Resistência dos Materiais II - Flambagem de Colunas

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RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS II
UNIPAC – TEÓFILO OTONI
Engenharia Civil
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
Prof.: DANILO BENTO OLIVEIRA
FLAMBAGEM DE 
COLUNAS
OBJETIVOS
 Determinar carga axial crítica para flambagem
de colunas ideais e reais.
 Discutir métodos para projetar colunas com
cargas concêntricas e excêntricas.
 Sequência de Abordagem:
 5.1 Carga Crítica em Coluna Ideal com Apoios de Pino
 5.2 Colunas com Vários Tipos de Apoio
 5.3 Fórmula da Secante
 5.4 Flambagem inelástica , Projetos concêntricos e excêntricos (Curiosidade
FLAMBAGEM
 É o fenômeno que ocorre quando uma
carga axial de compressão, atuando em
uma barra, ocasiona uma flexão lateral, na
direção do menor raio de giração de sua
seção transversal, rompendo a peça com
uma carga menor que a carga de ruptura
a compressão simples.
Estabilidade das Estruturas
 Seja a coluna AB de comprimento L para suportar uma
dada força P.
 A coluna é articulada em ambas as extremidades e P é
uma força axial centrada, ou seja, aplicada no centroide
da seção transversal.
 Se a área da seção transversal A da
coluna é selecionada de maneira que o
valor 𝜎 = 𝑃/𝐴 da tensão em uma seção
transversal seja menor do que a tensão
admissível 𝜎𝑎𝑑𝑚 para o material usado, e
se a deformação axial 𝛿 = 𝑃𝐿/𝐴𝐸 estiver
dentro das especificações dadas,
podemos concluir que a coluna foi
projetada corretamente.
Fórmula de Euler
 Retornando à coluna AB considerada na figura anterior,
o objetivo é determinar o valor crítico da força P, isto é, o
valor 𝑃𝑐𝑟 da força para o qual a posição mostrada na
Figura deixa de ser estável. Se 𝑃 > 𝑃𝑐𝑟 , o menor
desalinhamento ou perturbação fará a coluna flambar,
isto é, a coluna assumirá outra configuração de
equilíbrio como a mostrada na Figura. Para tal
determinação, deve-se definir as condições sob as quais
a configuração da flambagem é possível.
 Como a coluna pode ser considerada uma barra colocada em uma
posição vertical e submetida a uma força axial, chamando de x a
distância da extremidade A da coluna até um dado ponto Q de sua
linha neutra, e de y a deflexão desse ponto Consequentemente, o
eixo x será vertical e orientado para baixo, e o eixo y horizontal e
orientado para a direita.
 Sabemos que pela equação da linha elástica
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑀
𝐸𝐼
= −
𝑃
𝐸𝐼
𝑦
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+
𝑃
𝐸𝐼
𝑦 = 0
 Essa é uma equação diferencial linear homogênea de
segunda ordem com coeficientes constantes, que é a
mesma equação diferencial para movimento harmônico
simples exceto, naturalmente, que a variável
independente agora é a distância x e não o tempo t. A
solução geral da equação é:
𝑦 𝑥 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑝𝑥 + 𝐶2 cos(𝑝𝑥)
Obs: 𝑝2 = 𝑃/𝐸𝐼
 Os coeficientes C1 e C2 da Equação são calculados em
função das condições de contorno nas extremidades A e
B da coluna. A primeira condição de contorno, de acordo
com os eixos da Equação 8.5a, é em x = 0, y = 0.
Substituindo esses valores na Equação, chega-se a
conclusão de que C2 = 0. A segunda condição de
contorno é em x = L, y = 0.
 Essa equação é satisfeita se C1 = 0, ou se sen(pL) = 0.
Se a primeira dessas condições é satisfeita, a Equação
se reduz a y = 0 e a coluna estará reta. Para que a
segunda condição seja satisfeita, devemos ter 𝑝𝐿 = 𝑛𝜋,
ou substituindo 𝑝 = 𝑃/𝐸𝐼 1/2 e resolvendo para P:
𝐶1𝑠𝑒𝑛(𝑝𝐿) = 0
𝑃 =
𝑛2𝜋2𝐸𝐼
𝐿2
 O menor valor de P é aquele correspondente a
𝑛 = 1, assim:
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸𝐼
𝐿2
 A expressão obtida é conhecida como fórmula
de Euler, em homenagem ao matemático suíço
Leonhard Euler (1707-1783).
 Se 𝑃 < 𝑃𝑐𝑟 , a condição 𝑠𝑒𝑛 𝑝𝐿 = 0 não pode
ser satisfeita, e a solução dada pela não existe.
Portanto, 𝐶1 = 0 , é a única configuração
possível para a coluna, sendo a configuração
reta. Assim, para 𝑃 < 𝑃𝑐𝑟, a configuração reta é
estável.
 No caso de uma coluna com seção transversal circular ou
quadrada, o momento de inércia 𝐼 da seção transversal em relação
a qualquer eixo que passa pelo centroide será o mesmo, e a coluna
poderá então flambar em qualquer um dos planos, exceto pelas
restrições que poderão ser impostas pelos vínculos nas
extremidades. Para outras formas de seção transversal, a força
crítica deve ser calculada fazendo 𝐼 = 𝐼𝑚í𝑛 na equação da carga
crítica. Se ocorrer a flambagem, ela será em um plano
perpendicular ao eixo principal de inércia correspondente.
 O valor da tensão correspondente à força crítica é chamado de
tensão crítica e é representado por 𝜎𝑐𝑟. Fazendo 𝐼 = 𝐴𝑖
2, em que 𝐴
é a área da seção transversal e 𝑖 o seu raio de giração:
𝜎𝑐𝑟 =
𝑃𝑐𝑟
𝐴𝑖2
=
𝜋2𝐸
𝐿/𝑖 2
Obs: O denominador (L/r) é denominado índice de esbeltez (mede
flexibilidade e classifica como comprida, curta ou média)
Gráfico tensão crítica x índice de 
esbeltez
 (Substituindo (σE)aço =36ksi
em σcr na fórmula, obtemos o
menor índice de esbeltez
admíssivel > 89.
 Para L/r > 89, estamos na
região elástica, e podemos
usar a fórmula de Euler para
obter Pcr de flambagem.
Exemplo 01 
 Uma coluna de extremidades articuladas tem
seção transversal quadrada de 2m de
comprimento. Ela é constituída de uma
qualidade de pinho para a qual 𝐸 =
13,0𝐺𝑃𝑎, 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 12,0𝑀𝑃𝑎 para a compressão
na direção paralela das fibras. Usando um
coeficiente de segurança de 2,5 no cálculo da
carga crítica de Euler para a flambagem
determinar a dimensão da seção transversal, de
modo que a coluna possa resistir com
segurança uma força de (a) 100KN; (b) 200KN.
Fórmula de Euler para outros tipos de 
apoio
 Vimos, na fórmula de Euler para 2 apoios de pino, que o
comprimento total da viga (L) representava a distância entre os
pinos (pts onde o Momento fletor é nulo).
 Para usar Euler em outros tipos de apoio, basta determinar o
comprimento efetivo (Le) entre os pts de Momento fletor nulo.
 Logo: 𝑃𝑐𝑟 = 𝜋
2𝐸𝐼/(𝐿𝑒
2)
 Mas usa-se um fator de comprimento efetivo (k): 𝐿𝑒 = 𝐾𝐿
 Assim
𝑃𝑐𝑟 = 𝜋
2𝐸𝐼/ 𝐾𝐿 2 e 𝜎𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸
𝐾𝐿
𝑖
2
Exemplo 02
 Um pilar de alumínio de seção transversal retangular
tem comprimento L e extremidade engastada B. O pilar
suporta uma carga centrada em sua extremidade A. Na
extremidade A do pilar existem duas placas lisas de
cantos arredondados que impedem essa extremidade
de se movimentar em um dos planos verticais de
simetria do pilar, mas não impedem movimentos na
direção do outro plano. (a) Determinar a relação a/b
entre os lados da ST que corresponde a solução de
projeto mais eficiente contra a flambagem. (b)
Dimensionar a seção transversal mais eficiente para o
pilar, sabendo-se que L=500mm, E = 70GPa, P = 20KN
e que o coeficiente de segurança envolvido é de 2,5.
Fórmula Secante
FLAMBAGEM INELÁSTICA
 Classificação das colunas
 Compridas/Esbeltas: se tornam instáveis quando a
tensão de compressão permanecer elástica. A falha
que ocorre é denominada instabilidade elástica.
 Colunas Intermediárias: Falham devido a
instabilidade inelástica, o que significa que a tensão
de compressão na falha é maior do que o limite de
proporcionalidade do material.
 Colunas curtas/postes: Não se tornam instáveis; mais
exatamente, o material escoa ou se tornam instáveis.
 A aplicação da fórmula de Euler exige que
a tensão na coluna permaneça abaixo do
limite de escoamento do material quando
a coluna sofre flambagem e, por isso, a
equação aplica-se somente às colunas
compridas.
 O comportamento dessas colunas pode
ser estudado modificando-se a equaçãode Euler de modo que ela possa ser
aplicada à flambagem inelástica.
 Portanto, em geral, à medida que o índice de esbeltez
diminui, a tensão crítica da coluna contínua a aumentar;
e, pelo diagrama tensão x deformação, o módulo
tangente para o material diminui, usando essa ideia,
podemos modificar a equação de Euler para incluir
esses casos de flambagem inelástica substituindo o
módulo de elasticidade pelo módulo tangente do
material assim
𝜎 =
𝜋2𝐸𝑡
𝐿𝑒
𝑟
2
 Exemplo
Uma haste maciça com 30mm de diâmetro e 600 mm de
comprimento é feita de um material que pode ser
modelado pelo diagrama mostrado na figura. Se for usada
como uma coluna apoiada por pinos, determine a carga
crítica.
Solução
Projeto de colunas com carga 
centrada
Aço Estrutural
 Obtém-se inicialmente um curva representativa
da variação de 𝜎𝑐𝑟 com 𝐿/𝑟. Essa curva não
incorpora nenhum coeficiente de segurança. A
parte AB da curva é um arco de parábola com
equação da forma
𝜎𝑐𝑟 = 𝜎0 − 𝑘
𝐿
𝑟
2
(1)
Enquanto a parte BE pertence a curva de Euler.
 A figura mostra que 𝜎𝑐𝑟 = 𝜎0 quando
𝐿
𝑟
=
0 . Isso implica que 𝜎0 = 𝜎𝑒 . As
especificações da AISC, admitem que o
ponto B, ocorre para a tensão crítica com
valor igual à metade de 𝜎𝑒
 Vamos denotar por 𝐶𝑐 o valor de 𝐿/𝑟
nesse ponto
1
2
𝜎𝑒 = 𝜎𝑒 − 𝑘𝐶𝑐
2
𝑘 =
𝜎2
2𝐶𝑐
2 (2)
 Substituindo na equação (1) os valores de 
𝜎0 e 𝑘.
 Para 
𝐿
𝑟
≤ 𝐶𝑐 → 𝜎𝑐𝑟 = 𝜎𝑒 1 −
𝐿
𝑟
2𝐶𝑐
2 (3)
 Para 
𝐿
𝑟
≥ 𝐶𝑐 → 𝜎𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸
𝐿
𝑟
2 (4)
 Na equação (4) para 𝜎𝑐𝑟 =
1
2
𝜎𝑒 e 
𝐿
𝑟
= 𝐶𝑐
𝐶𝑐
2 =
2𝜋2𝐸
𝜎𝑒
(5)
 Devemos introduzir um coeficiente de segurança para a obtenção
das fórmulas finais de dimensionamento do AISC, que definem
𝜎𝑎𝑑𝑚 como função de 𝐿/𝑟. Para
𝐿
𝑟
≥ 𝐶𝑐, que é o caso de colunas
longas, adota-se 𝐹𝑆 = 1,92. Dividindo-se o valor de 𝜎𝑐𝑟 por este
fator, e tendo em mente que o AISC não permite o uso de colunas
com
𝐿
𝑟
> 200 temos:
𝐶𝑐 ≤
𝐿
𝑟
≤ 200 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝜋2𝐸
1,92 𝐿/𝑟 2
 Para colunas curtas e intermediárias, é 
aplicada a fórmula abaixo para a obtenção 
do coeficiente de segurança:
𝐹𝑆 =
5
3
+
3
8
𝐿/𝑟
𝐶𝑐
−
1
8
𝐿/𝑟
𝐶𝑐
3
𝐿
𝑟
< 𝐶𝑐 < 200 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝜎𝑒
𝐹𝑆
1 −
1
2
𝐿
𝑟
𝐶𝑐
2
Alumínio
 Existem muitas ligas de alumínio que podem ser usadas
em estruturas. Para cada uma dessas ligas, a Aluminum
Association fornece três fórmulas para se chegar ao
valor da tensão admissível de colunas submetidas a
carregamentos centrados.
 Liga 6061-T6
𝐿
𝑟
≤ 9,5 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 131 𝑀𝑃𝑎
9,5 ≤
𝐿
𝑟
≤ 66 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 = [139 − 0,868 𝐿/𝑟 ] 𝑀𝑃𝑎
𝐿
𝑟
≥ 66 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 =
351 × 103𝑀𝑃𝑎
𝐿/𝑟 2
 Liga 2014-T6 (Alclad)
𝐿
𝑟
≤ 12 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 193 𝑀𝑃𝑎
12 ≤
𝐿
𝑟
≤ 55 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 = [212 − 1,585 𝐿/𝑟 ] 𝑀𝑃𝑎
𝐿
𝑟
≥ 55 → 𝜎𝑎𝑑𝑚 =
372 × 103𝑀𝑃𝑎
𝐿/𝑟 2
Exemplo
 Usando a liga de alumínio 2014-T6, pede-
se determinar o menor diâmetro que pode 
ser adotado para a barra de modo que 
esta suporte com segurança uma carga 
centrada de 60 kN, quando (a) L = 750 
mm e (b) L =300mm;
Madeira
 Colunas de madeira usadas em construção são projetas com base
nas fórmulas publicas pela National Forest Products Association
(NFPA) ou pelo American Institute of Timber Construction (AITC). As
fórmulas do NFPA para a tensão em colunas curtas, intermediárias
e longas com ST retângulas de dimensões b e d, onde d é a menor
dimensão são
Exemplo
Projeto de Colunas para Cargas 
Excêntricas
 Nessa seção, vamos analisar o projeto de
colunas submetidas a uma carga
excêntrica. Veremos de que maneira
modificar as fórmulas empíricas
desenvolvidas na seção anterior a fim de
usá-las no caso de uma força P aplicada a
uma coluna com excentricidade “e”
conhecida.
Tensões normais na coluna
𝜎 = 𝜎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 + 𝜎𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝜎 =
𝑃
𝐴
+
𝑀𝑐
𝐼
Em uma coluna projetada corretamente, a tensão máxima
definida pela equação acima não deve exceder a tensão
admissível da coluna. Podemos abordar o problema de
duas maneiras, visando satisfazer essa especificação.
 Método da tensão admissível;
 Método da interação;
Método da tensão admissível
 Esse método se baseia na hipótese de 
que a tensão é a mesma que para uma 
coluna de carga centrada. Desse modo, 
devemos ter 𝜎𝑚á𝑥 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚, sendo 𝜎𝑎𝑑𝑚 a 
tensão admissível sob carga centrada. 
𝑃
𝐴
+
𝑀𝑐
𝐼
≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚
 A tensão admissível é obtida pelas fórmulas da
seção anterior.
 A maior parte das normas de engenharia
especifica que a tensão admissível seja
determinada para o maior valor do índice de
esbeltez, não importando se esse valor
corresponde realmente ao plano em que ocorre
a flexão.
 Em alguns casos, essa especificação pode levar
a dimensionamentos exagerados.
Exemplo
 Uma coluna de seção transversal quadrada de
125 mm de lado e comprimento 3m é feita de
pinho, apresentando as seguintes propriedades:
𝐸 = 12 𝐺𝑃𝑎 e 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 10𝑀𝑃𝑎 para compressão
paralela às fibras. Determinar a máxima carga P
que a coluna pode suportar com segurança,
aplicada com excentricidade 𝑒 = 50𝑚𝑚
Método da Interação
 A tensão admissível para uma coluna submetida a carga centrada é
usualmente menor que a tensão admissível para uma coluna em
flexão pura, uma vez que aquela leva em conta a possibilidade de
flambagem.
 Desse modo, quando se usa o método da tensão
admissível para o projeto de uma coluna excêntrica e se
escreve a soma das tensões devidas à carga centrada P
e ao momento fletor M não deve exceder o valor da
tensão admissível para uma coluna de carga centrada, o
resultado pode levar a dimensionamentos exagerados.
 Podemos desenvolver um método aperfeiçoado de
dimensionamento reescrevendo a equação anterior na
forma abaixo:
𝑃/𝐴
𝜎𝑎𝑑𝑚𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
+
𝑀𝑐/𝐼
𝜎𝑎𝑑𝑚𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
≤ 1
 Essa fórmula é conhecida como método da interação.
 Quando a carga excêntrica não é aplicada em
um plano de simetria da coluna, ocorre flexão
nos dois planos principais da ST. A fórmula da
interação a ser usada é
𝑃/𝐴
𝜎𝑎𝑑𝑚𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
+
𝑀𝑥𝑧𝑚/𝐼𝑥
𝜎𝑎𝑑𝑚𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
+
𝑀𝑧𝑥𝑚/𝐼𝑧
𝜎𝑎𝑑𝑚𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
≤ 1
Exemplo
 Usar o método da interação para a
determinação da máxima carga P que
pode ser aplicada com segurança à
coluna do exemplo anterior.