O Teorema Fundamental do Cálculo e Aplicações da Integral
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O Teorema Fundamental do Cálculo e Aplicações da Integral


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7
o TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
E
APLICAÇÕES DA INTEGRAL
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143
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r- .
A INTEGRAL DEFINIDA
o problema de determinar a área da região entre o gráfico de uma função contínua e positiva em um
intervalo [a, b] e o eixo x, foi formulado em termos de um processo limite de certas somas descritas no
capítulo anterior. Não é dificil provar que esse processo define sempre um único valor limite quando a
função f é contínua, e esse valor é chamado de "área da região entre o gráfico daf e o eixo x".
Definição (7.1)
A integral definida defde a a b , denotada pelo símbolo f:JCx)dx,é o valor dessa área, ou seja,
b nf JCx)d-c = lim DZi)(Xi -Xi-I)
a IIPII-+O i='J
onde p denota a subdivisão do intervalo [a,b] pelos pontos
a = Xo < XI < ... < X;_I < x, < ... < x; = b
escolhidos arbitráriamente em cada ~lIh;~'--_
e os pontos z, E [X;-J,X;], ; = 1,2, ... ,n, são
A soma L:~=oJCz;)(x; -x;-J) é chamada de &quot;Soma de Riemann da função f no intervalo [a,b],
correspondente à partição P e pontos {z;}:7 nos intervalos da partição P&quot;. Esse nome é um
reconhecimento ao trabalho de Georg F. B. Riemann, matemático alemão responsável por muitos
resultados importantes no desenvolvimento da teoria da integral.
Observação Embora as notaçces,rla,integr.aUndefinidada,..f,J-trx)d-ce da integral definida
J:JCx)dx sejam muito parecidas, elas representam coisas completamente diferentes: a
primeira representa uma coleçãoinfinita de pririíiiíVásâa&quot;fÚTlçãof'enquanto·quea
segunda representa a área de uma certa região do plano. Essa semelhança nas notações
é devida básicamente ao Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).
Vemos imediatamente a partir da Definição (7.1) que não é necessário supor que a função f seja
positiva em todo o intervalo [a, b] , nem que os pontos da subdivisão P sejam escolhidos de algum
modo específico. Na realidade o essencial nessa definição é que a norma da subdivisão tenda para
zero.
O Exemplo (6.1) permite perceber como o limite pode ser determinado em um caso particular e ao
mesmo tempo mostra que em geral não.podemosesperar cálculos similarmente &quot;simples&quot; para outras
funções mais complicadas.
Algumas propriedades básicas das integrais definidas podem ser resumidas no seguinte teorema cuja
demonstração segue diretamente da definição:
Teorema (7.2)
Sejamf e g duas funções contínuas em um intervalo [a, bJ.
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f: {ttx) + g(x)}dx = J:J(x)dx +J: g(x)dx
fb (j{x) - g(x)}dx = fb J(x)dx - r g(x)dxa a aii
iii J:(cJ(x»dx = c J:J(x)dx, v c E IR
b 'êib
Se a < d < b então LJ(x)dx = LJ(x)dx + J)Cx)dx
SeJ(x) 2 O V X E [a,b], então J:J(x)dx 2 O.
SeJ(x) 2 g(x) V X E [a,b], então f:J(x)dx 2 f:g(x)d-c
iv
v
vi
Definição (7.3)
Se f é contínua em um intervalo I que contém os pontos a e b, então f:J(x)dx = O
f:J(x)dx = - f:J(x)dx
e
Essas definições combinadas com a propriedade iv do Teorema (7.2) têm como consequência a
igualdade
fb J(x)dx = fd J(x)dx +rJ(x)dxa a d
para qualquer tema de números a, b e d do intervalo I, não necessáriamente ordenados na forma
a < d < b.
o seguinte resultado será necessário na demonstração do principal teorema deste capítulo:
Teorema (7.4) (Teorema do Valor Médio para Integrais)
SejamJ(x) ep(x) funcões contínuas em [a, b] e p(x) > O V X E [a, b]. Então existe c E [a, b] tal que
fb j{x)p(x)dx = j{c) fb p(x)dx
a a
Prova
Sejam m e M o mínimo absoluto e o máximo absoluto daf em [a, b] respectivamente. Então
mp(x) ~J(x)p(x) ~ Mp(x) V X E [a,b] => pelo Teorema (7.2) iii e vi,
m f:P(X)dx = f: mp(x)dx s (J(x)p(x)dx s f: Mp(x)dx = MJ:p(x)dx
ou seja
m~
J:J(x)p(x)dx
J:p(x)dx
~M
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~_.~---------~---
Então pelo TVI, existe algúm número c E [a, b] tal que j( c) =
rj(x)p(x)dx
a b \u2022\u2022
Lp(x)dx
Corolário (7.5)
Se j(x) for contínua em um intervalo [a, b], existe um z E [a, b] tal querj(x)dx = j(z)(b - a )
a
Prova
Basta tomar p(x) = 1 'd x e aplicar o teorema anterior..
No caso particular em que a funçãofé contínua ej(x) 2: O em um intervalo [a,b], o teorema anterior
afirma existe algum z E [a,b] tal que a área entre o gráfico da.r. o eixo x e as verticais x = a e x = b,
coincide com a área de um retângulo da mesma base e altllr~D_).
o CÁLCULO DEÁREAS
Vamos descrever o método devido a Newton e Leibnitz para calcular áreas entre gráficos de curvas
contínuas e o eixo x.
Sejafuma função contínua e positiva em [a, b) e suponhamos que F(x) denota a área entre o gráfico da
f, o eixo horizontal e as retas verticais pelos pontos a e x, onde x é qualquer número entre a e b. A área
que queremos calcular é exatamente F(b). Então pela definição de integral definida
F(x) = f'j(l)dt
a
Vamos provar que Fé diferenciável calculando F (x) pela definição. Usando o Teorema (7.4) iv,
J
X+/U
F(x + ilx) - F(x) = fCt)dt
x
Pelo Corolário (7.7) existe um z E [x,x + Ax] tal que
F(x + /).:{)- F(x) = j(z)/).:{
L F(x + /).:{)- F(x) - j() M d A ~ O I' id d d I,ogo, /).:{ - z. as quan o UA. -+ => z -+ x e pe a continui a e a , o limite
lim fl'z) = limj(z) = j(x). Então
Clx-.:;;(T' . Z--+X
lim F(x + ~x) - F(x) = j(x)
Clx-'() ~&quot;C
ou seja, F(x) = j(x). Isso quer dizer que F(x) é uma primitiva da/que tem a propriedade F(a) = O, e
para essa primitiva particular daI, a área é F(b). Daí tiramos a seguinte conclusão fundamental:
A área entre o gráfico de uma f contínua não negativa e o eixo x, no intervalo [a, b] é
F(b),onde Fé a primitiva daj'tal que F(a) = O.
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Podemos observar também que nos cálculos anteriores, é desnecessário supor que j(x) ~ Oem todo o
intervalo pois o corolário usado é válido para qualquer função contínua, então vale a seguinte afirnação:
1. Se/for contínua em [a,b], a função
F(x) = r j(t)dt
a
é diferenciável e além disso
F(x) = j(x)
2.
ou seja, F(x) é uma primitiva da!
Suponhamos agora que G(x) é uma outra primitiva da/no intervalo [a,b], então 3 uma
constante C tal que G(x) = F(x) + C em [a,b], e portanto G(a) = F(a) + C = C; quando
x = b, temos G(b) = F(b) + C e quando x = a ~ C = G(a) ~ G(b) - G(a) = F(b), ou
seja
G(b) - G(a) = rj(x)dx
a
As partes 1 e 2 juntas, mostram a íntima relação entre integrais indefinidas e definidas (daí terem
notações semelhantes), que são resumidas no seguinte resultado que está na raiz de todo o Cálculo
Diferencial e Integral:
Teorema (7.6) (Teorema Fundamental do Cálculo - TFC)
Seja/uma função contínua em [a,bJ. Então
a a função
F(x) = r j(t)dt
a
é uma primitiva daI, ou seja, Fé diferenciável e F (x) = j(x).
b se G(x) é qualquer primitiva dafem [a,b],
G(b) - G(a) = Jb j(x)dx
a
Em particular, a integral f:j(t)dt ,que tem um significado geométrico claro, dependeconrtnuarnenre
dex.
EXEMPLO (7.7)
Calcular o limite seguinte interpretando-o como uma soma de Riemann de uma certa função no
intervalo [0,1], subdividido em n subintervalos do mesmo comprimento:
n
L = lim &quot;_1_.
n-«) ~ n + k
k=\
O primeiro a fazer é colocar n em evidência no denominador:
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r-- .
Consideremos a seguinte partição P do intervalo [O, ] ]
Então IIPII= ,\ e Zk E [ k -;;1 , ~ J. Se/é a função
JCx) = _1_
l+x
então --,1,-:-- = JC nk) e L pode ser considerado como o limite quando 11PII-+ °da soma' de Riernann da1 + .!.
n
fno intervalo [0,1], correspondente à partição P e pontos {Zk}Z=I' Logo, sendofuma função contínua
no intervalo e observando que F(x) = ln(I+ x) é uma primitiva da f, concluimos que
L = f ;JCx)d-c = F(l) - F(O) = ln(2)
n
L = lim .i. '&quot; ---,1,--:-
n-sco n L.J 1 + .s.
k=1 n
: P={},,~, ... ,~}, e os pontos Z k = ~,
Neste exemplo podemos também observar que a soma }, .2:;=1 I:.!. pode ser considerada uma
n
soma de Riemann da função j(x) = .~ no intervalo [1,2], correspondente à partição P dos pontos da
forma Xk = 1+ f, para k = 1,2, ... ,n e com pontos Zk = xi, A continuidade dafgarante que quando