Aps MetEst_I CEDERJ UFRRJ

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ME´TODOS ESTATI´STICOS I
EXERCI´CIO PROGRAMADO 1
1o Semestre de 2017
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Versa˜o Tutor
1. A 20 alunos de um determinado cursinho foi feita a pergunta: “Qual a a´rea que voceˆ mais gosta?
( ) Exatas; ( ) Humanas; ( ) Biolo´gicas”. O resultado da pesquisa segue abaixo:
Aluno sexo Resposta Aluno sexo Resposta
1 M Exatas 11 F Humanas
2 F Biolo´gicas 12 F Biolo´gicas
3 F Exatas 13 F Exatas
4 M Exatas 14 M Exatas
5 M Exatas 15 M Exatas
6 M Humanas 16 F Humanas
7 F Biolo´gicas 17 F Biolo´gicas
8 F Humanas 18 F Humanas
9 M Biolo´gicas 19 M Biolo´gicas
10 F Humanas 20 M Exatas
a) Construa uma distribuic¸a˜o de frequeˆncias (simples absoluta, simples relativa, simples relativa per-
centual, acumulada absoluta, acumulada relativa e acumulada relativa percentual) para:
I - Sexo;
II - A´rea pretendida;
b)Construa uma distribuic¸a˜o de frequeˆncias simples e uma distribuic¸a˜o de frequeˆncias relativas per-
centual para as duas varia´veis juntas.
c) Represente graficamente como se pede:
I - Gra´ficos de colunas para as tabelas de frequeˆncias simples absolutas obtidas anteriormente;
II - Gra´ficos de setores para as tabelas de frequeˆncias simples relativas percentual obtidas no item a).
Soluc¸a˜o
1.
a) Para a construc¸a˜o das distribuic¸o˜es de frequeˆncias contamos o nu´mero de ocorreˆncias de cada
categoria das varia´veis que queremos encontrar. Assim, temos:
Sexo
Masculino
Feminino
Total
Frequeˆncias Simples Frequeˆncias Acumuladas
Absoluta Relativa Relativa % Absoluta Relativa Relativa %
9 9
20
= 0, 45 0, 45× 100 = 45 9 9
20
= 0, 45 0, 45× 100 = 45
11 11
20
= 0, 55 0, 55× 100 = 55 20 20
20
= 1 1× 100 = 100
20 1 100
Analogamente, para a varia´vel A´rea pretendida, temos:
1
A´rea
Exatas
Humanas
Biolo´gicas
Total
Frequeˆncias Simples Frequeˆncias Acumuladas
Absoluta Relativa Relativa % Absoluta Relativa Relativa %
8 8
20
= 0, 4 0, 4× 100 = 40 8 8
20
= 0, 4 0, 4× 100 = 40
6 6
20
= 0, 3 0, 3× 100 = 30 14 14
20
= 0, 7 0, 7× 100 = 70
6 6
20
= 0, 3 0, 3× 100 = 30 20 20
20
= 1 1× 100 = 100
20 1 100
b)
Frequeˆncias Simples:
Sexo
Masculino
Feminino
Total
A´rea Pretendida
Exatas Biolo´gicas Humanas
6 2 1
2 4 5
8 6 6
Total
9
11
20
Frequeˆncia Relativa percentual. Podemos fazer em relac¸a˜o ao total geral ou em relac¸a˜o aos totais de
cada varia´vel.
Na primeira ce´lula, obtivemos o valor de 30% atrave´s de: 6
20
× 100 = 0, 3 × 100 = 30 . O mesmo
racioc´ınio deve ser seguido para todos os outros valores (todos em relac¸a˜o ao total geral), gerando a
tabela abaixo:
Sexo
Masculino
Feminino
Total
A´rea Pretendida
Exatas Biolo´gicas Humanas
30 10 5
10 20 25
40 30 30
Total
45
55
100
Na primeira ce´lula, obtivemos o valor de 75% atrave´s de: 6
8
× 100 = 0, 75 × 100 = 75 . O mesmo
racioc´ınio deve ser seguido para todos os outros valores (todos em relac¸a˜o ao total de cada coluna),
gerando a tabela abaixo:
Sexo
Masculino
Feminino
Total
A´rea Pretendida
Exatas Biolo´gicas Humanas
75 33 17
25 67 83
100 100 100
Total
45
55
100
Na primeira ce´lula, obtivemos o valor de 67% atrave´s de: 6
9
× 100 = 0, 67 × 100 = 67 . O mesmo
racioc´ınio deve ser seguido para todos os outros valores (todos em relac¸a˜o ao total de cada linha),
gerando a tabela abaixo:
Sexo
Masculino
Feminino
Total
A´rea Pretendida
Exatas Biolo´gicas Humanas
67 22 11
18,2 36,4 45,4
40 30 30
Total
100
100
100
2
c) O gra´fico de colunas gerado pela varia´vel sexo esta´ abaixo:
O gra´fico de colunas gerado pela varia´vel a´rea pretendida esta´ abaixo:
3
O gra´fico de colunas gerado pela tabela que conte´m as duas varia´veis esta´ abaixo:
O gra´fico de setores gerado pela tabela que conte´m a varia´vel sexo com frequeˆncias pecentuais esta´
abaixo:
4
O gra´fico de setores gerado pela tabela que conte´m a varia´vel a´rea pretendida com frequeˆncias pecen-
tuais esta´ abaixo:
5
ME´TODOS ESTATI´STICOS I
EXERCI´CIO PROGRAMADO 2
1o Semestre de 2017
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Versa˜o Tutor
1. Os dados da tabela abaixo sa˜o de empresas de hardware de computadores em uma amostra tomada
de um banco de dados do sindicato da categoria.
Empresa Prec¸o da ac¸a˜o(R$) Clientes cadastrados Lucro anual
A 2,31 128 150.000
B 1,00 130 155.000
C 5,50 130 160.000
D 5,94 140 170.000
E 5,00 141 172.000
F 3,00 145 180.000
G 4,25 145 182.000
H 6,25 150 190.000
I 2,88 150 192.000
J 9,13 155 200.000
K 1,50 160 220.000
L 8,75 160 222.000
M 0,50 165 225.000
N 7,19 165 230.000
O 6,31 170 240.000
P 1,88 175 244.000
Q 3,00 175 250.000
R 8,19 180 260.000
S 7,44 185 266.000
T 5,13 185 270.000
U 5,50 190 300.000
V 8,00 195 320.000
W 4,25 200 325.000
X 8,94 220 330.000
Y 1,31 250 350.000
Z 2,80 258 360.000
a) Com as varia´veis Lucro anual e Clientes cadastrados construa distribuic¸o˜es de frequeˆncias
usando 5 classes;
b) Construa um histograma e o respectivo pol´ıgono de frequeˆncias para cada distribuic¸a˜o do item a);
c) Com as varia´veis Prec¸o da ac¸a˜o e clientes cadastrados construir diagramas de Ramo-e-folhas.
1
2. Complete a tabela abaixo:
i Classes Frequeˆncia Absoluta Frequeˆncia Acumulada Frequeˆncia Relativa
1 0 ` 4 0,04
2 ` 8
3 ` 30 0,18
4 ` 27 0,27
5 ` 15 72
6 ` 83
7 ` 10 93 0,10
8 ` 16 0,07
Total
3. (AD1 - Questa˜o 1)- (2,5 pontos)* A partir do diagrama de ramo e folhas abaixo, cujos dados
variam de 112 a 1.368, construa uma tabela de distribuic¸a˜o de frequeˆncias para dados agrupados
(frequeˆncia simples absoluta, frequeˆncia simples relativa, frequeˆncia acumulada absoluta, frequeˆncia
acumulada relativa) utilizando 5 classes.
1 12 12 13 21 25 36 47 55 68
2 36 67 68 69 77 85 86
3 10 15 20 25 30 60
4 05 09 54 55 55 94 98
5 66 85
6 21 22 34 36 66
7 13 35 58 89
8 25 26 26
9 17 35
10 67 78 88
11 01 34
12 00 00 01
13 68
2
Soluc¸a˜o
1.
a) Distribuic¸a˜o de frequeˆncias para a varia´vel Lucro anual.
Como os valores sa˜o de 150.000 a 360.000, utilizaremos os valores ( ×1.000 ). Assim, podemos consid-
erar os valores de 150 a 360.
Para determinar a amplitude das classes, usamos a fo´rula: amplitude = ∆
NC
, onde ∆ = xmax−xmin =
360− 150 = 210 e NC e´ o nu´mero de classes ja´ definido: 5.
Assim, amplitude = 210
5
= 42 .
As classes sera˜o assim formadas: 150 ` 150 + 42 = 192 , 192 ` 192 + 42 = 234 e assim por
diante. Na u´ltima classe, que contera´ o u´ltmimo valor da amostra, deveremos usar o intervalo fechado.
318 `a 360 .
A frequeˆncia absoluta considera o nu´mero de ocorreˆncia na classe. Se for: 150 ` 192 , observamos as
ocorreˆncias de valores de 150 a 191.
O total da amostra e´ a soma das frequeˆncias absolutas.
A freqeˆncia relativa e´ a frequeˆncia absoluta dividida pelo total da amostra.
Desta forma obtemos a distribuic¸a˜o abaixo:
Lucro anual (×1.000)(R$)
Classes Frequeˆncia Absoluta Frequeˆncia Relativa Freqeˆncia Acumulada
150 ` 192 8 0,31 8
192 ` 234 6 0,23 14
234 ` 276 6 0,23 20
276 ` 318 1 0,04 21
318 ` 360 5 0,19 26
Total 26 1
Para a distribuic¸a˜o de frequeˆncias da varia´vel Clientes cadastrados, seguimos as mesmas instruc¸o˜es
da varia´vel anterior.
Assim, ∆ = 258− 128 = 130 .
O pro´ximo mu´ltiplo de 5 e´ 135. Assim:
Amplitude = 135
5
= 27 .
Assim, teremos a tabela abaixo:
Clientes cadastrados
Classes Frequeˆncia Absoluta Frequeˆncia Relativa Freqeˆncia Acumulada
128 ` 155 9 0,346 9
155 ` 182 9 0,346 18
182 ` 209 5 0,192 23
209 ` 236 1 0,038 24
236 ` 263 2 0,077 26
Total 26 1
b) os histogramas e respectivos pol´ıgonos de frequeˆncias.
Inicialmente para a primeira varia´vel (Lucro anual):
3
O respectivo pol´ıgono de frequeˆncias:
4
Agora para a varia´vel Clientes cadastrados.
Histograma:
Pol´ıgono de frequeˆncias
c) Paraa varia´vel prec¸o da ac¸a˜o, usemos a parte inteira como ramo e a decimal como folhas.
0 50
1 00 31 50 88
2 31 80 88
3 00 00
4 25 25
5 00 13 50 50 94
6 25 31
7 19 44
8 00 19 75 94
9 13
5
Para a varia´vel Clientes cadastrados usemos as centenas e dezenas para o ramo e as unidades para
as folhas.
12 8
13 0 0
14 0 1 5 5
15 0 0 5
16 0 0 5 5
17 0 5 5
18 0 5 5
19 0 5
20 0
21
22 0
23
24
25 0 8
2. Completamos a coluna das classes observando que sa˜o 8 classes e que o menor e o maior valores.
O que nos possibilita a calcular a amplitude da amostra: ∆ = 16 − 0 = 16 . Assim, a apmlitude de
cada classes sera´: 16
8
= 2 . Da´ı, basta fazer o que foi feito no item a) da questa˜o 1.
A partir da´ı, completamos observando as condic¸o˜es:
i)
∑
Freq.Abs = Total
ii)Freq.Relat. = Freq.Abs.
Total
iii)Freq.Acumul.i = Freq.Abs.i + Freq.Acumul.(i−1)
i Classes Frequeˆncia Absoluta Frequeˆncia Acumulada Frequeˆncia Relativa
1 0 ` 2 4 4 0,04
2 2 ` 4 8 12 0,08
3 4 ` 6 18 30 0,18
4 6 ` 8 27 57 0,27
5 8 ` 10 15 72 0,15
6 10 ` 12 11 83 0,11
7 12 ` 14 10 93 0,10
8 14 ` 16 7 100 0,07
Total 100
6
ME´TODOS ESTATI´STICOS I
EXERCI´CIO PROGRAMADO 3
1o Semestre de 2017
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Versa˜o Tutor
1. O conjunto de dados abaixo refere-se a idades de pessoas que frequeˆntam determinado estabeleci-
mento comercial. Determine a me´dia de idade, a idade mediana e a idade modal dos frequentadores
deste estabelecimento.
14 14 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 18 18 18 18 19
20 20 20 20 20 21 21 21 21 22 23 23 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25
2. Dada a distribuic¸a˜o abaixo, determine a me´dia, a moda e a mediana.
i Classes Frequeˆncia Absoluta
1 0 ` 3 10
2 3 ` 6 30
3 6 ` 9 35
4 9 ` 12 40
5 12 ` 15 30
6 15 ` 18 20
7 18 ` 21 10
8 21 ` 24 05
Total 180
3. (AD1 - Questa˜o 2)- (2,5 pontos)* Dado o diagrama de ramo e folhas abaixo, variando de 1,12
a 13,68, determine:
1 12 12 13 21 25 36 47 55 68
2 36 67 68 69 77 85 86
3 10 15 20 25 30 60
4 05 09 54 55 55 94 98
5 66 85
6 21 22 34 36 66
7 13 35 58 89
8 25 26 26
9 17 35
10 67 78 88
11 01 34
12 00 00 01
13 68
a) A me´dia;
b) A moda;
c) A mediana.
1
Soluc¸a˜o
1. Para o ca´lculo da me´dia, vamos fazer uma distribuic¸a˜o de frequeˆncia pontual dos dados.
xi ni xini
14 2 28
15 6 90
16 7 112
17 3 51
18 4 72
19 1 19
20 5 100
21 4 84
22 1 22
23 2 46
24 3 72
25 8 200
Total 46 896
x =
∑
xini
n
=
896
46
= 19, 48
Para o ca´lculo da mediana, observemos que n e´ par. Assim, a medina sera´:
Q2 =
x(n/2) + x(n
2
+1)
2
=
x23 + x24
2
=
19 + 20
2
=
39
2
= 19, 5
A moda e´ a idade de maior frequeˆncia. Na nossa tabela de frequeˆncias, temos que a idade 25 possui
a maior frequeˆncia.
Logo:
x∗ = 25
2. Completemos a tabela com a frequeˆncia acumulada, o valor xi (ponto me´dio de cada classe), o
produto nixi e a frqueˆncia relativa percentual:
i Classes Freq. Absoluta (ni) Freq. Acumulada xi nixi Freq. Relat.(%)
1 0 ` 3 10 10 1,5 15,0 5,6
2 3 ` 6 30 40 4,5 135,0 16,6
3 6 ` 9 35 75 7,5 262,5 19,4
4 9 ` 12 40 115 10,5 420,0 22,2
5 12 ` 15 30 145 13,5 405,0 16,6
6 15 ` 18 20 165 16,5 330,0 11,1
7 18 ` 21 10 175 19,5 195,0 5,6
8 21 ` 24 05 180 22,5 112,5 2,9
Total 180 1875,0 100,0
A me´dia sera´:
2
x =
∑
xini
n
=
1875
180
= 10, 42
Para o ca´lculo da mediana, seguimos o seguinte esquema:
A classe que conte´m acumulada n/2 e´ 9 ` 12. Nas classes anteriores a` esta, temos 41,6% dos dados,
faltando 8,4% para 50% dos dados. A frequeˆncia relativa percentual da classe e´ 22,2%.
Com estas informac¸o˜es, formamos as proporc¸o˜es necessa´rias para obtermos a mediana:
Q2 − 9
8, 4
=
12− 9
22, 2
⇒ 22, 2(Q2 − 9) = 8, 4(12− 9) ⇒ 22, 2Q2 − 199, 8 = 25, 2
22, 2Q2 = 25, 2 + 199, 8 ⇒ 22, 2Q2 = 225 ⇒ Q2 = 225
22, 2
= 10, 13.
Q2 = 10, 13
Para encontrarmos a moda usaremos o ponto me´dio da classe modal (classe de maior frequeˆncia).
Observamos que a classe modal e´: 9 ` 12 que tem frequeˆncia 40. O seu ponto me´dio 10,5.
Logo:
x∗ = 10, 5
3
ME´TODOS ESTATI´STICOS I
EXERCI´CIO PROGRAMADO 4
1o Semestre de 2017
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Versa˜o Tutor
1. O conjunto de dados abaixo refere-se a idades de pessoas que frequeˆntam determinado estabeleci-
mento comercial. Determine a amplitude dos dados, a variaˆncia e o desvio padra˜o.
14 14 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 18 18 18 18 19
20 20 20 20 20 21 21 21 21 22 23 23 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25
2. Dada a distribuic¸a˜o abaixo, determine a amplitude dos dados, a variaˆncia e o desvio padra˜o.
i Classes Frequeˆncia Absoluta
1 0 ` 3 10
2 3 ` 6 30
3 6 ` 9 35
4 9 ` 12 40
5 12 ` 15 30
6 15 ` 18 20
7 18 ` 21 10
8 21 ` 24 05
Total 180
3. (AD1 - Questa˜o 3)- (2,5 pontos)* Dada a distribuic¸a˜o de frequeˆncias abaixo, obtenha:
Classes Frequeˆncia Absoluta
5 ` 15 10
15 ` 25 20
25 ` 35 50
35 ` 45 90
45 ` 55 20
55 ` 65 10
Total 200
a) A amplitude total dos dados;
b) A variaˆncia e o desvio padra˜o dos dados.
1
Soluc¸a˜o
1. Para auxiliar nos ca´lculos, vamos fazer uma distribuic¸a˜o de frequeˆncia pontual dos dados.
xi ni xini nix
2
i
14 2 28 392
15 6 90 1350
16 7 112 1792
17 3 51 867
18 4 72 1296
19 1 19 361
20 5 100 2000
21 4 84 1764
22 1 22 484
23 2 46 1196
24 3 72 1728
25 8 200 5000
Total 46 896 18230
A me´dia e´ dada como segue:
x =
∑
xini
n
=
896
46
= 19, 48
A amplitude dada por: ∆ = Vmax − Vmin = 25− 14 = 11 .
Assim:
∆ = 11
Para o ca´lculo da variaˆncia, usaremos a fo´rmula:
σ2 =
1
n
[∑
nix
2
i − nx2
]
Assim,
σ2 =
1
46
[
18.230− 46× (19, 48)2] = 1
46
[18.230− 46× 379, 47]
=
1
46
[18.230− 17.455, 62] = 1
46
[774, 38] = 16, 8.
Assim:
σ2 = 16, 8
O desvio padra˜o e´ a raiz quadrada da variaˆncia.
σ =
√
16, 8 = 4, 09.
2.
A amplitude total e´ dada por:
2
∆ = Vmax − Vmin = 24− 0 = 24.
Para o ca´lculo da variaˆncia, vamos completar a tabela com o valor xi (ponto me´dio de cada classe),
o produto nixi e o produto nix
2
i .
i Classes Freq. Absoluta (ni) xi nixi nix
2
i
1 0 ` 3 10 1,5 15,0 22,50
2 3 ` 6 30 4,5 135,0 607,50
3 6 ` 9 35 7,5 262,5 1968,75
4 9 ` 12 40 10,5 420,0 4410,00
5 12 ` 15 30 13,5 405,0 5467,50
6 15 ` 18 20 16,5 330,0 5445,00
7 18 ` 21 10 19,5 195,0 3802,50
8 21 ` 24 05 22,5 112,5 2531,25
Total 180 1875,0 24255,00
A variaˆncia sera´:
σ2 =
1
n
[∑
nix
2
i − nx2
]
=
1
180
[
24.255− 180× (10, 42)2] = 1
180
[24.255− 180× 108, 58]
=
1
180
[24.255− 19.544, 4] = 1
180
[4.710, 6] = 26, 17.
O desvio padra˜o e´ a raiz quadrada da variaˆncia.
σ =
√
26, 17 = 5, 12.
3
ME´TODOS ESTATI´STICOS I
EXERCI´CIO PROGRAMADO 5
1o Semestre de 2017
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Versa˜o Tutor
1. Um agricultor seleciona aleatoriamente 60 plantas de milho e anota o nu´mero de espigas de milho
em cada planta.
1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5
5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6
a) Determine o nu´mero me´dio de espigas de milho desta amostra;
b) Determine o desvio padra˜o e o coeficiente de variac¸a˜o;
c) Refac¸a esta tabela com os escores padronizados;
d) Calcule a moda, determine o coeficiente de assimetria e decida o tipo de assimetria desta amostra;
e) Calcule os quartis e determine o intervlo interquartil;
f) Fac¸a o Boxplot e decida se ha´ dados discrepantes.
2. Em uma pesquisa sobre atividades de lazer realizada com uma amostra de 20 alunos de um campus
universita´rio, perguntou-se o nu´mero de horas que os alunos gastaram “navegando” na Internet na
semana anterior. Os resultados obtidos foram os seguintes:
15 24 18 8 10 12 15 14 12 10
18 12 6 20 18 16 10 12 15 9
Com estas informac¸o˜es,construa um diagrama de ramo-e-folhas e um boxplot.
3. (AD1 - Questa˜o 4)- (2,5 pontos)* Dado o conjuno de dados abaixo, determine:
10 10 23 23 23 25 31 31 31 32 32 32 38 38 38
39 42 42 42 42 43 43 43 46 46 46 47 47 47 48
a) A mediana;
b) Os quartis Q1 e Q3 ;
c) O intervalo Interquartil;
d) O Boxplot.
1
Soluc¸a˜o:
1.
a) O nu´mero me´dio de espigas sera´ dado por:
x =
∑
Xi
n
=
225
60
= 3, 75.
b) O desvio padra˜o sera´ dado por:
σ =
√
1
n
∑
x2 − x2 =
√
1
60
× 929 − 14, 06 =
√
15, 48 − 14, 06 =
√
1, 42 = 1, 19.
e o coeficiente de variac¸a˜o:
CV =
σ
x
=
1, 19
3, 75
= 0, 32.
c) Para refazer a tabela com os escores padronizados, usaremos a seguinte fo´rmula para a trans-
formac¸a˜o:
zi =
xi − x
σx
,
onde:
x = 3, 75 , σx = 1, 19 e cada xi representa cada um dos dados iniciais. Desta forma, obtemos abaixo
os escores padronizados.
-2,31 -2,31 -1,47 -1,47 -1,47 -1,47 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63
-0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63 -0,63
-0,63 -0,63 -0,63 -0,63 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21
0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 1,05 1,05 1,05
1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,89 1,89 1,89 1,89 1,89 1,89
d) i) Moda:
x∗ = 3
Pois e´ o valor de maior frequeˆncia.
ii) Coeficiente e assimetria:
e =
x− x∗
σ
=
3, 75 − 3
1, 19
= 0, 63.
Como e > 0 , enta˜o temos ASSIMETRIA A` DIREITA.
e) Os quartis:
Q2 e´ a mediana. Como temos 60 espigas, enta˜o:
Q2 =
xn/2 + x(n/2)+1
2
=
4 + 4
2
= 4.
Para os ca´lculos de Q1 e Q3 , consideramos a mediana e, no primeiro caso, calculamos a mediana
dos dados do mı´nimo valor ate´ a mediana exclusive (Ou seja, de x1 a x30 )e no segundo caso, usma
os dados da mediana exclusive ate´ o mx´imo valor (Ou seja, de x31 a x60 ). Assim, obtemos:
Q1 = 3 e Q3 = 4, 5 .
2
O interalo interquartil dado por:
I = Q3 −Q1 = 4, 5 − 3 = 1, 5.
f) Para o desenho do Boxplot, temos:
Q1 = 3 , Q2 = 4 , Q3 = 4, 5 e I = 1, 5.
Para sabermos se existem dados discrepantes, verificcamos se existem dados abaixo de Q1 − 1, 5 × I
ou acima de Q3 + 1, 5 × I . Como I = 1, 5 , enta˜o 1, 5 × I = 2, 25 . Assim, ha´ dados discrepantes se
existe xi < 3 − 2, 25 = 0, 75 ou xi > 4, 5 + 2, 25 = 6, 75.
Como os dados varima de 1 a 6, enta˜o na˜o existem dados discrepantes.
2.
O diagrama de Ramo-e-folhas
0 6 8 9
1 0 0 0 2 2 2 2 4 5 5 5 6 8 8 8
2 0 4
Os quartis:
Veja os dados em ordem crescente:
6 8 9 10 10 10 12 12 12 12 14 15 15 15 16 18 18 18 20 24
Como sa˜o 20 elementos amostrais, enta˜o Q2 sera´:
Q2 =
x10 + x11
2
=
12 + 14
2
=
26
2
= 13.
Para determinarmos Q1 , usemos metade dos dados, ou seja:
3
6 8 9 10 10 10 12 12 12 12
Como temos 10 elementos, enta˜o Q1 sera´:
Q1 =
x5 + x6
2
=
10 + 10
2
=
20
2
= 10.
Para determinarmos Q3 , usemos a outra metade dos dados, ou seja:
14 15 15 15 16 18 18 18 20 24
Como temos 10 elementos, enta˜o Q3 sera´:
Q3 =
x15 + x16
2
=
16 + 18
2
=
34
2
= 17.
Logo:
Q1 = 10, Q2 = 13 e Q3 = 17.
O intervalo interquartil e´ dado por:
I = Q3 −Q1 = 17 − 10 = 7.
Para sabermos se existem dados discrepantes, verificcamos se existem dados abaixo de Q1 − 1, 5 × I
ou acima de Q3 + 1, 5 × I . Como I = 7 , enta˜o 1, 5 × I = 10, 5 . Assim, ha´ dados discrepantes se
existe xi < 10 − 10, 5 = −0, 5 ou xi > 17 + 10, 5 = 27, 5.
Como os dados variam de 6 a 24, enta˜o na˜o ha´ dados discrepantes e o Boxplot e´ dado como a seguir.
4
ME´TODOS ESTATI´STICOS I
EXERCI´CIO PROGRAMADO 6
1o Semestre de 2017
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Versa˜o Tutor
1. Lance um dado e uma moeda:
a) Construa o espac¸o amostral;
b) Enumere os seguintes eventos:
A =coroa, marcado por nu´mero par;
B =cara, marcado por nu´mero ı´mpar;
C =mu´ltiplos de 3.
c) Expresse os eventos:
I) B ;
II) A ou B ocorrem;
III) B e C ocorrem;
IV) A ∩B .
2. Identifique o experimento e o espac¸o amostral em cada um dos seguintes casos:
a) realizar uma prova de estat´ıstica e registrar as notas obtidas (que variam de 0 a 10);
b) verificar a calibrac¸a˜o de pneus (entre 6 e 30 libras);
c) realizar um exame me´dico.
3. Quais dos seguintes pares de eventos sa˜o mutuamente exclusivos?
Evento A Evento B
1. chover na˜o chover
2. nota A em uma prova nota B na mesma prova
3. dirigir um carro andar a pe´
4. dirigir um carro falar
5. nadar sentir frio
6. ganhar num jogo perder um jogo
7. extarir uma dama de um baralho extrair uma carta vermelha de um baralho
4. Determine o complementar de cada um dos seguintes eventos:
a) ganhar em um jogo;
b) extarir uma carta de copas de um baralho de 52 cartas;
c) extarir uma carta vermelha de um baralho de 52 cartas;
d) obter dois ou treˆs no lanc¸amento de um dado;
5. Dado o experimento: “lanc¸amento de dois dados e verificar a soma das faces voltadas para cima”,
a) identifique o espac¸o amostral;
b) um exemplo de evento imposs´ıvel;
c) um exemplo de evento certo;
d) um exemplo de evento prova´vel.
6. Um dado e duas moedas sa˜o lanc¸ados simultaneamente:
a) Identifique o espac¸o amostral;
b) Descreva cinco pares de eventos mutuamente exclusivos.
1
Soluc¸o˜es:
1.
No lanc¸amento de uma moeda e um dado, assuma:
c se a face da moeda for CARA e
k se a face da moeda for COROA .
Logo:
a) Ω = {k1, k2, k3, k4, k5, k6, c1, c2, c3, c4, c5, c6} .
b)
A = {k2, k4, k6}
B = {c1, c3, c5}
C . Como so´ ha´ a especificac¸a˜o em relac¸a˜o a`s faces do dado, enta˜o ficam livres as faces da moeda.
Logo: C = {c3, c6, k3, k6}
c)
I) B = {c2, c4, c6, k1, k2, k3, k4, k5, k6}
II) Estamos interessados em A ∪B .
A ∪B = {c1, k2, c3, k4, c5, k6}
III) Estamos interessados em B ∩ C .
B ∩ C = {c3} , que sa˜o os elementos comuns dos dois eventos.
2.
a)
experimento: “realizar uma prova de estat´ıstica e registrar as notas obtidas”
espac¸o amostral= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
b)
experimento: “verificar a calibrac¸a˜o de pneus”
espac¸o amostral= {x ∈ R|6 ≤ x ≤ 30}
c)
experimento: “realizar um exame me´dico”
espac¸o amostral={apto, na˜o apto}.
3.
Sa˜o mutuamente exclusivos os pares de eventos cuja intersec¸a˜o e´ vazia.
Assim, podemos ver facilmente que os pares mutuamente exclusivos sa˜o: 1, 2, 3 e 6.
Os demais sa˜o poss´ıveis ocorrer simultaneamente.
4.
a) na˜o ganhar neste jogo. (observe que PERDER na˜o e´ o complementar, pois se empatar o jogo,
tambe´m na˜o ganha).
b) extrair uma carta de paus ou de ourus ou de espadas deste baralho.
c) extrair uma carta preta deste baralho.
d) obter um, quatro, cinco ou seis no lanc¸amento de um dado.
2
5.
a) O espac¸o amostral do lanc¸amento de dois dados e´:
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
Ω= (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Consequentemente, o espac¸o amostral da soma dos resultados e´:
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
Ω1= 4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12
b)
Qualquer resultado de soma diferente dos que esta˜o no espac¸o amostral sera´ um evento imposs´ıvel.
Exemplo: A = {x ∈ Ω1|x ≥ 13} .
c)
B = {x ∈ Ω1|2 ≤ x ≤ 12}
d)sa˜o va´rios. Um deles e´:
C = {x ∈ Ω1|x ≤ 5}.
6.
a)
Sabemos que o espac¸o amostral do lanc¸amento de um dado e´ descrito por:
Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Que representa cada uma das seis faces do dado.
Por sua vez, o espac¸o amostral do lanc¸amento de duas moedas e´:
Ω2 = {(c, c); (c, k); (k, c); (k, k)}
Onde c representa a face “cara” e k representa a face “coroa” de cada moeda.
Para formar oespac¸o amostral do lanc¸amento de um dado e duas moedas, faremos todas as possiveis
combinac¸o˜es dos dois espac¸os amostrais acima.
Assim, obteremos:
Ω =

(1, c, c) (1, c, k) (1, k, c) (1, k, k)(2, c, c) (2, c, k) (2, k, c) (2, k, k)
(3, c, c) (3, c, k) (3, k, c) (3, k, k)
(4, c, c) (4, c, k) (4, k, c) (4, k, k)
(5, c, c) (5, c, k) (5, k, c) (5, k, k)
(6, c, c) (6, c, k) (6, k, c) (6, k, k)

3
b)
Qualquer subconjunto de Ω e´ um evento.
Assm, podemos citar alguns exemplos de eventos mutuamente exclusivos:
A : “o dado sai com a face ı´mpar e as moedas com as faces cara”
B : “o dado sai com a face 1 e as moedas com as faces cara e coroa, nesta ordem”
C : “o dado sai com a face par e as moedas com as faces coroa”
D : “o dado sai com a face 2 ou 3 e as moedas com as faces coroa e cara, nesta ordem”
E : “o dado sai com a face 4 e as moedas com as faces coroa”
F : “o dado sai com a face 3 ou 5 e as moedas com as faces cara”
G : “o dado sai com a face 1, 4 ou 5 e as moedas com as faces cara e coroa, nesta ordem”
H : “o dado sai com a face ı´mpar e as moedas com as faces cara e coroa, nesta ordem”
I : “o dado sai com a face 4 e as moedas com as faces coroa e cara, nesta ordem”
Podemos montar os seguintes pares de Eventos Mutuamentes Exclusivos (que sa˜o aqueles que na˜o tem
elementos em comum):
i) A e E
ii) B e D
iii) C e F
iv) D e G
v) H e I
Entre outros.
4
ME´TODOS ESTATI´STICOS I
EXERCI´CIO PROGRAMADO 7
1o Semestre de 2017
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Versa˜o Tutor
1. Calcule:
a) 3! b) 5! c) 0! d)
(
3
2
)
e)
(
4
4
)
f)
(
5
1
)
g)
(
9
6
)
h) A3,2 i) A4,4 j) A5,1 l) A9,6 m) A1,0
2. Um vendedor de automo´veis pretende impressionar os poss´ıveis compradores com o nu´mero de
combinac¸o˜es diferentes poss´ıveis. Um modelo pode ser dotado de treˆs tipos de motor, dois tipos de
transmissa˜o, cinco cores externas e duas internas. Quantas sa˜o as escolhas poss´ıveis?
3. Segundo o DENATRAN, as placas de ve´ıculos automotivos devem ter treˆs letras e quatro algarismos.
a) Quantas placas diferentes podemos formar, admitido-se o uso de todas as letras e todos algaris-
mos?
b) Quantas sa˜o as placas poss´ıveis excluindo-se o grupamento “SEX” mas admitindo-se O’s e zeros?
c) Quantas sa˜o as placas poss´ıveis excluindo-se a letra O e o zero?
d) Quantas sa˜o as placas poss´ıveis excluindo-se o grupamento “SEX”, a letra O e o zero?
4. Quantas permutac¸o˜es distintas podem ser feitas com as letras da palavra BLUEBEARD?
5. Dispo˜em-se de treˆs rodas, cada uma com os algarismos de 0 a 9, de maneira que cada uma possa
ser girada independentemente das outras.
a) Quantos nu´meros diferentes podem formar-se?
b) Quantos sa˜o os nu´meros poss´ıveis com o algarismo 1 na posic¸a˜o central?
6. Se um torneio de futebol consiste de 36 times onde todos os times se enfrentam com partidas de
ida e volta, determine:
a) Quantos jogos ha´ neste torneio?
b) De quantas maneiras podem ser conquistados os treˆs primeiros lugares?
7. Joga-se uma moeda sete vezes. De quantas maneiras podem ocorrer os seguintes resultados:
a) cinco caras b) quatro caras c) todas caras d) uma cara
8. A Pizzaria Joe oferece as seguintes escolhas de pizza: presunto, calabreza, portuguesa, romana e
mussarela. De quantas maneiras podemos escolher dois tipos diferentes de pizza?
1
Soluc¸a˜o:
1.
a)
3! = 3× 2× 1 = 6.
b)
5! = 5× 4× 3× 2× 1 = 120.
c)
0! = 1
d) (
3
2
)
=
3!
2!× 1! =
3× 2!
2!× 1 =
3
1
= 3.
e) (
4
4
)
=
4!
4!× 0! =
4!
4!
= 1.
f) (
5
1
)
=
5!
1!× 4! =
5× 4!
1× 4! =
5× 4!
4!
= 5.
g) (
9
6
)
=
9!
6!× 3! =
9× 8× 7× 6!
6!× 3× 2× 1 =
9× 8× 7
3× 2× 1 =
504
6
= 84.
h)
A3,2 =
3!
(3− 1)! =
3!
1!
=
3× 2× 1
1
= 6.
i)
A4,4 =
4!
(4− 4)! =
4!
0!
=
4× 3× 2× 1
1
= 24.
j)
A5,1 =
5!
(5− 1)! =
5!
4!
=
5× 4!
4!
= 5.
l)
A9,6 =
9!
(9− 6)! =
9!
3!
=
9× 8× 7× 6× 5× 4× 3!
3!
= 9× 8× 7× 6× 5× 4 = 60.480.
m)
2
A1,0 =
1!
(1− 0)! =
1!
1!
= 1.
2.
Para montar um modelo de automo´vel, temos treˆs tipos de motores.
{m1;m2;m3}
Para cada tipo de motor, temos dois tipos de transmissa˜o.
{t1; t2}
Assim:
m1t1 m1t2
m2t1 m2t2
m31t m3t2
Para cada combinac¸a˜o de motor e transmissa˜o temos cinco tipos de cores externas.
{e1; e2; e3; e4; e5}
Assim:
m1t1e1 m1t1e2 m1t1e3 m1t1e4 m1t1e5
m2t1e1 m2t1e2 m2t1e3 m2t1e4 m2t1e5
m3t1e1 m3t1e2 m3t1e3 m3t1e4 m3t1e5
m1t2e1 m1t2e2 m1t2e3 m1t2e4 m1t2e5
m2t2e1 m2t2e2 m2t2e3 m2t2e4 m2t2e5
m3t2e1 m3t2e2 m3t2e3 m3t2e4 m3t2e5
Para cada combinac¸a˜o de motor, transmissa˜o e cor externa temos dois tipos de cores internas.
{i1; i2}
Assim:
m1t1e1i1 m1t1e2i1 m1t1e3i1 m1t1e4i1 m1t1e5i1
m2t1e1i1 m2t1e2i1 m2t1e3i1 m2t1e4i1 m2t1e5i1
m3t1e1i1 m3t1e2i1 m3t1e3i1 m3t1e4i1 m3t1e5i1
m1t2e1i1 m1t2e2i1 m1t2e3i1 m1t2e4i1 m1t2e5i1
m2t2e1i1 m2t2e2i1 m2t2e3i1 m2t2e4i1 m2t2e5i1
m3t2e1i1 m3t2e2i1 m3t2e3i1 m3t2e4i1 m3t2e5i1
m1t1e1i2 m1t1e2i2 m1t1e3i2 m1t1e4i2 m1t1e5i2
m2t1e1i2 m2t1e2i2 m2t1e3i2 m2t1e4i2 m2t1e5i2
m3t1e1i2 m3t1e2i2 m3t1e3i2 m3t1e4i2 m3t1e5i2
m1t2e1i2 m1t2e2i2 m1t2e3i2 m1t2e4i2 m1t2e5i2
m2t2e1i2 m2t2e2i2 m2t2e3i2 m2t2e4i2 m2t2e5i2
m3t2e1i2 m3t2e2i2 m3t2e3i2 m3t2e4i2 m3t2e5i2
Assim, o total de combinac¸o˜es poss´ıveis sa˜o:
3
3× 2× 5× 2 = 60.
3.
a) Temos 26 letras e 10 algarismos de 0 a 9. Enta˜o, como podemos repetir letras e algarismos nas
placas de carro, as poss´ıveis placas sa˜o:
Letras Algarismos
� � � - � � � �
26 26 26 10 10 10 10
Assim, teremos
263 × 104 = 175.760.000.
b)
Aqui consideramos todas as placas (sem excec¸a˜o) e excluimos as placas que conte´m a sequeˆncia “SEX”.
Ou seja:
Todas:
Letras Algarismos
� � � - � � � �
26 26 26 10 10 10 10
263 × 104.
As placas com a sequeˆncias “SEX”:
Letras Algarismos
�S �E �X - � � � �
1 1 1 10 10 10 10
104.
Assim, as poss´ıveis placas sa˜o “todas menos as que conte´m a sequeˆncia “SEX””.
263 × 104 − 104 = (263 − 1)× 104 = 175.750.000.
c)
Ao excluirmos a letra “O”, o nu´mero de letras poss´ıveis passa a ser apenas 25 e ao excluirmos o zero,
o nu´mero de lagarismos passa a ser apenas 9 (de 1 a 9). assim, passamos a ter o seguinte esquema:
Letras Algarismos
� � � - � � � �
25 25 25 9 9 9 9
Logo:
253 × 94 = 102.515.625.
d)
Se assumimos que as placas na˜o conte´m a letra “O” e o algarismo zero, o total de placas sera´ o da
letra c). Assim, teremos:
Todas:
4
Letras Algarismos
� � � - � � � �
25 25 25 9 9 9 9
253 × 94.
As placas com a sequeˆncias “SEX”:
Letras Algarismos
�S �E �X - � � � �
1 1 1 9 9 9 9
94.
Assim, as poss´ıveis placas sa˜o “todas menos as que conte´m a sequeˆncia “SEX””.
253 × 94 − 94 = (253 − 1)× 94 = 102.509.064.
4.
A palavra BLUEBEARD tem 9 letras, sendo duas delas (B e E) repetidas duas vezes, cada.
Assim, o nu´mero de permutac¸o˜es sera´:
9!
2!× 2! =
9× 8× 7× 6× 5× 4× 3× 2!
2× 1× 2! =
9× 8× 7× 6× 5× 4× 3
2
=
181.440
2
= 90.720.
5.
a)
Os nu´meros sa˜o formados na sequeˆncia:
R1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
R2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
R3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Como cada roda tem 10 algrismos poss´ıveis, enta˜o temos:
10× 10× 10 = 1.000.
b)
Fixando o algarismo 1 na roda do meio, teremos:
5
R1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
R2
1
R3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Como na roda 2, o valor 1 e´ fixo, enta˜o temos:
10× 1× 10 = 100.
6.
a)
Cada um dos 36 times joga contra os demais 35. Nesta contagem ja´ esta˜o inclu´ıdos os jogos de ida e
volta pois, por exemplo, quando o time A joga contra os outros 35, ha´ o jogo: A×B .
Por sua vez, quando o time B joga contra os demais, ha´ o jogo: B × A .
Assim, ja´ esta˜o computados os jogos de ida e volta dos times A e B .
Desta forma, o nu´mero total de jogos sera´:
36× 35 = 1.260.
b)
Para decidir o primeiro colocado, ha´ 36 possibilidades (sa˜o os 36 times);
Uma vez decidido o primeiro colocado, para o segundo colocado havera´ 35 possibilidades;Decididos o primeiro e o segundo colocados, restam 34 possibilidade para o terceiro colocado.
Assim, o nu´mero total de possibilidades para os treˆs primeiros lugares deste torneio sera´:
36× 35× 34 = 42.840.
7.
Este e´ um problema de combinac¸o˜es:
a) (
7
5
)
=
7!
5!× 2! =
7× 6× 5!
5!× 2× 1 =
7× 6
2
=
42
2
= 21.
b) (
7
4
)
=
7!
4!× 3! =
7× 6× 5× 4!
4!× 3× 2× 1 =
7× 6× 5
6
=
210
6
= 35.
c) (
7
7
)
=
7!
7!× 0! =
7!
7!× 1 =
7!
7!
= 1.
d) (
7
1
)
=
7!
1!× 6! =
7× 6!
6!
= 7.
6
8.
Temos 5 tipos de pizza para escolher 2.
Novamente, combinac¸a˜o: (
5
2
)
=
5!
2!× 3! =
5× 4× 3!
2× 1× 3! =
5× 4
2
=
20
2
= 10.
7
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º. Semestre de 2011 
Prof. Moisés Lima de Menezes 
(pode usar calculadora) 
 
Versão Tutor 
 
1. (1,5 ponto) Os quatro programas de televisão de maior audiência nos Estados Unidos 
foram CSI, ER, Everybody Loves Raymond e Friends segundo a Nielsen Media 
Research, de 11 de janeiro de 2004. Ao ser questionado qual destes programas mais 
gosta, 50 telespectadores escolhidos aleatoriamente responderam o seguinte: 
 
CSI Friends CSI CSI CSI CSI CSI Raymond ER ER 
Friends CSI ER Friends CSI Raymond ER ER CSI CSI 
Friends ER ER ER Friends Raymond CSI Friends Friends CSI 
Raymond Friends Friends Raymond Friends CSI Raymond Friends CSI ER 
Raymond Friends ER Friends CSI CSI ER CSI Friends ER 
 
a) Qual o tipo de variável está em questão? 
 
Solução: 
Como as respostas dadas não são numéricas, então trata-se de uma 
VARIÁVEL QUALITATIVA. 
 
b) Forneça uma distribuição de freqüências (absolutas e relativas %); 
 
Solução: 
Basta contar o número de resposta para cada uma dos 4 programas para obter 
as freqüências absolutas e dividir cada freqüência absoluta pelo total de 
respostas e multiplicar por 100 para obter as freqüências relativas. Assim, 
teremos: 
 
Programa Freq. Absoluta Freq. Relativa % 
CSI 17 34 
ER 12 24 
Friends 14 28 
Raymond 7 14 
Total 50 100 
 
c) Construa um gráfico de colunas para estes dados. 
 
Solução: 
Cada coluna do gráfico tem como base o valor da variável e como altura, a 
freqüência absoluta. Assim, o gráfico será: 
 
 
 
 
2. (4,0 pontos) O diagrama de ramo e folhas a seguir refere-se a dados variando entre 
68 e 141. 
 
6 8 9 
7 2 3 3 5 6 6 
8 0 1 1 2 3 4 5 6 
9 2 2 2 2 4 5 5 6 7 8 8 
10 0 0 2 4 6 6 6 7 8 
11 2 3 5 5 8 9 9 
12 4 6 7 8 
13 2 4 
14 1 
 
a) (2,0) Apenas com os dados brutos no diagrama de ramo e folhas encontre o 
tamanho da amostra, a amplitude total, a moda e a mediana; 
 
Solução: 
i) Tamanho da amostra: Para determinar o tamanho da amostra, basta contar 
as folhas. Assim, temos: n=50. 
 
ii) Amplitude total: Para determinar a amplitude total dos dados, basta subtrair 
o maior do menor. Assim: 
 
 
iii) Moda: A moda é o valor de maior freqüência. Ou seja: x*=92. Pois possui a 
freqüência 4. 
 
iv) Mediana: Como n é par, então a mediana será dada por: 
 
 
b) (2,0) Construa uma tabela de distribuição de freqüências (simples absoluta, 
simples relativa %, acumulada absoluta, acumulada relativa %) para dados 
agrupados em 5 classes. 
 
 Solução: 
Já sabemos que a amplitude total é 73. Como queremos 5 classes, vamos 
encontrar o próximo múltiplo de 5, que é 75. Então dividindo 75 por 5, teremos 
a amplitude de cada classe:75/5=15.AS freqüências absolutas serão as 
contagens simples, as relativas são a divisão das absolutas pelo total e 
multiplicado por 100 e as acumuladas são o somatório das freqüências 
absolutas até então. Logo, a distribuição de freqüências será: 
 
Freqüência simples Freqüência acumulada 
Classes Absoluta Relativa % Absoluta Relativa % 
68 83 12 24 12 24 
83 98 13 26 25 50 
98 113 12 24 37 74 
113 128 9 18 46 92 
128 143 4 8 50 100 
total 50 100 
 
 
 
3. (2,5 ponto) Com os dados brutos da questão anterior no diagrama de ramo e folhas 
encontre os quartis (Q1, Q2 e Q3) e faça o Box-plot. 
 
Solução: 
i) Os quartis: 
Já temos o Q2 obtido na questão anterior. Para obtermos o Q1 e o Q3, tomemos a 
primeira e a segunda metade dos dados retirando a mediana. Assim, teremos para 
calcular o Q1, os dados de x1 a x25 e para o cálculo do Q3, os dados de x26 a x50. Em 
ambos os casos, n=25, ou seja, ímpar. Assim, 
Q1 = x13 = 83. 
Q2 = 97,5. 
Q3 = x38 = 113. 
 
ii) O Box-Plot 
Para a confecção do Box-plot, precisamos do Intervalo interquartílico: 
IQ = Q3 – Q1 = 113 - 83 = 30. 
Assim, 1,5 IQ = 1,5X30=45. 
O Intervalo de dados discrepantes será: (83-45; 113+45) 
(38;158) 
 
Assim, o Box-plot será: 
 
 
 
 
4. (2,0 pontos) Considere o lançamento de dois tetraedros (figura espacial com 4 faces - 
figura 1) regulares com as faces numeradas de 1 a 4 e verificar as faces que ficam na 
base. 
 
Figura 1: Tetraedro 
 
 a) (0,5) Qual o espaço amostral deste experimento? 
 
 Solução: 
O espaço amostral será todas as combinações possíveis dos conjuntos: {1,2,3,4} 
e {1,2,3,4}. Ou seja, 
 
 
 
b) (1,5) Sejam os eventos A={a soma das faces na base é par} e B={a soma das 
faces na base maior que 5}. Determine A, B, A-B e . 
 
 Solução: 
 O conjunto A será os destacados em cinza: 
 
 
Logo: 
 
 
O conjunto B será os destacado em cinza: 
 
 
 
 Logo: 
 
 
 
 A-B é o conjunto dos elementos de A que não estão em B. 
 Logo: 
 
 
 é o conjunto dos elementos simultâneos a A e B. 
 Logo: 
 
 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º. Semestre de 2013 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
1. (2,0 pontos) O diretor da fábrica da Printel quer comparar a média salarial da sua fábrica em são 
Paulo a de seu concorrente em Santa Catarina Dos seus 6.012 funcionários, 1.221 recebem 
$35,00 por hora, 650 recebem $15,50, 3.098 ganham $23,50 e os demais $17,12. Dos 5.634 
funcionários da outra fabrica, 1.654 ganham $12,75, 815 recebem $17,80 e os outros $20,10. 
 
a) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de frequências simples para cada uma das 
fábricas; 
b) (1,0 pt) Calcule as médias salariais das duas fábricas. 
 
Solução: 
 
********* item a) ********* 
 
a) Fábrica em São Paulo: 
Salário ($) Frequência 
35,00 1.221 
15,50 650 
23,50 3.098 
17,12 1.043 
Total 6.012 
 
Fábrica em Santa Catarina: 
 
Salário ($) Frequência 
12,75 1.654 
17,80 815 
20,10 3.165 
Total 5.634 
 
 
********* item b) ********** 
 
b) As médias salariais: 
Média São Paulo: 
 
 
 
 
 
Média Santa Catarina: 
 
 
 
 
 
 
2. (2,0 pontos) Dado o histograma referente aos salários de 50 executivos, que variam de 
$90.000,00 a $2.540.000,00: 
 
 
 
Construa a tabela de distribuição de Frequências (simples (absoluta e relativa)) e 
(acumulada (absoluta e relativa)) a que se refere este histograma. 
 
Solução: 
 
Temos os pontos médios das classes. Como o valor inicial é igual a 90.000, e as classes tem 
freqüências do mesmo tamanho da distancia entre os pontos médios, a saber: então: 
as classes serão feitas como segue: classe 1: de 90 a , a classe 2, de 440 a 
. E assim por diante. As freqüências absolutas simples são observadas no histograma e as 
outras seguem dela, sendo as relativas iguais a às absolutas divididas pelo total. Opcionalmente, as 
freqüências relativas podem vir em formato percentual, para isso, basta multiplicar a freqüência 
relativa por 100%. Logo:Freqüência Simples Freqüência Acumulada 
Absoluta Relativa Absoluta Relativa 
[90; 440) 9 0,18 9 0,18 
[440; 790) 11 0,22 20 0,40 
[790; 1.140) 10 0,20 30 0,60 
[1.140; 1.490) 8 0,16 38 0,76 
[1.490; 1.840) 4 0,08 42 0,84 
[1.840;2.190) 3 0,06 45 0,90 
[2.190; 2.540) 5 0,1 50 1 
Total 50 1 
 
 
3. (3,0 pontos) Dada a tabela abaixo: 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
265 615 1115 1315 1665 2015 2365
F
re
q
u
e
n
ci
a
 A
b
so
lu
ta
Ponto médio dos Salários (x $1.000)
 
Classes Freq. Absoluta Pto. Médio das Classes 
[1; 7) 5 4 
[7; 13) 10 10 
[13; 19) 20 16 
[19; 25) 5 22 
Total 40 
 
a) (0,5 pt) Determine a média destes dados; 
b) (0,5 pt) Determine a moda; 
c) (1,0 pt) Determine o desvio-padrão, sabendo que ; 
d) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria; 
e) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação. 
 
Solução: 
 
Para calcular as medidas desejadas, vamos completar a tabela: 
 
 
Classes Freq. Absoluta Pto. Médio das Classes 
[1; 7) 5 4 20 80 
[7; 13) 10 10 100 1.000 
[13; 19) 20 16 320 5.120 
[19; 25) 5 22 110 2.420 
Total 40 550 8.620 
 
a) 
Média: 
 
 
b) 
Moda: é o ponto médio da classe de maior freqüência. Na ocasião: a maior freqüência é 20 e a sua 
classe é [13; 19). Seu ponto médio é 16. Logo: 
 
 
 
c) 
Variância: 
 
 
 
 
 
O desvio padrão será: 
 
 
d) 
Coeficiente de assimetria: 
 
 
 
e) Coeficiente de variação: 
 
 
 
 
4. (2,0 pontos) Considere o conjunto dos investidores da bolsa de valores. Seja A o conjunto dos 
investidores de sexo masculino, B o conjunto dos investidores do sexo feminino, C o conjunto 
dos que investem a curto prazo, D o conjunto dos que investem a médio prazo e E o conjunto 
dos que investem a longo prazo. Explicite os eventos. 
a) (0,5 pt) 
b) (0,5 pt) 
c) (0,5 pt) 
d) (0,5 pt) 
 
Solução: 
 
a) 
 
 A B 
C 
D 
E 
 
A tabela acima mostra a região equivalente à . Assim, o evento é: 
 
“Conjunto dos investidores do sexo masculino que investem em longo prazo”. 
 
b) 
 
 A B 
C 
D 
E 
 
A tabela acima mostra a região equivalente à . 
 
 A B 
C 
D 
E 
 
A tabela acima mostra a região equivalente à . 
 
Conseqüentemente, a tabela abaixo mostra a interseção entre estes dois conjuntos. A região circulada é 
única que aparece nos dois conjuntos. 
 
 A B 
C 
D 
E 
 
Assim: 
 é o “conjunto dos investidores do sexo masculino que investem a curto prazo”. 
 
c) 
 
 A B 
C 
D 
E 
 
A tabela acima mostra a região equivalente à . 
 
Conseqüentemente, a tabela abaixo mostra a região equivalente à . 
 
 A B 
C 
D 
E 
 
Assim, o evento é: 
 
“Conjunto dos investidores que investem a curto prazo e dos investidores do sexo masculino que 
investem a médio prazo”. 
 
d) 
 
 A B 
C 
D 
E 
 
“Conjunto dos investidores do sexo masculino que investem a curto prazo e dos investidores do sexo 
feminino que investem a longo prazo”. 
 
 
5. (1,0 ponto) Quantos são os anagramas da palavra COMBUSTIVEL tal que as letras da 
expressão BUS estejam juntas e nesta ordem ou as letras da expressão TIVEL estejam juntas, 
mas não necessariamente nesta ordem? 
 
Solução: 
 
No primeiro caso, considere a expressão como uma única letra. Assim: 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
C O M BUS T I V E L 
Assim, seria como permutar 9 letras. 
 
Logo: 
 
 
Já no segundo caso, pode-se considerar a expressão como uma única letra, mas precisa fazer a 
permutação delas dentro da expressão. 
 
Assim: 
 
1 2 3 4 5 6 7 
C O M B U S TIVEL 
 
Serão: 
 
 
Mas como TIVEL não necessariamente na nesta ordem. 
 
 
1 2 3 4 5 
T I V E L 
 
Assim, para cada uma das 5.040 possibilidades, há 
 
 
Possibilidades, 
 
Logo: 
São 
 
 
 
Conseqüentemente 
 
Resposta: 
 
 
 
 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º. Semestre de 2014 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
1. (2,0 pontos) Dado o diagrama de ramo-e-folhas para a evolução do preço de determinado 
produto em dois estados diferentes A e B (em valores inteiros): 
 
 Estado A Estado B 
 
 5 5 0 1 1 2 
 1 0 0 1 0 0 0 0 
 0 2 2 2 5 5 5 
 8 4 4 4 0 3 1 2 
 1 1 4 0 
 
a) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de freqüências (simples (absoluta e 
relativa) para cada estado A e B. 
b) (1,0 pt) Determine o preço médio deste produto nos dois estados. 
 
Solução: 
a) Para a construção da tabela, consideramos a contagem simples para as freqüências absolutas e 
a razão entre as freqüências absolutas pelos totais para as freqüências relativas. É fácil 
perceber que os preços variam de 05 a 41 para o estado A e de 01 a 40 para o estado B. Assim, 
obtemos: 
Estado 
A 
Freqüência Simples Estado 
B 
Freqüência Simples 
Absoluta Relativa Absoluta Relativa 
05 2 15,39 01 2 13,33 
10 2 15,39 02 1 6,67 
11 1 7,69 10 4 26,66 
20 1 7,69 22 2 13,33 
30 1 7,69 25 3 20,00 
34 3 23,07 31 1 6,67 
38 1 7,69 32 1 6,67 
41 2 15,39 40 1 6,67 
Total 13 100,00 Total 15 100,00 
 
b) A média é dada por: 
 
 
, para isso, completemos as tabelas com a coluna . 
 
A(xi) Freq. Abs (ni) nixi B (xi) Freq. Abs. (ni) nixi 
05 2 10 01 2 2 
10 2 20 02 1 2 
11 1 11 10 4 40 
20 1 20 22 2 44 
30 1 30 25 3 75 
34 3 102 31 1 31 
38 1 38 32 1 32 
41 2 82 40 1 40 
Total 13 313 Total 15 266 
 
Logo: 
Média A: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Média B: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. (3,0 pontos) Dada a tabela de distribuição de freqüências para dados agrupados (onde as 
medidas são obtidas através dos pontos médios das classes): 
 
Classes 
 
4 – 8 6 2 
8 – 12 10 
12 – 16 84 
 18 
 1 
Total 20 
 
a) (0,5 pt) Complete a tabela com os valores que estão faltando (inclusive os totais); 
b) (0,5 pt) Determine a média destes dados; 
c) (0,5 pt) Determine a moda; 
d) (0,5 pt) Determine o desvio-padrão, sabendo que 
 
 
 
 ; 
e) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria; 
f) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação. 
 
Solução: 
a) Para completar a tabela, considere que as classes são sempre com a mesma amplitude, logo, 
completa-se com as classes (16-20), (20-24). Como os xi são os pontos médios das classes, 
então, completa-se com (8+12)/2=10, (12+16)/2=14, (20+24)/2=22. Ou simplesmente, 
acrescentar 4 ao xi anterior, dado que a amplitude de classe é 4. Para a freqüência absoluta, 
devemos observar que, tendo xi e nixi, pode-se obter ni através da divisão: 
 
 
 e 
observando o total, pode-se encontrar a freqüência absoluta faltante. Tendo as colunas xi e ni 
podem-se completar as duas últimas facilmente através de produtos de colunas. Assim, obtemos: 
 
Classes 
 
4 – 8 6 2 12 72 
8 – 12 10 10 100 1.000 
12 – 16 14 6 84 1.176 
16 – 20 18 1 18 324 
20 – 24 22 1 22 484 
Total 20 236 3.056 
 
b) Média: 
 
 
 
 
 
 
c) Moda: a moda é o ponto médio da classe de maior freqüência: Como a maior freqüência é 10 e 
a classe com esta freqüência é 8 – 12, então a moda é seu ponto médio, ou seja: x*=10. 
d) Para calcular o desvio padrão, usemosa fórmula da variância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: O desvio padrão será: 
 
 
e) O coeficiente de assimetria é dado por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) O coeficiente de variação é dado por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (2,5 pontos) Dado o conjunto de dados referente a valores de mercado de ações de uma 
multinacional (em ordem crescente), determine a mediana, os quartis Q1 e Q3 e obtenha o Box-
plot. 
 
4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8 
8 8 8 9 9 9 10 10 11 11 15 15 15 15 17 
18 20 20 20 20 20 25 25 25 25 25 25 30 30 30 
 
Solução: 
Como os dados estão em ordem crescente, basta verificar que temos um conjunto com 45 dados 
(impar), logo: 
Para o cálculo de e , consideremos os 23 primeiros e os 23 últimos respectivamente. 
Logo: e . 
O intervalo interquartílico é dado por: 
Para construir o Box-Plot, levemos em consideração o intervalo de . 
 
 
 
 
Como o limite inferior (LI) é menor que então na extremidade inferior do Box-plot teremos 
 
Como o limite superior (LS) é maior que então na extremidade superior do Box-plot 
teremos 
Com isso, não há dados discrepantes e o Box-plot fica assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
10 
20 
30 
4 
 
4. (2,5 pontos) Uma urna contém 4 bolas, das quais duas são brancas (numeradas 1 e 2) e duas são 
pretas (numeradas 3 e 4). Duas bolas são retiradas desta urna sem reposição e o seus números 
são verificados. Defina os seguintes eventos: 
 
 
 
 
 
a) (0,5 pt) Construa o espaço amostral deste experimento; 
b) (0,5 pt) Explicite o evento A; 
c) (0,5 pt) Explicite o evento B; 
d) (0,5 pt) Explicite o evento C; 
e) (0,5 pt) Explicite o evento D. 
 
Solução: 
 
a) O espaço amostral é o conjunto de todas as possibilidades de retiradas de duas bolas: 
 
 
 
b) Retirando-se a primeira bola branca, a segunda pode ser preta ou branca. Assim, do espaço 
amostral, selecionam-se as possibilidades começando por 1 e 2. 
 
 
 
c) Para considerar a segunda bola branca, deveremos considerar as situações que terminam 
em 1 e 2. 
 
 
d) Só há dois casos em que a as duas bolas retiradas são brancas: (1,2) e (2,1). Assim: 
 
 
 
e) De forma análoga, só há duas maneiras de se obterem ambas as bolas pretas: (3,4) e (4,3). 
Assim: 
 
 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º Semestre de 2015 
Prof. Moisés Lima de Menezes 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
1. (1,5 ponto) A tabela abaixo apresenta o preço médio da gasolina (em reais por litro) em 
alguns países (em ordem do mais barato para o mais caro). 
 
País Preço País Preço País Preço 
Venezuela 0,02 Japão 3,23 Alemanha 4,29 
Nigéria 1,28 Brasil 3,30 Portugal 4,45 
México 1,80 Chile 3,46 França 4,52 
EUA 1,87 Espanha 3,77 Itália 4,73 
Argentina 2,77 Inglaterra 4,24 Noruega 5,29 
 
Com base nestes números: 
a) (0,5 pt) Obtenha o preço médio da gasolina nestes 15 países; 
b) (0,5 pt) Determine o preço mediano da gasolina nos países europeus (os 7 mais caros); 
c) (0,5 pt) Determine a amplitude total do preço da gasolina nestes 15 países; 
 
Solução: 
a) Para este item, vamos calcular a média destes valores da tabela: 
 
 
b) Como temos 7 preços em ordem crescente, o preço mediano será: 
 
 
Que é o preço de Portugal. 
 
c) A amplitude total dos preços é a diferença entre o mais caro e o mais barato: 
 
 
 
2. (2,0 pontos) Assuma que 
 
 
Se são dados e de uma amostra de dados de 24 indivíduos cuja 
moda é igual à 10. Determine: 
a) (0,5 pt) A média destes dados; 
b) (0,5 pt) O desvio padrão destes dados; 
c) (0,5 pt) O coeficiente de variação; 
d) (0,5 pt) O coeficiente de assimetria. 
 
 
 
 
Solução: 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, logo: 
 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
 
3. (2,0 pontos) Determine quantos são os anagramas da palavra JULGAMENTO em que: 
 a) (0,5 pt) A expressão GALO aparece; 
 b) (0,5 pt) Começam com a letra A e terminam com a letra U; 
 c) (0,5 pt) Não termine com a letra O. 
 d) (0,5 pt) A expressão JUMENTO não aparece. 
 
Solução: 
A palavra JULGAMENTO possui 10 letras diferentes. Assim, o número total de anagramas desta 
palavra é 10!. 
 
a) Para que apareça a palavra GALO, estas 4 letras devem sempre aparecer juntas e nesta 
sequencia. Assim, podemos considerar esta palavra como uma única “letra” que ocupa 4 
espaços, ou seja, as possibilidades são: 
 
_____ __ __ __ __ __ __ 
GALO 6 5 4 3 2 1 
 
Assim, com a palavra GALO no início, são possíveis 
 anagramas. 
No entanto esta é apenas uma das 7 configurações possíveis, pois a palavra GALO 
pode estar em qualquer das 7 posições mostradas acima. 
 
Então, número total de anagramas será: 
 
 
 
b) Para que a palavra comece com a letra A e termine com a letra U, teremos duas posições 
definidas, restando as outras 8 para se definir. Então teremos 8 letras para permutar, logo: 
 
 
Como as posições das letras A e U estão definidas (primeira e última), então não há 
mais possibilidade a serem consideradas. 
 
c) O número de anagramas que terminam com a letra O será obtido fixando a última letra e 
variando as demais 9 letras. Logo: 
 
 
Como o número total de anagramas é 10!, então o número de anagramas em que a letra O não está 
na última posição é: 
 
 
d) Utilizando o mesmo raciocínio do item (a), o número de anagramas em que aparece a 
expressão JUMENTO é: 
_________ __ __ __ 
JUMENTO 3 2 1 
 
 
 Então, o número de anagramas em que não aparece esta expressão é o número total – o 
número que aparece. Ou seja: 
 
 
 
4. (2,5 pontos) Dada a tabela de distribuição de freqüências abaixo, obtenha: 
 
 
Classes 
Frequência Simples 
Absoluta (ni) 
-20 -10 1 
-10 0 2 
0 10 5 
10 20 29 
20 30 6 
30 40 9 
Total 52 
 
 a) (1,0 pt) Os quartis , e ; 
 b) (0,5 pt) O intervalo Interquartil; 
 c) (0,5 pt) Os limites que determinam se um dado é ou não discrepante; 
 d) (0,5 pt) O Boxplot. 
 
 
Solução: 
 
Para o cálculo dos quartis, vamos completar esta tabela com as freqüências relativas, acumuladas 
e percentuais: 
 
 
Classes 
Frequência Simples Freqüências Acumuladas 
Absoluta (ni) Relativa (%) Absoluta Relativa (%) 
-20 -10 1 1,92 1 1,92 
-10 0 2 3,85 3 5,77 
0 10 5 9,62 8 15,37 
10 20 29 55,77 37 71,14 
20 30 6 11,54 43 82,70 
30 40 9 17,30 52 100 
Total 52 100 
 
Q1: 
O primeiro quartil acumula 25% dos dados. De acordo com a coluna das freqüências acumuladas 
relativas, este percentual é alcançado apenas na classe de 10 a 20, onde são acumulados 71,14%. 
Fazendo as proporções adequadas chegaremos a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q2: 
 
O segundo quartil também está no mesmo intervalo.Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q3: 
 
O terceiro quartil está no intervalo de 20 a 30 pois acumula 82,7%. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) O Intervalo interquartil é a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil. 
 
 
 
c) Os limites são: 
 
 
 
 
 
 
d) 
Podemos observar que os dados do problema vão de -20 a menos de 40. 
Co os resultados obtidos no item (c), percebemos que os dados não superam o Limite Superior 
(LS), mas existem dados que estão abaixo de LI. Com isso, podemos dizer que há dados 
discrepantes e por conta disso, o diagrama Boxplot deve utilizar o LI em sua configuração. 
 
Assim, o Boxplot será 
 
 
 40 
 
 
 23,34 
 
 
 16,21 
 
 
 11,72 
 
 
 
 -5,71 
 
 
5. (2,0 pontos) Uma moeda e um dado são lançados e as suas faces voltadas para cima são 
observadas. 
 
 a) (0,5 pt) Obtenha o espaço amostral deste experimento; 
 b) (1,5 pt) Explicite os seguintes eventos: 
 A: {sai coroa com um número par} 
 B: {sai um múltipo de 3} 
 C: {sai cara com um número maior que 2} 
 
Solução: 
a) 
Considere C, se a face da moeda for CARA e K se a face da moeda for COROA. Então o espaço 
amostral será: 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º Semestre de 2015 
Prof. Moisés Lima de Menezes 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
1. (1,5 ponto) A tabela abaixo representa a variabilidade do preço de determinado produto coletado 
em diversos estabelecimentos em diversas semanas. Complete a tabela com as informações que 
estão faltando (inclusive os totais). 
 
Preços (R$) 
Frequência Simples Frequência Acumulada 
Absoluta Relativa (%) Absoluta Relativa (%) 
2,00 |-- ___ 2 _____ _____ _____ 
___ |-- ___ 4 _____ _____ _____ 
___ |-- ___ _____ _____ _____ _____ 
___ |-- ___ 16 _____ _____ _____ 
___ |-- ___ 8 25 _____ _____ 
___ |-- 3,50 _____ 6,25 _____ _____ 
Total _____ _____ 
 
Solução: 
Para obter as classes (intervalos), é necessário saber a amplitude de classes, que é obtida pela 
divisão da amplitude total pelo número de classes. Assim: 
 
Como o número de classes é igual à 6, então a amplitude de classes é igual à: 
 
Com isso, podemos preencher as classes como segue: 
 
 
Para preencher as freqüências, partimos da freqüência relativa 25% referente à freqüência 
absoluta 8. Isso significa que a freqüência 8 representa 25% do total. Assim, se multiplicarmos pro 
4, obtemos o total. Logo: A freqüência total é 
Com a freqüência total, podemos obter as freqüências relativas referentes as freqüências absolutas 
dadas: 
 
 
Notemos que temos uma freqüência relativa abaixo da freqüência 25, mas não temos a absoluta. 
Porém, podemos ver que tal freqüência é de 6,25. Esta freqüência relativa já foi calculada 
anteriormente e se refere a freqüência absoluta 2. Agora temos quase todas as freqüências 
absolutas. Só falta uma, mas a soma das freqüências absolutas que temos é 
 Ou seja, a freqüência que está faltando é ZERO. A mesma será reproduzida para a relativa. 
 
Agora que temos as freqüências simples absolutas e relativas, basta fazê-las acumuladas, sempre 
somando todas anteriores a atual. 
 
Assim, a tabela completa será: 
 
 
 
 
Preços (R$) 
Frequência Simples Frequência Acumulada 
Absoluta Relativa (%) Absoluta Relativa (%) 
2,00 |-- 2,25 2 6,25 2 6,25 
2,25 |-- 2,50 4 12,5 6 18,75 
2,50 |-- 2,75 0 0 6 18,75 
2,75 |-- 3,00 16 50 22 68,75 
3,00 |-- 3,25 8 25 30 93,75 
3,25 |-- 3,50 2 6,25 32 100 
Total 32 100 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
2. (2,5 pontos) Assuma que 
 
 
Se são dados e de uma amostra de dados de 53 indivíduos 
cuja moda é igual à 46. Determine: 
a) (0,5 pt) A média; 
b) (0,5 pt) A variância; 
c) (0,5 pt) O desvio padrão; 
d) (0,5 pt) O coeficiente de variação; 
e) (0,5 pt) O coeficiente de assimetria. 
 
Solução: 
(a) 
 
 
(b) 
 
 
 
(c) 
 
 
(d) 
 
 
(e) 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
3. (2,5 pontos) Dado o diagrama de ramo e folhas abaixo variando de 1,5 a 9,5, obtenha: 
 
1 5 5 6 7 7 7 
2 0 0 2 2 2 8 8 
3 1 1 1 1 5 5 5 5 5 
4 0 0 4 4 4 8 
5 3 3 8 
6 2 5 
7 
8 
9 5 
 
 
 a) (0,5 pt) A mediana; 
 b) (0,5 pt) Os quartis e ; 
 c) (0,5 pt) O intervalo Interquartil; 
 d) (0,5 pt) Os limites que determinam se um dado é ou não discrepante; 
 e) (0,5 pt) O Boxplot. 
 
Solução: 
 
(a) Observe que este conjunto de dados contém 34 observações. Para o cálculo da mediana com n 
par, procede-se com a média entre as duas observações centrais. Neste caso, e . Assim: 
 
 
 
(b) Os quartis são obtidos a partir do conhecimento da mediana. Como a mediana obtida foi um 
valor não amostrado, então os quartis são respectivamente, a mediana da primeira metade dos 
dados e a mediana da segunda metade dos dados. A primeira metade dos dados vai de 1 até 17 e a 
segunda metade dos dados vai de 18 até 34. 
Assim: 
 
 
 
 
(c) O intervalo interquartil é a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil. 
 
 
 
(d) Os limites inferior e superior são obtidos por: 
 
 
 
 
Podemos observar que no diagrama de ramo e folhas há um valor acima de 7,7. Este valor é 
considerado discrepante. 
 
(e) O Boxplot é obtido a partir dos quartis. Como foi detectado que há valores discrepantes, o 
Boxplot será composto por: O valor 9,5 é o valor 
discrepante. Assim, o Boxplot será: 
 
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
4. (2,0 pontos) Uma moeda e um dado são lançados e as suas faces voltadas para cima são 
observadas. 
 
 a) (0,5 pt) Obtenha o espaço amostral deste experimento; 
 b) (1,5 pt) Explicite os seguintes eventos: 
 A: {sai cara com um número par} 
 B: {sai um múltipo de 3} 
 C: {sai cara com um número menor que 4} 
Solução: 
(a) 
Considere C, se a face da moeda for CARA e K se a face da moeda for COROA. Então o espaço 
amostral será: 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
5. (1,5 ponto) Defina: 
a) (0,5 pt) Experimento Aleatório; 
b) (0,5 pt) Espaço Amostral; 
c) (0,5 pt) Evento Aleatório. 
 
Solução: 
 
(a) Experimento Aleatório é o tipo de experimento que pode ter vários resultados (ou que acusa 
variabilidade em seus resultados). 
 
(b) Espaço Amostral é o conjunto com os possíveis resultados do experimento aleatório. 
 
(c) Evento Aleatório é qualquer subconjunto do espaço amostral. 
 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º. Semestre de 2016 
Prof. Moisés Lima de Menezes 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
Para as questões 1, 2 e 3, use o enunciado a seguir: 
Os quatro programas de televisão de maior audiência nos Estados Unidos foram CSI, ER, Everybody 
Loves Raymond e Friends segundo a Nielsen Media Research, de 11 de janeiro de 2004. Ao ser 
questionado qual destes programas mais gosta, 50 telespectadores escolhidos aleatoriamente 
responderam o seguinte: 
 
CSI Friends CSI CSICSI CSI CSI Raymond ER ER 
Friends CSI ER Friends CSI Raymond ER ER CSI CSI 
Friends ER ER ER Friends Raymond CSI Friends Friends CSI 
Raymond Friends Friends Raymond Friends CSI Raymond Friends CSI ER 
Raymond Friends ER Friends CSI CSI ER CSI Friends ER 
 
1) (0,5 pt) Qual o tipo de variável está em questão? 
 
Solução: 
Como as respostas dadas não são numéricas, então trata-se de uma VARIÁVEL QUALITATIVA. 
 
2) (0,5 pt) Forneça uma distribuição de freqüências (absolutas e relativas %); 
 
Solução: 
Basta contar o número de resposta para cada uma dos 4 programas para obter as freqüências 
absolutas e dividir cada freqüência absoluta pelo total de respostas e multiplicar por 100 para obter 
as freqüências relativas. Assim, teremos: 
 
Programa Freq. Absoluta Freq. Relativa % 
CSI 17 34 
ER 12 24 
Friends 14 28 
Raymond 7 14 
Total 50 100 
 
3) (0,5 pt) Construa um gráfico de colunas para estes dados. 
 
Solução: 
Cada coluna do gráfico tem como base o valor da variável e como altura, a freqüência absoluta. 
Assim, o gráfico será: 
 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências de tempo (em dias) de conclusão de auditorias. 
Use os dados desta tabela para resolver as questões 4, 5 e 6. 
 
Tempo de conclusão 
(dias) 
Freqüências 
absolutas (ni) 
10 15 4 
15 20 8 
20 25 5 
25 30 2 
30 35 1 
Total 20 
 
4) (0,5 pt) Obtenha o tempo médio de conclusão de auditorias; 
 
Solução: 
Para obter a média, precisamos do ponto médio das classes e de uma coluna com o produto entre 
estes pontos médios e as freqüências absolutas. 
 
 
Tempo de conclusão 
(dias) 
Ponto médio 
(xi) 
Freqüências 
absolutas (ni) 
 
nixi 
10 15 12,5 4 50,0 
15 20 17,5 8 140,0 
20 25 22,5 5 112,5 
25 30 27,5 2 55,0 
30 35 32,5 1 32,5 
Total 20 390,0 
 
A média é: 
�̅� =
∑ 𝒏𝒊𝒙𝒊
𝒏
=
𝟑𝟗𝟎
𝟐𝟎
= 𝟏𝟗, 𝟓. 
 
 5) (0,5 pt) Obtenha o tempo modal de conclusão de auditorias; 
 
 Solução: A moda é o ponto médio da classe de maior freqüência: 
 
𝑿∗ = 𝟏𝟕, 𝟓. 
 
Pois é o ponto médio da segunda classe, que tem a maior freqüência, 8. 
 
 
 6) (1,0 pt) Obtenha o tempo mediano de conclusão de auditorias; 
 
Solução: 
A mediana se encontra na classe de 15 a 20, a mesma da moda, pois é lá que estão acumulados os 
50% dos dados. Observamos que lá estão 60% dos dados, 10% a mais,conforme a tabela abaixo. 
Assim podemos fazer as proporções de acordo com a figura logo em seguida: 
 
 
Tempo de conclusão 
(dias) 
Freqüências 
Absolutas (ni) 
Freq. 
Relativas % 
Freq. Acum 
Relativa % 
10 15 4 20 20 
15 20 8 40 60 
20 25 5 25 85 
25 30 2 10 95 
30 35 1 5 100 
Total 20 100 
 
 
 
𝑄2 − 15
30
=
20 − 15
40
 ⟹ 
𝑄2 − 15
30
=
5
40
 ⟹ 40(𝑄2 − 15) = 5 × 30 
40𝑄2 − 40 × 15 = 150 ⟹ 40𝑄2 − 600 = 150 ⟹ 40𝑄2 = 750 
 
𝑄2 =
750
40
= 𝟏𝟖, 𝟕𝟓. 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Para as questões 7 e 8, use as informações do enunciado a seguir: 
 Considere o lançamento de dois tetraedros (figura espacial com 4 faces - figura 1) regulares com as faces 
numeradas de 1 a 4 e verificar as faces que ficam na base. 
 
 Figura 1: Tetraedro 
 
 7) (0,5 pt) Qual o espaço amostral deste experimento? 
 
Solução: 
O espaço amostral será todas as combinações possíveis dos conjuntos: {1,2,3,4} e {1,2,3,4}. Ou seja, 
 
𝛀 = {
(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)
(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒)
(𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒)
(𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)
} 
 
 
8) (1,5 pt) Sejam os eventos A={a soma das faces na base é par} e B={a soma das faces na base maior 
que 5}. Determine A, B e 𝐴 ∩ 𝐵. 
 
Solução: 
 O conjunto A será os destacados em cinza: 
 
𝛀 = {
(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)
(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒)
(𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒)
(𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)
} 
Logo: 
𝑨 = {(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟑); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟑); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟒)} 
 
O conjunto B será os destacado em cinza: 
 
𝛀 = {
(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)
(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒)
(𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒)
(𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)
} 
 
 Logo: 
 
𝑩 = {(𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)} 
 
 
 𝐴 ∩ 𝐵 é o conjunto dos elementos simultâneos a A e B. 
 Logo: 
 
𝑨 ∩ 𝑩 = {(𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟑); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟒)} 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Assuma que 
�̅� =
∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑛
 𝑒 𝜎2 =
∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2
𝑛
 
 
Se são dados ∑ 𝒏𝒊𝒙𝒊 = 𝟏. 𝟖𝟎𝟐 e ∑ 𝒏𝒊𝒙𝒊
𝟐 = 𝟏𝟎𝟒. 𝟎𝟐𝟖 de uma amostra de dados de 53 indivíduos cuja 
moda é igual à 46, então resolva as questões de 9 a 13. 
9) (0,5 pt) A média; 
10) (0,5 pt) A variância; 
11) (0,5 pt) O desvio padrão; 
12) (0,5 pt) O coeficiente de variação; 
13) (0,5 pt) O coeficiente de assimetria. 
 
Solução: 
(9) 
�̅� =
1.802
53
= 34. 
 
(10) 
 𝜎2 =
104.028 − (53 × 342)
53
=
104.028 − (53 × 1.156)
53
=
104.028 − 61.268
53
 
=
42.760
53
= 806,79. 
 
(11) 
𝜎 = √806,79 = 28,4. 
 
(12) 
𝐶𝑉 =
𝜎
�̅�
=
28,4
34
= 0,84. 
 
(13) 
𝑒 =
�̅� − 𝑥∗
𝜎
=
34 − 46
28,4
= −
12
28,4
= −0,42. 
 
 
Com o diagrama de ramo e folhas referente a preços de ações (de $0,50 a $4,00), resolva as questões 
de 14 a 16. 
 
0 50 60 70 
1 00 10 10 90 
2 10 10 20 20 20 20 
3 00 00 60 
4 00 00 
 
 14) (0,75 pt) O preço médio das ações; 
 15) (0,75 pt) O preço mediano das ações; 
 16) (0,5 pt) O preço modal das ações; 
 
Solução: 
 
14) 
 
�̅� =
(0,5 + 0,6 + 0,7 + 1,0 + (2 × 1,1) + 1,9 + (2 × 2,1) + (4 × 2,2) + (2 × 3) + 3,6 + (2 × 4))
18
= 2,08. 
 
 
15) Como há 18 observações, n é par. Assim: 
 
𝑄2 =
𝑥9 + 𝑥10
2
=
2,1 + 2,2
2
= 2,15. 
 
 
 
16) A moda é o valor de maior frequência, ou seja: 2,20. 
 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º Semestre de 2016 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
Gabarito 
 
Para as questões 1 e 2, utilize o gráfico abaixo que se refere ao percentual de vendas (em 
relação ao total de veículos vendidos) das marcas de veículos durante o mês de dezembro 
de 2015 em um determinado município. Assumindo a população: “Veículos Vendidos no 
mês de Dezembro deste Município” e assumindo que o tamanho da população seja 400, 
pede-se: 
 
1) (1,0 pt) Qual o percentual de vendas das demais marcas que não estão nesta tabela? 
2) (1,0 pt) Construa uma tabela de distribuição de frequências simples (absoluta e relativa). 
 
Para as questões de 3 a 7, use a tabela a seguir que mostra a idade dos carros dos professores 
(em anos) em um estacionamento de uma Faculdade: 
 
Classes 
(idade) 
Freqüência 
Simples 
Ponto 
Médio 
Freqüência 
Acumulada 
[0; 3) 30 1,5 30 
[3; 6) 47 4,5 77 
[6; 9) 36 7,5 113 
[9; 12) 30 10,5 143 
[12; 15) 8 13,5 151 
[15; 18) 0 16,5 151 
[18; 21) 0 19,5 151 
[21; 24) 1 22,5 152 
¨Total152 
 
3) (0,5 pt) Determine a idade média e a idade modal dos carros dos professores desta 
faculdade. 
4) (1,0 pt) Sabendo que ∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 = 8.316, determine o desvio padrão da idade dos carros. 
5) (0,5 pt) Suponha que as idades de 5 carros sorteados aleatoriamente sejam: 2, 5, 15, 18 e 23 
anos. Quais seriam os escores padronizados destas 5 idades? 
6) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação. 
7) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria. Existe assimetria? Se sim, de que tipo? 
 
Para as questões de 8 a 11, utilize o seguinte contexto: As placas de veículos de um 
determinado país são formadas por 4 letras (incluindo K, W e Y) e 2 números (de 0 a 9) 
podendo haver repetição de modo a placa (KKKK-00) é possível. Determine quantas são as 
placas de veículos neste país tais que: 
 
8) (0,5 pt) os dois números são iguais? 
9) (0,5 pt) iniciam com a letra A? 
10) (0,5 pt) terminam com número par? 
11) (0,5 pt) as letras e os números são diferentes? 
 
Para as questões de 12 a 15, considere o lançamento de dois dados e defina os seguintes 
eventos: 
A: soma das faces igual à 7. 
B: pelo menos uma das faces igual à 6. 
C: as duas faces iguais. 
Determine: 
12) (0,5 pt) 𝐴 ∩ 𝐵; 
13) (0,5 pt) 𝐵 ∩ 𝐶; 
14) (0,5 pt) 𝐴 − 𝐶; 
15) (0,5 pt) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐵 ∩ 𝐶). 
 
16) (0,5 pt) O que é um histograma? 
 
17) (0,5 pt) O que é uma variável quantitativa? 
 
 
________ 
Fórmula: 𝜎2 =
1
𝑛
(∑𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2) 
 
 
 
Solução: 
1) Chamemos de “outras” as marcas que não aparecem no gráfico. 
Se somarmos os percentuais das marcas presentes teremos: 
6,25 + 11,25 + 15,00 + 5,00 + 13,75 + 15,00 + 7,50 + 11,25 + 6,25 = 91,25 
Então, restam 8,75% para as outras marcas. 
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎: 8,75%. 
 
---------------------------------------------------------------------- 
 
2) Para a construção da tabela de distribuição de frequência simples relativa, basta usar os 
dados do enunciado e do item a). 
Para as frequências simples absolutas, usemos regras de três simples: Assim, para a marca 
GM, por exemplo: 
6,25
100
=
𝑥
400
⟹ 6,25 =
100𝑥
400
⟹ 6,25 =
𝑥
4
⟹ 𝑥 = 6,25 × 4 ⇒ 𝑥 = 25 
Assim, para determinar as respectivas frequências simples absolutas, basta multiplicar as 
frequências relativas por 4. 
Logo, obtemos: 
Marca do 
 Veículo 
Frequência Simples 
Absoluta Relativa 
(%) 
GM 25 6.25 
Ford 45 11.25 
VW 60 15.00 
Toyota 20 5.00 
Renault 55 13.75 
Fiat 60 15.00 
BMW 30 7.50 
Peugeot 45 11.25 
Honda 25 6.25 
Outras 35 8.75 
Total 400 100.00 
 
 
3) MODA: 
Para determinar a moda, observe a classe que tem a maior freqüência absoluta. No caso, é a 
classe [3; 6), cuja freqüência absoluta é: 47. A moda é o ponto médio desta classe, que é 4,5. 
Logo: 
𝒙∗ = 𝟒, 𝟓 
 
MÉDIA: 
Para o cálculo da média precisamos dos valore s de 𝑛𝑖 e 𝑥𝑖. No caso, 𝑛𝑖 são as freqüências 
absolutas e 𝑥𝑖 são os pontos médios das classes. 
Assim, podemos formar a tabela complementar: 
Classes 
(idade) 
Freqüência 
Simples (𝑛𝑖) 
Ponto 
Médio (𝑥𝑖) 
 
 𝑛𝑖𝑥𝑖 
[0; 3) 30 1,5 45,0 
[3; 6) 47 4,5 211,5 
[6; 9) 36 7,5 270,0 
[9; 12) 30 10,5 315,0 
[12; 15) 8 13,5 108,0 
[15; 18) 0 16,5 0,0 
[18; 21) 0 19,5 0,0 
[21; 24) 1 22,5 22,5 
¨Total 152 972,0 
Assim, a média será calculada através da fórmula: 
 
�̅� =
∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑛
=
972
152
= 6,4 anos. 
Logo: 
�̅� = 𝟔, 𝟒 
 
------------------------------------------------------ 
 
4) Para o cálculo do desvio padrão, usemos a fórmula 𝜎 = √
1
𝑛
(∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2). Assim: 
𝜎 = √
1
𝑛
(∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2) = √
1
152
(8.316 − 152 × (6,4)2) = √
1
152
(8.316 − 152 × 40,96) 
=√
8.316
152
− 40,96 = √54,71 − 40,96=√13,75 = 3,7. 
Logo: 
𝝈 = 𝟑, 𝟕 
 
----------------------------------------------------- 
 
5) Os escores padronizados são obtidos subtraindo-se a média e dividindo o desvio padrão. Ou 
seja. 
𝑒𝑖 =
𝑥𝑖 − �̅�
𝜎
 
Para o nosso conjunto de valores amostrais: 2, 5, 15, 18 e 23, teremos: 
𝑒1 =
2−6,4
3,7
=
−4,4
3,7
= −1,19. 𝑒2 =
5−6,4
3,7
=
−1,4
3,7
= −0,38. 
𝑒3 =
15−6,4
3,7
=
8,6
3,7
= 2,32. 𝑒4 =
18−6,4
3,7
=
11,6
3,7
= 3,13. 𝑒5 =
23−6,4
3,7
=
16,6
3,7
= 4,48. 
Assim, a seqüência de escores padronizados será: 
 
-1,19 -0,38 2,32 3,13 4,48 
 
-------------------------------------------------- 
 
6) O coeficiente de variação é dado pela fórmula: 
𝐶𝑉 =
𝜎
�̅�
=
3,7
6,4
= 0,58 
 
Logo: 
CV=0,58. 
 
-------------------------------------------------- 
 
7) O Coeficiente de assimetria de Pearson é dado pela fórmula: 
𝑒 =
�̅� − 𝑥∗
𝜎
=
6,4 − 4,5
3,7
=
1,9
3,7
= 0,51. 
A distribuição é assimétrica à DIREITA. 
𝒆 = 𝟎, 𝟓𝟏 
 
 
------------------------------------------------------------------- 
 
8) Para que os dois números sejam iguais, é necessário que o segundo número seja igual ao primeiro, 
independente da escolha deste. Como não há restrições para as letras, todas estão valendo. Assim, 
teremos: 
 
___ ___ ___ ___ - ___ ___ 
26 26 26 26 10 1 
 
Logo: 
26 × 26 × 26 × 26 × 10 × 1 = 264 × 10 = 𝟒. 𝟓𝟔𝟗. 𝟕𝟔𝟎 
 
----------------------------------------------------- 
 
9) Para iniciar com a letra A, a única restrição está na primeira letra, que tem que ser exatamente a letra 
A. Então teremos apenas 1 possível letra na primeira posição e as demais livres. 
 
___ ___ ___ ___ - ___ ___ 
1 26 26 26 10 10 
Logo: 
1 × 26 × 26 × 26 × 10 × 10 = 263 × 102 = 𝟏. 𝟕𝟓𝟕. 𝟔𝟎𝟎 
 
10) Para terminar com um número par, o último algarismo só pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8 e os demais são 
livres. Assim, só há 5 possibilidades para o último algarismo da placa. 
 
___ ___ ___ ___ - ___ ___ 
26 26 26 26 10 5 
Logo: 
26 × 26 × 26 × 26 × 10 × 5 = 264 × 50 = 𝟐𝟐. 𝟖𝟒𝟖. 𝟖𝟎𝟎 
 
11) Para que as letras e os números sejam diferentes, nem as letras e nem os números podem se repetir, 
então, se uma letra já saiu, a próxima não pode ter esta letra, então a quantidade de letras possíveis será 
uma unidade menor. O mesmo vale para os números. Assim: 
 
___ ___ ___ ___ - ___ ___ 
26 25 24 23 10 9 
Logo: 
26 × 25 × 24 × 23 × 10 × 9 = 𝟑𝟐. 𝟐𝟗𝟐. 𝟎𝟎𝟎 
 
-------------------------------------------------------- 
 
12) Inicialmente, vamos visualizar os eventos A, B e C. 
𝐴 = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} 
𝐵 = {(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (5,6), (4,6), (3,6), (2,6), (1,6)} 
𝐶 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} 
 
 𝐴 ∩ 𝐵 é o conjunto (ou evento) dos elementos comuns a A e a B. Assim, 
 
𝑨 ∩ 𝑩 = {(𝟏, 𝟔), (𝟔, 𝟏)} 
 
------------------------------------------------------------------------- 
 
13) 𝐵 ∩ 𝐶 é o conjunto (ou evento) dos elementos comuns a B e a C. Assim, 
 
𝑩 ∩ 𝑪 = {(𝟔, 𝟔)} 
 
----------------------------------------------- 
 
14) A-C é o conjunto dos elementos que estão em A, mas não estão em C. Assim, 
 
𝑨 − 𝑪 = {(𝟏, 𝟔), (𝟐, 𝟓), (𝟑, 𝟒), (𝟒, 𝟑), (𝟓, 𝟐), (𝟔, 𝟏)} = 𝑨 
 
------------------------------------------------------------ 
 
15) Para este item, façamos por partes: 
inicialmente , 
 
𝐴 ∪ 𝐵
= {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (5,6), (4,6), (3,6), (2,6)} 
 
𝐵 ∩ 𝐶 = {(6,6)} obtido no item b). 
Agora, 
(𝑨 ∪ 𝑩) ∩ (𝑩 ∩ 𝑪) = {(𝟔, 𝟔)}. 
 
16) Histograma é a representação gráfica da distribuição de frequências para dados agrupados. 
 
17) Variável quantitativa é