Na questão 3 de Pré-Cálculo, considere as funções ????(????) = √????³ e ????(????) = √????³ − 1/3 − 1. Esboce o gráfico de ???? = ????(????). Encontre o domínio da f...
(a) Esboce o gráfico de ???? = ????(????). Encontre o domínio da função ???? = ????(????). Esboce o seu gráfico usando transformações em gráfico (translações, reflexões...) a partir do gráfico da função ???? = ????(????). Explique essas transformações em palavras. Esboce os gráficos transformados a partir do gráfico da função ???? = ????(????) até chegar ao gráfico da função ???? = ????(????).
(b) Encontre os pontos em que o gráfico da função ???? = ????(????) corta os eixos coordenados. Observando o gráfico da função ???? = ????(????), diga qual é a sua imagem. Explique porque a função ????: ℝ ⟶ ℝ é invertível. Encontre a expressão da função inversa ???? = ????⁻¹(????). Responda qual é o domínio e a imagem da função inversa ???? = ????⁻¹(????).
(c) Esboce, agora, em um mesmo par de eixos coordenados o gráfico da função ???? = ????(????), da função inversa ???? = ????⁻¹(????). Explique a construção desse gráfico. Encontre os pontos em que o gráfico de ???? = ????⁻¹(????) corta os eixos coordenados. Identifique nos gráficos de ???? = ????(????) e de ???? = ????⁻¹(????) os pontos onde esses gráficos tocam ou cortam os eixos coordenados.
Não há alternativas nesta questão.
💡 1 Resposta
Ed 
Para esboçar o gráfico de ???? = ????(????), podemos começar encontrando o domínio da função. Como a raiz quadrada só está definida para valores não negativos, o domínio de ???? = ????(????) é o conjunto de todos os valores de ???? para os quais ????³ é não negativo, ou seja, o domínio é ℝ. Para esboçar o gráfico, podemos começar com o gráfico da função ???? = √????³. Esta função é uma raiz cúbica, que tem a forma de um "S" invertido. Podemos então aplicar uma translação vertical de 1 unidade para baixo para obter o gráfico da função ???? = √????³ − 1/3 − 1. Para encontrar a função inversa, podemos trocar ???? e ????³ na equação ???? = √????³ e resolver para ????³ em termos de ????: ???? = √????³ ????² = ????³ (????²)^(1/3) = ???? Assim, a função inversa é ???? = ????⁻¹(????) = (????²)^(1/3). O domínio da função inversa é o conjunto de todos os valores de ???? para os quais ????² é não negativo, ou seja, o domínio é ℝ. A imagem da função inversa é o conjunto de todos os valores de ???? que podem ser escritos na forma ???? = (????²)^(1/3), ou seja, a imagem é ℝ. Para esboçar o gráfico da função inversa, podemos começar com o gráfico da função ???? = (????²)^(1/3). Esta função é uma raiz cúbica, que tem a forma de um "S". Podemos então aplicar uma translação horizontal de 1 unidade para a direita para obter o gráfico da função inversa ???? = ????⁻¹(????). Os pontos em que o gráfico de ???? = ????(????) corta os eixos coordenados são (0,0) e (-1,0). A imagem da função ???? = ????(????) é o conjunto de todos os valores de ???? que podem ser escritos na forma ???? = √????³ − 1/3 − 1, ou seja, a imagem é ℝ. Os pontos em que o gráfico de ???? = ????⁻¹(????) corta os eixos coordenados são (0,0) e (0,-1). Os gráficos de ???? = ????(????) e de ???? = ????⁻¹(????) se tocam no ponto (1,0) e se cortam no ponto (-1,-1).
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