mua + -1/3.L2.Mm.Mua 𝑇2̅. 𝑇2 . 𝐿2 = 0 . 3 . 1,5 = 0 1/6. 1,5.(2.13 + 4).1 + -1/3.1,5. 2,25 .1 = 6,375 OBS: caso a barra 1 contribuísse teria que ser feito: DOIS TRECHOS ad e db. 4 kN.m Mua = 1 Mm = 2,25 kN.m Mua = 1 13 kN.m Diagrama de momento fletor real e momento torçor real: M ; T - devido à ação das forças reais externas Ma Mb Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 43 = 1 . [ 0 + 6,375 ] + 1 . [ 26 + 0 ] = E.I GJ = [ 6,375 ] + [ 26 ] 8,6485 . 10 3 8,4517 . 10 3 = 3,81 . 10 - 3 rad O valor positivo indica que o sentido arbitrado está correto, ou seja, a corda bc sofre uma rotação absoluta de 3,81 . 10-3 rad no sentido horário, conforme arbitrado inicialmente. Resolução: Item b) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento vertical do ponto c. =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária em c Caso 1 da tabela 2 2 - Esboçar os diagramas virtuais: 𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑻 ̅̅ ̅ + Fz = 0 Va = 1 Tab = 0 + - Fu . 1,5 + Ta = 0 Ta = 1,5 Tbc = 0 + Ma + 1. 2,0 = 0 Ma = - 2,0 Ma = 2,0 a 2,0 m b c 1ª 2ª Fu = 1 1,0 m d 1,5 m X Y Z Va = 1 Ma = 2 Ta = 1,5 Diagrama de momento fletor virtual e momento torçor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑻 ̅̅ ̅ - devido à ação força virtual unitária 𝑴 ̅̅̅̅ 𝑻 ̅ a b c d Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 44 3 - Esboçar os diagramas reais: M e T ** Não será necessário esboçar estes diagramas M e T, uma vez que, estes já foram esboçados no item a. 4 - Cálculo do deslocamento vertical do ponto c ( =?) 𝜹 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] + �̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑮 . 𝑱 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 Onde: i = Número da barra_i da estrutura EI e GJ em kN.m2 Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: Barra 1: trecho(ad): Lad = 1,0 m e não 2,0m 1/6.Lad. [ Ma .(2Mua + Mub) + Mb .(Mua + 2Mub) ] 1/6. 1,0.[ 33 . ( 2 . 2 + 1) + 15 .(2 +2.1) ] = 37,5 trecho(db): Ldb = 1,0 m e não 2,0m 𝑇1̅ = −1,5 ; T1 = 13 kN.m 𝑇1̅ . 𝑇1 . 𝐿1 = −1,5 . 13 . 2 = 39 1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 1/6. 1,0.(2.15 + 3). 1 = 5,5 Total da barra 1 : 37,5 + 5,5 = 43,0 Mb = 15 kN.m Mua = 2 Ma = 33 kN.m Mb = 3 kN.m Mua = 1 Ma = 15 kN.m Mub = 1 Diagrama de momento fletor real e momento torçor real: M ; T - devido à ação das forças reais externas Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 45 Barra 2:𝑇2̅ = 0 ; T2 = 3 kN.m 1/6.L2.(2Ma+Mb).Mua + -1/3.L2.Mm.Mua 𝑇2̅. 𝑇2 . 𝐿2 = 0 . 3 . 1,5 = 0 1/6. 1,5.(2.13 + 4).1,5 + -1/3.1,5. 2,25 .1,5 = 9,5625 Rotação absoluta da barra bc: = 1 . [ 43,0 + 9,5625 ] + 1 . [ 39,0 + 0] = E.I GJ = [52,5625 ] + [ 39,0 ] 8,6485 . 10 3 8,4517 . 10 3 = 0,01069 m = 10,7 mm O valor positivo indica que o sentido arbitrado está correto, ou seja, o ponto c sofre um deslocamento vertical de 10,7 mm para baixo, conforme arbitrado inicialmente. 4 kN.m Mua = 1,5 Mm = 2,25 kN.m Mua = 1,5 13 kN.m Ma Mb a b c Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 46 Item c) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa entre as cordas ab e bc da grelha. = ? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicado um par de forças virtuais unitárias no ponto b e no ponto c. Caso 7 da tabela 2 2 - Esboçar os diagramas virtuais: 𝑴 ̅̅̅̅ 𝒆 𝑻 ̅̅ ̅ Tab = 0 + - Fu1 . 1,5 + Ta = 0 Ta = 1 Tbc = 0 + Ma + Fu2 . 2,0 = 0 Ma = -1 Ma = 1 3 - Esboçar os diagramas reais: M e T ** Não será necessário esboçar estes diagramas M e T, uma vez que, estes já foram esboçados no item a. a 2,0 m b c 1ª 2ª Fu1 = 1/1,5 1,0 m d 1,5 m X Y Z Fu1 = 1/1,5 Va = 0 Ma = 1 Ta = 1 Fu2 = 1/2,0 Fu2 = 1/2,0 1 Diagrama de momento fletor virtual e momento torçor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; 𝑻 ̅̅ ̅ - devido à ação força virtual unitária 𝑴 ̅̅̅̅ 𝑻 ̅ Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 47 4 - Cálculo da a rotação relativa entre as cordas ab e bc da grelha ( =?) 𝜹 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] + �̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑮 . 𝑱 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 Onde: i = Número da barra_i da estrutura EI e GJ em kN.m2 Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: Barra 1: trecho(ad): Lad = 1,0 m e não 2,0m 1/6.Lad. [ Ma .(2Mua + Mub) + Mb .(Mua + 2Mub) ] +1/6. 1,0.[ 33 . ( 2 . 1 + 0,5) + 15 .(1 + 2.0,5) ] = 18,75 trecho(db): Ldb = 1,0 m e não 2,0m 𝑇1̅ = −1 ; T1 = -13 kN.m 𝑇1̅ . 𝑇1 . 𝐿1 = −1 . (− 13) . 2 = 26 1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 1/6. 1,0.(2.15 + 3). 0,5 = 2,75 Total da barra 1 : 18,75 + 2,75 = 21,5 Diagrama de momento fletor real e momento torçor real: M ; T - devido à ação das forças reais externas Mb = 15 kN.m Mua = 1 Ma = 33 kN.m Mb = 3 kN.m Mua = 0,5 Ma = 15 kN.m Mub = 0,5 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 48 Barra 2: 𝑇2̅ = 0 ; T2 = 3 kN.m 1/6.L2.(2Ma+Mb).Mua + -1/3.L2.Mm.Mua 𝑇2̅. 𝑇2 . 𝐿2 = 0 . 3 . 1,5 = 0 1/6. 1,5.(2.13 + 4).1 + -1/3.1,5. 2,25 .1 = 6,375 = 1 . [ 21,5 + 6,375 ] + 1 . [ 26 + 0 ] = E.I GJ = [ 27,875 ] + [ 26 ] 8,6485 . 10 3 8,4517 . 10 3 = 6,30 . 10 - 3 rad O valor positivo indica que o sentido arbitrado está correto, ou seja, as cordas ab e bc sofrem uma rotação relativa de 6,30 . 10-3 rad, conforme o sentido arbitrado inicialmente; Exemplo4: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo o deslocamento horizontal do ponto b; Seção transversal das barras E = 25 GPa; υ = 0,2 Resolução: Expressando EI em: kN.m2 OBS: b = 20 cm; h = 60 cm; Momento de inércia da seção: I = Iz = bh3 /12 = 3,6 . 10- 3 m4 Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 25 . 109 N/m2 = 25 . 106 kN/m2 EI = 25 . 106 kN/m2 . 3,6 . 10- 3 m4 = 90 . 10 3 kN.m2 1 kN 4,0 m a 5,0 m 3,0 m b c d 1ª 2ª 3ª 3 kN/m 2 kN 4ª e 3,0 m 20 cm 60 cm 60 cm 60 cm 60 cm 60 cm 4 kN.m Mua = 1 Mm = 2,25 kN.m Mua = 1 13 kN.m MaMb Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 49 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto b. =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária horizontal no ponto b. Caso 2 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ Ma = 0 + Vd . 5,0 + 1,0 .4,0 = 0 Vd = -0.8 Vd = 0.8 + Fy = 0 Va - Vd = 0 Va = 0,8 3 - Esboçar o diagrama real: M Ma = 0 + Vd . 5 - R . 2,5 - 2 . 8 - 1. 4 = 0 Vd = 11,5 kN + Fy = 0 Va + Vd = 17 kN Va = 5,5 kN Fu = 1 3,0 m 3,0 m Vd = 0,8 4,0 m 5,0 m b c d e a Ha = 1 Va = 0,8 3,0 m 3,0 m Vd = 11,5 kN 4,0 m 5,0 m b c d e a Ha = 1 kN Va = 5,5 kN 1 kN 2 kN R=15 kN Diagrama de momento fletor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; - devido à ação força virtual unitária Diagrama de momento fletor real: M - devido à ação das forças reais externas 𝑴 ̅̅̅̅ Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 50 4 - Cálculo do deslocamento horizontal do ponto b ( =?) 𝛿 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ] 0 𝑖=1,2,𝑛 Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para o deslocamento horizontal do ponto b Barra 1: - 1/3.L.Ma.Mua - 1/3. 4. 4 . 4 = - 21,33 Barra 2: + - 1/6.L.(2Ma - Mb).Mua + -1/3.L.Mm.Mua - 1/6. 5. (2 . 4 - 6). 4 + - 1/3.5. 9,375 . 4 = - 69,17 = 1 . [ - 21,33 - 69,17] = - 90,50 = - 1,0 . 10-3 m = - 1,0 mm E.I 90 . 10-3 = - 1,0 mm O valor negativo indica que o sentido arbitrado está errado, ou seja, o ponto b sofre deslocamento horizontal de 1,0 mm para a direita, contrário ao arbitrado inicialmente. Mb = 6 kN.m Mua = 4 Ma = 4 kN.m Mu = 4 Mm = 9,375 kN.m Mua = 4 Ma = 4 kN.m Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 51 Exemplo5: Calcule para a estrutura apresentada abaixo a rotação relativa entre as barras 1 e 2 que concorrem para a rótula b. Seção transversal E = 21 GPa; υ = 0,2 Resolução: Expressando EI em: kN.m2 OBS: b = 15 cm; h = 55 cm; Momento de inércia da seção: I = Iy = hb3 /12 = 1,55 . 10- 4 m4 Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 21 . 109 N/m2 = 21 . 106 kN/m2 EI = 21 . 106 kN/m2 . 1,55 . 10- 4 m4 = 32,55 . 10 2 kN.m2 1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa entre as barras 1 e 2. =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada um par de força momento unitária em b. Caso 4 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ Neste caso não é necessário calcular as reações de apoio para esboçar o diagrama Mu 5,0 m b c d a 2,0 m 3,0 m 13 kN. m 50 kN 15 kN/ m 1ª 2ª 3ª 15 cm 55 cm 7 kN. m 7 kN. m 5,0 m b c d a 2,0 m 3,0 m Mu = 1 b Mu = 1 15 cm Diagrama de momento fletor virtual: 𝑴 ̅̅̅̅ ; - devido à ação força virtual unitária 𝑴 ̅̅̅̅ Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 52 3 - Esboçar o diagrama real: M Neste caso não é necessário calcular as reações de apoio deste trecho da viga gerber para esboçar o diagrama M 4 - Cálculo da rotação relativa entre as barras 1 e 2 que concorrem em b ( =?) 𝛿 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ] 0 𝑖=1,2,𝑛 Parcela contribuinte de cada barra da estrutura: Barra 1: - 1/6.L .( Ma – 2Ma ). Mub - 1/6. 5. (13 – 2 . 7).1 = + 0,8333 Ma = 13 kN.m Mub = 1 5,0 m b c d a 2,0 m 3,0 m 7 kN.m b 7 kN.m 13 kN.m Vb = 42,1 kN Vd = 52,9 kN 50 kN R = 45 kN Mb = 7 kN.m Diagrama de momento fletor real: M - devido à ação das forças reais externas M Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 53 Barra 2: 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ Mb.(Mua+2Mub)] 1/6. 2,0 [ 7 .(2 . 1 + 0,6) + 91,2 . (1 + 2 . 0,6)] = + 72,95 Barra 3: + 1/3.L.Ma .Mua + 1/3.L.Mm.Mua 1/3. 3. 91,2 . 0,6 + 1/3.3. 16,875 . 0,6 = + 64,85 = 1 . [ + 0,833 + 72,95 + 64,85] = 1 . (138,633) = 0,0426 rad E.I (32,55 . 10 2) = 0,0426 rad O valor positivo indica que o sentido arbitrado está correto, ou seja as barras 1 e 2 sofrem uma rotação relativa de 0,0426 rad, conforme arbitrado inicialmente Mb = 91,2 kN.m Mua = 1 Ma = 7 kN.m Mub = 0,6 Mua = 0,6 Mm = 16,875 kN.m Mua = 0,6 Ma = 91,2 kN.m Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 54 A seguir é apresentado o material que será disponibilizado pelo professor para consulta no dia da avaliação; Dica: Treinar o uso deste material disponibilizado no dia da avaliação por meio da resolução de exercícios das listas; Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 55 A tabela 1 apresenta as propriedades de seção A, Iy, Iz, fy, fz e J para as seções transversais mais usuais. tabela 1: propriedades para as seções transversais mais usuais. b h h>b 𝐼𝑧 = 𝑏ℎ3 12 𝐼𝑦 = ℎ𝑏3 12 𝐽 = 𝑏ℎ3 12 + ℎ𝑏3 12 = 𝑏ℎ3 + ℎ𝑏3 12 𝐴 = 𝑏 . ℎ 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 1,2 z y z y r 𝐼𝑧 = 𝐼𝑦 = 𝜋𝑟4 4 𝐽 = 𝜋𝑟4 4 + 𝜋𝑟4 4 = 𝜋𝑟4 2 𝐴 = 𝜋𝑟2 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 1,11 z y r t 𝐼𝑧 = 𝐼𝑦 ≅ 𝜋𝑟 3𝑡 𝐽 = 𝜋𝑟3𝑡 + 𝜋𝑟3𝑡 ≅ 2𝜋𝑟3𝑡 𝐴 ≅ 2𝜋𝑟𝑡 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 2,0 z y b h>b h th th tb tb 𝐼𝑧 ≅ ℎ2 6 (ℎ𝑡ℎ + 3 𝑏𝑡𝑏) 𝐽 ≅ 𝐼𝑧 + 𝐼𝑦 𝑓𝑧 = 𝐴 2𝑏𝑡𝑏 𝑓𝑦 = 𝐴 2ℎ𝑡ℎ 𝐼𝑦 ≅ 𝑏2 6 (𝑏𝑡𝑏 + 3 ℎ𝑡ℎ) 𝐴 ≅ 2( 𝑏𝑡𝑏 + ℎ𝑡ℎ) z y b h tb tb th 𝐼𝑧 ≅ ℎ2 12 (ℎ𝑡ℎ + 6 𝑏𝑡𝑏) 𝐽 ≅ 𝐼𝑧 + 𝐼𝑦 𝑓𝑧 = 𝐴 2𝑏𝑡𝑏 𝑓𝑦 = 𝐴 ℎ𝑡ℎ 𝐼𝑦 ≅ 𝑏3𝑡𝑏 6 𝐴 ≅ ( ℎ𝑡ℎ + 2𝑏𝑡𝑏 ) Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 56 Cada tipo de deslocamento a ser determinado exige a aplicação de uma força virtual unitária externa compatível com o deslocamento a ser calculado, conforme apresentado na tabela 2 a seguir. Tabela 2: Escolha do Modelo de força virtual unitária Deslocamento ( ) a calcular da seção s Força virtual unitária 1 - translação vertical, ou seja, deslocamento linear vertical de uma seção s 2 - translação horizontal, ou seja, deslocamento linear horizontal de uma seção s 3 - rotação, ou seja, deslocamento angular de uma seção s 4 - rotação relativa entre duas barras i e j que concorrem para a mesma rótula 5 - rotação relativa entre duas seções s e s’ de uma mesma barra 6 - rotação absoluta de uma corda AB 7 - rotação relativa de 2 cordas AB e CD 8 - variação do comprimento de uma corda que une 2 pontos A e B �̅�𝒖 = 𝟏 s s s s s s s s s s �̅�𝒖 = 𝟏 �̅� = 𝟏 s s �̅�𝒖 = 𝟏 �̅� = 𝟏 i i j j �̅�𝒖 = 𝟏 �̅� = 𝟏 �̅�𝒖 = 𝟏 �̅� = 𝟏 s s s’ s’ �̅�𝒖 = 𝟏 �̅� = 𝟏 �̅�𝒖 = 𝟏 �̅� = 𝟏 A B �̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 �̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 �̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 (AB = L) A B C D C (AB = L1) (CD = L2) �̅�𝒖𝟏 A B �̅�𝒖 = 𝟏 �̅�𝒖𝟏 = 𝟏/𝑳𝟏 �̅�𝒖𝟐 = 𝟏/𝑳𝟐 �̅�𝒖𝟐 �̅�𝒖 = 𝟏 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 57 A tabela de integração desenvolvida pelo pesquisador A. N. Vereshchagin fornece equações que geram resultados numericamente iguais aos obtidos no processo de integração. Esta tabela é apresentada a seguir como tabelas 3a e 3b. Tabela 3a: equaçõesque representam o valor da integral do produto entre o diagrama de momento fletor real (M) e o diagrama de momento fletor virtual (Mu) 1/2.L.M.Mub 1/2.L.M.Mua 1/2.L.M.(Mua+ Mub) 1/2.L.M.(Mua+ Mub) 1/3.L.Mb.Mub 1/6.L.Mb.Mua 1/6.L.Mb.(Mua+2Mub) 1/6.L.Mb.(Mua+2Mub) 1/6.L.Ma.Mub 1/3.L.Ma.Mua 1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub) 1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub) 1/6.L.(Ma+2Mb).Mub 1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ Mb.(Mua+2Mub)] 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ Mb.(Mua+2Mub)] 1/6.L.(Ma+2Mb).Mub 1/6.L.(2Ma+Mb).Mua 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ Mb.(Mua+2Mub)] 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)+ Mb.(Mua+2Mub)] 1/3.L.Mm.Mub 1/3.L.Mm.Mua 1/3.L.Mm.(Mua+ Mub) 1/3.L.Mm.(Mua+ Mub) # # 1/6.L.(Ma - 2Mb).Mub 1/6.L.(2Ma - Mb).Mua 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)- Mb.(Mua+2Mub)] 1/6.L[Ma.(2Mua+Mub)- Mb.(Mua+2Mub)] OBS1: Se M e Mu de uma barra tracionarem lados oposto da barra deve ser inserido o sinal de (-) no inicio da equação obtida nas tabelas 3a e 3b. Exemplos: Mub Mua M Mb Ma Ma Mb Ma par. 2º grau Mm Mb Ma Mb Mua Mub Mua Mub # # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb Mb Mub Mb Mub Mb Mub Mb Mub - 1/3.L.Mb.Mub 1/3.L.Mb.Mub 1/3.L.Mb.Mub - 1/3.L.Mb.Mub Mua ou Mub tracionando lado oposto ao do Ma: inserir o sinal de ( - ) no início da equação Inserindo o momento real em kN.m e o comprimento da barra em metros nas equações das tabelas 3a e 3b obtém-se valores expressos kN.m3 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 58 Tabela 3b: equações que representam o valor da integral do produto entre o diagrama de momento fletor real (M) e o diagrama de momento fletor virtual (Mu) ***** ***** L.M.Mu 1/2.L.M.( Mua - Mub) 1/2.L.M.(- Mua + Mub) 1/2.L.Mb.Mu 1/6.L.(Mua - 2Mub).Mb 1/6.L.(-Mua +2Mub).Mb 1/2.L.Ma.Mu 1/6.L.(2Mua - Mub).Ma 1/6.L.(-2Mua + 2Mub).Ma 1/2.L.(Ma+Mb).Mu 1/6.L[Mua.(2Ma+Mb)- Mub.(Ma+2Mb)] 1/6.L[-Mua.(2Ma+Mb)+ Mub.(Ma+2Mb)] 1/2.L.(Ma+Mb).Mu 1/6.L[Mua.(2Ma+Mb)- Mub.(Ma+2Mb)] 1/6.L[-Mua.(2Ma+Mb)+ Mub.(Ma+2Mb)] 2/3.L.Mm.Mu 1/3.L.(Mua - Mub).Mm 1/3.L.(- Mua + Mub).Mm # # 1/2.L.(Ma - Mb).Mu 1/6.L[Mua.(2Ma - Mb)+ Mub(-Ma+2Mb)] 1/6.L[Mua.(-2Ma + Mb)+ Mub(Ma - 2Mb)] # # 1/2.L.(-Ma + Mb).Mu 1/6.L[Mua.(-2Ma + Mb)+ Mub(Ma - 2Mb)] 1/6.L[Mua.(2Ma - Mb)+ Mub(-Ma+2Mb)] OBS: Se M e Mu de uma barra tracionarem lados oposto da barra deve ser inserido o sinal de (-) no inicio da equação obtida nas tabelas 3a e 3b. Exemplos: Mb Mub Mb Mub Mb Mub Mb Mub - 1/3.L.Mb.Mub 1/3.L.Mb.Mub 1/3.L.Mb.Mub - 1/3.L.Mb.Mub M Mb Ma Ma Mm Ma Mb Ma Mu Mua Mub Mub Mua Para os casos: Mua = Mub ; Mua > Mub E Mua < Mub Mb Ma par. 2º grau Mb Mb # # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb # # Para os casos: Ma = Mb ; Ma > Mb E Ma < Mb Inserindo o momento real em kN.m e o comprimento da barra em metros nas equações das tabelas 3a e 3b obtém-se valores expressos kN.m3 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 59 1- Deslocamentos devido ao efeito de forças reais externas: VIGAS E PÓRTICOS PLANOS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 𝜹 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (estruturas usuais: vigas, pórticos) Onde: i = Número da barra_i da estrutura EI em kN.m2 GRELHAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 𝜹 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] + �̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑮 . 𝑱 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (estruturas usuais: grelhas) Onde: i = Número da barra_i da estrutura EI e GJ em kN.m2 TRELIÇAS PLANAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 𝜹 = ∑ [ �̅�𝑵 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑬 . 𝑨 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (estruturas usuais: treliças planas) Onde: i = Número da barra_i da estrutura EA em kN.m2 2- Deslocamentos devido ao efeito da temperatura: VIGAS, PÓRTICOS PLANOS E GRELHAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕 𝒈 . 𝑨 𝑵𝟎̅̅ ̅̅ + [𝜶 . (𝒕𝒊 − 𝒕𝒆)/𝒉] . 𝑨 𝑴𝟎̅̅ ̅̅̅ ] 0 𝑖=1,2,𝑛 TRELIÇAS PLANAS USUAIS: de barras de seção e material constantes; 𝜹 = ∑ [𝜶 . 𝒕 𝒈 . �̅� . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂] 0 𝑖=1,2,𝑛 3- Deslocamentos devido ao efeito de deslocamentos prescritos: VIGAS, PÓRTICOS PLANOS, TRELIÇAS E GRELHAS USUAIS: 𝜹 = - ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) Onde: = deslocamento de uma seção s qualquer a ser determinado; R_ j = deslocamento prescrito (recalque de apoios), ou seja, recalque em cada apoio; �̅�𝒋 = reações de apoio da estrutura devido à ação da força virtual unitária externa; Os deslocamentos devido ao efeito da temperatura e devido ao efeito dos deslocamentos prescritos são apresentados a seguir nos tópicos 3.2 e 3.3 respectivamente. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 60
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