PRE AULA5 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS

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Conversa inicial 
Olá! Estamos começando mais uma aula de Pré-Cálculo. 
Nesta aula, vamos falar sobre as funções exponenciais e sobre as 
funções logarítmicas. As funções exponenciais são muito importantes 
em problemas relacionados a juros compostos, crescimento 
populacional, decaimento exponencial, além de outras situações. 
Em relação às funções logarítmicas, podemos destacar a aplicação em 
problemas onde o objetivo é determinarmos o tempo de uma aplicação 
financeira ou o tempo relativo ao crescimento da população de uma 
certa região. 
Vamos, inicialmente, assistir ao vídeo do professor Ricardo sobre os 
conteúdos dessa aula? Para isso, acesse o material on-line! 
Contextualizando 
As funções exponenciais a as funções logarítmicas estão presentes em 
muitas situações do nosso cotidiano. Veremos nesta aula que o 
crescimento do valor de uma dívida ou de um investimento seguem 
uma função exponencial quando juros compostos são utilizados. 
Pré-Cálculo - Aula 05
Prof.: Ricardo Zanardini
 
 
 
Se uma dívida inicial corresponde a R$ 1.500,00, após 12 meses a uma 
taxa de juros de 12% ao mês o montante (valor inicial mais juros 
cobrados) será de R$ 5.843,96. 
Além do crescimento de uma dívida, as funções exponenciais estão 
relacionadas às notas de escalas musicais, crescimento populacional 
entre muitas outras aplicações. O mesmo ocorre com os logaritmos. 
Podemos encontrar aplicações na música, nas finanças, nas 
engenharias, na química, etc. 
 
Funções exponenciais 
As funções exponenciais são funções escritas sob a forma: 
  xbaxf .
 
Onde a é diferente de zero, b é positivo e b é diferente de 1. O termo a 
é o valor da função quando x é igual a zero. O termo b é a base. 
Uma função exponencial pode ser crescente ou decrescente. Se b > 1, 
a função é crescente e se 0 < b < 1, a função é decrescente. 
O gráfico ao lado ilustra duas 
funções exponenciais: uma delas é a 
 
função crescente 
xy 2
 e a outra é 
a função decrescente x
y
2
1

. 
 Na primeira função, a base b é igual a 2, maior do que 1 e na segunda 
função, b é igual a ½, maior do que zero e menor do que 1. 
Confira a seguir dois vídeos sobre as funções exponenciais e algumas 
aplicações: 
https://www.youtube.com/watch?v=PaJKaKbLiZE&index=37&list=PLf4a
sln_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc 
https://www.youtube.com/watch?v=97L0P6efU3Y&index=55&list=PLf4a
sln_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc 
 O comportamento de uma função exponencial possui características 
que podem ser observadas no exemplo a seguir. Vamos pensar em um 
capital de R$ 100,00 que foi emprestado a uma taxa mensal de juros 
compostos de 10% ao mês. Relembrando, a fórmula que relaciona o 
montante M com o capital C, a taxa composta i e o tempo n é 
M=C(1+i)n. A tabela a seguir apresenta o valor da dívida mês a mês. 
n M=C(1+i)n R$ 
0 100x1,10 R$ 100,00 
1 100x1,11 R$ 110,00 
2 100x1,12 R$ 121,00 
3 100x1,13 R$ 133,10 
4 100x1,14 R$ 146,41 
5 100x1,15 R$ 161,05 
6 100x1,16 R$ 177,16 
7 100x1,17 R$ 194,87 
8 100x1,18 R$ 214,36 
9 100x1,19 R$ 235,79 
10 100x1,110 R$ 259,37 
11 100x1,111 R$ 285,31 
12 100x1,112 R$ 313,84 
 
 
 
Note que a cada mês o valor da dívida é 10% maior do que o valor da 
dívida no mês anterior. Por esse motivo, a cada mês multiplicamos a 
dívida do mês anterior por 1,1, o que corresponde a 100% mais o 
acréscimo de 10%, pois 100%+10%=110%, o que, na forma decimal, é 
igual a 1,1. Esse crescimento é o que caracteriza a função exponencial. 
Abaixo, o gráfico apresenta o crescimento exponencial da dívida em 
relação ao avanço do tempo. 
 
 O valor de b corresponde a 1,1 e, por isso, a função é crescente. Para a 
construção do gráfico, utilizamos valores inteiros para o expoente n, 
mas esse expoente pode assumir qualquer valor real. Nesse caso, 
podemos dizer que a função é contínua, pois não há restrições em 
relação ao domínio. É claro que, por questões práticas, n deve ser 
maior ou igual a zero. Mas, matematicamente, n pode assumir também 
valores negativos. 
1. Nas funções dadas a seguir, identifique as que são 
exponenciais, o fator de multiplicação e o valor da base. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
 
Resolução: 
 
a) Função exponencial, com fator de multiplicação igual a 3, e base 
igual a 2. 
b) Não é função exponencial pois a variável x está na base. 
c) Função exponencial, com fator de multiplicação igual a 5, e base 
igual a “e”=2,7182... 
d) Função exponencial, podendo ser reescrita 
com fator de multiplicação igual 
a 4 e base igual a 1/3. 
e) Função exponencial com fator de multiplicação igual a -2, e base 
igual a ¼. 
f) Função exponencial, com fator de multiplicação igual a 5 e base 
igual a 3, pois a função pode ser rescrita como 
 
1) Considerando os valores da tabela a seguir, verifique se é 
uma função exponencial. Em caso afirmativo determine o fator de 
multiplicação, a base e escreva a equação. Identifique se é uma 
função de crescimento exponencial ou de decaimento 
exponencial. 
a) Dados: 
x f(x) 
-2 ¾ 
-1 3/2 
0 3 
1 6 
2 12 
 
 
 
Resolução: Observando-se os valores de f(x), ocorre uma multiplicação 
do valor da função por 2, a cada novo valor de x, isto identifica uma 
função exponencial (e consequentemente o valor da base, neste caso 
igual a 2). Para determinar o fator de multiplicação, toma-se sempre o 
valor da função quando x = 0, neste caso o valor é 3. A função 
exponencial é escrita como sendo . Função de 
crescimento exponencial (pois a base b = 2 é maior que 1) 
b) Dados: 
x f(x) 
-2 1 
-1 3 
0 9 
1 27 
2 81 
 
Resolução: Observando-se os valores de f(x), ocorre uma multiplicação 
do valor da função por 3, a cada novo valor de x, isto identifica uma 
função exponencial (e consequentemente o valor da base, neste caso 
igual a 3). Para determinar o fator de multiplicação, toma-se sempre o 
valor da função quando x = 0, neste caso o valor é 9. A função 
exponencial é escrita como sendo . Função de 
crescimento exponencial (pois a base b = 3 é maior que 1) 
c) Dados: 
x f(x) 
-2 15 
-1 5 
0 5/3 
1 5/9 
2 5/27 
 
 
Resolução: Observando-se os valores de f(x), ocorre uma 
multiplicação do valor da função por 1/3 ou uma divisão por 3, a cada 
novo valor de x, isto identifica uma função exponencial (e 
consequentemente o valor da base, neste caso igual a 1/3). Para 
determinar o fator de multiplicação, toma-se sempre o valor da função 
quando x = 0, neste caso o valor é 5/3. Então a função exponencial é 
escrita como sendo . Função de 
decaimento exponencial (pois a base b = 1/3 é menor que 1) 
d) Dados: 
x f(x) 
-2 10 
-1 7 
0 6 
1 7 
2 10 
 
Resolução: Observando os valores de f(x) não é possível perceber 
multiplicação por um valor, ou divisão por um valor, na sequência dos 
valores da função. Desta forma, NÃO É UMA FUNÇÃO 
EXPONENCIAL. 
e) Dados: 
x f(x) 
-2 30 
-1 10 
0 10/3 
1 10/9 
2 10/27 
 
 
 
Resolução: Observando-se os valores de f(x), ocorre uma divisão do 
valor da função por 3, a cada novo valor de x, isto identifica uma função 
exponencial (e consequentemente o valor da base, neste caso igual a 
1/3). Para determinar o fator de multiplicação, toma-se sempre o valor 
da função quando x = 0, neste caso o valor é 10/3. Então a função 
exponencial é escrita como sendo . 
Função de decaimento exponencial (pois a base b = 1/3 é menor que 1) 
 
2. Transforme as funções exponenciais dadas para a forma de 
exponencial envolvendo a base “e”. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f)g) 
 
Resolução: 
Para fazer a transformação das funções exponenciais na forma 
 para a base “e”, na forma é 
necessário calcular o valor de “k” como sendo o logaritmo neperiano do 
valor “b” da base original. 
 
a) Na equação exponencial tem-se b = 2 cujo 
logaritmo neperiano é ln (2) = 0, 693 147 180 559 .... e considerando 
6 casas decimais, tem-se ln (2) = 0,693 147 que é utilizado na 
equação resultando: 
b) Na equação exponencial tem-se b = 3 cujo 
logaritmo neperiano é ln (3) = 1, 098 612 288 688 .... e considerando 
6 casas decimais, tem-se ln (3) = 1,098 612 que é utilizado na 
equação resultando: 
c) Na equação exponencial tem-se b = 3 cujo 
logaritmo neperiano é ln (3) = 1, 098 612 288 688 .... e considerando 
6 casas decimais, tem-se ln (3) = 1,098 612 que é utilizado na 
equação resultando: 
d) Na equação exponencial tem-se b = 6 cujo 
logaritmo neperiano é ln (6) = 1, 791 759 469 228 .... e considerando 
6 casas decimais, tem-se ln (6) = 1,791 759 que é utilizado na 
equação resultando: 
e) Na equação exponencial tem-se b = 5 cujo 
logaritmo neperiano é ln (5) = 1, 609 437 912 434 .... e considerando 
6 casas decimais, tem-se ln (5) = 1,609 437 que é utilizado na 
equação resultando: 
f) Na equação exponencial tem-se b = 4 cujo 
logaritmo neperiano é ln (4) = 1, 386 294 361 119 .... e considerando 
6 casas decimais, tem-se ln (4) = 1,386294 que é utilizado na 
equação resultando: 
 
 
g) Na equação exponencial tem-se b = 10 e 
logaritmo neperiano é ln (10) = 2,302 585 092 994 .... e considerando 
6 casas decimais, tem-se ln (10) = 2,302 585 que é utilizado na 
equação resultando: 
Acesse o material on-line e assista ao vídeo do professor Ricardo sobre 
funções exponenciais! 
 
Aplicações das funções exponenciais 
As funções exponenciais têm diversas aplicações em problemas reais. 
Além dos juros compostos, as funções exponenciais são muito comuns 
em problemas relacionados ao crescimento populacional, ao 
comportamento das frequências das notas musicais relativas à escala 
ocidental, problemas envolvendo oferta e demanda, depreciação, meia-
vida de uma substância, entre outros. 
Em relação a problemas sobre meia-vida de uma substância, a 
decomposição ou desintegração de determinadas substâncias também 
acontece segundo um padrão exponencial. A chamada meia-vida de 
uma substância é o tempo necessário para que essa substância reduza 
a sua massa pela metade. Para exemplificarmos, vamos considerar um 
medicamento de 25 mg que, a cada hora, tem a seguinte concentração: 
f(0) = 25 
f(1) = 12,5 
f(2) = 6,125 
f(3) = 3,0625 
f(4) = 1,53125 
f(5) = 0,78125 
 
Observe que a meia-vida segue um comportamento exponencial 
descrito pela expressão 
f(x) = a.bx. 
Logo: 
f(x) = 25(1/2)x. 
O valor de a é 25, pois é o valor da função quando x é igual a zero. A 
base b é igual a ½, pois a cada hora a concentração do medicamento é 
reduzida pela metade. Graficamente, temos: 
 
A função é decrescente, pois b = ½, valor que está entre 0 e 1. 
Uma outra aplicação das funções exponenciais consiste no estudo do 
crescimento da população de uma determinada localidade. Como 
exemplo, vamos considerar o crescimento populacional do México. A 
tabela abaixo apresenta a população do México, em milhões de 
habitantes, de 1980 a 1986. 
 
Ano 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 
População 
(em milhões) 
67,38 69,13 70,93 72,77 74,66 76,60 78,59 
 
 
 
Para verificarmos se o crescimento é exponencial, vamos dividir a 
população de cada ano pela população do ano anterior: 
026,1
milhões 38,67
milhões 13,69
1980 de população
1981 de população

 
026,1
milhões 13,69
milhões 70,93
1981 de população
1982 de população

 
026,1
milhões 70,93
milhões 72,77
1982 de população
1983 de população

 
026,1
milhões 72,77
milhões 74,66
1983 de população
1984 de população

 
026,1
milhões 74,66
milhões 76,60
1984 de população
1985 de população

 
026,1
milhões 76,60
milhões 78,59
1985 de população
1986 de população

 
O resultado é de 1,026 para todos os valores obtidos a partir da divisão 
da população de um ano pela população do ano anterior. Sendo assim, 
podemos escrever que 
   ttP 026,138,67
 
Onde P é a população e t é o tempo em anos contado a partir de 1980. 
Graficamente, podemos observar o crescimento populacional em 
relação ao tempo. 
Crescimento Populacional do México
60,0000
65,0000
70,0000
75,0000
80,0000
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Ano
Po
pu
laç
ão
População
 
 
A frequência das notas musicais também é um caso onde há um 
crescimento exponencial. A frequência de uma certa nota musical 
corresponde a 1,0594 vezes a frequência da nota musical anterior. Na 
tabela abaixo estamos considerando as frequências das notas musicais 
a partir de uma nota lá cuja frequência é igual a 220 Hz. A sigla Hz é 
utilizada internacionalmente para indicar o número de oscilações a cada 
segundo. O ouvido humano consegue ouvir frequências que variam de 
20 Hz a 20.000 Hz. Quanto maior a frequência, mais agudo é o som. 
lá 220 Hz 
lá# 233,0819 Hz 
si 246,9417 Hz 
dó 261,6256 Hz 
dó# 277,1826 Hz 
ré 293,6648 Hz 
ré# 311,127 Hz 
mi 329,6276 Hz 
fá 349,2282 Hz 
fá# 369,9944 Hz 
sol 391,9954 Hz 
sol# 415,3047 Hz 
lá 440 Hz 
 
Se dividirmos a frequência de uma nota musical pela frequência da nota 
anterior, podemos verificar que essa razão é sempre igual a 1,0594, um 
aproximação com quatro casas decimais para a razão 1,059463094... A 
função exponencial que relaciona a frequência das notas musicais é 
 
 
f(x) = 220(1,0594)x, x = 0, 1, 2,... 
O gráfico é: 
Frequências de Notas Musicais
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
 
Uma outra aplicação está relacionada à Biologia. O número de 
bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se, inicialmente, 
existem 8 bactérias nesse meio, ao fim de 10 horas o número de 
bactérias será igual a quanto? 
Para esse problema, os dados são: 
a = 8 
b = 2 
x = 10 
Logo,  
 
 
 
  8192
1024x8
2.8
2.8
.
10





xf
xf
xf
xf
baxf
x
x
 
Portanto, o número de bactérias nesse meio, após 10 horas, é igual a 
8.192. 
 
 
1. Considere o modelo de crescimento exponencial de população 
 onde é a população inicial, r é taxa 
percentual anual expressa em decimais e t é o tempo expresso em 
anos. Escreva como estimar a população para as seguintes 
situações, e faça as previsões para os próximos 3 anos. 
a) População atual de 350.000 habitantes e com taxa de 
crescimento de 1,25 % a.a. 
b) População atual de 128.357 habitantes com taxa de crescimento 
de 1,45 % a.a. 
c) População atual de 1.453.324 habitantes com taxa de 
crescimento de 0,7 % a.a. 
d) População atual de 52.350 habitantes com taxa de crescimento 
de -0,8 % a.a. 
e) População atual de 253.432 habitantes com taxa de crescimento 
de -1,32 % a.a. 
 
Resolução: 
 
a) População atual de 350.000 habitantes e com taxa de 
crescimento de 1,25 % a.a. Tem-se = 350.000, e 
 que substituindo na fórmula 
 resulta 
. 
Para as previsões para os próximos 3 anos deve-se substituir os 
valores 1 na posição da variável t (para o ano 2016 que é um ano 
além do atual considerado 2015) resultando em: 
 
E o valor 2 para o ano de 2017 resultando: 
 
 
. 
Este valor deve ser arredondadopois a quantidade de pessoas é um 
valor inteiro resultando 358 805 pessoas. Para o ano de 2018 utiliza-
se o valor 3 para a variável t, resultando 
que deve ser 
arredondado para 363 290 habitantes. 
Ano População 
2016 354 375 
2017 358 805 
2018 363 290 
b) População atual de 128.357 habitantes com taxa de crescimento 
de 1,45 % a.a. . Tem-se = 128.357 , e que 
substituindo na fórmula resulta 
. 
Para as previsões para os próximos 3 anos resulta em 
, que 
arredondado resulta 130 218. O valor 2 para o ano de 2017 resultando 
 com 
arredondamento para 132.106 habitantes. Para o ano de 2018 utiliza-
se o valor 3 para a variável t, resultando 
que deve ser 
arredondado para 134.022 habitantes. 
Ano População 
2016 130 218 
2017 132 106 
2018 134 022 
 
 
 
c) População atual de 1.453.324 habitantes com taxa de 
crescimento de 0,7 % a.a. Tem-se = 1.453.324 , e 
 que substituindo na fórmula 
 resulta : 
. 
Para as previsões para os próximos 3 anos resulta em 
, que arredondado 
resulta 1 463 497. O valor 2 para o ano de 2017 resultando 
 com 
arredondamento para 1 473 742 . Para o ano de 2018 utiliza-se o valor 
3 para a variável t, resultando 
arredondado p/ 
1 484 055 habitantes. 
ano População 
2016 1 463 497 
2017 1 473 742 
2018 1 484 055 
 
d) População atual de 52.350 habitantes com taxa de crescimento 
de -0,8 % a.a. Tem-se = 52.350 , e que 
substituindo na fórmula resulta 
. Para as 
previsões para os próximos 3 anos resulta em 
, que arredondado resulta 
 
 
51 931. O valor 2 para o ano de 2017 resultando 
 com arredondamento 
para 51 516 . Para o ano de 2018 utiliza-se o valor 3 para a variável t, 
resultando e deve 
ser arredondado para 51 104 habitantes. 
Ano População 
2016 51 931 
2017 51 516 
2018 51 104 
 
e) População atual de 253.432 habitantes com taxa de crescimento 
de -1,32 % a.a. Tem-se = 253 432 , e 
que substituindo na fórmula resulta 
. 
Para as previsões para os próximos 3 anos resulta em 
 que arredondado 
resulta 250 087 habitantes. O valor 2 para o ano de 2017 resulta 
 com 
arredondamento para 246 786 habitantes. Para o ano de 2018, utiliza-
se o valor 3 para a variável t, resultando 
que deve ser 
arredondado para 243 528 habitantes. 
ano População 
2016 250 087 
2017 246 786 
2018 243 8 
 
 
2. Escreva as funções exponenciais que satisfazem as condições 
dadas: 
a) Valor inicial = 10, crescente, com taxa de 15% a.a. 
b) Valor inicial = 55, crescente, com taxa de 2,5% a.m. 
c) Valor inicial = 23 437, decrescente, com taxa de 1,4% a.a. 
d) Valor inicial = 250 mg, decrescente, com taxa de 10% a hora. 
e) Valor inicial de massa de 2,4 g, dobrando o valor a cada 5 dias. 
f) Valor inicial de massa de 35 g, reduzindo a metade a cada 3 dias 
g) Valor inicial de massa de 50 g, reduzindo a metade a cada 10 
dias. 
 
Resolução: Algumas informações importantes: 
 O valor inicial sempre aparecerá na expressão de definição da 
função como a constante multiplicativa. 
 Se for um processo crescente, deve-se usar o sinal positivo após 
o 1 da fórmula, em caso de processo decrescente usar sinal negativo. 
 A taxa é sempre escrita na forma decimal, e não usando 
percentuais. Dobrar o valor significa aumento de 100% ou 100/100 = 1 
 
 Períodos diferentes de 1 ano, 1 mês, 1 dia ou 1 hora, irão 
modificar o expoente que será sempre dividido pela quantidade não 
unitária. 
a) a.a. 
b) a.m. 
c) a.a. 
d) a.h. 
 
 
e) em dias 
f) em dias 
g) em dias. 
No vídeo disponível no material on-line, o professor Ricardo nos 
apresenta algumas aplicações das funções exponenciais. 
 
O número “e” 
Vamos agora falar sobre um importante número descoberto pelo 
matemático suíço Leonard Euler. Esse número, chamado de número de 
Euler, é representado pela letra “e” e vale, aproximadamente, 
2,718281828459045... Usualmente fazemos e=2,72. 
Vamos assistir ao seguinte vídeo sobre o número e: 
https://www.youtube.com/watch?v=_z9Jpw9FtLk&index=73&list=PLf4as
ln_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc 
 Para encontrarmos o valor de e, utilizamos a expressão n
n







1
1
. 
Quanto maior for o valor de n, mais próximo de 2,718281828459045... 
está o valor de n
n







1
1
 . 
A tabela a seguir apresenta alguns desses valores. 
n 1 2 5 10 100 1000 10000 
10000
0 
n
n







1
1
 
2 2,25 
2,488
3 
2,593
7 
2,704
8 
2,716
9 
2,718
1 
2,718
3 
 
8459045...2,71828182
1
1lim 







n
x n
e
 
Abaixo, temos o gráfico da função 
  xexf 
. 
 
Fazendo uma análise do comportamento da função 
  xexf 
, temos as 
seguintes informações: 
Domínio: R 
Imagem: (0, 

) 
Contínua 
Crescente 
Não é simétrica 
Limitada inferiormente 
Assíntota horizontal: y=0 
0lim 
x
 e 

x
lim
 
 
O número e é muito importante no estudo do crescimento ou do 
decaimento exponencial onde a base dessas funções é esse número de 
Euler. 
O crescimento exponencial é dado por: 
 
 
  kteQtQ 0
 
Onde k é uma constante positiva e Q0 é o valor inicial Q(0). 
Vamos acompanhar a resolução de um exemplo relacionado ao 
crescimento exponencial. 
A estimativa é que daqui a t anos o número de habitantes de uma 
determinada cidade será de H(t)=3e0,02t milhões. Qual é o número atual 
de habitantes dessa cidade e qual é a estimativa para daqui a 10 anos? 
Considere e=2,72. 
A população atual é calculada fazendo t=0 e substituindo esse valor na 
função: 
H(0) = 3x2,720,02x0 
H(0) = 3x1 
H(0) = 3 milhões de habitantes 
Para calcularmos a população daqui a 10 anos, vamos fazer t=10 
H(10) = 3x2,720,02x10 
H(10) = 3x2,720,2 
H(10) = 3x1,221557 
H(10) = 3,664671 milhões de habitantes 
Em relação ao decaimento exponencial, temos uma função exponencial 
muito parecida com a função relativa à do crescimento exponencial, 
mas com o sinal negativo no expoente. 
Antes de apresentarmos um exemplo relacionado a uma aplicação do 
decaimento exponencial, vamos assistir a um vídeo sobre a meia vida 
do carbono 14. 
https://www.youtube.com/watch?v=9wR9CIDhTdU&index=95&list=PLf4
asln_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc 
 
 A forma da função que descreve o decaimento exponencial é: 
  kteQtQ  0
 
Onde k é uma constante positiva e Q0 é o valor inicial Q(0). 
Como exemplos, temos que a depreciação de um certo equipamento 
industrial é dado em função do tempo pela expressão D(t)=35000e-0,05t. 
Qual é o valor estimado desse equipamento para daqui a 5 anos? 
Considere e=2,72. 
Para encontrarmos o valor do equipamento daqui a 5 anos, vamos 
substituir a variável t por 5. 
D(5) = 35000x2,72-0,05x5 
D(5) = 35000x2,72-0,25 
D(5) = 35000x0,778677766 
D(5) = 27.253,72 
Nesse caso, o valor do equipamento com 5 anos de uso, em virtude da 
depreciação, é igual a R$ 27.253,72. 
Considere que em uma população de bactérias em uma amostra, a 
equação que expressa o desenvolvimento é dada por 
onde t é expresso em horas. 
a) Qual a população inicial de bactérias? 
b) Faça uma estimativa da população de bactérias a cada hora, 
para um período de 6 horas. 
Resolução: 
 
 
 
a) A população inicial de bactérias na amostra é obtida fazendo t = 
0 na equação de definição da função, resultando 
 bactérias. 
b) Para realizar a estimativa da população de bactérias, deve-se 
substituir o valor da variável t por 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , e 6 correspondentea 
cada hora após o início da observação, resultando na forma de tabela: 
Tempo 
(em horas) 
Cálculo usado 
(e 2,7182) 
População de bactérias 
1 
 
329,73 330 
2 
 
543,64 544 
3 
 
896,29 896 
4 
 
1477,72 1478 
5 
 
2436,31 2436 
6 
 
4016,74 4017 
 
Para entendermos melhor o que é o número e as respectivas 
aplicações, vamos assistir ao vídeo do professor Ricardo acessando o 
material on-line! 
 
Funções logarítmicas 
Vamos agora estudar as funções logarítmicas. A função logarítmica é o 
inverso da função exponencial. 
Antes e aprendermos mais sobre as funções logarítmicas, vamos 
assistir a três vídeos sobre logaritmos. 
 
O primeiro é um vídeo sobre decaimento exponencial e logaritmos. 
https://www.youtube.com/watch?v=mg_WijrTV8Q&index=97&list=PLf4a
sln_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc 
 O segundo vídeo é muito interessante e nos mostra aspectos 
importantes dos logaritmos. 
https://www.youtube.com/watch?v=tQe4Jz3pBlk&index=2&list=PLf4asln
_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc 
O terceiro vídeo relaciona as frequências das notas musicais com os 
logaritmos. 
https://www.youtube.com/watch?v=FhE2YScQbVY&index=74&list=PLf4
asln_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc 
Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 
0, é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o 
domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que 
zero e o contradomínio é o conjunto dos reais. Podemos dizer também 
que o logaritmo é o expoente de uma potência. É possível afirmar que: 
logax=y se e somente se ay=x. 
Por exemplo, temos 
a) log39=2, pois 32=9 
b) log71=0, pois 70=1 
c) log1010=1, pois 101=10 
Obs.: log10x = log x. Nesse caso podemos escrever, por exemplo, 
log10100 como log 100, que é igual a 2, pois 102 é igual a 100. Temos 
também o logaritmo natural logex = ln x onde a base é o número e. 
Podemos observar facilmente o comportamento da função logarítmica 
em comparação com a função exponencial. 
 
 
 
Observe que as duas funções são simétricas em relação à reta y=x. 
O vídeo a seguir se refere aos logaritmos decimais. 
https://www.youtube.com/watch?v=1FBXDtMclR8&list=UUWhuro_dMp3
wVDloVCbapDQ 
Algumas propriedades dos logaritmos são importantes e podem ser 
muito úteis na resolução de problemas que envolvem logaritmos. 
 
PnP
QP
Q
P
QPPQ
a
n
a
aaa
aaa
loglog
logloglog
logloglog








 
Uma outra relação bastante útil é a mudança de base, dada por 
b
x
x
a
a
b
log
log
log 
 
A mudança de base possibilita escrevermos um dado logaritmo em uma 
base conveniente. Por exemplo, podemos escrever o logaritmo de 3 na 
base 2 como sendo o quociente dos logaritmos de 3 e de 2, ambos na 
base 10, ou seja 
2log
3log
3log 2 
. 
1. Reescreva as expressões dadas, utilizando as propriedades de 
logaritmos. 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
Resolução: 
a) Na expressão nota-se que ocorre um produto no 
logaritmando, ou seja, 4 . x, podendo ser reescrito com emprego da 
propriedade relativa ao logaritmo de um produto ser igual à soma dos 
logaritmos de cada termo, resultando . 
b) Na expressão ocorre o logaritmo para uma divisão que 
pode ser reescrito como a subtração entre os logaritmos, resultando 
 
c) Na expressão tem-se o logaritmo de uma potência que 
pode ser reescrito como o expoente multiplicando o logaritmo da 
base, resultando 
d) Na expressão é possível reescrever o logaritmando 
utilizando uma potência tal como que pode ser 
reescrito como 
e) Para pode-se reescrever: 
 
 
 
 
2. Transforme as expressões dadas, para logaritmos na base 10. 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
Resolução: 
a) A expressão pode ser transformada para 
 cujos valores numéricos podem ser obtidos por uma 
calculadora como sendo e 
 Realizando-se a divisão tem-se: 
 para o 
resultado. 
b) Na expressão mudando para a base 10 de logaritmos, 
tem-se e utilizando os valores 
 e 
resulta 
para o resultado. 
 
c) Na expressão a base dos logaritmos é a base “e”, cujo 
valor é 2,718 281 828 959 ... resultando para a transformação 
 
d) Na expressão somente podemos empregar a 
propriedade de mudança de base. O resultando envolve a variável x, tal 
que 
3. Transforme as expressões dadas para logaritmos na base 
natural (ln) 
a) 
b) 
c) 
 
Resolução: 
a) Reescrevendo vem: 
b) Reescrevendo tem-se 
c) Reescrevendo 
 
4. Resolva as equações, determinando o valor das incógnitas. 
a) 
b) 
 
 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
 
Resolução: 
a) Para a equação deve-se isolar o valor da 
variável x, inicialmente passando o 27 que está no lado esquerdo 
(multiplicando), para o lado direito (dividindo), o que resulta 
e comparando as bases no lado 
esquerdo e no lado direito da igualdade observa-se os mesmos valores 
(no caso 1/3). Se as bases são iguais, os expoentes também são iguais 
resultando e isolando o x (mediante passar o 4 que está no 
 
lado esquerdo (dividindo) para o lado direito (multiplicando)) resulta 
para o valor da incógnita. 
Na equação passamos o 16 para o lado direito da 
igualdade, resultando e observamos que as 
bases são iguais de forma que os expoentes também devem ser iguais, 
resultando e passando o 3 para o lado direito da igualdade 
temos como solução. 
b) Para a equação deve-se passar o 3 do lado 
esquerdo para o lado direito da igualdade resultando: 
. As bases são diferentes pois no lado 
esquerdo temos base 4 e no lado direito temos base 2. Reescrevendo 
como base 2 o lado esquerdo da igualdade vem: 
 e reescrevendo a equação tem-se . 
Observando as bases são iguais, e pode-se igualar os expoentes de 
forma a ter ou para a solução. 
c) Na equação deixando somente a exponencial no 
lado esquerdo tem-se . Tem-se bases iguais e os 
expoentes devem ser iguais, resultando ou para 
a solução. 
 
 
d) Na equação emprega-se processo para isolar a 
variável x, de forma a obter que não pode ser reescrito 
usando mesmas bases. Tem-se a equação para ser 
resolvida, e aplicando logaritmos nos dois lados da igualdade (usando a 
base natural, ou seja logaritmo neperiano) vem 
com solução obtida pela aplicação 
da propriedade de logaritmos, ou seja , 
resultando . Passando o ln (5) para o lado direito 
vem . Enfim o 
valor da incógnita é dado por: ou 
que resulta 
e) Na equação isolando o termo com exponencial 
no lado esquerdo resulta ou e 
aplicando logaritmo neperiano (base natural) em ambos os lados da 
igualdade vem: . No lado esquerdo usando a 
propriedade relativa a potência em logaritmos resulta: 
. Então para a 
solução. 
f) Para a equação buscando isolar a exponencial 
vem ou simplesmente ou ainda 
 
 . Aplicando logaritmo natural nos dois lados da igualdade 
resulta ou E finalmente 
 como solução. 
g) Aplicando logaritmo nos dois lados da igualdade 
 resulta . No lado 
esquerdo utiliza-se a propriedade relativa a potência em logaritmos 
resultando . Deixando o fator 
 isolado no lado esquerdo da igualdade vem: 
 e buscando isolar a 
incógnita x vem e 
finalmente 
h) Na equação inicia-se a resolução 
passando o 4 para o lado direito em processo de divisão obtendo 
. Aplicando exponencial nos dois lados da 
igualdade vem: No lado esquerdo pode-se aplicar a 
propriedade relativa a exponencial e no lado direito da 
igualdadefaz-se o cálculo Tem-se 
 e passando o 2 para o lado direito em 
processo de soma resulta para a incógnita. 
i) Isolando o termo que envolve logaritmo na expressão 
 resulta Os 
 
 
sinais podem ser invertidos nos dois lados da igualdade (multiplicando 
por -1), resulta e usando a transformação para 
exponencial vem: de forma que resulta 
para a solução. 
j) Neste caso os termos envolvem logaritmos de mesma base 
 e pode-se passar um deles para o lado 
direito do sinal de igualdade, resultando nesta 
situação como os logaritmos são iguais, os logaritmandos também são 
iguais, resultando ou ou ainda para a 
solução. 
k) Para a solução de observa-se que 
todos os termos envolvem logaritmos de mesma base (base “e” ou 
natural). Passando um dos termos para o lado direito da igualdade, vem 
 No lado direito surge um sinal negativo que 
deve ser modificado utilizando a propriedade de logaritmo de potência 
 resultando para o lado direito 
Fazendo a substituição dos valores obtidos tem-se 
 e igualando os logaritmandos vem: e 
isolando x, resulta para o valor da incógnita. 
l) Para a equação passamos o 
segundo termo para o lado direito do sinal da igualdade resultando 
 . No lado esquerdo deve-se usar a propriedade 
relativa a potência de logaritmos resultando . 
 
Considerando que os logaritmandos sejam iguais tem-se que 
resultaria dois valores para x, ou seja e . Considerando 
que somente existem logaritmos de números positivos, deve-se excluir 
uma das respostas, restando apenas para a solução da 
equação. 
 
 
Para consolidarmos o que aprendemos até aqui, vamos assistir à aula 
do professor Ricardo no material on-line! 
 
Aplicações das funções logarítmicas 
Diversos problemas do nosso cotidiano podem ser resolvidos com o 
uso de logaritmos. O vídeo a seguir nos mostra alguns casos. 
https://www.youtube.com/watch?v=S39UT49IP0Q&list=UUWhuro_dMp
3wVDloVCbapDQ 
Um exemplo da utilização dos logaritmos consiste em determinarmos o 
tempo referente a uma aplicação financeira ou o tempo necessário para 
que os preços de determinados produtos atinjam um certo valor. O 
exemplo a seguir nos mostra isso. 
Em uma época de inflação média de 6,5% ao ano, em quanto tempo os 
produtos dobram o preço? 
Inicialmente precisamos determinar qual é a expressão que relaciona o 
tempo com a taxa de juros compostos, o capital e o montante. A partir 
da fórmula 
 niCM  1
 vamos isolar o n. Inicialmente vamos dividir 
ambos os membros por C. 
 
 
 ni
C
M
 1
 
Como o objetivo é isolarmos a variável n, podemos aplicar o logaritmo 
decimal nos dois membros, 
 ni
C
M
 1loglog
 
Aplicando agora a propriedade 
PnP a
n
a loglog 
, temos 
 in
C
M






1loglog
 
Vamos, agora, dividir os dois membros por 
 i1log
. 
 
n
i
C
M








1log
log
 
Ou, equivalentemente, 
 i
C
M
n








1log
log
 
Essa é a fórmula que relaciona o tempo com a taxa de juros compostos, 
com o capital e com o montante. 
Como nesse problema não foi informado o valor de qualquer um dos 
produtos, podemos considerar um valor qualquer para o capital. Vamos 
considerar, então, C = R$ 100,00 e, é claro, M = R$ 200,00, pois o 
problema quer saber em quanto tempo, a uma taxa composta de 6,5% 
ao ano, os preços dobram de valor. 
Logo, os dados do problema são: 
C = R$ 100,00 
M = R$ 200,00 
 
i = 6,5% a.a. = 0,065 
Substituindo os respectivos termos na fórmula: 
 i
C
M
n








1log
log
 
Temos: 
 065,01log
100
200
log







n 
 
 065,1log
2log
n
 
70273496077,0
63010299956,0
n
 
11n
 
Nesse caso, em 11 anos, os preços dobram de valor. 
 
Uma fatura no valor de R$ 13.450,00 foi paga antecipadamente 
gerando um desconto. Em decorrência do desconto, o valor pago 
foi de R$ 12.927,72. Sabendo que a taxa mensal composta utilizada 
para o cálculo do desconto foi de 2%, qual foi o prazo de 
antecipação? 
 
Resolução: 
C = R$ 12.927,72 
M = R$ 13.450,00 
i = 2% a.m. = 0,02 
 
 
Substituindo os valores na fórmula 
 i
C
M
n








1log
log
 
Temos: 
 02,01log
72,12927
13450
log







n 
 
 02,1log
040400009,1log
n
 
008600172,0
017200347,0
n
 
2n
 
Portanto, o prazo de antecipação foi de 2 meses. 
Para mais explicações, assista ao vídeo do professor Ricardo 
acessando o material on-line! 
 
Na prática 
Demonstre que, se uma dívida inicial corresponde a R$ 1.500,00, após 
12 meses a uma taxa de juros de 12% ao mês o montante (valor inicial 
mais juros cobrados) será de R$ 5.843,96. 
Para calcularmos o montante, vamos utilizar a fórmula M=C (1+i)n, 
onde: 
C = 1500, i = 0,12 (12%=12/100=0,12) e n=12. 
M=C(1+i)n 
M=1500(1+0,12)12 
M=1500(1,12)12 
 
M=1500(1+0,12)12 
M=1500(3,89597599) 
M=5843,96 
Logo, o total a ser pago é de R$ 5.843,96. 
 
 
Síntese 
Chegamos ao final da aula! 
Esperamos que você tenha aprendido bastante sobre os temas 
abordados aqui. Nessa aula falamos sobre funções exponenciais e 
sobre funções logarítmicas. Aprendemos também sobre o número “e” e 
sobre diversas aplicações incluindo crescimento e decrescimento 
exponencial. 
Para saber mais, é importante a leitura dos capítulos 11 e 12 da obra 
Pré-Cálculo dos autores Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D. 
Foley e Daniel Kennedy, 2a edição, editora Pearson, que está 
disponível na Biblioteca Virtual. 
Até a próxima! 
 
Referências 
DEMANA, F.D.; WAITS, B.K.; FOLEY, G.D.; KENNEDY, D. Pré-
Cálculo. 2a Ed, São Paulo, Pearson, 2013.