Lista 05 - Cálculo 2

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IM404 – CÁLCULO II 
Lista 05 
Funções de Varias Variáveis: Domínio, Conjunto de Nível, Limite e Continuidade 
 
1- Determine o domínio das funções e mostre graficamente a região de definição: 
 
a) 𝑧 = √2𝑦 − 𝑥2 − 𝑦2 b) 𝑧 = 2√𝑦−𝑥 
 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
√𝑥2+𝑦2−1
𝑦+𝑥
 
d) 𝑤 = 𝑦√1 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 
 
2- Descreve as curvas de nível das funções abaixo: 
 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √9 − 𝑥2 − 𝑦2 
 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = |𝑦| d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
e) 𝑧 = 1 − √𝑥2 + 𝑦2 f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 7𝑦 
 
3- Se T(x, y) = x + y2 − 1 representa a temperatura em cada ponto de uma região do plano. 
Determine as isotermas de 𝑇(𝑥, 𝑦). 
 
4- Se 𝑇(𝑥, 𝑦) = √100 − 𝑥2 − 𝑦2 representa a temperatura em cada ponto de uma região do 
plano. Determine as isotermas de 𝑇(𝑥, 𝑦). 
 
5- Se T(x, y) = x2 − y2 representa a temperatura em cada ponto de uma região do plano, 
determine as isotermas de T(x, y), para T(x, y) = 0, T(x, y) = 1, T(x, y) = 2, 𝑇(𝑥, 𝑦) = 4 e 
𝑇(𝑥, 𝑦) = 9. 
 
6- Descreve as superfícies de nível das funções abaixo: 
 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 2 b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 − 𝑥2 − 𝑦2 
 
7- Verifique, pela definição, os limites para: 
 
a) lim
(𝑥,𝑦)→(1,2)
. (3𝑥2 + 𝑦) = 5 b) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑠𝑒𝑛(𝑥2+𝑦2)
𝑥2+𝑦2
 
 
8- Calcule os limites abaixo: 
 
a) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑒𝑥+𝑒𝑦
cos 𝑥+cos 𝑦
 
 
b) lim
(𝑥,𝑦,𝑧)→(0,−1,0)
𝑦3+𝑥𝑧2
𝑥2+𝑦2+𝑧2
 
 
c) lim
(𝑥,𝑦)→(2,−4)
𝑦+4
𝑥2𝑦−𝑥𝑦+4𝑥2−4𝑥
 
 
9- Mostre que não existem os limites 
lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓(𝑥, 𝑦), 
para as seguintes funções: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦)= −
𝑥
√𝑥2+𝑦2
, (𝑥0, 𝑦0) = (0,0) 
 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦)= 
𝑥2+𝑦
𝑥2+𝑦2
, (𝑥0, 𝑦0) = (0,0) 
 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦)= 
𝑥𝑦
𝑦−2𝑥
, (𝑥0, 𝑦0) = (1,2) 
 
10- Mostre que não existe o limite 
lim
(𝑥,𝑦,𝑧)→(𝑥0,𝑦0,𝑧0)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), 
para 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)= 
𝑥2+𝑦2−𝑧2
𝑥2+𝑦2+𝑧2
. 
11- Verifique se existe o limite: 
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
 
𝑥𝑦2
𝑥2 + 𝑦4
 
 
12- Considere a função f(x, y) = 4x + 5y: 
a) descreva as curvas de nível desta função 
b) e mostre, por definição, que o limite da função, para quando (𝑥, 𝑦) → (1,2), é 14, 
isto é: 
 
lim
(𝑥,𝑦)→(1,2)
. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 14