5.+Modelagem+de+Sistemas+Discretos +Propriedades+Duradouras

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Baseado em: 
• Introdução à Pesquisa Operacional. Hillier e 
Lieberman. 2013. 
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com 
 
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 Para qualquer cadeia de Markov ergódica 
irredutível 
 
𝜋𝑗 = 𝜋𝑖 . 𝜌𝑖𝑗 
𝑀
𝑖=0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 0,1,⋯ ,𝑀 
 
 𝜋𝑗
𝑀
𝑗=0
= 1 
 
Onde: 
◦ M – número de estados possíveis 
 
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 Os 𝜋𝑗 são chamados probabilidades de estado 
estável de uma cadeia de Markov. O termo 
probabilidade de estado estável significa que a 
probabilidade de encontrar o processo em certo 
estado, digamos j, após um grande número de 
transições, tende a ser o valor 𝜋𝑗, independente da 
distribuição probabilística do estado inicial. É 
importante notar que a probabilidade de estado 
estável não implica que o processo se acomode 
em determinado estado. Pelo contrário, o processo 
continua a realizar transições de estado em estado 
e, a qualquer etapa n, a probabilidade de transição 
do estado i para o estado j ainda será 𝜌𝑖𝑗· 
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 o custo médio esperado (duradouro) por 
unidade de tempo é dado por 
 
 𝜋𝑗 . 𝐶(𝑗)
𝑀
𝑗=0
 
 
Onde: 
◦ 𝐶(𝑗)– custo do estado j 
 
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 Normalmente é desejável também fazer 
declarações de probabilidade sobre o número de 
transições realizadas pelo processo para ir do 
estado i para o estado j pela primeira vez. Esse 
período é denominado tempo de primeira 
passagem para ir do estado i para o estado j. 
Quando j = i, esse tempo de primeira passagem 
é simplesmente o número de transições até que 
o processo retome ao estado inicial i. Nesse caso, 
o tempo de primeira passagem é chamado tempo 
de recorrência para estado i. 
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 Tempo de primeira passagem 
 
𝜇𝑖𝑗 = 1 + 𝜌𝑖𝑘𝜇𝑘𝑗
𝑘≠𝑗
 
 
 
 Tempo de recorrência 
 
𝜇𝑖𝑖 =
1
𝜋𝑖