Lista 2 Fisica 1 Christopher Thomas

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Lista de exerc´ıcios - F´ısica I - IC106 -
Turmas 01 e 04
A´rea 1 - 2016/01, Lista 2
Professor: Christopher Thomas
Atualizado em 30 de Marc¸o de 2016.
1. Vetor posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o
(a) Um motorista dirige para o sul a 20,0 m/s
por 3,00 min, enta˜o vira para oeste e viaja
a 25,0 m/s por 2,00 min e termina viajando
noroeste a 30 m/s por 1,00 min. Para essa
viagem de 6,00 min encontre (1) o vetor
deslocamento, (2) a rapidez me´dia e (3) a
velocidade me´dia. Posiciono o eixo x posi-
tivo na direc¸a˜o leste.
(b) Suponha que o vetor posic¸a˜o de uma
part´ıcula e´ dado por uma func¸a˜o do tempo
~r(t) = x(t)ˆi + y(t)ˆj, com x(t) = at + b e
y(t) = ct2+d, onde a = 1, 00 m/s, b = 1, 00
m, c = 0, 125 m/s2 e d = 1, 00 m. (1) Cal-
cule a velocidade me´dia durante o inter-
valo de tempo entre t = 2, 00 s a t = 4, 00
s. (2) Determine a velocidade e a rapidez
para t = 2 s.
(c) Uma bola de golfe e´ rebatida de cima de
um morro. Sendo x e y suas coordenadas
dependentes do tempo, onde x = 18, 0t e
y = 4, 00t − 4, 90t2, onde x e y sa˜o medi-
dos em metros e t em segundos. (1) Es-
creva a expressa˜o para a posic¸a˜o da bola
em func¸a˜o do tempo, usando os vetores
unita´rios iˆ e jˆ. Utilizando as derivadas,
obtenha expresso˜es para (2) o vetor velo-
cidade ~v como func¸a˜o do tempo, e (3) a
acelerac¸a˜o ~a como func¸a˜o do tempo. (4)
Use os vetores unita´rios para escrever a
posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o para a
bola de golfe em t = 3, 00 s.
(d) Uma part´ıcula comec¸a a partir da origem
com velocidade 5ˆi m/s em t = 0 e se move
no eixo xy com a uma acelerac¸a˜o que varia
com tempo na forma ~a = (6
√
tˆi)k onde iˆ
esta´ em metros por segundo ao quadrado
e t em segundos. (1) Determine a veloci-
dade da part´ıcula como func¸a˜o do tempo.
(2) Determine a posic¸a˜o da part´ıcula como
func¸a˜o do tempo.
2. Movimento em duas 2D com acelerac¸a˜o cons-
tante
(a) Uma part´ıcula inicialmente localizada na
origem tem uma acelerac¸a˜o de ~a = 3, 00jˆ
m/s2 e uma velocidade inicial de ~vi =
5, 00ˆi m/s. Encontre (1) o vetor posic¸a˜o
para a part´ıcula em qualquer tempo t, (2)
a velocidade da part´ıcula para qualquer
tempo t, (3) as coordenadas da part´ıcula
para t = 2, 00 s e (4) a rapidez da part´ıcula
para t = 2, 00 s.
(b) O vetor posic¸a˜o de uma part´ıcula varia
no tempo de acordo com a expressa˜o ~r =
3, 00ˆi − 6.00t2jˆ, onde ~r e´ em metros e t
em segundos. (1) Encontre uma expressa˜o
para a velocidade da part´ıcula em func¸a˜o
do tempo. (2) Encontre a acelerac¸a˜o da
part´ıcula como func¸a˜o do tempo. (3) Cal-
cule a posic¸a˜o da part´ıcula e a velocidade
para t = 1, 00 s.
(c) Um peixe nadando num plano horizontal
tem velocidade ~v = (4, 00ˆi + 1, 00jˆ) m/s
em um ponto do oceano onde a posic¸a˜o re-
lativa a uma certa rocha e´ ~ri = (10, 0ˆi −
4, 00jˆ) m. Depois de o peixe nadar com
acelerac¸a˜o constante por 20,0 s, sua velo-
cidade e´ de ~v = (20, 0ˆi − 5, 00jˆ) m/s. (1)
Quais sa˜o as componentes da acelerac¸a˜o do
peixe? (2) Qual e´ a direc¸a˜o e sentido de sua
acelerac¸a˜o com respeito ao vetor unita´rio
iˆ? (3) Se o peixe mantiver acelerac¸a˜o cons-
tante, onde estara´ em t = 25, 0 s e em qual
direc¸a˜o e sentido estara´ se movendo?
3. Movimento de proje´til
(a) O puma ou lea˜o da montanha - Felis con-
color - e´ o melhor dos saltadores entre os
animais. Ele pode saltar a uma altura de
12,0 pe´s quando deixa o solo em um aˆngulo
de 45o. Qual e´ a rapidez, em unidades SI,
que o puma deixa o solo para realizar esse
salto?
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(b) Em um bar os fregueses deslizam suas ca-
necas de cerveja sobre o balca˜o para serem
enchidas novamente. A altura do balca˜o
e´ de 1,22 m. Num determinado momento,
uma caneca desliza, cai do balca˜o e se que-
bra a encontrar o solo a uma distaˆncia de
1,40 m da base do balca˜o. (1) Qual e´ a ve-
locidade da caneca ao deixar o balca˜o? (2)
Qual e´ a direc¸a˜o e o sentido da velocidade
da caneca um momento antes dela tocar o
solo?
(c) Um proje´til e´ lanc¸ado de tal forma que a
distaˆncia horizontal e´ treˆs vezes maior que
sua altura ma´xima. Qual e´ o aˆngulo do
proje´til?
(d) A rapidez de um proje´til quando ele al-
canc¸a sua altura ma´xima e´ a metade de
sua rapidez de quando ele esta´ na metade
de sua altura ma´xima. Qual e´ a projec¸a˜o
inicial do aˆngulo do proje´til?
(e) Um bombeiro a uma distaˆncia d de um
pre´dio pegando fogo, direcionada a man-
gueira de a´gua em um aˆngulo θi acima da
horizontal como mostrado na figura 1. Se
a rapidez inicial do jato d’a´gua e´ vi, a qual
altura h a a´gua acertara´ o pre´dio?
Figura 1: Pre´dio em chamas.
(f) Uma arquiteta esta´ projetando uma cacho-
eira artificial para um parque na cidade. A
a´gua sai do canal horizontal a uma veloci-
dade de 1,70 m/s de um muro que esta´ a
uma altura h = 2, 35 m, como mostrado
na figura 2. (1) O espac¸o entre o muro e a
cachoeira sera´ suficiente para a passagem
de um pedestre? (2) Para vender seu plano
para o secreta´rio de infraestrutura do mu-
nic´ıpio, a arquiteta projeta uma maquete
de proporc¸o˜es 1/12 do tamanho original.
Qual deve ser a rapidez da a´gua no canal
dessa maquete?
Figura 2: Cachoeira artificial.
(g) Um playground de uma escola infantil foi
constru´ıdo na laje do pre´dio a uma altura
de 6 metros. A altura vertical da frente
do pre´dio tem h = 7, 00 m, formando um
muro de 1,00 m de altura para proteger
as crianc¸as. Uma bola cai na rua e um
transeunte retornou-a com um chute em
um aˆngulo de 53oacima da horizontal a um
ponto d = 24, 0 m da base do pre´dio, como
mostrado na figura 3. A bola demora 2,20 s
para alcanc¸ar o ponto na vertical logo apo´s
o muro. (1) Encontre a rapidez em que a
bola foi lanc¸ada. (2) Encontre a distaˆncia
vertical pela qual a bola passa pelo muro
de protec¸a˜o. (3) Encontre a distaˆncia ho-
rizontal a partir do muro ao ponto da laje
onde a bola chegou.
Figura 3: E´ futebol.
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(h) Um estudante esta´ em um rochedo e atira
uma pedra horizontalmente com uma ra-
pidez vi = 18, 0 m/s. O rochedo esta´ a
h = 50, 0 m acima de uma lago como mos-
tra a figura 4 (1) Quais sa˜o as coordena-
das iniciais da posic¸a˜o da pedra? (2) Quais
sa˜o as componentes iniciais da velocidade
da pedra? (3) Qual e´ o modelo de ana´lise
apropriado para o movimento vertical da
pedra? (4) Qual e´ o modelo apropriado
para a ana´lise do movimento horizontal da
pedra? (5) Escreve equac¸o˜es simbo´licas
para as componentes x e y da velocidade
da pedra como func¸a˜o do tempo. (6) Es-
creva equac¸o˜es simbo´licas para a posic¸a˜o
da pedra em func¸a˜o do tempo. (7) Quanto
tempo a pedra demora para atingir a a´gua
apo´s ser atirada? (8) Com qual rapidez e
aˆngulo de impacto a pedra chega a a´gua?
Figura 4: Rochedo e a´gua.
(i) Um esquiador deixa a rampa de
lanc¸amento com uma velocidade de
10,0 m/s e θ = 15, 0oacima da horizontal,
como na figura 5. A encosta da rampa
e´ inclinada de φ = 50, 0oe a resisteˆncia
do ar e´ desprez´ıvel. Encontre (1) a
distaˆncia coberta pelo esquiador ate´
alcanc¸ar a encosta e (2) as componentes
da velocidade logo antes de sua chegada
a` encosta. (3) Como voceˆ acha que os
resultados poderiam ser afetados se fosse
inclu´ıdaa a reststeˆncia do ar? Observe que
os esquiadores se inclinam para frente em
um formato aerodinaˆmico, com suas ma˜os
a seus lados, para aumentar a distaˆncia.
Por que isso funciona?
Figura 5: Rochedo e a´gua.
(j) Um navio inimigo esta´ na costa leste de
uma ilha montanhosa, como mostrado na
figura 6. O navio inimigo manobrou ate´
2 500 m do pico da montanha com altura
de 1 800 m e so´ pode disparar proje´teis
com uma velocidade escalar inicial de 250
m/s. Se a linha da costa ocidental esta´
horizontalmente a 300 m do pico, quais sa˜o
as distaˆncias da costa ocidental nas quais
um navio pode estar a salvo do bombardeio
do navio inimigo?
Figura 6: Navios.
(k) O “Cometa doVoˆmito”. Em microgravi-
dade astronautas sa˜o treinados e equipa-
mentos sa˜o testados. Para tanto, a NASA
utiliza um avia˜o KC135A ao longo de uma
trageto´ria parabo´lica, como mostrado na
figura 7. O avia˜o sobre de 24 000 ft para
31 000 ft, onde entra em uma trajeto´ria
parabo´lica com velocidade escalar de 143
m/s, com nariz do avia˜o para cima com
45,0oe finaliza com um aˆngulo de 45,0ocom
nariz para baixo e velocidade de 143 m/s.
Durante essa porc¸a˜o do voo, o avia˜o e
os objetos dentro da cabine pressurizada
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esta˜o em queda livre; os astronautas flu-
tuam livremente como se na˜o houvesse gra-
vidade. Quais sa˜o (1) a rapidez e (2) a al-
titude do topo da manobra do avia˜o? (3)
Qual e´ o intervalo de tempo que dura o
estado de microgravidade?
Figura 7: Tempo de manobra para o estado de
microgravidade.
4. Movimento circular uniforme
(a) Um pneu de 0,500 m de raio rotaciona com
uma raza˜o constante de 200 rev/min. En-
contre a rapidez e a acelerac¸a˜o de uma pe-
quena pedra localizada na parte exterior
do pneu.
(b) A centr´ıfuga de 20-g do Centro da NASA
em Mountain View na Califo´rnia e´ um
tubo cil´ındrico de 58 pe´s (ft) de diaˆmetro
como representado na figura 8. Assuma
que o astronauta em treinamento esta´ sen-
tado na extremidade de um dos lados,
de frente do eixo de rotac¸a˜o de 29 pe´s
(ft). Determine a raza˜o de rotac¸a˜o, em re-
voluc¸o˜es por segundo, requerida para dar
ao astronauta uma acelerac¸a˜o centr´ıpeta
de 20,0g.
Figura 8: Centr´ıfuga da NASA.
(c) O astronauta orbitando a Terra esta´ se pre-
parando para se conectar ao sate´lite Wes-
tar VI. O sate´lite esta´ em uma o´rbita circu-
lar a 600 km acima da superf´ıcie da Terra,
onde a acelerac¸a˜o de queda livre e´ de 8,21
m/s2. Utilize o raio da Terra igual a 6400
km. Determine a rapidez (velocidade es-
calar) do sate´lite e o tempo do intervalo
requerido para completar uma o´rbita en-
torno da Terra, que e´ o per´ıodo do sate´lite.
Figura 9: Westar VI e o astronauta.
(d) Um atleta gira uma bola conectado a uma
corrente, formando um c´ırculo horizontal.
O atleta e´ capaz de rotacionar a bola a
uma raza˜o de 8,00 rev/s com o compri-
mento da corrente e´ 0,600 m. Quando a
corrente possui 0,900 m, ele e´ capaz de ro-
tacionar a bola a 6,00 rev/s. (1) Qual e´
a raza˜o de rotac¸a˜o que gera a maior ra-
pidez da bola? (2) Qual e´ a acelerac¸a˜o
centr´ıpeta da bola a 8,00 rev/s? (3) Qual
e´ a acelerac¸a˜o centr´ıpeta para 6,00 rev/s?
(e) Um atleta rotaciona um disco de 1,00 kg
ao longo de percurso circular de 1,06 m
de raio. A ma´xima velocidade escalar do
disco e´ 20,0 m/s. Determine a magnitude
da acelerac¸a˜o radial do disco.
5. Acelerac¸a˜o radial e tangencial
(a) A figura 10 representa a acelerac¸a˜o total
de uma part´ıcula se movendo no sentido
hora´rio em um c´ırculo de raio 2,50 m em
um certo instante de tempo. Para um
determinado instante encontre, (1) a ace-
lerac¸a˜o radial da part´ıcula, (2) a veloci-
dade escalar (rapidez) da part´ıcula e (3)
sua acelerac¸a˜o tangencial.
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Figura 10: C´ırculo.
(b) Um trem torna-se mais lentro quando faz
uma curva horizontal fechada, diminuindo
de 90,0 km/h para 50,0 km/h durante os
15,0 s que gasta para fazer a curva. O raio
da curva e´ de 150 m. Calcule a acelerac¸a˜o
no momento em que a velocidade escalar
do trem alcanc¸a 50,0 km/h. Suponha que
ele continue a tornar-se mais lento nesse
momento a` mesma taxa.
(c) Uma bola oscila em um c´ırculo vertical
na extremidade de uma corda com 1,50
m de comprimento. Quando a bola esta´
a 36,9oale´m do ponto mais baixo indo
para cima, sua acelerac¸a˜o total e´ de (-
22,5ˆi+20,2jˆ) m/s2. Nesse instante, (1) es-
boce um diagrama vetorial mostrando as
componentes de sua acelerac¸a˜o, (2) deter-
mine mo´dulo de sua acelerac¸a˜o radial, e
(3) determine a rapidez e a velocidade da
bola.
(d) (1) Pode uma part´ıcula mover-se com uma
rapidez instantaˆnea de 3,00 m/s em um
caminho com raio de curvatura de 2,00
m tem uma acelerac¸a˜o de magnitude 6,00
m/s2? (2) Pode ela ter uma acelerac¸a˜o de
4,00 m/s2? Em cada caso, se a resposta
for sim, explique porque ela pode aconte-
cer, se a resposta for na˜o, explique por que
na˜o pode ocorrer.
6. Velocidade relativa e acelerac¸a˜o relativa
(a) Um piloto de um avia˜o nota que a bu´ssola
indica que o avia˜o esta˜ indo para oeste.
A velocidade escalar do avia˜o em relac¸a˜o
ao ar e´ de 150 km/h. Se ha´ um vento de
30,km/h em direc¸a˜o norte, encontre a ve-
locidade do avia˜o em relac¸a˜o ao solo.
(b) Um avia˜o mante´m uma rapidez constante
de 630 km/h relativa ao ar em que esta´
viajando, enquanto viaja para uma cidade
distaˆnte 750 km na direc¸a˜o norte. (1) Qual
o intervalo de tempo necessa´rio para a vi-
agem se o avia˜o voa com vento frontal de
35,0 km/h na direc¸a˜o sul? (2) Qual e´ o in-
tervalo de tempo necessa´rio se ha´ um vento
de cauda com a mesma rapidez? (3) Qual
intervalo de tempo e´ necessa´rio se ha´ um
vento perpendicular com rapidez de 35,0
km/h no sentido sul relativo ao solo?
(c) Um carro de pol´ıcia viajando a 95,0 km/h
esta´ viajando no sentido leste, perseguindo
um motorista viajando a 80,0 km/h. (1)
Qual e´ a velocidade relativa do motorista
em relac¸a˜o ao carro de pol´ıcia? (2) Qual
e´ a velocidade relativa do carro de pol´ıcia
e do motorista (2) Se eles esta˜o original-
mente separados por 250 m, em qual in-
tervalo de tempo o carro de pol´ıcia?
(d) Um estudante de cieˆncias esta´ em um
vaga˜o-plataforma de um trem viajando ao
longo de uma linha reta horizontal com
uma velocidade escalar constante de 10,0
m/s. O estudante lanc¸a uma bola no ar
ao longo de uma trajeto´ria que ele julga
fazer um aˆngulo de 60,0ocom a horizontal
e estar alinhada com os trilhos. A profes-
sora do estudante, que esta´ parada no solo
pro´xima ao trem, observa a bola subir ver-
ticalmente. Qual e´ a altura alcanc¸ada pela
bola?
(e) Um rio tem uma velocidade escalar cons-
tante de 0,500 m/s. Um estudante nada
rio acima a uma distaˆncia de 1,00 km e de-
pois nada de volta ao ponto de partida. Se
o estudante pode nadar a uma velocidade
escalar de 1,20 m/s em a´gua parada, quant
tempo vai levar para ir e voltar? Compare
esse resultado com o tempo que elevaria
para ir e voltar com a a´gua parada.
(f) Dois nadadores, Pedro e Maria, comec¸am
juntos no mesmo ponto nas margens de
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um rio largo onde as a´guas fluem com
uma velocidade escalar (rapidez) v. Os
dois nadam com a mesma velocidade es-
calar c (c¿v) em relac¸a˜o a` a´gua. Pe-
dro nada rio abaixo a uma distaˆncia L e
enta˜o rio acima a mesma distaˆncia. Ma-
ria nada de tal forma que seu movimento
em relac¸a˜o a` Terra e´ perpendicular a`s mar-
gens do rio. Ela nada a distaˆncia L e enta˜o
de volta a mesma distaˆncia, de tal forma
que os dois nadadores voltam ao ponto de
partida. Qual nadador retorna primeiro?
(Observac¸a˜o: Adivinhe a resposta antes de
fazer as contas.)
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