Função Exponencial e Aplicações-5

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18/06/2020 Função Exponencial e Aplicações
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Lição 05
Função Exponencial e Aplicações
Matemática
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1. Introdução
Conceitos matemáticos foram surgindo de acordo com as necessidades da humanidade e tiveram
sua evolução atrelada à evolução de outras ciências.
Ao pensamos em funções, devemos lembrar que nela temos uma variável independente e uma
variável dependente, que compõem a função em questão. O significado nos diz que “entende-se por
função toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra” (SILVA,
2015. p.20). Sendo assim, independente da função estudada, precisamos nos atentar às
características de cada uma delas.
Vamos analisar a seguinte situação (Adaptado DANTE, 2000):
Sabemos que, ao lançar uma moeda, temos dois resultados possíveis: CARA ou COROA. Se
lançarmos mais moedas diferentes, continuaremos tendo para cada moeda, apenas duas opções,
porém, teremos um número maior de combinações, ou seja, o número de resultados possíveis é
dado em função do número de moedas lançadas.
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Exemplo do problema acima:
Número de moedas Combinações Resultados Possíveis
01 (uma) moeda
Moeda 01
CARA
2 opções
COROA
02 (duas) moedas
Moeda 01 e Moeda 02
CARA/CARA
4 opções
CARA/COROA
COROA/CARA
COROA/COROA
Podemos fazer as combinações para verificar as combinações possíveis, porém, com uma
quantidade maior de moedas, ficaria inviável. Assim, precisaremos do auxílio da matemática, para
pensar em uma relação que ilustre a quantidade de resultados possíveis em função do número de
moedas lançadas.
Temos a tabela abaixo:
Número de moedas Combinações possíveis
Lançamento de Moeda “Cara ou Coroa”.
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Número de moedas Combinações possíveis
01 moeda 2 =2 resultados possíveis.
02 moedas 2 =4 resultados possíveis.
03 moedas 2 =8 resultados possíveis.
04 moedas 2 =4 resultados possíveis.
... ...
n moedas 2 resultados possíveis.
Podemos dizer que o número de resultados possíveis cresce exponencialmente, ou seja, cresce
rapidamente.
Neste tópico, vamos abordar problemas como este, envolvendo função exponencial.
1
2
3
4
n
2. Função Exponecial
São exemplos de função exponencial:
f(x)= 2
f(x)= (1/5)
y= (0,3)
f(x)= (√2) -
x
x
x
x 
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Considerando a função da letra a, no exemplo acima, f(x)=2 , ela corresponde a lei de formação de
uma função exponencial, pois base é 2.
Podemos encontrar valores numérico de qualquer função, inclusive de uma função exponencial.
Basta ter o valor de x (variável independente) e encontrar o valor de y (variável dependente).
Por exemplo: seja dada a função exponencial f(x)=2 , calcular:
f(0)=2 =1
f(5)=2 =32
x
x
0
5
3. Gráfico de uma função exponencial
Vamos analisar os gráficos de duas funções exponenciais:
1) Seja dada f(x)=3 , com a>1, construa seu gráfico e o analise.
x 3 y= f(x) = 3
-3 3 1/27
-2 3 1/9
3-1 1/3
0 3 1
1 3 3
2 3 9
3 3 27
x
x x
-3
-2
-1
0
1
2
3
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Quanto maior o valor atribuído para x, maiores serão os valores encontrados para y.
Veja o gráfico:
Observando a tabela e o gráfico, podemos concluir que em uma função exponencial com a>1,
teremos:
Veja agora o comportamento da função exponencial, quando a base está entre 0 e 1. Neste caso,
acontece exatamente o contrário, do que acontece quando a base é um número maior do que 1.
Caso valores de x sejam números negativos, quanto maiores forem, maiores serão valores
encontrados para y. Caso números de x sejam números positivos, mais próximo de zero serão
valores de y encontrados.
Temos o gráfico:
Observando tabela e gráfico, podemos concluir que em uma função exponencial com 0<a<1,
teremos:
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As ideias desenvolvidas neste estudo da função exponencial f(x)=a podem ser aplicadas a outras
funções em que a variável aparece como expoente, como:
f(x)=5.2
f(x)=2 +1
f(x)=3
f(x)=(0,3) -2
a) f(2)
b) f(-1)
c) Construir gráfico;
d) Determinar domínio D e imagem Im
Resolução:
a) f(2)=2 +1
f(2)=4+1=5
b) f(-1)=(-1) +1
f(2)=1+1=2
Para construir um gráfico, vamos atribuir valores para x e encontrar valores de y:
x f(x)=2 f(x)=2 +1
-2 1/4 5/4
-1 1/2 3/2
0 1 2
1 2 3
Observe que, para f(x)=2 +1, somamos 1 unidade à função f(x)=2 . 
Isto significa que o gráfico irá deslocar uma (01) unidade verticalmente para cima (ponto A que
intercepta o eixo y, marcado no gráfico, destacando o deslocamento no gráfico em uma unidade
acima).
x
x
x
x+1
2x
f f
2
2
2 2
2 2
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Falando de Novas Funções a partir de Funções conhecidas, temos por base funções básicas que nas
quais obtemos novas funções, a partir de deslocamentos verticais e horizontais, expansão ou
reflexão de seus gráficos. Isto facilita muito o entendimento e análise de gráficos de funções. Por
isso é importante a leitura e o aprofundamento dos estudos sobre esse assunto.
Recomendo leitura da seção 1.3, páginas 34 a 38 do livro:
STEWART, James. Cálculo, volume I. 7ª edição. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
4. Equações Exponenciais
Quando falamos em Equação, o que vem em nossa mente imediatamente é uma expressão separada
por igualdade e uma incógnita para ser encontrada, correto?
As equações exponenciais, porém, são expressões separadas por uma igualdade, em que a incógnita
aparece nos expoentes.
Exemplos de equações exponenciais:
a) 2 =16
b) 25 =√5
c) 10 =1
d) 2.(1/3) =54
Para resolver uma equação exponencial, primeiramente, devemos tentar transformar a igualdade
numa potência de mesma base, pois:
a =a ⇔ x=k
Vamos resolver as equações do exemplo acima:
a) 2 =16
x+5
2x
x -42
x-2 
x k 
x+5
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Para encontrarmos a mesma base, devemos fatorar o número 16.
2 =2 , bases iguais, então:
x+5=4
x=-1
S={-1}
b) 25 =√5
Para igualar as bases, devemos fatorar o número 25 e escrever √5 com o expoente fracionário.
Devemos lembrar das propriedades de potência estudadas e realizar operações.
c) 10 =1
Lembrando que todo número elevado a zero é igual a um (1), temos:
10 =10
x -4=0
A Equação de Segundo Grau incompleta pode ser resolvida pela fórmula de bhaskara ou por
fatoração (a - b )=(a - b).(a+ b).
(x-2).(x+2)=0
x=2 e x=-2
S={-2,2}
x+5 4
2x
x -42
x -42 0
2
22
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d) 2.(1/3) =54
Para resolver a equação exponencial da letra d, será necessário utilizar artifícios de cálculos.
Observe que o número 2 que está sendo multiplicado na expressão (1/3) precisa ser retirado,
pois, como ele no primeiro membro, não será possível igualar os dois membros da igualdade.
Assim:
Agora sim é possível igualar as bases:
(3 ) = 3
(3) = 3
-x+2= 3 ⇒ -x= 1
x= -1
S= {-1}
É necessário resolver as listas de exercícios propostos para praticar a resolução de equações
exponenciais e suas variações.
Continuando nossa discussão, precisamos também pensar em aplicações que envolvem funções
exponenciais e sua resolução.
Quando uma pessoa vai efetuar uma aplicação financeira ou quando vai fazer um empréstimo, uma
das coisas mais importantes é prestar atenção na taxa de juros envolvida.
Para isso, devemos saber sobre o Sistema de Capitalização envolvido. No sistema de capitalização,
temos o sistema de capitalização simples (ou juros simples) e o sistema de capitalização
composta (ou juros compostos). O sistema de capitalização simples não é muito utilizado no
cotidiano, mas entendê-lo ajuda no entendimento do sistema de capitalização composta.
Leite (2015) afirma que, no sistema de capitalização simples, o juro de cada período é calculado
pela aplicação da taxa de juro sobre o capital.
Já no sistema de capitalização composta, segundo o mesmo autor, o juro de cada período de
capitalização da operação é calculado pela aplicação da taxa de juro sobre capital inicial, acrescido
dos juros incorporados ao final de cada um dos períodos de capitalização.
Considere o problema:
x-2
x-2
-1 x-2 3
-x+2 3
Calculo de Investimentos.
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Um Empresário pega um empréstimo de R$ 20.000,00, com uma taxa de juros compostos de 3%
ao mês, por um período de 1 ano. Qual deve ser o montante devolvido ao final deste período de
empréstimo?
Resolução:
Vamos considerar:
= Montante
i%= taxa de juros ao mês
C= Capital
n= tempo de aplicação
Note que C=20.000; i=3% ao mês; n=12 meses , então:
n=tempo de aplicação M=Montante
1 mês M =M+M.(0,03)
M =20.000+20.000.(0,03)
M =20.000.(1+0,03)
M = 20.6000
2 meses  M =M +M .(0,03)
M =M (1+0,003)
M =[20.000.(1+0,03)].(1+0,03)
M =20.000.(1+0,03)
M =21.218
3 meses  M =M (1+0,003)
M =[20.000.(1+0,03) ].(1+0,03)
M =20.000.(1+0,03)
M =21.854
n meses  M =C.(1+i%)
Esta é a fórmula geral de Matemática Financeira que calcula juros compostos. Sendo assim, no
problema acima, após 12 meses de empréstimo, o Empresário pagará:
M =20.000.(1+0,03)
M =28.515,21
O montante da dívida, após 12 meses, será de R$ 28.515,21.
O crescimento exponencial é característico de certos fenômenos naturais.
1
1
1
1
2 1 1
2 1
2
2
2
2
3 2
3
2
3
3
3
n
n
12
12
12
Proliferação de Bactérias.
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Pense que o número de bactérias de uma colônia, t horas após o início do experimento, é dado pela
expressão N(t)=1.000.2 . Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a cultura
terá 16.000 bactérias?
Resolução:
Se o número total de bactérias dadas é de 16.000, então N(t)=16.000.
Colocando na expressão que representa o crescimento da cultura de bactérias, teremos:
Fatorando 16:
Para atingir 16.000 bactérias, serão necessárias 8 horas.
0,5t
5. Inequações Exponenciais
Desigualdades como as seguintes, são chamadas de inequações exponenciais.
Exemplos:
Para resolvê-las, devemos lembrar que uma função exponencial f(x)=a é crescente para a>1 e
decrescente para 0 < a < 1.
Então, temos:
f(x)=a com a>1 – Função Crescente
x
x
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a > a ⇔ x > x
O sinal da desigualdade é mantido.
f(x)=a com 0 < a < 1 – Função Decrescente
<a >a ⇔ x >x
O sinal da desigualdade é invertido.
Resolvendo as equações dos exemplos acima:
Considere a situação problema:
Uma empresa produz o único produto a preço fixo de R$ 1400,00 e com um custo variável médio
de R$ 20,00, por unidade. O produto é vendido a R$ 50,00, a unidade. Para que o lucro da
empresa seja igual ou superior a R$ 10.000, quantas unidades devem ser vendidas?
Resolução:
Analisando a questão, considerando q as unidades vendidas, temos:
Custo: C(q)=20q+1400
Receita: R(q)=50q
Lucro: L(q)=R(q)-C(q) → L(q)=50q-(20q+1400)
Para que o lucro da empresa seja igual ou superior a R$10.000,00, precisamos resolver a
inequação:
50q-(20q+1.400) ≥ 10.000 
50q-20q-1.400 ≥ 10.000 
30q-1.400 ≥ 10.000 
30q ≥ 11.400 
q ≥ 11.400/30 
q ≥ 380
x2 x1 2 1
x
x2 x1 2 1
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Sendo assim, para que o lucro da empresa seja igual ou superior a R$10.000,00, é necessário
produzir mais de 380 unidades.
Além das inequações exponenciais, de resolução direta, como os exemplos dados acima, poderemos
ter também aplicações e o método de resolução se mantém o mesmo.
Tenha atenção nas regras, nas informações dadas e nos cálculos.
6. Conclusão
Este tópico discutiu conceitos e aplicações de função exponencial. Primeiramente, foram discutidos
conceitos teóricos de caracterização da função, representação gráfica e resolução de uma equação
exponencial.
Seguindo a discussão, foi possível perceber que aplicações de função exponencial estão muito
presentes em diversas áreas de conhecimento. Assim, dominar o conteúdo e a resolução auxiliará
muito o seu crescimento durante o curso, para ter a possibilidade de analisar, de forma crítica e
clara, situações já conhecidas anteriormente, além de auxiliá-los nos tópicos seguintes.
7. Referências
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. Vol.01. São Paulo: Editora Atica, 2000.
LEITE, Angela. Aplicações da Matemática: Administração, Economia e Ciências
Contábeis. 2 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
SILVA, Ricardo José Aguiar. Contexto e aplicações das funções exponenciais no ensino
médio: uma abordagem interdisciplinar. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade
Estadual do Norte Fluminense – UENF. Campos dos Goytacazes, 2015.
STEWART, James. Cálculo, volume I. 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
YouTube. (2016, Setembro, 28). Khan Academy Brasil. Deslocando gráficos de funções
algebricamente / Manipulação de funções / Matemática / Khan Academy. 7min.33seg.
Disponível em: < https://youtu.be/nFynru4u7jw>.