capitulo 6 equacoes diferenciais ordinarias 0

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CAMPUS PATO BRANCO
Coordenação do Curso das Engenharias Mecânica, Elétrica e Civil 
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CAPITULO 6
6.0 SOLUÇÕES NUMÉRICAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Conforme VILATTE ( 2001, p.1), Equação diferencial é qualquer relação entre uma 
função e suas derivadas. 
As equações diferenciais podem ser divididas em :
• equações diferenciais (EDO) : a função y que aparece na equação é uma função de 
uma variável x.
• Pode ser escrita na forma geral F(x,y,y',y'',y''',...)
• a ordem da equação é a ordem da derivada de ordem superior.
1)EXEMPLO: VILATTE ( 2001, p.20), análise química de uma viga de pinho retirada da 
tumba dum faraó Egípcio mostrou que o conteúdo de carbono 14 é de 55% do existente num 
pinheiro vivo. Sabendo que a meia-vida do carbono é de 5580 anos, calcule a idade da tumba.
• Solução: dNdt
=−kN
• mudança de variável
•
dN
N
=−kdt
• ∫ dNN =−k∫ dt
• ln (N)=-kt + C
• N t =e−kt∗eC
• t=0
• N 0 =e−k∗0∗eC
• N 0 =eC
• resolvendo a equação diferencial tem-se N t =N 0e−kt
• meia vida: N t =
N 0
2
• t= ln 0,5
−k
• 55% do existente do pinheiro vivo : 
• N(t)=0,55*N(0)
• 0,55=e−kt
• k=0,0001242
• t=4813 anos
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• Equações de derivadas parciais: é uma função u de várias variáveis , u(x; z; t; …) e 
a equação é uma relação entre u, e as variáveis independentes x,y,z,t,... e as derivadas 
parciais de u.
• Uma solução explicita da equação diferencial ordinária e qualquer função y(x) que 
verifique a equação ao intervalo a<x<b.
• Uma solução implicita é uma relação G(x,y)=0 que verifique a equação
solução geral das equações lineares homogeneas
Teorema 
• VILLATE ( 2001, p.25) Se y1 e y2 são duas soluções particulares da equação linear 
homogênea y''+by'+cy=0 num intervalo (a;b), e se num ponto x0 dentro do intervalo o 
Wronskiano das duas soluções é diferente de zero,
• então o Wronskiano será diferente de zero em qualquer outro ponto no intervalo (a;b) 
e as soluções serão linearmente independentes no intervalo.
• Uma combinação linear das duas soluções e também em solução as condições 
iniciais para essa solução serão:
C1y1(c)+C2y2(c) = A 
C1y1'(c)+C2y2'(c) = B
• para quaisquer valores iniciais A e B existe sempre solução é unica C1 e C2, já que o 
determinante deste sistema linear é exatamente o Wronskiano das duas soluções, o 
qual é diferente de zero.
• Qualquer solução¸ particular pode ser obtida a partir de uma combinação¸ linear das 
duas soluções
yg =C1y1+C2y2 
sendo esta a solução geral.
2)EXEMPLO: as funções y=e5x e g=e−3x são soluções da equação diferencial 
y”-2y'-15y=0.
• Substituindo y na equação diferencial
• 25∗e5x−2∗5∗e5x−15y=0
• substituindo g na equação diferencial
• 9∗e−3x−2∗−3∗e−3x−15y=0
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3) EXEMPLO: VILATTE ( 2001, p.29) ,seja a equação diferencial de ordem 2 :
y” +3y' +2=0 com seus valores iniciais A=y(0)=1 e B=y'(0)=0.
• VILATTE( 2001, p.24-26) , a equação y''+by'+cy=0 onde b e c são constantes é 
equação linear homogênea de coeficientes constantes.
• Substituindo y , y' e y'' tem que satisfazer a equação y''+by'+cy=0.
• A solução y depende das derivadas primeira e segunda.
• Uma função derivada linearmente dependente é a função exponencial y=erx
• substituindo a função exponencial na equação diferencial
• tem-se r 2 erxbrerxc erx=0 como a função exponencial nunca é igual a zero.
• r 2brc=0 ( polinomio caracteristico)
• SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE GRAU 2: r1=-1 e r2=-2
• solução geral : yg=C1e
−xC2 e
−2x
• y1=C 1e
− x
• y2=C 2 e
−2x
• resolvendo o sistema linear , variáveis C1 e C2
• A=1 e B=0 ( valores iniciais)
•
C 1 y1c C2 y2c =A
C1 y1 ' c C2 y2 ' c=B
• solução do sistema C1=2 e C2=-1
• y geral=2e
− x−1e−2x
6.1 Problema de valor inicial
• Para BURDEN (2003, p.218-219), as equações diferenciais são usadas para modelar 
problemas de ciências e engenharia que envolvam mudança de alguma variável em 
relação a outra. 
• Em algumas situações a equação diferencial que modela o problema é muito 
complicado ser resolvida com exatidão.
• Em BARROSO (p.276, 1987) ,o teorema estabelece condições sobre f(x,y) as quais 
garantem a existência de um única solução do (PVI). 
• A função real f(x,y) satisfaz :
• (1)definida e contínua na faixa axb , −∞ y∞ , onde a e b são finitos.
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• (2) Existe uma constante L tal que qualquer x pertence [a;b] e todo par de números y 
(exato) e y* ( aproximado) | f(x,y)- f(x,y*)| <= L(y-y*), então existe exatamente uma 
função y(x) satisfazendo :
i) y(x) é contínua e diferenciável para x pertencente [a,b]
ii) y'(x)= f(x,y(x)) e x pertence [a,b]
iii) y(a) =n, n é dado.
A condição (2) está satisfeita se f(x,y) tem derivada contínua em relação a y. Conforme o 
teorema do valor médio:
f(x,y) -f(x,y*)= 
 f
 y
x , y  (y-y*) onde y é o valor entre y e y*. A derivada  f y não 
é necessário para que (2) esteja satisfeito.
• teorema do valor médio BURDEN (2003, p.5). 
• Se f pertence C[a,b] e f é diferenciável em (a,b) existe um numero c no intervalo (a,b) 
tal que f ' c =
f b−f a
b−a
6.2 MÉTODO DE EULER
• Segundo BARROSO (1987,p.279), seja o problema de valor inicial y'=f(x,y) e 
y(xo)=yo=n, n dado. 
• Aproximar y1,y2,..,yn para as soluções exatas y(x1), y(x2)...y(xn) 
scilab 5.1
->x=0:5 -->y=x^2 -->x1=1:5 -->y1=x1 -->plot(x,y,x1,y1) --> xgrid
O valor de y(x1) é desconhecido , então através de y1 aproxima-se com y(x1), traçando a reta 
tangente T à curva y(x) no ponto (xo,y(xo)):
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-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
 
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• y(x)- y(xo) =y'(xo) (x-xo) 
• x=x1 
• y(x0)= yo 
• y1=y(x1) 
• x1-xo=h 
• P(x1,y1)
y1-yo= h f(xo,y(xo))
erro : y1-y(x1) ( solução numerica e a exata)
Continuando o processo até ym tem-se yj+1 =yj+hf(xj,yj) j=0,1,..,m-1
FÓRMULA RECURSIVA DO MÉTODO DE EULER :
yo=y(a)=n 
yj+1 =yj +hf(xj,yj) j=0,1,...m-1
4) EXEMPLO : seja a equação diferencial separável x'=-3t²x no intervalo t=0:1 x(0)=2, 
achar a solução explicita: 
solução 1: 
dx
dt
=−3t2 x
•
dx
x
=−3t2 dt
• ∫ dxx =∫−3t
2 dt
• ln(x)=-t³ +C
• x t =e−t
3
∗eC
• x 0=eC
• x(0)=2
• x t =2∗e−t
3
 
solução 2: Método de Euler
yj+1 =yj +hf(xj,yj) h=0,1 (fixa) to=0 t1=0,1 t2=0,2...t10=1
 calculos 
x1= xo +hf(to,xo) = 2+0,1*(-3to^2*xo)=2+0,1*(-3*0*2)=2 
x2= x1 +hf(t1,x1) = 2+0,1*(-3*t1^2*x1)=2+0,1*(-3*0,1^2*2)= 1,994
x3= x2 +hf(t2,x2) = 2+0,1*(-3*t2^2*x2)=2+0,1*(-3*0,2^2*1,994)=1,970 
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FIGURA- Equação Diferencial Exata x t =2∗e−t
3
e Aproximada
Solução 3: no scilab – salvar no editor com f2.sci
function ydot=f(t,x),ydot=-3*t^2*x,endfunction
x0=2; //( ordenada)
t0=0; //( abscissa)
t=0:0.1:1;// ( varia de 0 ate 1 o vetor)
 y=ode(x0,t0,t,f)// ( resultado)
 plot(t,y) //( grafico)
SAIDA: 
y = 2. 1.9980011 1.9840645 1.9467236 1.8760112 1.7649949 1.6114715 
1.4192771 1.1985922 0.9647828 0.7357594 
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k exato
0 0,000 2,0000 2,0000
1 0,100 2,0000 1,9980
2 0,200 1,9940 1,9840
3 0,300 1,9700 1,9470
4 0,400 1,9170 1,8760
5 0,500 1,8250 1,7650
6 0,600 1,6880 1,6110
7 0,700 1,5060 1,4190
8 0,800 1,2850 1,1990
9 0,900 1,0380 0,9650
10 1,000 0,7860 0,7360
tk xk
0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200
0,0000
0,5000
1,0000
1,5000
2,0000
2,5000
Coluna G
Coluna H
 
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5) EXEMPLO: CLAUDIO (p.362,1989), resolver y'=2x+3 para y=1 quando x=1 para 
x=1(0,1)1,5.
Solução:yj+1 =yj +hf(xj,yj) h=0,1 x(o)=1 y(o)=1
calculos 
yo=1 xo=1 h=0,1
y1=yo+hf(xo,yo)= 1+0,1 (2xo+3)=1,5
y2=y1+hf(x1,y1)= 1,5+0,1 (2x1+3)=1,5+0,1*(2*1,2+3)=2,02
y3=y2+hf(x2,y2)= 2,02+0,1 (2x2+3)=2,02+0,1*(2*1,3+3)=2,56
y4=y3+hf(x3,y3)= 2,56+0,1 (2x3+3)=2,56+0,1*(2*1,4+3)=3,12
y5=y4+hf(x4,y4)= 2,56+0,1 (2x4+3)=2,56+0,1*(2*1,5+3)=3,7
solução no scilab: salvar como f3.sci ( calcula solução exata)
function ydot=f(x,y),ydot=2*x+3,endfunction 
 y0=1; 
 x0=1; 
 x=1:0.1:1.5; 
 y=ode(y0,x0,x,f) 
 plot(x,y)
y= 1 1.51 2.04 2.59 3.16 3.75
 6.3 EXERCICIOS
6)APLICAÇÕES PRÁTICAS:(livro- calculo numerico p.423) Um corpo com uma massa 
inicial de 200 kg é acelerado por uma força constante de 200N. A massa decresce a uma taxa 
de 1kg/s. Se o corpo está repouso em t=0 encontre sua velocidade ao final de 50 s. Sabe-se 
que a equação diferencial é dada por :
dv
dt
= 2000
200−t , resolva o problema usando o método 
de Euler.
• solução exata : v =2000 ln(200/(200-t) , de modo que v(50)=575,36.
• h=10 v(50)=559,021327829377365 ( metodo de euler)
7) CLAUDIO ( 1989, p.374) Resolver pelo método Euler a equação diferencial y'=x-y² 
y(o)=2 x=0(0.1)0,5 resposta Runge-Kutta de quarta ordem: 1,087855
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solução 1: Método Euler
resposta y=1,002497
solução 2 no scilab salve como f4.sci
function ydot=f(x,y),ydot=x-y^2,endfunction 
 y0=2; 
 x0=0; 
 x=0:0.1:0.5; 
 y=ode(y0,x0,x,f) 
 plot(x,y)
y=2. 1.6711339 1.4450238 1.2847371 1.1697885 1.0878445 
8)BARROSO( 1987, p.281 as aproximações para a solução PVI y'= x-y+2 na malha de 
[0;0.5] com h=0,1 e yo=3.
Solução 1: metodo de Euler
Solução no scilab : salve como f5.sci
function ydot=f(x,y),ydot=x-y+2,endfunction 
 y0=3; 
 x0=0; 
 x=0:0.1:0.5; 
 y=ode(y0,x0,x,f) 
 plot(x,y)
y=3. 2.9096751 2.8374617 2.7816365 2.7406401 2.713061 
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i xi f(x,y)
0 0 2,000000 -4,000000
1 0,1 1,600000 -2,460000
2 0,2 1,354000 -1,633316
3 0,3 1,190668 -1,117691
4 0,4 1,078899 -0,764024
5 0,5 1,002497 
yi
i xi f(x,y)
0 0 3,000000 -1,000000
1 0,1 2,900000 -0,800000
2 0,2 2,820000 -0,620000
3 0,3 2,758000 -0,458000
4 0,4 2,712200 -0,312200
5 0,5 2,680980 
yi
 
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9) BARROSO( 1987, p.285) , achar as aproximações para a solução PVI y'=y-2x/y yo=1 na 
malha [0;1] h=0,2 resposta: 1,82695
 
10)BARROSO(1987,p.285) y'= 1/x y(1)=0 na malha [1;2] h=0,1 resposta: 0,71877
6.4 MÉTODO DE RUNGE-
KUTTA DE QUARTA -ORDEM
• Os métodos de Runge-Kutta são uma família de métodos numéricos para solucionar 
equações diferenciais ordinárias. 
• São métodos que podem ser obtidos pela série de Taylor sem a necessidade de calcular 
qualquer derivada. 
• Devido sua larga utilização, será considerado neste texto apenas o clássico método de 
Runge-Kutta de 4a ordem. 
• Detalhes e provas deste método podem ser vistas em Schwarz[25].
• A expressão do método de Runge-Kutta de 4a ordem é dada por:
y i + 1 = yi + 1/6 ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) ,
onde
k 1 = h f ( x i , y i )
k 2 = h f ( xi + h/2 , y i + k 1 /2 )
k 3 = h f ( xi + h/2 , y i + k 2 /2 )
k 4 = h f ( xi+h , y i + k 3 )
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i xi f(x,y)
0 1 0,000000 1,000000
1 1,1 0,100000 0,909091
2 1,2 0,190909 0,833333
3 1,3 0,274242 0,769231
4 1,4 0,351166 0,714286
5 1,5 0,422594 0,666667
6 1,6 0,489261 0,625000
7 1,7 0,551761 0,588235
8 1,8 0,610584 0,555556
9 1,9 0,666140 0,526316
10 2 0,718771 
yi
i xi f(x,y)
0 0 1,000000 1,000000
1 0,2 1,200000 0,866667
2 0,4 1,373333 0,790809
3 0,6 1,531495 0,747947
4 0,8 1,681085 0,729318
5 1 1,826948 0,732226
yi
 
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11)Exemplo - Dada a EDO a seguir, determine o valor aproximado de y ( 1 ), usando o 
método de Runge-Kutta de 4a ordem, considerando h=1.
= f (x , y ) = y ; y ( 0 ) = 1
Solução: 
Usando o método de Runge-Kutta de 4a ordem, temos
y1 = y0 + 1/6 ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) ,
Logo,
 k 1 = 1 f ( 0 , 1 ) = 1
 k 2 = 1 f ( 0 + 1/2 , 1 + 1/2 ) = 1 x 1,5 = 1,5
 k 3 = 1 f ( 0 + 1/2 , 1 + 1,5 /2 ) = 1 x 1,75 = 1,75
 k 4 = 1 f ( 1 , 1 + 1,75) = 1 x 2,75 = 2,75
y1 = 1 + 1/6 ( 1 + 2 x 1,5 + 2 x 1,75 + 2,75 ) 
 = 1 + 1/6 ( 10,25 ) = 2,708333.
(Solução exata e = 2,7182818 )
fonte: www.cin.ufpe.br/~jds/metodoscomputacionais/numericos2(04).ppt 
12)EXEMPLO : Achar a aproximações para PVI y'=x-y+2 y(0)=2 n malha [0;1] h=0,1 
usando Runge-Kutta de quarta ordem.
k 1 = h f ( x i , y i )
k 2 = h f ( xi + h/2 , y i + k 1 /2 )
k 3 = h f ( xi + h/2 , y i + k 2 /2 )
k 4 = h f ( xi +h ; y i + k 3 )
solução:
xo=0 y(0)=2 h=0,1
k1=h*f(xo,yo)= 0,1*[xo-yo+2]=0
k2=h*f(xo+h/2;yo+k1/2)=0,005
k3=h*f(xo+h/2;yo+k2/2)=0,00475
k4=h*f(xo+h;yo+k3)=0,09525
y1=2,004873090 e assim por diante
• nesta tabela o k1, k2,k3,k4 não foram multiplicados pela a altura.
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d y
d x
 
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 11
• O valor de y é calculado em cima desta formula 
• y i + 1 = yi + h/6 ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) ,
EXERCICIOS
13)y'= y-2x/y y(o)=1 na malha [0;1] h=0,2 use Runge-Kutta de quarta ordem
y i + 1 = yi+ h/6 ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) * o valor de k não é multiplicado pela altura
14) y'=1/x use Runge-Kutta de quarta ordem na malha [1;2] com h=0,1 y(1)=1
15)Achar as aproximações para a solução de PVI y'= (x-2xy -1)/x² y(1)=0 na malha [1;2] 
com h=0,1 usando RK4.
xo=1 yo=0
k 1 = h f ( x i , y i )=0,1* f(x0,y0)=0,1*f(1,1)=0,1*[1-2*1*0-1)/1²=1
k 2 = h f ( xi + h/2 , y i + k 1 /2 )=0,1*f(1+0,1/2;0+1/2)=0,045351
k 3 = h f ( xi + h/2 , y i + k 2 /2 )=0,1*f(1+0,1/2;0+0,045351/2)=0,041032
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i x y f(x,y)-derivada k1 k2 k3 k4
0,00000000 0,00000000 2,00000000 0,00000000 0,00000000 0,05000000 0,04750000 0,09525000
1,00000000 0,10000000 2,00483750 0,09516250 0,09516250 0,14040438 0,13814228 0,18134827
2,00000000 0,20000000 2,01873090 0,18126910 0,18126910 0,22220564 0,22015882 0,25925322
3,00000000 0,30000000 2,04081842 0,25918158 0,25918158 0,29622250 0,29437045 0,32974453
4,00000000 0,40000000 2,07032029 0,32967971 0,32967971 0,36319573 0,36151992 0,39352772
5,00000000 0,50000000 2,10653093 0,39346907 0,39346907 0,42379561 0,42227928 0,45124114
6,00000000 0,60000000 2,14881193 0,45118807 0,45118807 0,47862866 0,47725663 0,50346240
7,00000000 0,70000000 2,19658562 0,50341438 0,50341438 0,52824366 0,52700220 0,55071416
8,00000000 0,80000000 2,24932929 0,55067071 0,55067071 0,57313717 0,57201385 0,59346933
9,00000000 0,90000000 2,30656999 0,59343001 0,59343001 0,61375851 0,61274208 0,63215580
10,00000000 1,00000000 2,36787977 
i x y f(x,y)-derivada k1 k2 k3 k4
0,00000000 0,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 0,91818182 0,90863750 0,84323999
1,00000000 0,20000000 1,18322929 0,84517139 0,84517139 0,79446566 0,78749452 0,74403752
2,00000000 0,40000000 1,34166693 0,74539375 0,74539375 0,71009449 0,70480017 0,67325277
3,00000000 0,60000000 1,48328146 0,67426440 0,67426440 0,64789441 0,64371956 0,61948516
4,00000000 0,80000000 1,61251404 0,62027462 0,62027462 0,59962040 0,59622751 0,57686480
5,00000000 1,00000000 1,73214188 0,70710980 0,70710980 0,69072590 0,68947762 0,67408185
i x y f(x,y)-derivada k1 k2 k3 k4
0,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 0,95238095 0,95238095 0,90909091
1,00000000 1,10000000 1,09531025 0,90909091 0,90909091 0,86956522 0,86956522 0,83333333
2,00000000 1,20000000 1,18232166 0,83333333 0,83333333 0,80000000 0,80000000 0,76923077
3,00000000 1,30000000 1,26236440 0,76923077 0,76923077 0,74074074 0,74074074 0,71428571
4,00000000 1,40000000 1,33647239 0,71428571 0,71428571 0,68965517 0,68965517 0,66666667
5,00000000 1,50000000 1,40546527 0,66666667 0,66666667 0,64516129 0,64516129 0,62500000
6,00000000 1,60000000 1,47000380 0,62500000 0,62500000 0,60606061 0,60606061 0,58823529
7,00000000 1,70000000 1,53062843 0,58823529 0,58823529 0,57142857 0,57142857 0,55555556
8,00000000 1,80000000 1,58778685 0,55555556 0,55555556 0,54054054 0,54054054 0,52631579
9,00000000 1,90000000 1,64185408 0,52631579 0,52631579 0,51282051 0,51282051 0,50000000
10,00000000 2,00000000 1,69314737 
 
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k 4 = h f ( xi+ 1 , y i + k 3 )=0,075184
6.5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE ORDEM 2 OU DE SEGUNDA 
ORDEM
d2 y
dx2
q x dy
dx
=r x , y 
• variável auxiliar 
• dy/dx =z(x,y)
• dz/dx =r(x,y) -q(x) z(x)
• equações dy/dx =f(x,y,z) dz/dx=g(x,y,z)
16)EXEMPLO : d
2 y
dx2
30 dy
dx
200y=1000
SOLUÇÃO USANDO O MÉTODO DE RUNGE-KUTTA
BARROSO (1987, p.317), determinar antes as funções f e g , substituindo antes y''=z' e y'=z 
obtendo assim um sistema de equações de ordem 1 . 
k1=h*f(xi;yi;zi)
L1=h*g(xi;yi;zi)
k2=h*f(xi+h/2;yi+k1/2;zi+L1/2)
L2=h*g(xi+h/2;yi+k1/2;zi+L1/2)
k3=h*f(xi+h/2;yi+k2/2;zi+L2/2)
L3=h*g(xi+h/2;yi+k2/2;zi+L2/2)
k4=h*f(xi+h;yi+k3;zi+L3)
L4=h*g(xi+h;yi+k3;zi+L3)
 y i + 1 = yi + 1/6 ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) ,
z i + 1 = zi + 1/6 ( L 1 + 2 L 2 + 2 L3 + L 4 ) ,
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i x y f(x,y)-derivada k1 k2 k3 k4
0,000000 1,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,045351 0,041032 0,075184
1,000000 1,100000 0,004133 0,075131 0,075131 0,099701 0,097565 0,115741
2,000000 1,200000 0,013889 0,115740 0,115740 0,128518 0,127496 0,136532
3,000000 1,300000 0,026628 0,136549 0,136549 0,142481 0,142041 0,145751
4,000000 1,400000 0,040817 0,145772 0,145772 0,147679 0,147547 0,148127
5,000000 1,500000 0,055556 0,148148 0,148148 0,147685 0,147715 0,146466
6,000000 1,600000 0,070313 0,146484 0,146484 0,144646 0,144757 0,142463
7,000000 1,700000 0,084775 0,142479 0,142479 0,139870 0,140019 0,137161
8,000000 1,800000 0,098766 0,137174 0,137174 0,134168 0,134330 0,131204
9,000000 1,900000 0,112189 0,131214 0,131214 0,128042 0,128204 0,124991
10,000000 2,000000 0,125000 
 
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17)EXEMPLO : BARROSO (1987, p315) em um circuito RCL, um capacitor de 0,01 Farad 
de capacitância esta sendo carregado por uma força eletromotriz (f.e.m) de 100 volts através 
de uma indutância de 0,02 Henry e uma resistência de 10 ohms. Admitindo-se que não haja 
carga nem corrente iniciais ao se aplicar a voltagem, determinar a carga no capacitor e a 
corrente no circuito até o instante t=0,008. 
Tem-se o modelo matemático: 
d2q
dt2
500 dq
dt
5000 q−5000=0 
q(0)=0 ( carga no capacitor) dq(0)/dt =0 ( corrente) t=0:0,008 h=0,001 
Estudar o comportamento do circuito até p instante t=0,008 s
solução 1:
y”=-500y'-5000y+5000
y(o)=0
y'(o)=0
fazendo uma troca de variável y'=z (variação da carga =corrente) ; y=carga y”=z'
z'=-500z-5000y+5000 h=0,001 t=0:0,008
y'=z y(o)=0 z(o)=0
solução 2:
f=-500z-5000y+5000
g=z
z(o)=0 y(o)=0
h=0,001
k1=h*f(to;zo;yo)=0,001*[-500*z-5000*y+5000]=0,001*[-500*0-5000*0+5000]=5
L1=h*g(to;zo;yo=0,001*[z]=0,001*0=0
k2=h*f(to+h/2;zo+k1/2;yo+L1/2)=0,001*f(0,0005;2,5;0]=3,75
L2=h*g(to+h/2;zi+k1/2;yi+L1/2)=0,001*g( 0,0005;2,5;0]=0,001*(zo)=0,001*2,5=0,0025
k3=h*f(to+h/2;zi+k2/2;yi+L2/2)=0,001*f(0,0005;1,875;0,00125)=4,05625
L3=h*g(to+h/2;zi+k2/2;yi+L2/2)=0,001*g(0,0005;1,875;0,00125)=0,001*(1,875)=0,00187
k4=h*f(to+h;zi+k3;yi+L3)=0,001*f(0,001;4,05625;0,001875)=2,9625
L4=h*g(to+h;zi+k3;yi+L3)=0,001*g( 0,001;4,05625;0,001875)=0,00405625
 z i + 1 = zi + 1/6 ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) corresponde ao z ( corrente))
z1=3,92916 ( corrente)
y i + 1 = yi + 1/6 ( L 1 + 2 L 2 + 2 L3 + L 4 ) , ( corresponde a y (carga))
y1=0,0021344375 ( carga) e assim por diante...
z10=9,40033 y10=0,0592291
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y=carga e y'=corrente
• vcn :método de runge-kutta com multiplas equações ( passo h e passo impressao 
mesmo valor)
EXERCICIOS 
18) Para os sistemas aproximar as soluções dos seguintes sistemas equações diferenciais de 
ordem 1:
v1=u1'=3u12u2−2t
21e2t v2=u2 '=4u1u2t
22t−4e2t 0≤t1 u1(o)=1 
u2(o)=1 h=0,2
soluções reais : u1t = e
5t
3
−
e−t
3
e2t u2 t = e
5t
3
2 e
−t
3
t2 e2t
solução 1: na ordem da equação diferencial u1 corresponde ao k1 e u2 corresponde a L2
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x y y' z z'
0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 5000,000000
0,001000 0,002134 3,9291673,929167 3024,744792
0,002000 0,007352 6,297726 6,297726 1814,377860
0,003000 0,014420 7,710083 7,710083 1072,861183
0,004000 0,022582 8,536716 8,536716 618,732056
0,005000 0,031377 9,004716 9,004716 340,759131
0,006000 0,040520 9,253277 9,253277 170,760851
0,007000 0,049840 9,367716 9,367716 66,943933
0,008000 0,059229 9,400329 9,400329 3,690344
k1 L1 k2 l2 K3 L3 K4 L4
u1 1,00000 0,8000 0,200 1,03083 0,41418 1,14292 0,52793 1,5747 0,95774
u2 1,00000
t 0
h 0,2
para t=0,2 0,2 primeira linha
v1 2,12037
v2 1,50699
k1 L1 k2 l2 K3 L3 K4 L4
u1 2,12037 1,5528 0,936 2,09794 1,50612 2,37560 1,78124 3,4253 2,90129
u2 1,50699
t 0,2
h 0,2
para t=0,2 0,4 segunda linha
v1 4,44124
v2 3,24224
 
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19) Use o algoritmo de Runge-Kutta para aproximar as soluções dos seguintes sistemas de 
equações diferenciais de ordem superior:
a) y''-2y' +y=t e^t -t 0≤t1 y(o)=y'(o)=0 e h =0,1
b) t² y” -2ty' +2y=t³ ln(t) 1≤t2 h=0,1 y(1)=1
soluções reais : t 3 e
t
6
−tet2et−t−2 7t
4
t
3 ln t 
2
−3t
3
4
20) Aplique o método de Runge-Kutta para os sistemas para aproximar as soluções do 
seguinte de equações diferenciais de primeira ordem:
a) v1=u '1=−4u1−u2cos t 4sen t  v2=u ' 2=3u1u2−3sen t  para0t2 
u1(0)=0 u2(0) =-1 h=0,5 faça até i=2
i ti v1 v2 k1 L1 k2 L2 k3 L3 k4 L4
0 0 u1=0 u2=-1
1 1
2 2
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k1 L1 k2 l2 K3 L3 K4 L4
u1 4,44124 3,3741 2,848 4,72805 4,34085 5,43274 5,03169 8,0918 7,93375
u2 3,24224
t 0,4
h 0,2
para t=0,2 0,6 terceira linha
v1 9,73916
v2 8,16343
k1 L1 k2 l2 K3 L3 K4 L4
u1 9,73916 7,9667 7,804 11,45379 11,67980 13,27511 13,46222 20,2002 20,99307
u2 8,16343
t 0,6 utiliza esse valor para calcular quando t for igual a 0,8
h 0,2
t 0,8 terceira linha
v1 22,67662
v2 21,34358
k1 L1 k2 l2 K3 L3 K4 L4
u1 22,67662 21,0013 20,790 30,99589 31,17821 36,07195 36,21489 56,0140 56,76709
u2 21,34358
t 0,6 utiliza esse valor para calcular quando t for igual a 0,8
h 0,2
t 1 quinta linha
v1 57,86844
v2 56,73410
ti v1 v2
0 1,00000000 1,00000000
0,2 2,1203658 1,5069919
0,4 4,4412278 3,2422402
0,6 9,7391333 8,1634170
0,8 22,6765598 21,3452788
1 55,6611809 56,0305030
 
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• usando o vcn: runge-kutta com multiplas equações
• u'1=z' u1=z u2=y t=x
• u'2=y u1=z u2=y y=x 
• h=0,5 
• x inicial =0 y inicial =-1 z inicial =0
• fazendo u'1=z faz também u1=z 
respostas: y(1)=-1,5946 z(1)=1,1871
REFERENCIAS
• Disponível em www.cin.ufpe.br/~jds/metodoscomputacionais/numericos2(04).ppt , acessado em 
16/06/2009
• BARROSO, L.C. et. al. Calculo Numerico (com aplicações). 2. ed. Editora Harbra.SP. 1987.
• BURDEN, R.L. e FAIRES, J.D. Analise Numérica.SP.Editora.Thomson.2003.
• CASTILHO, José Eduardo .Apostila de Cálculo Numérico .Universidade Federal de Uberlandia. 
Faculdade de Matematica. Mar 2001
• GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de calculo, vol 1. 5a edição. Editora LTC. 2001.RJ. 
• Calculo numerico em pdf. 
• CLAUDIO, Dalcidio Morares e MARINS, Jussara Maria. Calculo Numerico 
Computacional. Teoria e Pratica. Editora Atlas.1989.SP.
• VILLATE, Jaime E. Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Faculdade de Engenharia da 
Universidade do Porto. Dezembro de 2001. 
• Disponivel em http://quark.fe.up.pt/~villate/doc/eqdiferenciais/eqdiferenciais.pdf, acessado em 
12/11/2009.
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x y y' z z'
0 -1,0000 -1,0000 0,0000 2,0000
0,5 -1,3342 -0,5995 0,7243 1,2322
1 -1,5946 -0,5577 1,1871 0,7524
	Capitulo 6