Lista de Limites e Continuidade - CÁLCULO 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Professora: Sylvia Ferreira da Silva
Limites e Continuidade - L2
01) Considere a função f(x) = sin(
1
x
). Determine o domı́nio e a imagem de f e calcule lim
x→0+
f(x) e lim
x→0−
f(x).
02) Seja f : R −→ R definida por f(x) =
{
0, se x ∈ Q,
1, se x ∈ I
. Esta função é cont́ınua em algum ponto do seu
domı́nio? Explique.
03) Explique intuitivamente o resultado de lim
x→0+
f(x) e lim
x→0−
f(x) onde
f(x) =
1
1 + ax
04) O lim
x→0
|x|
x
é um número real L? Se sim, qual é este número?
05) Calcule caso existam os limites. Caso contrário, justifique.
a) lim
x→1
|x− 1|
|x− 1|
b) lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1
onde f(x) =
{
x + 1, se x ≥ 1
2x, se x < 1
c) lim
x→0
√
x
d) lim
x→2
g(x)− g(2)
x− 2
em que g(x) =
x, se x ≥ 2x2
2
, se x < 2
e) lim
x→2
x3 − 5x2 + 8x− 4
x4 − 5x− 6
06) Prove que lim
x→p
f(x) = L⇔ lim
x→p
[f(x)− L] = 0.
07) Prove que lim
x→p
f(x) = L⇔ lim
x→p
|f(x)− L| = 0
08) Prove que
lim
x→p
f(x) = L⇔ lim
h→0
f(p + h) = L
09) Dê exemplo de uma função definida em R, que não seja cont́ınua em p mas lim
x→p+
f(x) = lim
x→p−
f(x) .
10) Sejm f uma função definida em um intervalo aberto I e p ∈ I. Suponha que f(x) ≤ f(p) para todo
x ∈ I. Prove que lim
x−→p
f(x)− f(p)
x− p
= 0, desde que o limite exista. [Sugestão : Estude o sinal dos limites laterais
lim
x−→p+
f(x)− f(p)
x− p
e lim
x−→p−
f(x)− f(p)
x− p
.]
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