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Lista de Exerc´ıcios - Sequeˆncias e Se´ries (Cap. 11 Stewart) Disciplina: Ca´lculo A Monitor: Marcos Okamura Rodrigues Docente: Dr. Albo Carlos Cavalheiro 1. Avalie a convergeˆncia da sequeˆncia: a) an = senh(n) lim n→∞ senh(n) = lim n→∞ en − e−n 2 =∞ Portanto, a sequeˆncia e´ divergente. b) an = cos(n) n Como lim n→∞ 1 n = 0 e cos(n) e´ uma func¸ao limitada, segue, pelo Teorema do Confronto, que: lim n→∞ cos(n) n = 0 Portanto, a sequeˆncia e´ convergente. c) an = ln(n) en Seja f(x) = ln(x) ex a func¸a˜o real associada a sequeˆncia. Como ln(x) e ex sa˜o diferencia´veis e d dx ex 6= 0 temos uma indeterminac¸a˜o do tipo ∞/∞, segue, pela Regra de L’Hoˆspital, que: 1 lim x→∞ ln(x) ex = lim x→∞ = d dx ln(x) d dx ex = lim x→∞ 1 xex = 0 Portanto, a sequeˆncia e´ convergente. d) an = cos (npi) ln(n) lim n→∞ cos (npi) ln(n) = lim n→∞ (−1)n ln(n) = 0 Portanto, a sequeˆncia e´ divergente. 2. Avalie a convergeˆncia da se´rie: a) ∞∑ n=1 sen(n) n2 + 1 Como sen(n) pode assumir valores negativos, verificaremos a convergeˆncia absoluta da se´rie. Assim: | sen(n)| n2 + 1 ≤ 1 n2 + 1 ≤ 1 n2 ∞∑ n=1 1 n2 e´ uma p-se´rie convergente (p = 2 > 1). Portanto, pelo Teste da Comparac¸a˜o, a se´rie e´ absolutamente convergente e, consequentemente, convergente. b) ∞∑ n=1 1 en + n Utilizando a comparac¸a˜o: 1 en ≤ 1 en + n Analisando a func¸a˜o f(x) = e−x associada a se´rie, temos que f(x) e´ pos- itiva e decrescente, aplicando o Teste da Integral: 2 ∫ ∞ 1 e−x dx = lim t→∞ −e−x ∣∣∣∣∞ 1 = 0 + e−1 = 1 e (convergente) Portanto, pelo Teste da Comparac¸a˜o, a se´rie e´ convergente. c) ∞∑ n=1 1 ln(n) Utilizando a comparac¸a˜o: 1 ln(n) ≥ 1 n , n > e ∞∑ n=1 1 n e´ uma p-se´rie divergente (p = 1). Portanto, pelo Teste da Comparac¸a˜o, a se´rie e´ divergente. d) ∞∑ n=1 cos(npi)√ n Transformando em uma se´rie alternada: ∞∑ n=1 cos(npi)√ n = (−1)n√ n Analisando bn = 1√ n , sabemos que e´ uma sequeˆncia decrescente e conver- gente, pois: lim n→∞ bn = lim n→∞ 1√ n = 0 Portanto, pelo Teste das Se´rie Alternada, a se´rie e´ convergente. e) ∞∑ n=1 ( 1 + 1 n )n Aplicando o Teste da Divergeˆncia: lim n→∞ = ( 1 + 1 n )n = e 6= 0 Portanto, a se´rie e´ divergente. 3 f) ∞∑ n=0 n! 1 · 3 · 5 · · · (2n+ 1) Representando a se´rie somente por produto´rios: ∞∑ n=0 n! 1 · 3 · 5 · · · (2n+ 1) = ∞∑ n=0 n∏ i=1 i n∏ i=1 2i+ 1 Aplicando o Teste da Raza˜o: lim n→∞ n+1∏ i=1 i n+1∏ i=1 2i+ 1 n∏ i=1 2i+ 1 n∏ i=1 i = lim n→∞ n+ 1 2n+ 2 = lim n→∞ 1 2 = 1 2 < 1 Portanto, a se´rie e´ convergente. 3. Encontre a frac¸a˜o geratriz da d´ızima dada, desenvolvendo sua representac¸a˜o em sequeˆncia e se´rie: a) 0,1515... Desenvolvendo a sequeˆncia e a se´rie: an = 15 100n ∞∑ n=1 15 100n Como a raza˜o da se´rie geome´trica e´ r = 1 100 < 1, a se´rie converge e podemos calcular seu valor S: S = a 1− r = 15 100 1− 1 100 = 15 100− 1 = 15 99 = 5 33 Portanto, 5 33 e´ a frac¸a˜o geratriz da d´ızima dada. 4 b) 0,00333... Desenvolvendo a sequeˆncia e a se´rie: an = 3 100 · 10n = 3 10n+2 ∞∑ n=1 3 10n+2 Como a raza˜o da se´rie geome´trica e´ r = 1 10 < 1, a se´rie converge e podemos calcular seu valor S: S = a 1− r = 3 1000 1− 1 10 = 3 1000− 100 = 3 900 = 1 300 Portanto, 1 300 e´ a frac¸a˜o geratriz da d´ızima dada. c) 12,3456456... Desenvolvendo a sequeˆncia e a se´rie: an = 456 10 · 1000n ∞∑ n=1 456 10 · 1000n Como a raza˜o da se´rie geome´trica e´ r = 1 1000 < 1, a se´rie converge e pode- mos calcular seu valor S: S = a 1− r = 456 10000 1− 1 1000 = 456 10000− 10 = 456 9990 = 76 1665 Assim: 12, 3456456... = 12, 3 + 0, 0456456 = 123 10 + 76 1665 = 40959 + 152 3330 = 41111 3330 Portanto, 41111 3330 e´ a frac¸a˜o geratriz da d´ızima dada. 5
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