Lista de Cálculo 1 - Limites

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Curso : Licenciatura em Qu´ımica
Disciplina : Ca´lculo 1 - 2017.2
Professor: Tiago Gadelha
1a lista de exerc´ıcios
Aluno:
1. Prove, pela definic¸a˜o, que a func¸a˜o e´ cont´ınua no ponto dado:
(a) f(x) = x+ 1 em p = 2.
(b) f(x) = 3
√
x em p = 1.
(c) f(x) = 4x− 3 em p = 2.
2. f(x) =
{
2x, se x 6 1
1, se x > 1
e´ cont´ınua em 1? Justifique.
3. Determine L para que a func¸a˜o dada seja cont´ınua no ponto dado. Justi-
fique:
(a) f(x) =
x
2 − 4
x− 2 , se x 6= 2
L, se x = 2
em p = 2.
(b) f(x) =
x
2 − x
x
, se x 6= 0
L, se x = 0
em p = 0.
4. Sabe-se que f e´ cont´ınua em 2 e que f(2) = 8. Mostre que existe δ > 0
tal que para todo x ∈ Df
2− δ < x < 2 + δ ⇒ f(x) > 7.
5. Sabe-se que f e´ cont´ınua em 1 e que f(1) = 2. Mostre que existe r > 0
tal que para todo x ∈ Df
1
Tirar Dúvida!
1− r < x < 1 + r ⇒ 3
2
< f(x) <
5
2
.
6. Calcule e justifique:
(a) lim
x→2
x2
(b) lim
x→1
(3x+ 1)
(c) lim
x→−1
(−x2 − 2x+ 3)
(d) lim
x→4
√
x
(e) lim
x→3
x2 − 9
x− 3
(f) lim
x→3
x2 − 9
x+ 3
(g) lim
x→1
√
x− 1
x− 1
(h) lim
x→3
√
x−√3
x− 3
(i) lim
x→3
3
√
x− 3√3
x− 3
(j) lim
x→1
√
x− 1√
2x+ 3−√5
7. Determine L para que a func¸a˜o dada seja cont´ınua no ponto dado. Justi-
fique:
(a) f(x) =
x
3 − 8
x− 2 , se x 6= 2
L, se x = 2
em p = 2.
(b) f(x) =

√
x−√3
x− 3 , se x 6= 3
L, se x = 3
em p = 3.
8. f(x) =
x
2 + x
x+ 1
, se x 6= −1
2, se x = −1
e´ cont´ınua em -1? E em 0? Por queˆ?
9. Calcule os limites:
(a) lim
x→−1
x3 + 1
x2 − 1
(b) lim
x→0
x3 + x2
3x3 + x4 + x
2
Tirar Dúvida!
(c) lim
x→3
x2 − 9
x2 + 9
(d) lim
x→p
4
√
x− 4√p
x− p , p 6= 0.
(e) lim
x→7
√
x−√7√
x+ 7−√14
10. Prove que existe δ > 0 tal que
1− δ < x < 1 + δ → 2− 1
3
< x2 + x < +
1
3
11. Calcule, caso exista. Se na˜o existir justifique:
(a) lim
x→1
|x− 1|
x− 1
(b) lim
x→3
|x− 1|
x− 1
(c) lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 , onde f(x) =
{
x+ 1, se x > 1
2x, se x < 1
(d) lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 , onde f(x) =
{
x2, se x 6 1
2x− 1, se x > 1
12. Calcule os limites:
(a) lim
x→−1
3
√
x3 + 1
x+ 1
(b) lim
x→1
3
√
x+ 7− 2
x− 1
13. Seja f definida em R. Suponha que lim
x→0
f(x)
x
= 1. Calcule:
(a) lim
x→0
f(3x)
x
(b) lim
x→0
f(x2)
x
(c) lim
x→1
f(x2 − 1)
x− 1
3
14. Seja f uma func¸a˜o definida em R tal que para todo x 6= 1,
−x2 + 3x 6 f(x) 6 x
2 − 1
x− 1
Calcule lim
x→1
f(x) e justifique.
15. Suponha que, para todo x, |g(x)| 6 x4. Calcule lim
x→0
g(x)
x
.
16. Sejam a, b e c reais fixos e suponha que, para todo x, |a+ bx+ cx2| 6 |x|3.
Prove que a = b = c = 0.
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