PRE AULA6 FUNÇÕES COMPOSTAS E INVERSA PONTO DE EQUILÍBRIO

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Conversa inicial 
Olá! Chegamos à última aula de Pré-Cálculo! 
Você percebeu o quanto já evoluímos nessa disciplina? Para completar 
o conteúdo teórico dessa disciplina, na aula de hoje vamos tratar de
funções compostas e de funções inversas. Falaremos também sobre 
ponto de equilíbrio. 
Assista ao vídeo do professor Ricardo sobre os conteúdos da aula 
acessando o material on-line! 
Contextualizando 
Em muitos momentos de nossas vidas, precisamos tomar decisões, no 
campo profissional e também no pessoal. Mas você já parou para 
pensar em como tomamos decisões? 
O processo de tomada de decisões segue critérios previamente 
estabelecidos. Para comprarmos uma roupa, por exemplo, podemos 
estabelecer alguns critérios tais como o modelo, o tamanho e o preço. 
Se as três condições são satisfeitas, concretizamos a compra. Se pelo 
menos um desses critérios não estiver de acordo com o esperado, a 
compra não é realizada. 
Pré-Cálculo - Aula 06
Prof.: Ricardo Zanardini
 
 
É claro que os critérios são muitas vezes subjetivos e podem variar de 
acordo com quem está tomando a decisão ou de acordo com o contexto 
em que esses critérios se encontram. 
A matemática pode ser muito útil no processo de tomada de decisões. 
Estudos comprovam que a falta de conhecimento matemático pode 
provocar muitos prejuízos em situações que envolvem quantidades. 
Ao escolhermos uma operadora de telefonia celular, por exemplo, 
temos diversos planos disponíveis e com preços variados. Vamos supor 
que temos dois planos de telefonia celular que mais chamaram a 
atenção e que estão de acordo com as expectativas. 
O primeiro plano tem uma mensalidade de R$ 39,90 com 50 minutos de 
ligações. Ultrapassando esses 50 minutos, cada minuto adicional tem 
um custo de R$ 0,79. O outro plano tem uma mensalidade de R$ 49,90 
também com 50 minutos para ligações e cada minuto adicional tem um 
custo de R$ 0,69. 
Se formos utilizar no máximo 50 minutos por mês, o primeiro plano é o 
mais adequado, pois tem uma mensalidade menor. No entanto, se 
ultrapassarmos esses 50 minutos, iremos pagar pelo tempo adicional 
de conversa. Mesmo tendo uma mensalidade mais barata, os minutos 
adicionais do primeiro plano são mais caros do que os do segundo 
plano. 
Nesse caso, o primeiro plano será vantajoso até um certo ponto. Depois 
disso, o segundo plano será mais viável financeiramente. 
 Mas que ponto é esse? 
 Até quantos minutos adicionais o primeiro plano é melhor? 
 A partir de quantos minutos o segundo plano é melhor? 
Isso e muito mais é o que veremos nessa aula! 
As funções compostas estão relacionadas a problemas onde temos 
grandezas associadas entre si por duas ou mais leis de composição. 
 
Por exemplo, a receita de uma empresa está associada à produção e 
essa produção está associada à demanda. Nesse caso, podemos dizer 
que a receita está associada à demanda. Conhecendo a relação entre a 
receita e a produção e entre a produção e a demanda, é possível 
estabelecer a relação que há entre a receita e a demanda. E é isso que 
veremos a seguir. 
Para iniciarmos nossos estudos, vamos assistir ao seguinte vídeo sobre 
funções compostas. 
https://www.youtube.com/watch?v=P1Y5Sh8sw7A 
Podemos dizer, então, que uma função composta: f(g(x)) é constituída 
pelas funções f(u) e g(x) onde substituímos u por g(x) na expressão de 
f(u). 
 
A seguir um texto bastante interessante sobre funções compostas. 
http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoComposta.aspx 
Para entendermos melhor, vamos ver agora um exemplo relacionado à 
aplicação de funções compostas. 
O nível de monóxido de carbono em uma pequena cidade é de: 
m(p)=0,7p+1 
Partes por milhão quando a população corresponde a p mil habitantes. 
Estima-se que daqui a t anos, a partir da data atual, a população será 
de 
 
 
p(t)=45+0,2t2 mil habitantes. 
a) Qual é a função que relaciona o nível de monóxido de carbono com o 
tempo? 
Nesse caso, temos a relação entre o nível de monóxido de carbono e a 
população, dada por m(p)=0,7p+1 e temos também a relação entre a 
população e o tempo, dada por p(t)=45+0,2t2. Precisamos relacionar o 
nível de monóxido de carbono com o tempo. Para isso, na função 
m(p)=0,7p+1, vamos substituir a variável p pela expressão 45+0,2t2, 
pois p(t)=45+0,2t2. 
m(p(t))=0,7(45+0,2t2)+1 
Vamos agora aplicar a lei distributiva, multiplicando 0,7 por 45 e 
também 0,7 por 0,2t2 
m(p(t))=31,5+0,14t2+1 
Somando 31,5 com 1, temos 
m(p(t))=32,5+0,14t2 
Que é a relação entre o nível de monóxido de carbono e o tempo. 
 
b) Qual é o nível atual de monóxido de carbono? 
Sabemos que a relação entre o nível de monóxido de carbono e o 
tempo é dada por: 
m(p(t))=32,5+0,14t2 
Para sabermos o nível atual de monóxido de carbono, vamos substituir 
a variável t por 0. 
m(p(0))=32,5+0,14(0)2 
m(p(0))=32,5+0,14(0) 
 
m(p(0))=32,5+0 
m(p(10))=32,5 ppm 
Portanto, o nível atual de monóxido de carbono é de 32,5 partes por 
milhão. 
 
c) Qual será o nível de monóxido de carbono daqui a 10 anos? 
Para determinarmos o nível de monóxido de carbono daqui a 10 anos, 
basta substituirmos t por 10 na expressão 
m(p(t))=32,5+0,14t2, 
O que resulta em 
m(p(10))=32,5+0,14(10)2 
m(p(10))=32,5+0,14(100) 
m(p(10))=32,5+14 
m(p(10))=46,5 ppm 
Sendo assim, o nível de monóxido de carbono daqui a 10 anos será de 
46,5 partes por milhão. 
Seja as funções f(t)=2t2-5t e t(x)=4x+1. Escreva a função f(t(x)). 
Resolução: 
Sabemos que f(t)=2t2-5t e que t(x)=4x+1. Para encontrarmos f(t(x)), 
basta substituirmos 4x+1 no lugar de t na função f(t)=2t2-5t: 
f(t(x))=2(4x+1)2-5(4x+1). 
Em primeiro lugar precisamos resolver a potência (4x+1)2. 
f(t(x))=2(16x2+8x+1)-5(4x+1) 
Vamos agora efetuar as multiplicações: 
 
 
f(t(x))=32x2+16x+2-20x-5 
Somando os termos semelhantes, temos: 
f(t(x))=32x2-4x-3 
que é a função procurada. 
 Vamos assistir o professor Ricardo e suas explicações sobre as 
funções compostas? Para isso, acesse o material on-line! 
 
Exemplos com funções compostas 
 Agora que já sabemos o que são funções compostas, vamos resolver 
alguns exemplos relacionados a esse assunto. 
O primeiro deles consiste em, dadas duas funções f e g, determinarmos 
a função composta fog. 
1. Determine f(g(x)) onde f(u)=3u+5 e g(x)=x2+1. 
Substituindo x2+1 no lugar da variável u, na função f(u)=3u+5, temos: 
f(g(x))=3(x2+1)+5 
f(g(x))=3x2+3+5 
f(g(x))=3x2+8 
O segundo exemplo mostra que é possível utilizarmos o que 
aprendemos até aqui para realizarmos a decomposição de funções. 
2. Seja 
   22
2
12
1
3


 x
x
xf
, faça, convenientemente, a 
decomposição da função f. 
 Sabendo que 
   22
2
12
1
3


 x
x
xf
, podemos escrever f(x) como: 
 
  22
3
u
u
uf 
 
Onde 
12  xu
. 
A seguir, dois vídeos apresentando exercícios resolvidos relacionados 
às funções compostas. 
https://www.youtube.com/watch?v=NKIuiSk4zSs 
https://www.youtube.com/watch?v=Dfy6Eov80SY 
 
1. Considere as funções dadas a seguir denotadas por f(x) e g(x). 
Determine o domínio destas funções. Determine as expressões 
(equações) das funções compostas (f+g)(x), (f-g)(x), (g-f)(x), (f.g)(x), 
(f/g)(x), (g/f)(x), (fog)(x) e (gof)(x) e os domínios destas funções. 
a) e 
b) e 
c) e 
 
Resolução: 
a) Para a função tem-se: pois não 
ocorrem restrições nesta função. Em relação a função e 
 ocorre uma raiz de índice par, fazendo com que no 
radicando somente sejam aceitos valores não negativos, ou 
 ou ainda resultando . As 
expressões resultantese os correspondentes domínios, para as 
funções compostas serão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Para a situação de divisão deve-se excluir valores que zerem o 
denominador, neste caso x=1 deve ser excluído) 
 
 
(Para a situação de divisão deve-se excluir valores que zerem o 
denominador, neste caso x=0 e x=-3 devem ser excluídos, porém estes 
valores não pertencem ao domínio de sobreposição das funções 
originais, restando então o domínio informado) 
 
 
 
(O domínio de fog(x) são todos os valores do domínio de g(x) cujo 
conjunto imagem contenha os valores do domínio de f(x)) 
 
(O domínio de gof(x) são todos os valores do domínio de f(x) cujo 
conjunto imagem contenha os valores do domínio de g(x), ou onde 
 Resolvendo esta inequação tem-se as raízes 
(fórmula quadrática) calculados como: 
 
Resultando e . Considerando-se que é 
desejado valores maiores ou iguais a zero, deve-se tomar os intervalos 
fora das raízes, de forma a obter 
b) Considerando as funções e . Para a 
função tem-se: pois não ocorrem restrições 
nesta função. Em relação a função e ocorre uma raiz de 
índice par, fazendo com que no radicando somente sejam aceitos 
valores não negativos, ou resultando . As 
expressões resultantes e os correspondentes domínios, para as 
funções compostas serão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Para a situação de divisão deve-se excluir valores que zerem o 
denominador, neste caso x=0 deve ser excluído) 
 
 
(Para a situação de divisão deve-se excluir valores que zerem o 
denominador, neste caso no denominador ocorre a função exponencial 
que NUNCA se anula, restando apenas a observação do numerador 
que envolve a radiciação, onde o radicando deve ser não negativo). 
 
 
(O domínio de fog(x) são todos os valores do domínio de g(x) cujo 
conjunto imagem contenha os valores do domínio de f(x). A variável x 
 
pode assumir qualquer valor real, ocasionando em valores sempre 
positivos, ou seja, o radicando será sempre positivo que é a condição 
de existência de raízes de índice par). 
 
(O domínio de gof(x) são todos os valores do domínio de f(x) cujo 
conjunto imagem contenha os valores do domínio de g(x), ou onde: 
 
c) Para a função tem-se: pois não 
ocorrem restrições nesta função. Em relação a função e 
 ocorre uma situação de logaritmo, fazendo com que 
no logaritmando somente sejam aceitos valores positivos, ou 
resultando . As expressões resultantes e os 
correspondentes domínios, para as funções compostas serão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Para a situação de divisão deve-se excluir valores que zerem o 
denominador, neste caso x=1 deve ser excluído pois o ln(1)=0): 
 
 
(Para a situação de divisão deve-se excluir valores que zerem o 
denominador, neste caso no denominador sempre ocorrerão valores 
positivos, restando apenas a observação do numerador que envolve o 
logaritmo, onde o logaritmando deve ser positivo). 
 
 
(O domínio de fog(x) são todos os valores do domínio de g(x) cujo 
conjunto imagem contenha os valores do domínio de f(x). A variável x 
pode assumir qualquer valor real positivo devido estar no 
logaritimando). 
 
(O domínio de gof(x) são todos os valores do domínio de f(x) cujo 
conjunto imagem contenha os valores do domínio de g(x), ou seja, são 
todos os valores reais): 
 
 
 
 Para fixarmos melhor o que aprendemos até aqui, vamos assistir ao 
vídeo do professor Ricardo sobre a resolução de problemas sobre 
funções compostas! Para isso, acesse o material on-line! 
 
Funções inversas 
Além das funções compostas, um estudo útil e importante é sobre 
funções inversas. Para podermos determinar a função inversa de uma 
dada função, precisaremos, primeiro, saber o que são funções injetoras, 
sobrejetoras e bijetoras. Para isso, vamos assistir ao vídeo a seguir. 
https://www.youtube.com/watch?v=tQ7o3EezYo8 
Para sabermos como encontrar a inversa de uma função, temos um 
vídeo bem interessante. 
https://www.youtube.com/watch?v=mRIW3fFw3eE 
 Sabemos que uma função f relaciona valores de y a partir de certos 
valores de x. Mas será que temos como fazer o processo inverso, ou 
seja, conhecendo y, saber qual é o valor de x? 
? xy
yx


 
Caso exista essa possibilidade, temos uma situação onde é feita a 
inversão de uma função. Para podermos determinar a inversa de uma 
função f, essa função f deve ser bijetora. Mas o que é uma função 
bijetora? Uma função bijetora é uma função que atende a seguinte 
condição: 
para 
)()( 2121 xfxfxx 
 e 
ffCD Im
, 
 
 
Ou seja, cada valor de y deve estar associado a um único valor de x e 
todos os valores do contradomínio devem estar associados aos 
elementos do domínio de f. 
Bom, agora que sabemos o que é uma função bijetora, podemos definir 
o que é uma função inversa. 
Se f é uma função bijetora com domínio A e imagem B, então f-1 (função 
inversa de f) é a função com domínio em B e imagem em A definida por 
f-1(b)=a se e somente se f(a)=b. 
Podemos visualizar o que é uma função inversa observando a imagem 
a seguir. 
 
Se f relaciona s elementos do conjunto A com os elementos do conjunto 
B, a inversa f-1 relaciona esses elementos de B com os elementos do 
conjunto A. É bom ressaltar que nem todas as funções possuem 
inversa. 
1. Para as funções dadas a seguir, faça a representação gráfica e 
utilize o teste da linha horizontal para verificar se a função terá 
inversa. 
a) 
b) 
 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
Resolução: O teste da linha horizontal consiste em imaginar linhas 
horizontais para verificar se cortam o gráfico em uma única posição 
(função bijetora que admitirá inversa), ou em mais de uma posição 
(função não admitirá inversa). 
a) Admite inversa 
 
b) Admite inversa 
 
 
 
c) Admite inversa 
 
d) Não admite inversa 
 
e) Admite inversa 
 
f) Admite inversa 
 
 
g) Admite inversa 
 
 
 
Vamos assistir ao professor Ricardo falando um pouco mais sobre as 
funções inversas? Acesse o material on-line! 
 
Exemplos relacionados às funções inversas 
Em diversas situações práticas podemos fazer uso das funções 
inversas. Por exemplo, se temos o lucro em função das vendas dado 
por 
L=1,5x-2000 
É possível estimarmos as vendas em função do lucro: 
 
 
5,1
2000
20005,1
20005,1
20005,1





L
x
Lx
Lx
xL
 
Por exemplo, se o lucro mensal foi de R$ 8.500,00, o número de 
unidades vendidas foi igual a 7.000, pois 
7000
5,1
10500
5,1
20008500
5,1
2000






x
x
x
L
x
 
Esse é um exemplo da utilização de funções inversas em situações 
reais. 
O exemplo nos mostra como podemos determinar a inversa de uma 
determinada função. 
Seja 
1
)(


x
x
xf
. Determine 
)(1 xf 
. 
Considerando a função 
1
)(


x
x
xf
, com o intuito de simplificarmos a 
notação utilizada, podemos fazer 
)(xfy 
. Logo 
1

x
x
y
 
Vamos agora escrever y no lugar de x e x no lugar de y 
1

y
y
x
 
O nosso objetivo é isolar y para que tenhamos a função inversa. Para 
isso vamos multiplicar os dois membros por y+1 
 
yyx  )1(
 
Multiplicando x por y e x por 1, temos: 
yxxy 
 
Subtraindo x e subtraindoy dos dois membros, temos: 
xyxy 
 
Vamos agora colocar y em evidência: 
xxy  )1(
 
O próximo passo é dividir ambos os membros por x-1: 
1


x
x
y
 
Como a variável x está no numerador com o sinal negativo, podemos 
ainda simplificar essa expressão. Para isso, vamos colocar, no 
denominador, o sinal negativo em evidência: 
)1( 


x
x
y
 
Finalmente, comparando os sinais do numerador e do denominador, 
temos a função inversa dada por: 
x
x
y


1
 
Vamos ver agora diversos exemplos de funções e, caso existam, suas 
respectivas inversas. 
)(xf
 
)(1 xf 
 
15 x
 
5
1x
 
1
1


x
x
 
1
1


x
x
 
 
 
2x
 A função f(x)=x2 não possui 
inversa, pois f não é bijetora. 
Contra-exemplo: f(2)=4 e f(-
2)=4. 
3x
 
3 x
 
xe
 
xln
 
23 x
 
3
2
,
3
22


x
x 
 
1. Calcule as funções inversas das funções dadas. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
Resolução: 
a) Para a função: faz-se e isolando y 
vem ou . A seguir o gráfico das duas funções, a 
original e a inversa. 
 
 
b) Para a função faz-se e isolando y vem 
que é a mesma função original. 
 
c) Para a função: faz-se e isolando y 
vem ou . A seguir os gráficos das duas 
funções, a original e a inversa: 
 
 
 
d) Para a função: faz-se e elevando 
ao quadrado tem-se e isolando . A seguir os 
gráficos das duas funções, a original e a inversa: 
 
e) Para a função: faz-se a troca de variáveis 
obtendo-se e invertendo as frações tem-se 
 que pode ser reescrito ou 
. Aplicando mmc no lado esquerdo vem e finalmente 
invertendo as frações tem-se . 
 
Acesse o material on-line e confira a apresentação do professor Ricardo 
sobre diversos problemas envolvendo funções inversas! 
 
 
Ponto de equilíbrio 
Estamos chegando ao final dos temas relacionados à nossa disciplina 
de Introdução ao Cálculo. Para finalizarmos, vamos falar sobre ponto de 
equilíbrio. Matematicamente, quando pensamos em ponto de equilíbrio, 
estamos pensando em igualdade entre funções. Essas igualdades 
podem estar relacionadas a equilíbrio entre oferta e demanda, entre 
receitas e despesas... 
O vídeo a seguir está relacionado ao ponto de equilíbrio. 
https://www.youtube.com/watch?v=Z-ydL91brmI 
Vamos ver agora um exemplo prático que nos mostra a importância do 
ponto de equilíbrio. 
Uma empresa comercializa um determinado produto a um preço de R$ 
50,00. Logo, a receita total dessa empresa consiste em ganhos 
relacionados diretamente à venda desses produtos. A função receita é 
R(x)=50x 
Onde R indica a receita total e x indica a quantidade de produtos 
comercializados. 
Temos ainda que cada produto tem um custo de R$ 30,00 e também 
que, mensalmente, essa empresa possui custos fixos que totalizam R$ 
5.000,00. Logo, a função que associa o custo C com a quantidade de 
produtos vendidos x é 
C(x)=30x+5000. 
Para determinarmos o ponto de equilíbrio dessa empresa ou, nesse 
caso, o número de unidades que devem ser vendidas para que essa 
empresa consiga pagar os seus custos e também qual é a receita 
referente a esse volume de vendas precisamos escrever uma 
 
 
expressão onde a receita R deve ser igual ao custo C e, em seguida, 
isolarmos o valor e x. 
250
20
5000
500020
50003050
50003050





x
x
x
xx
xx
 
Com isso, sabemos que a empresa precisa vender 250 unidades do 
seu produto para que possa pagar os seus custos. 
Vamos agora determinar qual é essa receita, em reais. 
Como R(x)=50x, R(250)=50(250). Logo, R(250)=12.500. Do mesmo 
modo, C(250)=12.500. 
Graficamente, o ponto de equilíbrio consiste na intersecção dos gráficos 
das funções R(x)=50x e C(x)=30x+5000. 
 
Uma grande empresa pretende terceirizar o serviço de manutenção de 
computadores e tem dois possíveis contratos que estão em análise. No 
primeiro contrato a empresa prestadora de serviço cobra uma taxa 
mensal de R$ 1.200,00 mais R$ 50,00 para cada computador que 
precisou de manutenção. No segundo contrato não há taxa mensal, 
 
mas o custo por computador que precisou de manutenção é de R$ 
100,00. 
Sob o ponto de vista financeiro, qual dos dois contratos é mais 
vantajoso em relação ao número de computadores que precisam 
mensalmente de manutenção? 
Resolução: 
fA=50x+1200 
fB=100x 
fA=fB 
50x+1200=100x 
50x-100x=-1200 
-50x=-1200 x(-1) 
50x=1200 
x=1200/50 
x=24 
Para até 24 computadores mensais, o contrato B é mais vantajoso. 
Para 24 computadores ou mais por mês, o contrato A é mais vantajoso. 
 No material on-line, o professor Ricardo aborda os principais conteúdos 
relacionados ao ponto de equilíbrio. Não deixe de acessar! 
 
Aplicações 
 
Vamos agora ver que podemos utilizar os conhecimentos adquiridos 
para que possamos tomar decisões em problemas reais. 
 
 
Como exemplo, vamos considerar uma empresa de planos de saúde 
que oferece duas opções para os seus clientes: 
Plano A: mensalidade de R$ 100,00 mais R$ 50,00 por consulta. 
Plano B: mensalidade de R$ 150,00 mais R$ 25,00 por consulta. 
Supondo que as demais coberturas tais como exames, cirurgias, 
internamentos e atendimentos de emergência são iguais para os dos 
planos, qual é o plano que mais se adapta às características de um 
determinado cliente, em função do número de consultas mensais? 
 Para que possamos determinar qual é a melhor escolha, vamos, 
primeiro, escrever as funções que relacionam o valor mensal a ser pago 
pelo cliente com o número de consultas realizadas. Para isso, basta, 
para cada plano, multiplicarmos o valor de cada consulta por x, que 
corresponde ao número de consultas por mês e, em seguida, 
somarmos esse valor ao preço da mensalidade, que é constante. 
A: f(x)=50x+100 
B: g(x)=25x+150 
 Para determinarmos o ponto de equilíbrio, vamos igualar as funções f e 
g e em seguida determinar o valor de x. 
2
25
50
5025
1001502550
1502510050





x
x
x
xx
xx
 
Chegamos à conclusão que o ponto de equilíbrio ocorre quando x é 
igual a 2, ou seja, quando temos duas consultas por mês os dois panos 
têm o mesmo custo para o cliente. Precisamos agora determinar qual 
plano é financeiramente mais vantajoso para quem tem, em média, até 
duas consultas por mês e para quem tem mais do que duas consultas 
mensais. 
 
O plano que tem uma mensalidade menor é mais vantajoso para quem 
tem poucas consultas por mês, ou seja, o plano A é mais vantajoso 
para até duas consultas mensais. Por outro lado, o plano B é mais 
vantajoso para mais do que duas consultas mensais, pois esse 
apresenta um valor menor por consulta, mesmo tendo uma 
mensalidade maior do que a mensalidade cobrada pelo plano A. 
Graficamente, temos a seguinte situação: 
 
O valor a ser pago, tanto no plano A quanto no plano B, para duas 
consultas corresponde a R$ 200,00. Para chegarmos a esse valor, 
basta substituirmos x por 2 na função f(x)=50x+100 ou na função 
g(x)=25x+150. 
 Podemos entender melhor essa aplicação assistindo ao vídeo do 
professor Ricardo no material on-line! 
 
Na prática 
Lembra-se do problema colocado no início da aula? 
 Precisamos decidir sob o ponto de vista financeiro qual dos dois 
planos de telefonia celular é mais viável. Sabemos que o primeiro plano 
tem uma mensalidade de R$ 39,90 e que cada minuto adicional tem um 
custo de R$ 0,79. 
 O segundo plano tem uma mensalidade de R$ 49,90 e cada 
minuto adicionalcusta R$ 0,69. 
 
 
 Como o primeiro plano tem uma mensalidade menor, é mais 
viável para poucos minutos adicionais. O segundo plano tem um custo 
menor por minuto adicional. 
Logo, até quantos minutos adicionais o primeiro plano é melhor? 
A partir de quantos minutos o segundo plano é melhor? 
Resolução 
Para podermos resolver esse problema, precisamos encontrar o ponto 
de equilíbrio, que é o ponto onde os custos mensais dos dois planos 
são iguais para um certo número de minutos adicionais. 
Primeiro, vamos escrever a função que relaciona o custo total do 
primeiro plano com o número de minutos adicionais: 
y=0,79x+39 
Onde y é o custo total por mês e x é o número de minutos adicionais. 
Em relação ao segundo plano, a função que relaciona o custo mensal y 
com os minutos adicionais x é dada por: 
y=0,69x+49 
Podemos encontrar o ponto de 
equilíbrio igualando as duas funções: 
0,79x+39=0,69x+49 
Agora precisamos colocar no 
primeiro membro os termos que 
contêm a variável x e no 
segundo membro os termos 
independentes: 
0,79x-0,69x=49-39 
 
Efetuando as subtrações, temos: 0,1x=10 
Dividindo ambos os membros por 0,1, 
temos: 
0,1x/0,1=10/0,1 
Logo: x=100 
 
 
Portanto, o valor de x que iguala o custo dos dois planos é 100, ou seja, 
até 100 minutos adicionais o primeiro plano é mais vantajoso e a partir 
de 100 minutos adicionais o segundo plano é mais vantajoso. Observe 
que nesse caso não estamos considerando outros planos, mas 
poderíamos comparar esse resultado com planos de 100 ou mais 
minutos para verificar o que é mais vantajoso. 
 
Síntese 
Chegamos ao final da última aula de Pré-Cálculo! 
Nessa aula tratamos de funções compostas e de funções inversas. 
Vimos que elas podem ser muito úteis na resolução de problemas 
práticos. Tratamos também de ponto de equilíbrio e da importância 
desse tema no processo de tomada de decisões. 
Para saber mais, a sugestão é a leitura dos capítulos 13 e 14 da obra 
Pré-Cálculo dos autores Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D. 
Foley e Daniel Kennedy, 2a edição, editora Pearson, disponível na 
Biblioteca Virtual. 
Até uma próxima vez! 
 
Referências 
DEMANA, F.D.; WAITS, B.K.; FOLEY, G.D.; KENNEDY, D. Pré-
Cálculo. 2a Ed, São Paulo, Pearson, 2013.