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O Teorema Fundamental do Cálculo e Aplicações da Integral

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o TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
E
APLICAÇÕES DA INTEGRAL
'-.
143
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'--:::'-':~::.;T':~"'---',-~'~ ·--"-----c"'-~-."_'- -_- "--_--
r- .
A INTEGRAL DEFINIDA
o problema de determinar a área da região entre o gráfico de uma função contínua e positiva em um
intervalo [a, b] e o eixo x, foi formulado em termos de um processo limite de certas somas descritas no
capítulo anterior. Não é dificil provar que esse processo define sempre um único valor limite quando a
função f é contínua, e esse valor é chamado de "área da região entre o gráfico daf e o eixo x".
Definição (7.1)
A integral definida defde a a b , denotada pelo símbolo f:JCx)dx,é o valor dessa área, ou seja,
b nf JCx)d-c = lim DZi)(Xi -Xi-I)
a IIPII-+O i='J
onde p denota a subdivisão do intervalo [a,b] pelos pontos
a = Xo < XI < ... < X;_I < x, < ... < x; = b
escolhidos arbitráriamente em cada ~lIh;~'--_
e os pontos z, E [X;-J,X;], ; = 1,2, ... ,n, são
A soma L:~=oJCz;)(x; -x;-J) é chamada de "Soma de Riemann da função f no intervalo [a,b],
correspondente à partição P e pontos {z;}:7 nos intervalos da partição P". Esse nome é um
reconhecimento ao trabalho de Georg F. B. Riemann, matemático alemão responsável por muitos
resultados importantes no desenvolvimento da teoria da integral.
Observação Embora as notaçces,rla,integr.aUndefinidada,..f,J-trx)d-ce da integral definida
J:JCx)dx sejam muito parecidas, elas representam coisas completamente diferentes: a
primeira representa uma coleçãoinfinita de pririíiiíVásâa"fÚTlçãof'enquanto·quea
segunda representa a área de uma certa região do plano. Essa semelhança nas notações
é devida básicamente ao Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).
Vemos imediatamente a partir da Definição (7.1) que não é necessário supor que a função f seja
positiva em todo o intervalo [a, b] , nem que os pontos da subdivisão P sejam escolhidos de algum
modo específico. Na realidade o essencial nessa definição é que a norma da subdivisão tenda para
zero.
O Exemplo (6.1) permite perceber como o limite pode ser determinado em um caso particular e ao
mesmo tempo mostra que em geral não.podemosesperar cálculos similarmente "simples" para outras
funções mais complicadas.
Algumas propriedades básicas das integrais definidas podem ser resumidas no seguinte teorema cuja
demonstração segue diretamente da definição:
Teorema (7.2)
Sejamf e g duas funções contínuas em um intervalo [a, bJ.
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f: {ttx) + g(x)}dx = J:J(x)dx +J: g(x)dx
fb (j{x) - g(x)}dx = fb J(x)dx - r g(x)dxa a aii
iii J:(cJ(x»dx = c J:J(x)dx, v c E IR
b 'êib
Se a < d < b então LJ(x)dx = LJ(x)dx + J)Cx)dx
SeJ(x) 2 O V X E [a,b], então J:J(x)dx 2 O.
SeJ(x) 2 g(x) V X E [a,b], então f:J(x)dx 2 f:g(x)d-c
iv
v
vi
Definição (7.3)
Se f é contínua em um intervalo I que contém os pontos a e b, então f:J(x)dx = O
f:J(x)dx = - f:J(x)dx
e
Essas definições combinadas com a propriedade iv do Teorema (7.2) têm como consequência a
igualdade
fb J(x)dx = fd J(x)dx +rJ(x)dxa a d
para qualquer tema de números a, b e d do intervalo I, não necessáriamente ordenados na forma
a < d < b.
o seguinte resultado será necessário na demonstração do principal teorema deste capítulo:
Teorema (7.4) (Teorema do Valor Médio para Integrais)
SejamJ(x) ep(x) funcões contínuas em [a, b] e p(x) > O V X E [a, b]. Então existe c E [a, b] tal que
fb j{x)p(x)dx = j{c) fb p(x)dx
a a
Prova
Sejam m e M o mínimo absoluto e o máximo absoluto daf em [a, b] respectivamente. Então
mp(x) ~J(x)p(x) ~ Mp(x) V X E [a,b] => pelo Teorema (7.2) iii e vi,
m f:P(X)dx = f: mp(x)dx s (J(x)p(x)dx s f: Mp(x)dx = MJ:p(x)dx
ou seja
m~
J:J(x)p(x)dx
J:p(x)dx
~M
145
~_.~---------~---
Então pelo TVI, existe algúm número c E [a, b] tal que j( c) =
rj(x)p(x)dx
a b ••
Lp(x)dx
Corolário (7.5)
Se j(x) for contínua em um intervalo [a, b], existe um z E [a, b] tal querj(x)dx = j(z)(b - a )
a
Prova
Basta tomar p(x) = 1 'd x e aplicar o teorema anterior..
No caso particular em que a funçãofé contínua ej(x) 2: O em um intervalo [a,b], o teorema anterior
afirma existe algum z E [a,b] tal que a área entre o gráfico da.r. o eixo x e as verticais x = a e x = b,
coincide com a área de um retângulo da mesma base e altllr~D_).
o CÁLCULO DEÁREAS
Vamos descrever o método devido a Newton e Leibnitz para calcular áreas entre gráficos de curvas
contínuas e o eixo x.
Sejafuma função contínua e positiva em [a, b) e suponhamos que F(x) denota a área entre o gráfico da
f, o eixo horizontal e as retas verticais pelos pontos a e x, onde x é qualquer número entre a e b. A área
que queremos calcular é exatamente F(b). Então pela definição de integral definida
F(x) = f'j(l)dt
a
Vamos provar que Fé diferenciável calculando F (x) pela definição. Usando o Teorema (7.4) iv,
J
X+/U
F(x + ilx) - F(x) = fCt)dt
x
Pelo Corolário (7.7) existe um z E [x,x + Ax] tal que
F(x + /).:{)- F(x) = j(z)/).:{
L F(x + /).:{)- F(x) - j() M d A ~ O I' id d d I,ogo, /).:{ - z. as quan o UA. -+ => z -+ x e pe a continui a e a , o limite
lim fl'z) = limj(z) = j(x). Então
Clx-.:;;(T' . Z--+X
lim F(x + ~x) - F(x) = j(x)
Clx-'() ~"C
ou seja, F(x) = j(x). Isso quer dizer que F(x) é uma primitiva da/que tem a propriedade F(a) = O, e
para essa primitiva particular daI, a área é F(b). Daí tiramos a seguinte conclusão fundamental:
A área entre o gráfico de uma f contínua não negativa e o eixo x, no intervalo [a, b] é
F(b),onde Fé a primitiva daj'tal que F(a) = O.
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Podemos observar também que nos cálculos anteriores, é desnecessário supor que j(x) ~ Oem todo o
intervalo pois o corolário usado é válido para qualquer função contínua, então vale a seguinte afirnação:
1. Se/for contínua em [a,b], a função
F(x) = r j(t)dt
a
é diferenciável e além disso
F(x) = j(x)
2.
ou seja, F(x) é uma primitiva da!
Suponhamos agora que G(x) é uma outra primitiva da/no intervalo [a,b], então 3 uma
constante C tal que G(x) = F(x) + C em [a,b], e portanto G(a) = F(a) + C = C; quando
x = b, temos G(b) = F(b) + C e quando x = a ~ C = G(a) ~ G(b) - G(a) = F(b), ou
seja
G(b) - G(a) = rj(x)dx
a
As partes 1 e 2 juntas, mostram a íntima relação entre integrais indefinidas e definidas (daí terem
notações semelhantes), que são resumidas no seguinte resultado que está na raiz de todo o Cálculo
Diferencial e Integral:
Teorema (7.6) (Teorema Fundamental do Cálculo - TFC)
Seja/uma função contínua em [a,bJ. Então
a a função
F(x) = r j(t)dt
a
é uma primitiva daI, ou seja, Fé diferenciável e F (x) = j(x).
b se G(x) é qualquer primitiva dafem [a,b],
G(b) - G(a) = Jb j(x)dx
a
Em particular, a integral f:j(t)dt ,que tem um significado geométrico claro, dependeconrtnuarnenre
dex.
EXEMPLO (7.7)
Calcular o limite seguinte interpretando-o como uma soma de Riemann de uma certa função no
intervalo [0,1], subdividido em n subintervalos do mesmo comprimento:
n
L = lim "_1_.
n-«) ~ n + k
k=\
O primeiro a fazer é colocar n em evidência no denominador:
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r-- .
Consideremos a seguinte partição P do intervalo [O, ] ]
Então IIPII= ,\ e Zk E [ k -;;1 , ~ J. Se/é a função
JCx) = _1_
l+x
então --,1,-:-- = JC nk) e L pode ser considerado como o limite quando 11PII-+ °da soma' de Riernann da1 + .!.
n
fno intervalo [0,1], correspondente à partição P e pontos {Zk}Z=I' Logo, sendofuma função contínua
no intervalo e observando que F(x) = ln(I+ x) é uma primitiva da f, concluimos que
L = f ;JCx)d-c = F(l) - F(O) = ln(2)
n
L = lim .i. '" ---,1,--:-
n-sco n L.J 1 + .s.
k=1 n
: P={},,~, ... ,~}, e os pontos Z k = ~,
Neste exemplo podemos também observar que a soma }, .2:;=1 I:.!. pode ser considerada uma
n
soma de Riemann da função j(x) = .~ no intervalo [1,2], correspondente à partição P dos pontos da
forma Xk = 1+ f, para k = 1,2, ... ,n e com pontos Zk = xi, A continuidade dafgarante que quando