Oscilações Amortecidas na Física

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Instituto de Física da UFBA
 Departamento de Física do Estado Sólido
 Disciplina: Física Geral e Experimental II (FIS 122)
 Professor: Ossamu Nakamura
Oscilações Amortecidas
I. A equação de movimento
Suponha que um oscilador harmônico, como o estudado
anteriormente, esteja submetido a uma força dissipativa proporcional
à velocidade. Esse tipo de força é comum em fluidos devido à
viscosidade do meio. Todos já experimentaram a sensação de que a
força do vento, quando estamos em um carro em movimento,
aumenta na medida em que a velocidade cresce. Naturalmente esta
força também depende da nossa “aerodinâmica” e pode aumentar ou
diminuir dependendo como nos posicionamos e da forma que
tomamos em relação ao vento. Uma maior área perpendicular à
velocidade provoca uma maior resistência ao nosso movimento e
vice-versa. Podemos escrever esta força como vbFres −= , onde
dt
dxv = é a velocidade e b é aquela constante de proporcionalidade
que depende da geometria do corpo. O sinal negativo é indicativo de
oposição ao movimento, ou seja indica que o vetor força aponta
sempre na direção contrária ao vetor velocidade. A força total que
atua sobre o oscilador será portanto resT FFF += . Como a força
de restauração vale F = -k x e, de acordo com a lei de Newton, a
força total é a massa vezes a aceleração , podemos escrever então a
equação:
02
2
=++ xk
dt
dxb
dt
xdm (1)
Esta é uma equação diferencial de 2a ordem, linear, homogênea e
a coeficientes constantes, cuja solução já estudamos e vale:
( ) ttiti eeBeA)t(x α−ωω += (2)
onde A e B são constantes complexas e
2
2
4m
b
m
k
−=ω e 
m
b
2
=α (3)
Observe que a solução para x(t) deve ser uma solução real e irá,
portanto, depender das relações que as constantes m, k e b terão entre
si. Vamos assim estudar 3 casos.
1. 2
2
4m
b
m
k
>
 Neste caso ω é real ( α é sempre real). Para que x(t) seja real é
necessário que A e B sejam complexos, ou seja, A = a + i b e
B = c + i d.
Lembrando que tsentcose t ω±ω=ω± i.i , a equação (2) fica:
[ ] te)tsent)(cosdc()tsent)(cosba()t(x α−ω−ω++ω+ω+= iiii
[ ] [ ]{ } tetsen)ca(tcos)db(tsen)bd(tcos)ca()t(x α−ω−+ω++ω−+ω+= i
Como x(t) é real, devemos ter necessariamente Im[x(t)] = 0, o
que nos leva a: (b + d) = 0 e (a – c) = 0
Assim A = B* e a solução será:
[ ] too etsenCtcosC)t(x α−ω+ω= 21 (4)
onde C1 e C2 são duas constantes a serem determinadas a partir das
condições iniciais.
a. Caso b = 0. MHS
Para este caso equação diferencial (1) fica
02
2
=+ xk
dt
xdm (5)
e a solução será:
tsenCtcosC)t(x oo ω+ω= 21 (6)
m
k
o =ω=ω e 0=α
Denominamos ωo como freqüência (angular) natural do
sistema. A solução acima pode ser reescrita como:
)tcos(A)t(x o ϕ+ω= (7)
( )ϕω−ϕω= sentsencostcosA)t(x oo (8)
comparando com (6), obtemos
1CcosA =ϕ e 2CsenA =ϕ
o que nos conduz a:
2
2
2
1 CCA += e 
2
2
C
Ctan =ϕ (9)
Assim tanto (6) quanto (7) representam a mesma solução para o
oscilador simples, onde as constantes C1, C2, A e ϕ estão
relacionadas por (9). Estas constantes devem ser encontradas a partir
das condições iniciais do problema.
b. Caso b ≠≠≠≠ 0. Amortecimento sub-crítico
A solução é dada por (4) ou, como vimos no parágrafo anterior,
podemos reescrevê-la como:
)tcos(eA)t(x t ϕ+ω= α− (10)
Usando as definições (3) e (6), teremos
22 α−ω=ω o e m
b
2
=α (11)
2
Para determinarmos as constantes iniciais A e ϕ devemos
determinar antes a velocidade. Assim,
[ ] te)tsen()tcos(A)t(v α−ϕ+ωω+ϕ+ωα−= (12)
Suponha que no instante inicial x(0) = xo e v(0) = vo. Usando
(10) e (12), teremos:
ϕ= cosAxo e )sencos(Av ϕω+ϕα−=0 ,
o que nos leva a:
 2
2
o
oo x
xv
A +



ω
α+
= e 



ω
+
ω
α
−=ϕ
o
o
x
vtg (13)
Uma situação particular de interesse é quando temos um caso de
amortecimento fraco, ou seja, uma situação onde coeficiente da força
de amortecimento é muito pequeno (b<<1), o que nos leva a
0≈
ω
α
. Assim, de acordo com (13) devemos ter
2
2
o
o xvA +


ω
= e 



ω
−=ϕ
o
o
x
vtg (14)
Mais ainda: de (11) podemos aproximar oω≈ω , de forma
que as expressões (10) e (12) ficam:
)tcos(eA)t(x o
t ϕ+ω= α− (15)
)tsen(eA)t(v o
t
o ϕ+ωω−= α−
A figura abaixo mostra a evolução temporal da posição x(t).
Note que a função co-seno é modulada pela função exponencial, ou
seja pela função amortecimento. Para a construção desta figura,
usamos as expressões (10) e (14) tomando 010.=
ω
α
. Se
usássemos a expressão (15), a figura seria praticamente a mesma.
c. Considerações sobre a energia. Amortecimento fraco
A energia mecânica total do sistema não deve se conservar, uma
vez que há dissipação de energia, em forma de calor, devido à força
de atrito. A energia mecânica deve, naturalmente, diminuir com o
tempo. Analisemos esta situação para o caso de amortecimento fraco
apenas. A energia total será a soma das energias cinética e potencial,
isto é:
 22
2
1
2
1 xkvmE +=
Tomando as expressões (15) teremos:
)t(cosAek)t(senAemE o
t
oo
t ϕ+ω+ϕ+ωω= α−α− 2222222
22
Contudo, sabemos que 2omk ω= , o que nos conduz a:
t
o
t
o eEeAmE
α−α−
=


ω= 222
2
2
1
Esta expressão nos mostra claramente que, para amortecimento
fraco, a energia do oscilador decai exponencialmente com o tempo.
2. Caso 2
2
4m
b
m
k
< . Amortecimento supercrítico
Voltemos à expressão (3) da freqüência ω. Observe que ela pode
ser reescrita como:
22
2
2
i
4
1 om
k
m
b)( ω−α=



−−=ω
β=ω i onde Ro ∈ω−α=β 22
A solução (2) ficará:
( ) ttt eeBeA)t(x α−β−β += (16)
( ) ( ) tttttt eeBeAeeBeA)t(v α−β−βα−β−β β−β++α−=
[ ]tt e)(Be)(A)t(v β−β α+β−α−β= (17)
Sejam as condições iniciais x(0) = xo e v(0) = vo. Assim,
de (16) ⇒ BAx)(x o +==0
de (17) )(B)(Av)(v o α+β−α−β==⇒ 0
Resolvendo este sistema, encontramos:
β+β
α+β
=
22
oo v)(xA e β−β
α−β
=
22
oo v)(xB
Para o caso especial onde xo = xm e vo = 0, teremos:
)(xA m α+ββ= 2 e )(
xB m α−ββ= 2 ,
o que nos leva à solução:
 ( ) ( )[ ] tttm eeex)t(x α−β−β α−β+α+ββ= 2 (18)
3. Caso 2
2
4m
b
m
k
= . Amortecimento crítico
Neste caso, 0=β , o que nos leva a um decaimento exponencial
simples, tmex)t(x
α−
= . Contudo, é interessante observar o que
sucede quando temos um amortecimento super crítico ( 0>β ), mas
tendendo para um amortecimento crítico (isto é, 1<<β ).
Na expressão (16), tomamos o termo em primeira ordem em β
na exponencial, isto é, fazemos:
e-α t
0
x(t)
t 
3
te t β±≈β± 1 . Assim
[ ] te.)t(B)t(A)t(x α−β−+β+= 11
( ) te.tCC)t(x α−+= 21 (19)
onde BAC +=1 e β−= ).BA(C2 são duas constantes a serem
determinadas a partir das condições iniciais.
A figura abaixo mostra evolução temporal da posição do corpo na
condição de amortecimento crítico.
Para a condição xo = xm e vo = 0, podemos usar a equação (18) e
a aproximação da exponenical acima
( ) ( )[ ] tm ettttx)t(x α−β+−β+α+β−+β+ββ= 11112
( ) tm etx)t(x α−α+= 1 (20)
Na figura abaixo comparamos o comportamento temporal dos
amortecimentos crítico, sub crítico e supercrítico para a condição xo =
xm e vo = 0 . Note que o amortecimento crítico é o que mais
rapidamente decai com o tempo, ou seja é o que mais rapidamente
chega ao equilíbrio.
0 t
x(t)
 
 
t
x(t)Super crítico
 Sub crítico
 Crítico
 
 
	Oscilações Amortecidas
	I. A equação de movimento