Variável Complexa 1 - 6ª lista de exercícios - Prof. Lineu da Costa Neto

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Varia´vel Complexa 1 - 6a Lista de Exerc´ıcios
Prof. Lineu da Costa Neto
1. Obtenha a representac¸a˜o em Se´rie de Laurent para f(z) nos domı´nios indicados:
a) f(z) = 1+2z
z2+z3
em 0 < |z| < 1;
b) f(z) = 1
4z−z2 em 0 < |z| < 4;
c) f(z) = z
(z−1)·(z−3) em 0 < |z − 1| < 2;
d) f(z) = e1/z em |z| > 0;
e) f(z) = 1
(z−1)·(z−2) em
{
e.1) 0 < |z − 1| < 1;
e.2) |z − 1| > 1;
f) f(z) = e
z
z2
em |z| > 0;
g) f(z) = −1
(z−1)·(z−2) em
{
g.1) 1 < |z| < 2;
g.2) |z| > 2;
h) f(z) = z+1
z−1 em |z| > 1;
i) f(z) = z−1
z2
em |z − 1| > 1;
j) f(z) = senhz
z2
em |z| > 0;
l) f(z) = 1
z2 ·(1−z) em
{
l.1) 0 < |z| < 1;
l.2) |z| > 1;
m) f(z) = e
−z
(z−1)2 em |z − 1| > 0;
n) f(z) = e1/z
2
em |z| > 0;
o) f(z) = cos h
(
1
z
)
em |z| > 0;
p) f(z) = z · cos
(
1
z
)
em |z| > 0;
2. Verifique que os 1os termos da Se´rie de Laurent de cada uma das func¸o˜es a seguir
sa˜o dados por:
a) f(z) = 1
z2 ·senhz =
1
z3
− 1
6
· 1
z
+ 7
360
z + · · · (0 < |z| < pi);
b) f(z) = cosecz = 1
z
+ 1
3!
z −
[
1
5!
− 1
(3!)2
]
z3 + · · · (0 < |z| < pi);
c) f(z) = 1
ez−1 =
1
z
− 1
2
+ 1
12
z − 1
720
z3 + · · · (0 < |z| < 2pi);
d) f(z) = e
z
z(z2+1)
= 1
z
+ 1 − 1
2
z − 5
6
z2 + · · · (0 < |z| < 1);
3. Mostre que:
a)
∫
C
dz
z2 · senhz = −
pii
3
, onde C e´ o c´ırculo |z| = 1 orientado positivamente;
b)
∫
C
e
1
z2 dz = 0, onde C e´ o c´ırculo |z| = 2, orientado positivamente;
c)
∫
C
e−z
(z − 1)2dz = −
2pii
e
, onde C e´ o c´ırculo |z| = 2, orientado positivamente;
d)
∫
C
5z − 2
z(z − 1)dz = 10pii, onde C e´ o c´ırculo |z| = 2, orientado positivamente;
e)
∫
C
3z3 + 2
(z − 1) · (z2 + 9)dz = pii, onde C e´ o c´ırculo |z − 2| = 2, orientado
positivamente;
f)
∫
C
3z3 + 2
(z − 1) · (z2 + 9)dz = 6pii, onde C e´ o c´ırculo |z| = 4, orientado positiva-
mente;
g)
∫
C
dz
z3(z + 4)
=
pii
32
, onde C e´ o c´ırculo |z| = 2, orientado positivamente;
h)
∫
C
dz
z3(z + 4)
= 0, onde C e´ o c´ırculo |z + 2| = 3, orientado positivamente;
i)
∫
C
z · e 1z dz = pii, onde C e´ o c´ırculo |z| = 1, orientado positivamente;
j)
∫
C
tgzdz = −4pii, onde C e´ o c´ırculo |z| = 2, orientado positivamente;
4. Seja g(z) = f(z)
z−zo , onde f e´ anal´ıtica em zo.
a) Mostre que se f(zo) 6= 0, enta˜o zo e´ um po´lo simples da func¸a˜o g e que
f(zo) = Res(g; zo).
b) Mostre que se f(zo) = 0, enta˜o zo e´ uma singularidade remov´ıvel de g.
5. Mostre que as singularidades zo de cada uma das seguintes func¸o˜es sa˜o po´los.
Determine a ordem de cada po´lo e o res´ıduo da func¸a˜o no po´lo:
a) f(z) = z+1
z2−2z c) f(z) =
1−e2z
z4
e) f(z) = z
cos z
b) f(z) = tghz d) f(z) = e
2z
(z−1)2 f) f(z) =
ez
z2+pi2
g) f(z) = cosec2z ; zo = 0
h) f(z) = z−3 cosec (z2) ; zo = 0
6. Usando o Teorema do Res´ıduo, mostre que
a)
∫ ∞
0
dx
x2 + 1
=
pi
2
m)
∫ 2pi
0
dθ
5
4
+ sen θ
=
8
3
pi
b)
∫ ∞
0
cosxdx
x2 + 1
=
pi
2e
n)
∫ pi
−pi
cos θdθ
5 + 4 cos θ
= −pi
3
c)
∫ ∞
0
x2dx
(x2 + 1) · (x2 + 4) =
pi
6
o)
∫ pi
0
dθ
a+ cos θ
=
pi√
a2 − 1 (a > 1)
d)
∫ ∞
0
dx
x4 + 1
=
pi
√
2
4
p)
∫ 2pi
0
dθ
1 + k cos θ
=
2pi√
1− k2 (k
2 < 1)
e)
∫ ∞
0
dx
(x2 + 1)2
=
pi
4
q)
∫ pi
0
sen 2nθdθ =
pi · (2n)!
(2n · n!)2 (n ∈ N)
f)
∫ ∞
0
cosxdx
(x2 + 1)2
=
pi
2e
g)
∫ ∞
−∞
cos dx
(x2 + a2) · (x2 + b2) =
pi
a2 − b2
(
e−b
b
− e
−a
a
)
(a > b > 0)
h)
∫ ∞
0
cos axdx
(x2 + b2)2
=
pi
4b3
(1 + ab)e−ab (a > 0, b > 0)
i)
∫ ∞
−∞
x sen ax
(x4 + 4)
dx =
pi
2
e−a sen a (a > 0)
j)
∫ ∞
−∞
xdx
(x2 + 1)(x2 + 2x+ 2)
= −pi
5
l)
∫ ∞
−∞
sen dx
x2 + 4x+ 5
= −pi
e
sen 2
7. (VC1 & MMF 1)
Seja f : R→ R uma func¸a˜o tal que
∫ ∞
−∞
|f(x)|dx <∞. Definimos a Transformada
de Fourier de f por:
F(f)(λ) =
∫ ∞
−∞
f(x) · e−iλx dx, onde λ ∈ R.
Use o Teorema do Res´ıduo para calcular F(f)(λ), quando f(x) = 1
x2+a2
, onde
a > 0 e λ > 0.(
Resposta: F(f)(λ) = pi
a
· e−λa
)
8. (VC1 & E.D.O. 1)
Seja f : [0,∞) → R uma func¸a˜o seccionalmente cont´ınua em cada intervalo
[0, A] (A > 0) e de ordem exponencial (isto e´, f cresce “mais devagar” que a
exponencial quando t→∞). Definimos a Transformada de Laplace de f por:
F (s) = L(f) =
∫ ∞
0
e−st · f(t)dt, onde s ∈ R.
a) Usando a definic¸a˜o, mostre que L(eat) = 1
s−a , se s > a.
b) Usando a definic¸a˜o, mostre que (a ∈ R)
 L(cos at) =
s
s2+a2
, se s > 0.
L( sen at) = a
s2+a2
, se s > 0.
c) Usando a linearidade de L, o item a) e a fo´rmula de Euler eia = cos a+ i sen a,
obtenha b) (sem calcular a integral impro´pria).
Respostas:
1. a) f(z) = 2
z2
−
∞∑
n=0
(−1)nzn−2 = 1
z2
+
1
z
− 1 + z − z2 + z3 − · · ·
b) f(z) =
∞∑
n=0
zn−1
4n+1
=
1
4z
+
1
16
+
z
64
+
z2
256
+ · · ·
c) f(z) = −1
2(z−1) − 3
∞∑
n=1
(z − 1)n−1
2n+1
=
−1
2(z − 1) −
3
4
− 3
8
(z − 1)− 3
16
(z − 1)2 − · · ·
d) f(z) =
∞∑
n=0
1
n!zn
= 1 +
1
z
+
1
2z2
+
1
6z3
+ · · ·
e)

e.1) f(z) = − 1
z−1 −
∞∑
n=0
(z − 1)n
e.2) f(z) = − 1
z−1 +
∞∑
n=0
1
(z − 1)n+1
f) f(z) =
∞∑
n=0
zn−2
n!
=
1
z2
+
1
z
+
1
2
+
z
6
+
z2
24
+ · · ·
g)

g.1) f(z) =
∞∑
n=0
1
zn+1
+
∞∑
n=0
zn
2n+1
g.2) f(z) =
∞∑
n=0
1 − 2n
zn+1
h) f(z) = 1 + 2
∞∑
n=1
z−n
i) f(z) =
∞∑
n=1
(−1)n+1n(z − 1)−n
j) f(z) =
∞∑
n=0
z2n−1
(2n+ 1)!
l)

l.1) f(z) =
∞∑
n=0
zn−2
l.2) f(z) = −
∞∑
n=0
z−n−3
m) f(z) = e−1
∞∑
n=0
(−1)n (z − 1)
n−2
n!
n) f(z) =
∞∑
n=0
1
n!z2n
o) f(z) =
∞∑
n=0
1
(2n)!z2n
p) f(z) =
∞∑
n=0
(−1)n · 1
(2n)!z2n−1
5. a)
 zo = 0 : po´lo simples com res´ıduo −
1
2
zo = 2 : po´lo simples com res´ıduo
3
2
b) zo =
(
pi
2
+ kpi
)
i, k ∈ Z : po´los simples com res´ıduos 1
c) zo = 0 : po´lo triplo com res´ıduo −43
d) zo = 1 : po´lo duplo com res´ıduo 2e
2
e) zo =
pi
2
+ kpi, k ∈ Z : po´los simples com res´ıduos pi2+kpi
(−1)k+1 (k ∈ Z)
f)
 zo = pii : po´lo simples com res´ıduo −
1
2pii
zo = −pii : po´lo simples com res´ıduo 12pii
g) zo = 0 : po´lo duplo com res´ıduo 2
h) zo = 0 : po´lo de ordem 5 com res´ıduo
1
6