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Ô~IGlNÀl DA PASTA2 .> I\CÓB o uso -(.vor devolvfl' EXERCíCIOS PROBLEMAS SOBRE NÚMEROS REAIS Calcule uma aproximação de /5 usando o argumento dos "babilônios" no Exemplo (1.1 ),e determine quantos termos é necessário calcular para obter uma aproximação de /5 com 8 e com 12 casas decimais exatas (com 15 casas decimais exatas /5 ;::::;2,236.067.977.499.789) Mostrar que se o e b são racionais, 0+ b, 0- b, ab, b (b "* O) e ~ (0"* O) são racionais [Sugestão: escreva o e b corno quociente de inteiros e mostre que 0+ b, 0- b, ab, b (b "* O) e ~ (o "* O), também são quocientes de inteiros). Mostrar que se o é racional e b é irracional, então 0+ b, 0- b, ab, b e ~ (com denominadores não nulos) são irracionais [Sugestão: raciocinar por contradição supondo que cada número é racional (ou seja quociente de inteiros) e mostrar em cada caso que b resulta racional). Em geral, a soma, diferença, produto e quociente de números irracionais pode ser um racional ou um irracional: se o = /5, e b = I - J5, ambos irracionais, o + b = I (racional) e se o = J2 - 1 e b = J2 + I, ambos irracionais, 0+ b = 2J2 é irracional. Dar outros exemplos similares para mostrar que o - b, ab e b' podem ser racionais ou irracionais. 4. Mostrar que entre dois números reais :3 infmitos números racionais e também :3 infrnitos números irracionais .[Sugestão: usar o argumento utilizado no Exemplo (1.3) na 23 solução para provar a primeira parte. Para a segunda, repita um argumento similar com o número I! em lugar de À]. 5. Problema para pensar: se x + y = 1, e x2 +y2 = 4, qual é o valor de x3 + y3 e de x4 + y4 ? 1. 2. 3. PROBLEMAS SOBRE RETAS 1. Se o intercepto-x de uma reta for O, o que se pode afirmar sobre o outro intercepto? 2 O que se pode afirmar sobre qualquer reta cujos interceptas são iguais? Esboce uma figura. 3 O que se pode afirmar sobre qualquer reta cujos interceptas são não nulos e iguais em valor absoluto mas de sinais contrários? Esboce uma figura. 4 Suponha que duas retas têm o mesmo intercepto-y, mas suas inclinações são distintas. Podem ocorrer que seus interceptos-x sejam iguais? Qual é a única forma em que isso ocorre? 5 Determine a equação da reta que tem a propriedade dada. Escreva a resposta na forma geral ou na forma ponto-inclinação. a inclinação = 3 ; passa pelo ponto (-2,3) b intercepto-x = 2; intercepto-y = -1 c paralela à reta y = 2x - I ; passa pelo ponto (-I, I) d perpendicular à reta x - 2y + I = O; passa por (O,O) e perpendicular à reta x = -2 ; passa pelo ponto (2,-I) f perpendicular à reta y = -I ;passa pelo ponto (I, O) 6. Mostrar que se f é uma função linear do tipo j{x) = mx + n, com m"* O, então j{a) - j{b) = a - b se c"* d. Use esse fato para determinar um número c tal que j{c)-j{d) c-d j{3)-j{-2) =j{c)-j{l). ~I 7. A equação px +y + 4 = O, onde p é uma constante real qualquer, determina uma família de retas (uma para cada valor de p). Esboce o gráfico das retas dessa família para p = -2, p = 1 e p = 4. O que essas três retas têm em comun ? O que todas as retas dessa família têm em comun ? [Sugestão: reescreva a equação da família na forma ponto-inclinação ]. 8. Repita o mesmo problema para a família de retas x +py + 4 = O 9. As retas x + 2y = 1, e 3x -y = O se cortam ? Em caso afirmativo determinar o ponto de interseção. 10. Estudamos em Física que um objeto se desloca com movimento retilíneo uniforme quando o movimento de desenvolve ao longo de uma reta, e as distâncias percorridas em intervalos de tempo iguais são iguais. Para esse tipo de movimento vale a equação s = vt + so, onde s é a distância percorrida no intervalo de tempo [O,t], v é uma constante (chamada velocidade do objeto), e So denota a posição inicial do objeto quando 1 = O. Suponha que você está caminhando paralelamente a uma linha férrea a uma velocidade de 47: . Um trem se aproxima na mesma direção a uma velocidade constante de 30 7: e necessita 5 s (segundos) para ultrapassá-Io (são 5 s a partir do instante em que o início da locomotiva se encontra alinhado com você, até que o final do último vagão também está alinhado com você). Qual é o comprimento total do trem? 11. Em uma corrida de 100 m com velocidade constante, João cruza a linha de chegada 5 m a frente de Pedro. Pedro sugere repetir a corrida mas desta vez pede para o João começar 5 m antes da linha de partida. a Supondo que eles correm à mesma velocidade da Ia corrida, pode ocorrer que cheguem juntos no final ? b . Caso contrário, quem ganha? c Com quantos metros de vantagem chegará o vencedor? d .' Quantos metros antes da linha de partida deverá começar João para garantir que os dois chegam juntos no final ? e Se agora Pedro inicia a corrida 5 m à frente de João responda as mesmas perguntas (modifique apropriadamente a pergunta d). [Sugestão: para a, sejam v, e V2 as velocidades de João e Pedro respectivamente, e 10 o tempo que João demora em chegar na linha de chegada na Ia corrida; se t, denota o tempo que demora João em completar a 23 corrida, qual distância percorreu Pedro nesse tempo ? Para d, se João começa a corrida s metros antes da linha de partida e os dois chegam juntos no final, então valem as equações (100 + s) = v, t: e 100 = V2t2. Tente agora determinar s]. Algumas respostas: 5(b) : y = ~ - I ; 5(c) : y = 2x + 3 ; 8 : todas as retas do plano que passam pelo ponto (-4,0), exceto a horizontal. ; 9 : (t,~)é o ponto de interseção; 10 : 36,11 m, 11(a) : não, 11(c): 0,25 m ; 11(d):;:::: 5,26 m. 2 ., PROBLEMAS SOBRE CIRCUNFERÊNCIAS E PARÁBOLAS 1. Dada uma reta de equação 4x + 2y + 1 = O e o ponto P(3,4) , não pertencente à reta, determinar a equação da circunferência com centro em P , tangente à reta. Faça um esboço da reta e marque o ponto P . 2. Dada a equação x2 - 4x +y2 - 6y + 9 = O, mostrar que seu gráfico é uma circunferência determinando o centro e o raio [Sugestão: completar quadrados]. 3. Determinar as equações das circunferências que verificam a condição especificada : a. centro no ponto (2, 1) e .tangente ao eixo x b. centro no ponto (5,3) e tangente à reta x = 2 c. centro na reta x +y = 1e passa por (-2, I ) e (-4,3) 4. Esboce o gráfico das parábolas. de equação y = x2 + cx + 1, para c = 1, c = 2 e c = 3 completando quadrados em cada uma das equações que aparecem e aplicando translações horizontais e verticais a partir do gráfico de y = x2• Qual padrão observa nesses gráficos ? Como serão os gráficos se c continua aumentando? [Sugestão: para dar uma resposta geral, complete quadrados na equação da família] 5. Esboce o gráfico da família de parábolas de equação y = cx2 + X + 1, para c = 1, c = 2 e c = 3, e repita o problema anterior. 2 6. Dada a parábola de equação y = ~p e um número real m, determinar a equação da reta de inclinação m que é tangente à parábola. Para o caso da parábola y = 4x2, determine a reta tangente de inclinação 4 e esboce os dois gráficos [Sugestão:' se a reta tem equação 2 y = mx + n, então ~p = mx + n tem uma única solução x correspondente a um único ponto de tangência; a partir daí obter o valor de n]. 7. Determine a equação da parábola que tem diretriz y = 3 e foco F(0,-5). Faça um esboço. B. Mesmo problema com diretriz x = -4 e foco F(2,3) x- I \ \ - ., I ,( , I r- "- -'-'\ - -, PROBLEMAS SOBRE FUNÇÕES 1. Determinar as funçõesJ + g ,J - g ,Jg e ~ e seus domínios: a j(x) = JT+X ;g(x) = ~ b j(x) = J9 -x2 ,g(x) = Jx2-1 C j(x) = x II ,g(x) = x ~ I Determinar as funçõesJ o g, g oJ,Jo J, e g o g e seus domínios: a j(x) = l 'g(x) = x3 + 2x b j(x) = _1_ ,g(x) = x--I x-I x+I 2. 3. Expressar as funções na forma de uma composição de duas ou mais funções (neste problema podem haver várias respostas corretas): F(x) = ;2 ,G(x) = JI + IX , H(x) = J x I x +4 x+ Mostrar que o gráfico da função racional F(x) = 3x2 + 3~ - 6, é a reta de equação x+ y = 3(x - I) com um ponto excluido. [Sugestão:fatorar o numerador; qual é o domínio de F ?]. Uma calha para coletar água de chuva deve ser construida com chapas de alumínio de 40 em de largura dobrando dois lados para cima formando ângulos de 900, obtendo uma seção retangular. Qual deve ser a profundidade da calha para obter a máxima vazão? [Sugestão: a vazão será máxima quando a área da seção da calha seja máxima; a área é uma função quadrática a qual é máxima no ponto mais alto de seu gráfico]. 4. 5. ( PROBLEMAS SOBRE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 1. Mostrar que a função cos(x) é par e que sen(x) é ímpar. [Sugestão: considere x > 0, e a partir do ponto A( I, O) do círculo unitário U , descreva arcos de comprimento x de A a P no sentido antihorário, e de A a Q no sentido horário e observe que P e Q estão sobre uma mesma reta vertical (faça uma figura). Quais são as coordenadas desses pontos, e qual relação existe entre elas de acordo com a figura?]. I 2. Determinar o domínio defix) = JI +cos(x) edeg(x) = (1+sen(x»-3 3. Determinar se as funções seguintes são pares ou ímpares. j(x) = i + cos(x) ; f(x) = x + sen(x) ; j(x) = 2 + cos(x) ; j(x) = Isen(x) I ' fCx) = x sen(x) 4. Cada uma das seguintes afirmações justifica porque a função j(x) = cos(x) não é um polinômio. Explicar porque. (a) A equação cos(x) = O tem infinitas soluções (os números x = 2k + 1 n são soluções V 2 k E ~). (b) As desigualdades -) :S cos(x) :S I são válidas V E ~. 5. Usar as propriedades cos(x + zr) = -cos(x) e sen(x + rr) = -sen(x), válidas V x, para 4 6. 7. determinar os períodos dey = Isen(x) I, y = cos(x)sen(x) ,y = [cosf.c) I ey = cos-Ix). Determinar os interceptos-x da funçãoj(x) = cos(x) - sen(2x) no intervalo [-2n, 2n]. A função y = cos(x) é periódica de periodo Zn, Determine o período de j(x) = cos(ax) observando que cos(ax) = cos(ax + 2n) = cos(a[x + 2: D. Omesmo resultado vale para a função seno. Calcular todas as soluções da equação sen(3x) = f. [Sugestão: calcule as soluções no intervalo [O,p] onde p é o periodo de sen(3x) e use a periodicidade. 8. 9. Determinar todos os valores de x E [O,2n] que verificam as equações a. 2cos(x) - 1 = O b. 2sen2(x) = 1 c. Itg(x) 1 = 1 10. d. 2 + cos(2x) = 3 cos(x) Se tg(x) = 2, com O < x < t calcular o valor de todas as outras funções trigonométricas _ 2 J22 + 1 sen(x) - 2 I[Sugestão: tg(x) = -1 = 1- ( )' então sen(x) = - e cos(x) = - (porque c~x 5 ~ J22 + I 11. ?) etc.] Se cos(O) = ~ e O < O < ~, calcular o valor de todas as outras funções trigonométricas de O. A base de um triângulo isósceles é 8. Expressar a área em função do ângulo f3 oposto à base.12. 5 PROBLEIVAS SOBRE LIMITES As fórmulas seguintes podem ser úteis no cálculo de certos limites •••• (/2 -b2 = (a-b)(a+b) • a3 - b3 = (a - b )(a2 + ab + b2) ~ a3 + 63 = (a + b )(02 - ab + b2) 1. I '/ Escreva uma frase justificando porque se j(x) = g(x) 'li x :::= a, e o limite ~~JCx) existir, então limf(x) = limg(x). _'C-+Q- x-.a 2. Calcular os limites seguintes indicando quais propriedades ou leis estão sendo usadas. 6 1 1 - !f+-; { x2 -- I se x < 3a lim x - b lim c limj(x) onde f(x) = - x-2 X - 3' x-o X .<-3 . 2x + 2 se x > 3 d lim fi - 3 e lim x [sugestão: faça I = 2"( e reescreva tudo em termos de I; x-9 X - 9' x-O sen(2"() observe que x --+- O é equivalente a' --+- O). f lim I - c~s(x), 9 lirnx? cos( ~) [sugestão: use o TC], h lirn sen(x) cos( ~:-) [sugestão: x+O X x-O x- _l-'O -~ ~ use o TC]. I· ,3 - IIm--.-, l-I [- 1 . IX - 1 ( , ,J,;:J _~i~vx.- I sugestão: faça t = ~x e reescreva tudo em termos de t]. k I· tg(4x)1m ., , _l-O .JX I _Iim /(x) e limJCx), onde x--Z x-2 r 2 +x j(x) = ~ J 4 - x2 L ---2 + x se x < :2 se ....:.2:s x ~ 2 se X > 2 m Determinar o valor da. constante k para a qual existe (1 limJ(xJ onde X-l { '"I' ".,'kx -.J se x <: ~ I j(x) =- x2 + k se x>-I n Seja/Cx) = xcos(x). Calcular lim JC2 + h} - J(2) e indicar o que esse limite representa. . h-O 1 o Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da funçãoj(x) = ~ no ponto x., =,2. x- p Para qual valor de c, o gráfico da função j{x) = x2 + cx + t tem uma reta tangente horizontal no ponto Xo = -I ? r-. I' '. t' J I + ~\" - I . I' - d 'q U trnue im L1: representa a incunaçao a reta tangente ao zráfico de uma i\x-->{l x -' - r função f em um ponto xo. Qual é a função f e qual é o ponto Xo ? (não calcule o limite indicado). ) (2+h)5_32 - r Mesmo problema para o limite lirn h s lim x - 9 t Seja 11-0 x-·c) X - fi - 6 ' j(x) ~ { x2 - 2 se x:S h . Determinar todos os valores de b para os quais existe limf(x). x se x > b x-b" el 6 PROBLEMAS SOBRE LIMITES NO INFINITO, LIMITES INFINITOS E FUNÇÕES CONTíNUAS 1. Calcular indicando as propriedades ou leis dos limites usadas nos cálculos. I a lim 3x - I b fim (3x2 +x + 2 )"4 c fim(./t+T - .fi) x-.co 2.x2 + 5x - 2 ' .t--.---w x2 - 5x + 1 '(--.c.() , d Em( JS2 + s - JS2 + 4), e x~ CO:~x2) [sugestão: usar o TC]. f JT:J ~~I' 9 lim (.l. - _1_) h lim x [sugestão: basta trabalhar com os termos de x-Ü+ X x2' x--.---w J x2 + 3x - 1 maior grau no numerador e denominador]. 2. 2.x3 - 3Determinar todas as assíntotas horizontais e verticais das funções j(x) = .=_~ x2 - 1 3. a~)= 2.x3-3 e h~)= 2.x3-3 o x3 _ I x4 - I Seja F(x) uma função racional. Pode ocorrer que lim F(x) = 1 e lim F(x) = -2 ? Em geral,x-~ x-c.c quantas assíntotas horizontais e quantas assíntotas verticais pode ter F? Seja4. j(x) = ~2 + X + ~ x -2.x-.) (a) É possível escolher a de tal modo que lirnj(x) exista? (b) É possível escolher a de tal . x-3 modo que lT:Jj(x) exista? Em quais pontos as funções j(x) ~ / + 2 ,g(x) = x~ - I, h(x) = 2 1 e x +x-2 x -I x -x-6 5. j(x) = x2 - 24 são descontínuas ?x- ----- 6. Mesmo problema anterior para j(x) = { 9-x2 3x-2 se x:S 2 se x » 2 7. Considere a função { 'X2 - 4x + 3 f(x) = x-I 3 se x '* se x = Em quais pontos Xo existe limj(x) ? Em quais pontosfé contínua? X-Xo 8. Determinar o valor da constante k para a qualf é contínua em todo seu domínio [-1,00) onde { IX+T-l f(x) = x se x '* O k se x = O 7 9. Explicar porque a função J(x) ~ { sen(x) x se x * O se x = O é contínua no ponto O. 10. Seja { sen(x) fCx) = ~I I se x zi: O se x = O 11. Determinar se f é contínua no ponto O. [Sugestão: calcular limites laterais em O]. Determinar sef é contínua em O onde { sen(x) fCx) = )1 - CIOS 2 (x) se x = O se x * O 12. Seja { x2 + a se x < -1 fCx) = x+a2 se x =-1 a -x se x>-I 13. (a) Para quais valores de a existe limfCx)? (b) Para quais valores de a a função f é contínua x-I em-I? Pode ser aplicado o TVI às funções seguintes nos intervalos indicados [a, b] ? Em caso afirmativo determine a solução x da equação fCx) = c. a fCx)=J25-x2, [a,b] = [-4.94, 2], c=3,b fCx)= x~l' [a,bJ=[-2,0], 14. c = 1- 4' Pode ser aplicado o TVI para determinar uma solução positiva da equação cos(x) = x2 ? Em caso afirmativo calcular uma aproximação dessa solução com 2 casas decimais exatas. Suponha quefé contínua no ponto x., = 1 e quej(l) = -3. Determinar limf(x). x~1 Justificar usando o Teorema (2.23), porque as seguintes funções são contínuas em todo o domínio. Indique qual é o domínio em cada caso. cos(x + 2) x + 1a x _ 3 ' b sen(-x-)' c jXtg(x), d costsentx? + 1). Determinar se cada afirmação seguinte é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira explique porque. Se for falsa explicar porque ou dar um exemplo. a. lim( --ª- - ~) = lim --ª- - lim ~ x~2 x - 2 x - 2 x~2 X - 2 x-2 X - 2 b. Se P(x) for um polinômio, limP(x) = P(a). x-a c. Se f é contínua no intervalo [-4,3] e fC-4) = 4 e j(3) = n, então existe um número x E [-4,3] tal quefCx) = n, d. Se a reta x = 2 for uma assíntota vertical de f, então f não está defmida no ponto 2. 15. 16. 17. 8 PROBLEMAS SOBRE DERIVADAS1. Calcular a derivada usando as regras de diferenciação (Teorernat S.Ij), a RC (Teorernaf.Lâ) e a derivada de uma potência com expoente racional. a. j(x) = (1 +x)5 [usar (a + b)n = a" + (7 )an-1b + (; )a'1-2b2 + 000 + (:'1 )abn-I + b" para expandir a potência, ou a RC diretamente]. b. j(x) = x3 - 3x2 + -4- - 1. + 6 [reescrever as frações como potências com expoente x negativo]. c. j{x) = x-li [derivada de um quociente] x+ d. j(x) = sen2(x) + cos2(x) [usar RC] e. j{x) = (x~ - 1 ) 3 [usar RC e derivada de um quociente] x + 1 f. j{x) = tg2(X) e j(x) = tg(x2) [usar RC] 9.' j{x) = (3x - 5) -2 (2~ + 3) 3 [derivada de um produto e RC] I 4 h. j(x) = 3(x - 2) 3" + (x - 2) 3" [derivada de potências]. i: j(x) = (COS(X) - co;(x) ) 2 [usar RC] 1 - cos(x) [escrever como potência fracionária, usar RC e a derivada de um 1 + cos(x)j. j(x) = quociente] 'k. j(x) = sen(/X) [Usar RC] J1. j(x) = J4 - J4 -x [escrever com potência fracionária e usar RC] 4 m. j(x) = ----;::::.~=x===- J3x2 +2~-4 com expoentes fracionários positivos ou negativos quando for o caso]. j(x) = J3 sen\x) + 5 cos2(x) [escrever como potência fracionária e usar RC] j(x) = xcos( _~) [derivada de um produto e RC] J(x) = x2 sen( ~ ) [derivada de um produto e RC] j(x) = se:(x) [derivada de um quociente] j(x) =sen(x) + cos(x) + xC sen(x) - cos(x») [derivada de uma soma, produto e diferenças] s. j(x) = (x - 1.)3 [usar RC]. t. j(x) = senfcos+(x) e j(x) = costsen-Ix) [usar RC] Calcular a derivadaf(x) para x * O da funçãoj(x) = ~~Ide duas formas: a levando em conta que ~I = R e usando a RC [reescrever tudo sem denominadores e em termos de potências 0. -po "'q. r. b reescrevendoj(x) como uma função defmida por partes j(x) = { x -x se x ~ O se x < O Os dois resultados coincidem? 9 3. Mesmo problema para a função j(x) = 4~' \:j x. No ponto x = O devem ser calculadas as derivadas laterais. 4. Uma partícula se desloca ao longo de lima reta coordenada de acordo com a equação s = s(t), f 2: O onde t é o tempo medido em segundos e a posição s é especificada em metros. Responder para cada função s(t) abaixo, as seguintes perguntas: a Qual é a velocidade v(t) ? b Qual é a velocidade no instante t = 4 seg ? c Quando a partícula está parada? d Quando a partícula se desloca no sentido positivo? e Qual foi a distância total percorrida durante os pri.'Tle~os 8 seg ? s(t) = t2 - I Ot + 12 ,----:~ r-: ,'1. " -, s(t) = f3 - 9t2 + 1St + 10 s(t) = _t_ (2 + 1 5. Em quais pontos do gráfico as funções seguintes têm retas tangentes horizontais? ii iii a y = 2 serr(x) + sen2(x) b y = Gos(2~) -2cos(x) c y = x3 - 3x2 - 9x + 5 -;6. Determinar os pontos onde a curva definida pela função y = x3 - 9x2 + J 5x tem declividade -12. 7. Determinar valores para as constantes a e b de tal modo que a reta 2~ + 3y = a seja tangente ao gráfico dej(x) = bx? no ponto Xo = 3.-" 8./" A figura abaixo corresponde aos gráficos da função JCx) = JX e a reta tangente no ponto a. Determine o valor de a: J y •.•• t~ -. I' j - , / / a ( , ;, / / - ;' 9. No cálculo das derivadas (~ (sen(x) = cos(x) e i.(cosfx)) = -sen(x), e das restantes 10 I :I / .:----....•......•.. funções trigonométricas, x é um número real que pode ser considerado como a medida em radianos de ângulos. Usando o fato que se x representa a medida em graus de um ângulo fi então fi mede também I~O x radianos, mostrar usando a RC que :Ix (sentx) = I~O cos(x) e :Ix (costx) = - I~O sen(x). O mesmo fator I~O aparece no cálculo das derivadas das outras funções trigonométricas. Isto mostra porque quando a variável representa a medida de ângulos é mais simples trabalhar com radianos do que com graus no cálculo das derivadas de funções definidas em termos de funções trigonométricas. [Sugestão: se x denota a medida em graus de um ângulo, então sen(x) = sen(y) onde y é o número real y = I~O x que representa a medida em radianos do mesmo ângulo; agora derive ambos os membros em relação a x usando a RC no 2° membro]. 10. Usar a RC e as regras de diferenciação para calcular as derivadas de a. j(x) = cosfcosícosfx)')) b. }(x) = Jx+ Jx+ fi C. }(x) = JX5 - Jx3 - fi [Sugestão: reescrever como potências com expoentes racionais] d. fix) = sen(tg(sec(x») e. j{x) = coa(cotgfcosecfxj)') 11. Determinar as equações de todas as retas tangentes à curva definida pela função y = x2 - 4x, que passam pelo ponto (I, -4). 12. Se y = ax2 + bx + 2 é tangente à reta 8x +y = 14 no ponto (2, -2), determinar os valores de a e b [Sugestão: a curva e a reta passam pelo ponto e além disso, as inclinações de ambas devem coincidir nesse ponto]. 13. A curva definida por y = ~ ~ 1 tem duas tangentes que passam pela origem do sistema de coordenadas. Determinar os pontos de tangência. 14. Sejaj(x) = _~e a > ° qualquer. a. Determinar o comprimento do segmento da reta tangente que passa pelo ponto (a,j(a») e cujas extermidades são os interceptos da reta com os eixos coordenados. Esboçar o segmento. b. Determinar a área do triângulo formado pelo segmento da parte a e os eixos coordenados. Esboçar o triângulo. 15. A equação x2 + y2 = r2 define implícitamente duas funções de x E[ -r, r] : y = - Jr2 - x2 e y = Jr2 - x2, ambas diferenciáveis no intervalo aberto (-r, r) e cujos gráficos correspondem aos semicírculos inferior e superior da circunferência com centro na origem e raio r respectivamente. Derivar .implícitamente a equação para calcular :. Se (XO,Yo) E ao círculo e Yo =1= 0, escrever a equação da reta .1 à tangente nesse ponto e mostrar que ela passa pela origem. 16. Determinar a taxa de variação da área de um disco em relação ao seu raio. 17. Determinar a taxa de variação da superfície de um cubo em relação ao comprimento do lado. 11 1'5. Determinar a taxa de variação da área de um disco em relação ao seu raio. 17. Determinar a taxa de variação da superfície de um cubo em relação ao comprimento do lado. 1'8. Seja h a altura e r O raio da base de uma lata cilíndrica. Se h = 1 em, qual é a taxa de variação do volume em relação ao raio quando r = 4,6 em ? . 1r9. Para o mesmo problema anterior, se r = 2,4 em qual é a taxa de variação do volume em relação à altura quando h = 10 em ? 20. Suponhamos que o custo de produzir x unidades de um produto é dado por 2 C(x) = 10000 + 22x + x reais. Quanto custa aproximadamente produzir a unidade 12000000 ' x = 120001 ? Quanto custa exatamente produzir a unidade x = 120001 ? 21. Seja L(x) = 600x - ~~ o lucro de uma empresa quando são vendidos x aparelhos de televisão. Determinar a função lucro marginal. O que ela representa ? Determinar o lucro marginal para x = 40. Qual é aproximadamente o lucro relativo à venda do aparelhá x = 21 ? 22. Em quais pontos a 'reta tangente à curva de equação x - JXY +y = 1 é paralela ao eixo x ? [Sugestão: derivar implícitamente] \ - c\. " +- ~I. 23. Mostrar que a reta tangente à curva y = -x4 + 2x2 +x no ponto (1,2) é também tangente à curva em outro ponto. Determinar esse segundo ponto. 24. Considere o polinôrnio cúbico P(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Como devem ser as constantes a, b, c e d para que P(x) tenha (i) duas tangentes horizontais? (iO uma tangente horizontal? (iii) nenhuma tangente horizonta I ? 25. Achar o valor de c para o qual a reta y = 2x é tangente à parábola y = x2 + c. 26. Determinar a aproximação linear local de f no ponto indicado e use essa aproximação para estimar a quantidade especificada a. fCx) = x4 , Xo = 0, Estimar o valor (0,034)4. b. fCx) = fi , Xo = 9, Estimar o valor j80, c. fCx) = cos(x) Xo = ~, Estimar o valor cos(4r) [Sugestão: transformar para radianos]. 27. Estimar os valores (a) /9; (b) tg(0,23); (c) sen(58°) [Sugestão para o último cálculo: transformar para radianos]. 28. Uma lámpada está no topo de um poste de 24 m de altura. Uma bolaé largada da mesma altura de 24 m desde um ponto afastado 6 m da lámpada. Determinar a velocidade da sombra da bola 3 seg depois de ser largada. 29. Um balão está subindo verticalmente a uma velocidade de 10 ~1 e um veículo c.om uma velocidade de 60 ,tI; passa diretamente abaixo do balão no momento em que ele está a um altura de 600 111 • A qual taxa está aumentando a distância entre o balão e o carro 6 min mais tarde? 30. Uma escada de 8 m de comprimento está apoiada em uma parede de 10171, Se a extremidade inferior da escada. está sendo afastada da parede sem levantar do solo, a uma taxa constante de 0,40 l:g' a qual taxa o topo da escada está descendo quando se encontra a 2 m de altura? 31. Uma escada de 6 m de comprimento está apoiada em uma parede de 3 111 de altura. A extremidade inferior está sendo puxada sem levantar do solo afastando-se da parede a uma taxa de 1,2 --.!4-, Determinar (\ taxa à qual a extremidade da escada está descendo quando mtn atinge o topo da parede. / ,, 12 32. Uma câmcra de TV está posicionada a 200 111 de distância de uma plataforma de lançamento de foguetes. Quando um foguete está subindo, a câmcra deve mudar o ângulo de elevação para manter o foguete na tela; ao mesmo tempo o mecanismo de foealização deve levar en conta a distância variável entre o foguete e a cârnera para manter o foco. Se um foguete é lançado e em um certo instante (o e está subindo verticalmente a uma velocidade de 60 ;;g e se encontra a uma altura de 800 111,a qual taxa está aumentando o ângulo de elevação e à qual taxa está aumentando a distância entre o foguete e a câmera? [se tg(x) = 4 => x :::::1,32 rad]. 33. Um foguete está subindo verticalmente desde uma plataforma no solo que está a uma distância de 100 m de um observador no solo. O observador percebe que o ângulo de elevação está aumentando a uma taxa de 12° por segundo quando o ângulo de elevação é de 60°. Determinar a velocidade do foguete. 34. Em um certo instante, um ciclista está a 4 km de uma interseção pedalando em direção à interseção a uma velocidade de 9 ~:1. No mesmo momento, outro ciclista está a 3 k111 ao sul da interseção afastando-se dela a uma velocidade de 10 ~:1.A distância entre os ciclistas está aumentando ou diminuindo? A qual taxa? 35. Um radio transmissor está localizado a 3 km de uma rodovia reta. Um caminhão está se afastando do transmissor a uma velocidade de 65 ,/:1. A qual taxa a distância entre o caminhão e o transmissor está aumentando quando estão separados por uma distância de 5 km ? 36. Um helicóptero da policia rodoviária voa a uma altura fixa de 1 km sobre um trecho reto de uma rodovia, a uma velocidade em relação ao solo de 120 ,/:1. O policial observa que um carro se aproxima e determina com ajuda do radar que a distância medida ao longo da linha de visão entre o helicoptero e o carro é de 1,5 km e que essa distância está diminuindo a uma taxa de 136 ~:1. O motorista deveria ser multado por excesso de velocidade ? 37. Um filtro de café tem a forma de um cone invertido. Água está drenando para fora do filtro a 3 uma taxa de 10 e,n. . Quando a profundidade da água no cone é de 8 em, a profundidade está mtn decrescendo a uma taxa de 2 e'~l. Qual é a razão entre a altura e o raio do cone nesse mtn instante? 38. Uma ponte ferroviária está a 20 111 de altura, perpendicular a um rio que passa por baixo da ponte. Um passageiro em um trem que viaja a 60 ~ passa pelo centro da ponte no mesmo instante que uma pessoa em uma lancha viajando a 20 '1:1, passa diretamente abaixo do passageiro. A qual taxa a distância entre as duas pessoas está aumentando 10 seg mais tarde '! 39. Um avião voa em direção leste a uma velocidade de 400 ~:1e passa sobre urna certa cidade às I I :30 horas da manhã; um segundo avião voando em direção nordeste 8. 500 ";;1 rass~1 sobre a mesma cidade ao melodia. A qual velocidade as aviões estão se afastando entre si. ils I :00 da tarde? 40. Os ponteiros dos minutos e das horas do relógio de uma cidade têm 70 em e 50 em respectivamente. Quão rapidamente as extremidades dos ponteiros estão se separando quando o relógio marca 9:00 horas? J " .• PROBLEMAS SOBRE FUNÇÕES INVERSAS, EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS 1. Determinar se as funções seguintes têm inversa e em caso afirmativo encontrar o domínio e a imagem da função e a fórmula da inversa; fazer um esboço do gráfico da função e sua inversa no mesmo sistema de coordenadas. a. j(x) = - ~ + 1 b. j(x) = 4-x2 c. j(x) = (5 - x) 3 [obtenha o gráfico da f a partir do gráfico de y = x3 e use transformações] d. j(x) = J3x - 6 [obtenha o gráfico da f a partir do gráfico de y = JX e use transformações] e. j(x) = x - 3 [obtenha o gráfico da f a partir do gráfico de y = xl e use x+l transformações] f. j{x) = 2(x2 + 3) 2. Mostrar que a função dada não tem inversa em seu domínio natural; restringir cada função a um domínio apropriado de modo que cada restrição tenha inversa e determinar o domínio e imagem de cada função e a fórmula da inversa. Fazer um esboço dos dois gráficos a. j{x) = x2 + 6 b. j{x) = x2 - X - 2 c. j{x) = JI6 - x2 3. Calcular a derivada : : a. y = e--4x2 b. y = eCos(x) c. y = eXsen(eX) d. y = e; e. y =tg(eiX) f. y = lnjx] [a função está definida por partes; calcule a derivada para x positivo e para x negativo] g. y = ln] sec(x) I h. Y = lnlex - e= I i. Y = ln Isec(x) + tg(x) I j. y = cos(ln(x» k. y = ln(ln(x» I. y = ln(x) m. y = JX+T - ln(1 + JX+T) ,simplificar o resultado. n. xln(y) +yln(x) = xy (o.eY = ln(x3 + 3y) 'p. e" + eY = ~+Y q, Y = sen(x)sen(x) r. y = xiX s. 'y = (cos(x»tg(x) 14 t. Y = x1n(x) e y = (ln(x) y u~ y = ln(x)ln(x) V. y = x(eX) W. y = (r)X e y = x(r) 4. Um empréstimo de R$ 10.000,00 deve ser pago em um único pagamento 1 ano depois. Se a taxa anual de juros (chamada nominal) for de 12 % compostos contínuamente, determinar a quantidade total a ser paga e a taxa anual efetiva. [Sugestão: a taxa anual efetiva é aquela que dá a ~sma quantia quando os juros são compostos uma vez por ano, ou seja o valor de c tal que )''0(1 + c) = pófr com r = l~ = 0,12]. 5. Um banco oferece a seus clientes uma taxa nominal de 12 % ao ano para certas contas de investimento. Calcular a taxa efetiva se os juros são compostos mensalmente. G.- Se a taxa efetiva for de 8 % ao ano, calcular a taxa nominal se os juros são compostos contínuamente. 7. Em quanto tempo uma quantia de $ 20.000,00 dobra quando é investida a uma taxa de 6 % ao ano com juros compostos contínuamente ? Responder a mesma pergunta se a quantia for de $ 2.000,00., 8. Suponha que uma certa família investe $ 1.000,00 a uma taxa de juros anual de 6 % compostos contínuarnente. Se essa conta de investimento permacesse intacta e fosse passada de uma geração para a seguinte por 300 anos, quanto dinheiro haveria na conta no final dos 300 anos? (Depois de responder a esta pergunta ficará claro porque os governos impõem taxas para heranças e não são permitidas contas que passem de gerações para gerações ininterruptamente ). 9. Suponhamos que faltam 4 horas para um estudante fazer uma prova de Cálculo e que durante esse tempo ele pretende memorizar N resultados relacionados com a prova. De acordo com os psicólogos, a taxa à qual qualquer pessoa pode memorizar um conjunto de resultados é proporcional ao número de resultados que restam para serem memorizados. Então se o aluno memorizar y(t) resultados em t minutos, a derivada de y(t) deve verificar dy = k(N-y) dI onde k é uma constante positiva ey < N 'i/ t > O;N é o total de resultados para memorizar. a. Mostrar que qualquer função y(t) da forma y(t) = N - be:" com b constante, verifica a equação. b. A partir da igualdade tJ; = k(N - y), vamos mostrar que y(t) tem a forma da parte a: a equação pode ser reeescrita na.forma •• y'(t) = k N - y(t) de onde vem que ~ (ln(N - y(t») = -k => ln(N - y(t» = -kt+ c, onde c é uma constante => N - y(t) = e-Icté => y(t) = N - be:" onde b = e", Suponhamos agora que N = 20 e que quando t = Oo aluno não lembra nada, ou seja, y(O) = O. Se ele conseguir memorizar 1'0resultados nos primeiros 20 minutos, quantos 15 resultados poderá memorizar em 1 hora ?, em 4 horas? 10. Suponha que uma substância (sal por exemplo) se dissolve na água a uma taxa proporcional à quantidade não dissolvida. Se havia 40 kg da substância para serem dissolvidas e ao fínal de 5 horas ainda havia 30 kg sem dissolver, quanto tempo levará para que 90 % da substância seja dissolvida? [Sugestão: se y(r) denota a quantidade da substância dissolvida até o instante I, então y(t) verifica a mesma equação do problema anterior ~ y(t) = a - be:": determine as constantes a, b e k a partir dos dados do problema] 11. Em certas reações químicas, a taxa. de conversão de uma substância é proporcional à quantidade da substância que ainda não reagiu até esse instante. Após 10 minutos, um quarto de uma substância já reagiu e 30 gramas já tinham reagido após 20 minutos. Qual era a quantidade original da substância? [Sugestão: seja y(/) a quantidade da substância que reagiu; compare com os 2 problemas anteriores] . 12. Se uma certa quantia de dinheiro investida dobra emõ anos a juros compostos contínuamente, quanto tempo levará para que a quantia triplique ? 13. Responda a mesma pergunta do problema anterior se os juros forem compostos mensalmente. 14. Em um artigo para uma revista científica, um fisico premiado com o prêmio Nobel, comentou o processo de .armazenamento de resíduos de reatores 'nucleares, específicamente o plutônio-239, ou 239Pu, enterrados em cavernas profundas, fazendo a seguinte afirmação: li •• o 239Pu tem uma meia-vida de quase 25.000 anos e são necessárias 10 meias-vidas para reduzir a radioatividade 1000 vezes, então esses rezíduos devem ser mantidos fora da bioesfera por250.000 anos li. Fazer os cálculos apropriados para justificar essa afirmação. 15. O estrôncio-90 é uma substância radioativa com uma meia-vida de 28 anos, e é um resíduo de reatores de fissão nuclear. Essa substância é similar ao calcio desde o ponto de vista de algumas propriedades químicas; ele entra' na cadeia alimentar através da vegetação e de animais e pode eventualmente se alojar nos ossos de qualquer ser vivo (infelizmente, todos nós temos uma quantidade mensurável de estrôncio-90 como consequência das experiências nucleares realizadas no passado na atmosfera). Calcular a constante de decaimento e o tempo necessário para que uma dada quantidade dessa substância reduza seu nível de radioatividade em 1000 vezes. Nos seguintes problemas usamos a propriedade que se .f{/) for uma função com a propriedade que sua taxa de variação for proporcional a j{t),! (t) = rj{t), então .f{t) = ce" para alguma constante c; quando r > O ou < O, a função j{t) modela o crescimento ou decaimento exponencial respectivamente. 16. A população de uma cidade dobrou entre os anos de 1890 a 1950. Se P(/) = Pse" onde I = O corresponde ao ano 1890 e a população em 1950 era de 200.000 habitantes, estimar a população em 2004. 17. A população de umà cidade decrece a uma taxa proporcional ao seu tamanho e em {995 era de 200.000 e em 2000 era de 120.000. Qual será a população em 2004? 18. Se a taxa de crescimento de uma população for de 4 % ao ano, qual é seu fator de crescimento anual ? qual é seu fator de crescimento a êada 5 anos ? Qual deve ser o crescimento percentual anual que dobrará a população a cada 20 anos? 19. Para quais valores de x vale a equação cos " (cosíx) = x? Para quais valores de x vale a equação cOS(COçl (x) = x ? Para quais valores de x vale a equação sen " (serux) = x T Para quais valores de x vale a equação senfsen! (x) = x? 20. A função composta cos " (cosfx) está definida V x E~. Vamos determinar o valor cos " (costx) : Se x é um número real qualquer então apenas uma das duas seguintes possibilidades podem 16 y. -/ j ;0:/ ,./ b. j J y, ./ ./ J , X::: I - 37 ~ Y ~ y- ~v 0-" -. I - )<:- yl ~ - 3y ) ;X <r= /.'&- ocorrer: a. existe um número inteiro n tal que x E [2mr, (2n + 1)71J ~ X - 2mr E [O,n] ~ cos " (cos(x - 2nn» = x - Zntt, Pela periodicidade obtemos cos(x) = cos(x - 2nn) ~ cos-I (costx) = cos " (cos(x - 2nn» = x - Znt: - ou- existe um inteiro n tal que x E ((2n+ 1)n,(2n+2)n) ~ x-(2n+2)n E (~77:,O) ~ (2n + 2)n - x E (O, n) ; usando que o cosseno tem periodo 2n e a propriedade de ser uma função par, temos cos(x) = cos(x - (2n + 2)n) = cos«2n + 2)7l"- x) então -I I - cos (costx) = cos" (cos«(2n+2)7l"-x» = (2n+2)n-x. 21. Usando idéias semelhantes, determinar o valor de sen " (serux) \I x E IR. a gráfico da função y = tg(x) tem assíntotas verticais. Quais são suas equações? Porque o gráfico da inversa y = tg'" (x) também tem assíntotas horizontais ? Quais são suas equações ? Determinar por diferenciação se as funções seguintes têm inversa : a. j(x) = 3x5 -x3 + 2 b. f(x) = 2x + sen(x) c. j(x) = x3 + 3x2 - 4 d. j(x) = ~!21 (atenção ~o domínio da)) As seguintes funções têm inversa no conjunto especificado. Determinar a fórmula da inversa, seu domínio e imagem: a. j(x) = (x - 3)4, X ~ 3 b. j(x) = 2x+ 1 x =t= 1.. 3x - 1 ' 3 c. j(x) = ~2x - 1 , X E ~ d. JCx) = 3 x > Ox2 + l' - e. j(x) = x - 3x2, X ~ I Mostrar que se j(x) = 31- x , então f =fi. a que isso significa em relação ao gráfico daf?-x Mostrar que j(x) = x3 - 3x2 + 2x não é um a um em ~ e determinar o maior valor de c tal que fé um a um em (-c, c). Sejaj(x) = 2x3 • Achar x tal quej"! (x) = 2. x + 1 Provar que se a2 + bç =t= O então o gráfico de j(x) = ~ +g ·é simétrico em relaçãosà reta y = x [Sugestão: resolva primeiro o problema 24]. Se uma função f tiver derivada positiva em todo seu domínio, podemos concluir que ela é crescente no domínio? 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. ) 17 PROBLEMAS SOBRE CRESCIMENTO E CONCAVIDADE DE FUNÇÕES 1. Determinar os intervalos onde a função cresce, d~-é-côRcava para cima, é côncava para baixo, e os pontos de inflexão se houver: a. fCx) = 2x3 - 3x2 - 12x b. fCx) = x.{X+T c. fCx) = x+cos(x) , x E [-2n,2n] d. fCx) = x4 + 8x3 + 100 e. fCx) = (x2 - 1)3 f. fCx) = 3x5 - 20x3 9 fCx) - x. - (x - 1)2 h. fCx)=x+l i. fCx) = n._12 x2 x x3 j. fCx) = (x _ 1)2 2. Determinar os pontos críticos da função, classificando cada um deles como pontos estacionários ou de não-diferenciabilidade: a. fCx) = 2x3 - 3x2 + 6x + 4 b. fCx) = x4 + 4x3 + 2x2 c. fCx) = 2x X + I 2 5 d. fCx) = 5.:ç3 +x3 e. fCx) = x + sen(x) f. fCx) = sen2(x) 3. Usar o teste da derivada 13 ou o teste da derivada 23 para determinar os extremos locais da função: a. fCx) = 2x+ ~ x b. fCx) = xJ3 -x c. fCx) = 1 x2 +x d. jCx) = 3 x2 I x + e. fCx) = x(x-l)2 4 f. f(x) = x"s 2 g. fCx) = 2x+X3 h. }ex) = ~2 -4/ i. }(x) = ~-sen(x) , XE (0,27r) ••• 4. É verdade que se j (xo) = O,ftem um extenno local em Xo ? 5. É verdade que seftem um extenno local emxo,j(xo) = O? 6. É verdade que se j' (xo) = O,ftem um ponto de inflexão em Xo ? 7. Existe uma funçãoftal quefCI) = -3,j(3) = 2, eJ(x) < O V X E (1,3) ?[Sugestão: sim] 8. Existe uma funçãofcontínua tal quefCl) = -3,}(3) = 2, ej(x) < O V X E (1,3)? 18 9. Existe uma funçãoftal que/(x) *- O \:j x, e com a propriedade quej(O) = j(1)? Justificar. 10. Dar um exemplo de uma função contínua f que tem um ponto estacionário xo, com a propriedade quefnão tem um extremo local em xo. 11. Dar um exemplo de uma função contínua f que tem um ponto de não-diferenciabilidade xo, com a propriedade quejnão tem um extremo local em xo. 12. Se uma função f tiver um extremo local em um ponto xo, é verdade que Xo deve ser necessáriamente um ponto crítico? 13. Se Xo for um ponto crítico de uma função f e a derivada 2a da f tiver o mesmo sinal de cada lado de xo, é verdade quej deve terum extremo local em Xo ? 14. Esboçar o gráfico de uma funçãojdefinida em !RI. tal quej(x) > O ,/(x) > OeJ'(x) > O. 15. Esboçar o gráfico de uma funçãojdefinida em !RI. tal que/(x) < Oe/'(x) < O. 16. Existe alguma função j defmida em !RI. tal que j(x) > O, / (x) < O e /' (x) < O ? Justifique sua resposta.[Sugestão: considere um ponto do gráfico (a,j(a)) e a reta tangente por esse ponto e compare os dois gráficos usando as propriedades daf; uma figura pode ajudar]. 17. Mostrar que um polinômio de grau 3 sempre tem um único ponto de inflexão. 18. Seja c um número real positivo distinto de I ej(x) = XC - cx. Mostrar que se c < I, ftem um máximo local em x = 1, e se c > 1, ftem um mínimo local em x = 1. 19. Os curvas abaixo são os gráficos das derivadas Ia e 2a respectivamente de uma função f no intervalo [O,Jr]. Determinar os extremos locais e pontos de inflexão da! 2 o -1 -2 -3 4 2 O -2 -4 -6 -8 19 aR/GfNA.~ D' y\ "q'r-' ., l.JL. ...;\,,11 2 '·Jd'\ilt··:,· ' , ...,.••• o I./S f ./ . PROBLEMAS SOBRE EXTREMOS LOCAIS ~\~'~fEGRA DE L 'HÔPITAL 1. Determinar os pontos críticos e classificar como pontos estacionários pontos de não diferenciabil idade: Suponhamos que fe g são funções contínuas "'11 um intervalo Ique contém a extremidade a. Indiquemos por r a coleção dos pontos interiores de I (pontos que não são extremidades do intervalo). Suponhamos quefe g são diferenciáveis em ie quej(a) = g(a) e/(x) > g'(x) V X E i. Mostrar que j(x) > g(x) V X E i. [Sugestão: aplicar o TVM à função j(x) - g(x) no intervalo [a, x] ]. Aplicar o problema anterior para provar a validade das seguintes desigualdades: a. tg(x) > x V X E (O, ; ) (observar que por ser funções ímpares também vale tg(x) < x V X E (-; ,O), e então Itg(x) I :s ~I V x E (-;,; ». b. sen(x) < x V X E (O, ; ); como na parte anterior = Isen(x) I ::::~I \j x E (- ~ , ~ ). No cálculo dos seguintes limites indicar qual é o tipo de indeterminação em cada caso e aplicar a Regra de L'Hôpital quando for o caso; se for possível aplicar outro método mais elementar, aplique-o: a, lim x3 + 2x - I X-+<XJ 4x3 - 3x2 + 2 lim x2 + 2x - I x~-oo 4x3 - 3x2 + 2 lim x5 + 2x - I X-+<XJ 4x3 - 3x2 + 2 I· x2 - 9lm..:..:.-~'- x~3 X - 3 lim xa - I x~1 x'' - I lim tg(cx) x-+O tg(dx) a. b. j(x) = x3 + 3x2 - 9x + I fix) = x4 - 6x2 - 3 2 j(x) = X3 j(x) = x x2 + 2 2 j(x) = x'3 (x + 4) 4 I j(x) = x'3 - 6x'3 j(x) = Icos(x)I c. d. e. f. g. 2. Determinar os extremos locais se houver: a. j(x) = 1 -4x-x2 b. j(x) = sen2(x) , x E (0,21r) c. j(x) = ~ - sen(x) , x E (O, 21r) d. j(x) = x(x - 1)2 4 e. j(x) = x'3 2 f. j(x) = -2-?'-x- X + 1 g. j(x) = x4 + 2x3 2 h. j(x) = 2x + x '3 3. 4. 5. b. c. d. e. f. 20 g. h. 1 0 sen(x) - x U11 ----'--'--- x~O X3 limx" ln(x), c constante positiva. x-+O 1° In(ln(x))1m ° 11x-.-,.oo XC -1 1 0 sen (x) un x x-+O i. j. k. I. 1lim(1 - 2x) xx-+ü lim( l- xII) x+O e - lirn x' x-+ü+ lim (-ln(x))-' x-+O+ 10 ( (»)tg(x)im sen x .:<-+0 o~L~(1 + ~ ) bx, a e b constantes 1 lim(eX +x) x .r-coo limxln(x) x-+oo . e(L' _ ebx lim x x-+O r ln(ln(x)) xt..~ x lim eX cos(x) x-+O x sen(x) 2 lim sen (x) x-o sen(x2) lim (sen(x») .•2 x-+O+ (ln(x»1nl~ x ,m natural qualquer ~~( x~ 1~ln(X») l~rlxsen( l) m. n. o. p. q. r. s. t. u. v. w. x. y. z. 21 'PROBLEMÀS SOBRE EXTREMOS LOCAIS E ABSOLUTOS 1. Determinar os extremos absolutos no intervalo especificado a. fCx) = x3 + 2x2 - 4x + I; 1= [-3,2] b. fCx) =x+3x-4; 1=[-4,4] c. fCx) = 3 cos(2x); 1= [ ~ , 34Jr ] { 3x - 4 , -3:::; x < 1 d. j(x)= 1=[-3,3] x2 - 2, 1:::;x:::; 3 2 e. fCx) = (x + 1)"3; 1= [-2,1 ] Nos seguites problemas não pode ser aplicado o 1VE. Determinar os extremos absolutos, se houver, em cada intervalo especificado: a. fCx)=x3+2x2-4x+l; 1=(-3,2) b. J(x)=x3-3x+5; 1=(-00,0) 2 c. J(x) = (x-5)3; 1=(-00,00) d. J(x)= x2-37; 1=[-3,3)x- e. J(x) = x 3; 1= [0,00) (x2 + 4) '2 f. J(x) = x2_~0; 1=(-00,4) x- Determinar a equação da reta tangente ao gráfico defCx) = x3 - 3x2 + 5x, que tem inclinação mínima. Mostrar que o gráfico de J(x) = ~ + 1 tem três pontos de inflexão colineares e determinar a x + 1 equação da reta que os contém. Determinar os extremos locais e absolutos se houver no intervalo especificado justificando suas conclusões: a. J(x) = x2; 1= (0,3) b. fCx) = x2; r = [0,3) c. J(x) = x2; 1= (0,3] 2. 3. 4. 5. d. JCx) = JX(I-x); intervalos 1= [0,1] e 1=[t,l] J(x) = sen(x) + cos(x); intervalos 1= [O, ~] e I = [O, ; ] J(x)= 1; intervalos 1= (0,1) e (0,1] J( { X2 xE[-I,O) x) = 3 - x2 , X E [O, 1] e. f. g. •• PROBLEMAS SOBRE ANÁLISE GRÁFICA E OTIMIZAÇÃO 1. Esboçar um gráfico completo das seguintes funções no domínio natural ou no intervalo especificado quando for o caso: a. fCx) = 3x4 + 4x3 b. J(x) = 3x5, - 5x3 c. fCx) = x2 - 1 22 d. j(x)= x-I x2 -4 2 j(x) = 2x + 3x "3 j(x) = x + sen(x) , [-2n,2n] j(x) = cos+(x) - 2 sen(x) j(x) = ln(x) x2 j(x) = x2ln(x) j(x) = xe-2x j(x) = x2e-2x e. f. g. h. i. j. k. 2. Considere um triângulo retângulo com catetos de 4 e 10 em de comprimento. Se R é um retângulo inscrito cujos lados estão sobre os catetos e um vértice na hipotenusa, determinar os lados de modo que a área de R seja máxima. 3. Uma caixa sem tampa é construida de um retângulo de papelão de 40 em x 60 em recortando quadrados nos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Qual deve ser o tamanho dos quadrados para que o volume da caixa seja máximo? 4. Se um cone é construido de uma folha circular de raio R cortando um setor circular e colando entre si os lados do corte, qual é o maior volume do cone? [Sugestão: vide o Exemplo ( 1.18)] 5. Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r. Qual é o máximo volume do cilindro? [o volume de um cilindro é superfície da base x altura] . 6. Um recipiente fechado com a forma de um paralelepípedo reto de base quadrada deve ter uma capacidade de 2000 cmê . Se o custo do material da base e da tampa é o dobro do material da lateral, quais devem ser as dimensões para que o custo de fabricação seja mínimo ? 7. Se a caixa do problema anterior tiver uma superfície total de 200 em", qU?;C"devem ser as dimensões para que o volume seja máximo? 8. Um retângulo tem dois de seus lados sobre os eixos coordenados e um vértice sobre a parábola Y = 9 - x2• Quais devem ser as dimensões do retângulo para que a área seja máxima? 9. O gráfico da equação x2 - y2 = 4, é uma hipérbole com focos no eixo x e vértices nos pontos (-2, O) e (2, O). Quais pontos da hipérbole estão mais próximos de (0,4) ?, 10. Dada a reta de equação ax + by + c = O e um ponto P(xo,Yo) fora da reta, mostrar que a r •• di ~. P I d' d d laxo + bvi, + c]mrruma istancia entre e qua quer outro ponto a reta e a a por - ja2 + h2 [Sugestão: analise separadamente os casos b = O e b 1= O]. 11. Determinar todos os pontos P da parábola y = 1 - x2 , O < x :s 1, tais que o triângulo no 10 quadrante formado pela reta tangente em P e os eixos coordenados tenha área máxima. 12. Duas fontes luminosas, uma delas 8 vezes mais intensa do que a outra, estão separadas por uma distância de 4 m. Em qual ponto sobre a reta que liga as duas fontes, a iluminação será mínima? [Sugestão: a iluminação em um ponto P devida a uma fonte F é diretamente proporcional à intensidade da fonte e inversamente p.oprocional ao quaJrado da distância de P a F]. 13. Duas partículas se deslocam sobre uma reta coordenada de tal modo que as posições de cada partícula são dadas respectivamente pelas equações ,2 [2 SI (t) = T-, + 3 e S2(t) = -4 + t + 1 , t ~ O. 23 a. As partículas colidem? b. Qual é a menor distância entre as partículas e quando ela ocorre? c. Em quais intervalos det as partículas se deslocam em direções opostas? [Sugestão: esboce os gráficos da posição e velocidade de cada partícula] 14. Dados dois números reais a e b, a média aritmética é definida como a; b e se ambos forem positivos, a média geométrica é defmida como jQb. Para três números a, b e c, a média aritmética é a + g + c e a média geométrica é ~abc . a. Determinar qual das médias entre os dois números a e b é a maior considerando a função~x) = a;x - jQX definida em (O,co). b. Determinar qual das médias entre os três números a, b e c é a maior considerando a funçãoj(x) = a+~+x - ~abx defmidaem (O,::c). 15. Seja (a,b) um ponto no }O quadrante, então -qualquer reta nem vertical nem horizontal que passa por (a, b) corta ao eixo y em um ponto A e corta ao eixo x em outrc ponto B. Se O \ -- -- denota a origem do sistema de coordenadas, mostrar que o valor mínimo de OA + OB é (a+ +b+ )2. 16. Um cartaz de forma retangular está afixado no topo de um prédio. A distância desde o solo até a parte superior do cartaz e até a parte inferior são respectivamente a e b. Um observador no solo situado a d metros de distância do prédio observa a parte superior do cartaz sob um ângulo de levação a e a parte inferior sob um ângulo de elevação [3 (em relação à horizontal) como na figura abaixo. Mostrar que o ângulo () = a - [3 é máximo quando d for a média geométrica dos números a e b. Observação: quando () for máximo, o observador terá a melhor visualização dos elementos contidos no cartaz. [Sugestão: usar a fórmula de tg(a - [3) e reescrever esse quociente como uma constante dividido por um denominador variável, lembrando que um quociente assim é máximo quando o denominador é mínimo]. a 24 ,., PROBLEMAS SOBRE CÁLCULO DE INTEGRAIS INDEFINIDAS Integração por Substituição 1. Calcular fazendo a substituição sugerida a. ftg2 (x)sec2 (x)dx, li = tg(x) b. f J I + 4x2 xdx, li = I + 4x2 f eX + e-X dxC. u., li = eX - e=eX _ e x , 4f :'C dx, x) + 2 fx2ex3+1dx, f x sen(x 2) dx, JCOS(x2) f JI + jX dx, fx2Jf+Xdx, d. e. li = x3 + 1 f. li = COS(x2) g. u r= l+JX h. u = 1 +x 2. Calcular fazendo substituições apropriadas 4 a. f x2 (x3 - I) 5"dx b. f 1 - eX dx Jx-ex c. f sen(jX) dx jX d. f~xJx2+ldx fi? ';3e. 2x(1 +x-) dx 3. 4. f. faça li = x2 e use uma fórmula de geometria g. h. "i. L2" sen(x)cos(x)d'C 2 Calcular f (fi - 1)2 dx de duas formas: (a) fazendo a substituição li = fi .-I, e (b) IX I expandindo o numerador (jX - 1)2 e multiplicando por x-"2. Se f(x) é uma função contínua definida em [-a, a], a > 0, e tal que f é par, f(x) = f(-x) , mostrar que f:af(x)dx = 2 S:f(x)dx 5. Sef(x) é uma função contínua definida em [-a,a], a> 0, e tal quefé ímpar,f(x) = -j{-x) , mostrar que 25 Integração por Partes 1. Usar a regra de integração por partes a. f In(x + 2)d" b. f In(x) dx IX c. f X tg-I (x)d. d. f xe2'd" e. f cos(ln(x))dx f. f(ln(x))2d" g. fx(ln(x))2dx h. f~2 ln(x + 2)d" 1( i. f 0 4 xsec2(x)d" I j. f;- sen' (x)dx k. f: x2 ln(x)dx Integrais de Funções Trigonométricas 1. Usar substituições apropriadas a. f cos\x)sen2(x)dr b. f xsen 3 (x2 )d'C c. f e-2ttg(e-2')dx d. fsen2(x)cos2(x)dx- 1( e. f;- cos3(x)dx 1( f. f 02 sen3(x) cos3(x)d\" Substituições Trigonométricas Inversas 1. Usar substituições trigonométricas inversas f JX2 - 9 dxa. x ? b. f x- dx J4 +x2 c. f dx X2Jx2 - 9 d. f eX J I - e 2, dx ?f x- dx Jl -x2 ?f x- dx Jx2 - 25 e. f. j .' 26 ( F Integração por Frações Parciais 1. Usar a decomposição em frações parciais do integrando a. f_x-dx x+l ? b. f~l dxx+ c. f x? dx (x + 1 )- d. f? X dx x- + 1 e. f I ~X2 f. f x2;- 4 dx g. f x2 dx x2 - 3x + 2 h. f? dx x- - 3x + 2 f dxi. x3 + X 3 3 2 2 ..,j. f x - .:x; + x - .) dx x + I - ? k. f x) + ,2x- + I dx XO -x ÁREAS ENTRE CURVAS, INTEGRAIS DEFINIDAS E O TFC 1. Determinar a área da região entre as curvas y = x2 + 1, Y = O, x = O e x = 3, e esboçar a região. 2. Determinar a área da região abaixo do intervalo [-2, -I] e acima da curva y = x3; esboçar a região. 3. Dada F(x) = IX sen(t) dt o t2 + 4 calcular F(O), F' (O) e F" (O). 4. Dada Ix [ ..,F(x) = ~dt, x E ~,o t + 7 a. Mostrar que Ftem um mínimo absoluto e calcular esse valor mínimo b. Em quais intervalos F é crescente? decrescente? c. Em quais intervalos F é côncava para cima? para baixo? 5. Qual é o maior intervalo aberto onde a função F(x) = IX dt fll o [2 - 16 representa uma primitiva de j(x) = 2 1 ? Em qual ponto o gráfico da F corta ao eixo x ?x -16 6. Calcular a integral f ~12x- Ildx e indicar o que ela representa esboçando uma figura. 27 · t 7. Esboçar os gráficos de ln(x) e de eX para justificar a igualdadef: ln(x)dx + J~e' dx = e 8. Esboçar as regiões entre as curvas e calcular as áreas a. x = ;" x = O, Y = 1, y = e b. y = x, y = 4x, Y = -x + 2 c. y = sec+(x), y = 2, x = - ~, x = ~ d. Y = x3 - 4x, Y = O, x = -2, x = 2 e. x = y3 - y, X = O f. y = x2 + 2, y = x, x = -1, x = 2 g. y = x, y = ]x h. x = y3, X = -3y2 + 4 i. x +Y = 6, x = 1, y = fi j. a parábola y = 2x - x2 e o eixo x; determinar também o valor de m tal que a reta y = mx divide a região em duas regiões com áreas iguais. k. y = x2, X = y3, e x + y = 2. \. Y = cos(x) - sen(x), x = O e y = O m. calcular m tal que a região acima da parábola y = mx? (m > O), à direita do eixo y e abaixo da reta y = m, tanha uma área de 4 unidades 9. Calcular J: Icos(x) + 1- Idx 10. Calcular J sec(x)dx multiplicando numerador e denominador por cos(x) e fazendo a substituição u = sen(x). 11. Calcular a área no primeiro quadrante entre a parábola y = 4 - x2 e a reta tangente correspondente ao ponto x = 1. Esboçar a região. 12. Suponhamos que uma dada função I tem um gráfico simétrico em relação ao eixo y e que J3 j(x)dx = 6 e JO j(x)dx = -1. Calcular J3 j(x)dx.~ ~ 2 13. Suponhamos que uma dada função Item um gráfico simétrico em relação ao eixo y e que JI j(x)dx = -4 e J4j(x)dx = 5. Calcular J4j(x)dx.-1 o I 14. Verificar cada etapa do seguinte cálculo: Denotemos por I a seguinte integral defmida I = fi dx -I x2 + 1 Sendo que j(x) = x2 ~ 1 é contínua em [-1,1], a integral existe e I> O pois j(x) > O. Fazendo a substituição u = 1 => du = - x\ dx => du = -u2 dx => dx = - du. quando '!J.2 ' 1 = u => _I + 1 1 + u2 u2 x = -1, u = -1 e quando x = 1, u = 1; também temos 21 x + 1 I = fi u2 (- du ) - - f -I 1+ u2 u2 - Então I = O, mais isto é impossível pois I> O. 1 du = -1 1+ u2 PROBLEMAS SOBRE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 1. 2. Calcular as integrais impróprias ou provar sua divergência fi dxa. OJX f~1~ 1- dx J02 X1n(X) 1- dx f02 X1n2(X) foo dx 1a x1n(x)' a > fXl dx a>l a x1n2(x)' foo dx--<Xl 1 + x2r dx 2 (x2 _ 1)2f:sen(x)dx fI dxo x3 - 4x2 foo dx--<Xl x2 + 4x + 9 Seja f uma função contínua nos intervalos [a,c) e (c,b]. Mostrar que se j{x) ~ O e lim{l{x)~ - c]"} = L onde L é um número real positivo, então: x-c a. se m < 1, a integral imprópria rj{x)dx converge . a se m ~ 1, a integral imprópria f:j{x)dx diverge A condição lim{l{x)~ - c]"} = L é também escrita na forma abreviada x-c Lj{x) - ~ _ clm para x --+ c, ou equivalentemente b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. b. ~ !clm s.j{x) s ~!clm , \Ix E [c- s.c + 8] '\ {c} com constantes positivas A, B e 8_ 3. Sejafuma função contínua no intervalo [a,oo). Mostrar que se j{x) ~ O e lim{l{x)xm} = L x-oo onde L é um número real positivo, então: a. se m > 1, a integral imprópria Cj{x)dx converge b. se m S. 1, a integral imprópria Cj{x)dx diverge Observação: A condição lim{l{x)xm} = L é também escrita na forma abreviada . x-oo j{x) - I;, para x --+ 00, ou equivalentementex 1" s.j{x) s l!" \I x ~ Kx x com constantes positivas A, B e K. 4. Determinar se as integrais imprópriassão convergentes (não calcule as integrais convergentes) f20 dxa. 2o JX+fi+iX+x 29 .. b. rI dxIX + rx + IX +x2r dx o ~1 -x4 foo sen(x) dxo x2r dx -2 x2 + ~X4 + 1r xdx o Jx5 + 1t dx I 1n(x) c. d. e. f. g. 5. A função Beta de Euler defmida por B(p,q) = f~xP-l(1-x)q-ldx aparece em diversas aplicações. Mostrar que a integral converge se p e q forem ambos positivos. 30
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