Equações Diferenciais Ordinárias

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“EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS”
Prof. Dr. ANTONIO IVAN RUIZ CHAVECO 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS.
CENTRO DE ESTUDOS SUPERIORES DE TABATINGA.
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1
F(x,y,y’)=0.
 y’=f(x,y) (1) 
Uma solução da equação (1) é uma função y=y(x), que transforma a equação (1) em uma identidade,
y’(x)=f(x,y(x)), igualdade que é satisfeita para todos os valores de x onde existem as soluções da equação.
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Teorema1: Se a função f(x,y) é contínua na região D, a equação (1) tem solução para todo (x,y) nessa região.
Pode ser que a solução seja única, mas dada uma condição inicial pode ter mais de uma solução que passe por esse ponto, por isso é necessário conhecer as condições de unicidade do problema.
Teorema2: Se a função f é contínua em D e nessa região satisfaz a condição de Lipschitz:
 
Onde N é uma constante positiva, então existe só uma solução que satisfaz a condição , numa região 
D’ D.
3
3
Exemplo2: Seja a equação y’ = ky para todo x real, a função f(x,y)=ky é contínua, veja-se a condição de Lipschitz,
Nesse caso o N da condição vai coincidir com . Para qualquer domínio conexo limitado D.
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Equações em variáveis separáveis. 
Uma equação em varáveis separáveis é uma equação da forma: 
f(y)dy=g(x)dx (3)
como temos a igualdade entre dois diferenciais suas integrais se diferenciam em uma constante, assim temos que:
Exemplo 2: Seja a equação xdx+ydy=o então sua solução é,
 , C 0
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1.- A equação da forma y’=f(ax+by), a y b reais, se reduz a variáveis separáveis por médio da substituição:
z=a x+by z’=a+by’ z’=a+bf(z)
a que é uma equação em varáveis separáveis.
Exemplo 3: Seja a equação y’=2x+y.
z=2x+y z’=2+y’=2+z 
2.- A equação homogênea de primeira ordem 
Pode ser reduzida a varáveis separáveis com a transformação 
Que é uma equação em varáveis separáveis.
Exemplo 4: Seja a equação . 
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Equações lineares de primeira ordem.
Chama-se equação linear de primeira ordem a uma equação linear com respeito à função desconhecida e a sua derivada. É dizer uma equação da forma:
y’+p(x)y=f(x) (4)
onde p(x) e f(x) são funções contínuas na região de integração.
Se f(x)=0 para todo x, a equação chama-se linear homogênea.
Para determinar a solução da equação (4) integramos a equação homogênea:
y’+p(x)y=0 (5)
e buscamos uma solução particular da equação de (4), e a soma delas é a solução geral da equação (4).
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 A equação de Bernoulli constitui um exemplo de equação reduzível a linear, essa equação tem a forma:
 , n .
Para se reduzir a linear, dividamos a equação por , assim temos:
Equação que queda reduzida a linear só com a transformação .
Exemplo 4: Seja a equação .
8
Equação exata.
Uma equação da forma:
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (6)
é uma equação diferencial exata se existe uma função U(x,y) tal que :
dU=M(x,y)dx+N(x,y)dy (7)
assim a equação toma a forma, dU(x,y)=0, e sua integral é:U(x,y(x))=C. Considerando que a função U é duas vezes continuamente diferençável, e tendo em conta que:
 (8)
 
Chega-se a que, uma condição necessária e suficiente para que a equação (6) seja exata, é que:
 
 para todo (x,y) na região de integração.
9
 
De (6) e (8) tem-se que;
 , e (9)
Integrando a primeira equação de (9) em relação a x, considerando na região de integração D, se obtém:
Derivando esta expressão em relação a y tem-se:
10
 Fazendo uso da condição necessária e suficiente se chega a que ,
Assim concluímos que a solução está dada por:
 
11
Exemplo 4: Seja a equação .
Tem-se que 
então é exata, aplicando a fórmula (10), temos que:
Chega-se a:
.
12
 
Há ocasiões em que a equação (6) não é exata, mas existe uma função , chamado fator integrante tal que:
É exata, então,
Assim obtém-se que:
 
 
13
Exemplo 4: A equação Linear y’+p(x)y=f(x). Pode ser integrada buscando um fator integrante que só dependa de x, ou seja:
[p(x)y-f(x)]dx+dy=0.
Se , então,
Assim a equação linear adota a forma 
[p(x)y-f(x)] dx+ dy=0, 
.
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Exemplo 5: Seja a equação .
Aqui se têm que =1/x. 
A equação então adota a forma:
A qual é uma equação exata, assim temos que:
E a solução é;
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Aplicações das equações diferenciais de primeira ordem.
È conhecido que dadas duas retas não paralelas aos eixos coordenados são perpendiculares se e somente se, seus coeficientes angulares satisfazem a relação: .
Duas curvas são ortogonais em um ponto se, e somente se, suas retas tangentes forem perpendiculares no ponto de interseção.
Exemplo 6: Sejam as curvas definidas por e elas são ortogonais nos pontos de interseção.
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Quando todas as curvas de uma família G(x,y,c)=0 interceptam ortogonalmente todas as curvas de outra família H(x,y,c)=0, então dizemos que as famílias são trajetórias ortogonais uma da outra.
Exemplo 7: Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas y=c/x.
A derivada da família de hipérboles é:
Substituindo c=xy obtemos,
A equação diferencial da família ortogonal é:
Separando as variáveis e integrando obtemos:
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Em muitos problemas de natureza real envolvendo crescimentos ou decrescimento de populações aparece o problema de valor inicial seguinte:
 
Onde em dependência do sinal de k , pode ser um crescimento ou um decrescimento da população, sustância que se desintegra , capital, etc.
Exemplo 7: Em uma população de certa comunidade se tem um crescimento a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 5 anos, quando ela triplicará?
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 Solução: N(t)-população no momento t. Assim temo o problema:
 
A solução desse problema tem a forma:
Como para t=5 a população duplicou, temos que, 
 Assim temos que para que a população se triplique teríamos,
. 
19
 
 
Equações lineares de ordem superior.
Uma equação linear de ordem n tem a forma:
 (12)
Onde são funções contínua na região de integração da equação, [a,b]. Então para qualquer tal que:
 (13)
existe uma única solução de (12) que satisfaz a condição inicial (13).
Se f(x)=0 para todo x, então a equação (12) diz-se homogênea, a qual tem a forma:
 (14)
Considerando um operador diferencial linear L tal que:
 
A equação (14) toma a forma:
L[y]=0 (15) 
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Propriedades.
1.- Se são soluções de (15), então
é solução de (15).
2.- Se y=u+iv é solução então u e v são soluções de (15).
3.- Se , são linearmente independente, então 
 é a solução geral de (15), é dizer toda solução de (15) expressa-se dessa forma.
 Chama-se sistema fundamental de soluções.
Seja a equação linear homogênea com coeficientes constantes,
 (16)
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Substituindo na equação (16), obtemos:
 (17)
A equação (17) denomina-se equação característica da equação (16), e ela permite uma vez determinados os valores de k obter as n soluções LI.
I) Se 	 são n raízes reais diferentes de (17), então,
São as n soluções LI da equação (16).
Exemplo 8: Seja a equação: y”-3y’+2y=0.
A equação característica é,
E suas raízes são , assim a solução geral será;
22
 
Si existem as raízes ,da equação (17) então, 
 , é solução da equação (16), e assim a parte real e a parte imaginária são também soluções de (16). E são as duas soluções LI correspondente a essa dupla de valores próprios.
Exemplo 9: Seja a equação: y”+4y=0.
Como as raízes da equação característica, são 2i e –2i, temos que, a solução geral da equação é:
Se tem-se uma raiz da equação (17) de multiplicidade m, então essas m soluções de (16) LI têm a forma:
 
23
Exemplo 10: Seja a equação y”+2y’+y=0, a equação característica tema forma,
tem-se a raiz k=-1 de multiplicidade 2. Assim a solução geral é,
. 
24
Método dos coeficientes indeterminados. 	
Dada la equação linear não homogênea com coeficientes constantes seguinte,
 (18)
ou o que é o mesmo
 L[y]=f(x)
Proposição: Se é solução de (16) e é solução de (18), então y= + é solução de (18).
I.- Se f(x) é um polinômio da forma, 
 
 se k=0 é raiz da equação característica de multiplicidade r, então a solução particular tem a forma 
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Exemplo 10: Seja a equação, y’’-y=x+1.
A solução da equação homogênea é, , onde 1 e -1 são as raízes da equação característica, assim temos 
que =ax+b, pois f(x) é um polinômio de grau um e o zero não é raiz da equação característica.
Avaliando na equação temos que 
(0)-(ax+b)=x+1 assim a=-1, e b=-1, então =-x-1.
II.- Se , e é raiz da equação característica de multiplicidade r, então,
Exemplo 11: Seja a equação y’’+3y’+2y= Aqui temos que , 
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III.- Se , e é raiz da equação característica de multiplicidade r, então a solução particular da equação (18) tem a forma :
Onde k=Max{m,s}, indica o grado de tais polinômios.
Exemplo 11: Seja a equação y’’-4y=cosx.
As raízes da equação características são 2 e -2, assim,
E a solução particular tem a forma:
Derivando e substituindo na equação, temos que,
a=-1/5, e b=0 . 
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IV.- Se , e + é raiz da equação característica de multiplicidade r, então a solução particular tem a forma:
Onde k=Max{m,s}, indica o grado de tais polinômios.
Exemplo 11: Seja a equação y’’-y’= .
A solução geral da equação homogênea é:
Como que 1+i não é raiz da equação característica, a solução particular tem a forma:
Derivando e substituindo na equação temos que,
 a=b=-1/2. 
Concluímos então que 
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Teorema: Se é solução da equação 
 (i=1,...,m), então 
 y=
é solução da equação 
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Método de variação das constantes.
Se é a solução geral da equação homogênea (16), então se pode determinar uma solução particular da forma:
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Exemplo 11: Seja a equação y’’+y=1/cosx.
Como se pode ver esta não é uma das equações do tipo tratado no método de coeficientes indeterminados. A solução geral da equação homogênea é:
Buscaremos a solução particular da forma,
Assim o sistema para determinar as tem a forma; 
De sua solução tem-se que , e , e assim a solução particular é a seguinte,
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Sistemas de equações diferenciais.
Dado o sistema de equações diferenciais linear, 
 (20)
En forma vetorial este sistema pode ser escrito da forma
 
 X’=AX +F(t) 
 Onde
A= 
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O sistema homogêneo é o sistema:
X’=AX (22) 
Propriedades.
Se X eY são soluções de (22), então X+Y é solução de (22).
2) Se X é solução de (22), então mX, para qualquer m real é solução de (22).
3) Se é um sistema fundamental de soluções, então 
É a solução geral do sistema (22). 
4) Se X=U+iV é solução de (22), então U e V são soluções de (22).
 
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Determinaremos as soluções LI do sistema (22) da forma
 
 Aqui temo que h é um vetor constante da forma
 
 e k é um número real.
Substituindo X na equação 22) temos:
(A-kI)h=0 
 
 =0 (24) 
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Para o caso de duas equações com duas funções incógnitas o sistema (22) tem a forma:
 (24)
Neste caso a equação característica tem a forma:
 (25)
E a equação para determinar os vetores proprios é,
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I) Se são duas soluções reais da equação (25), então a solução geral de (3) tem a forma:
 
Pois e constituem um sistema fundamental de soluções, pois são dois soluções LI do sistema (24).
Aqui temo que ,
II) Se solução real da equação (25), então a solução geral de (3) tem a forma:
Aqui temo que , 
 ,
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III) Se , , tem-se que aqui que h=u+iv, e,
Pois 
Exemplos: Determine a solução dos sistemas:
a) x’=2y, y’=-2x, x(0)=1, y(0)=-1
b) x’=2x+6y, y’=x+y
c) x’=3x-y, y’=x+y
Solução:a) 
Assim para temos que , e teremos que 
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E teríamos 
Para determinar a solução que satisfaz a condição x(0)=1, y(0)=-1, é preciso determinar os valores de e , sob essa condição.
De x(0)=1, y(0)=-1, temos que ,
 =1, e =-1, e assim, 
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SISTEMA NÃO HOMOGÊNEO.
Teorema: Se é solução de (21) e é solução de (22), então é solução de (21). 
Se é a solução geral da equação (22), buscaremos da forma:
Onde e , são determinadas de modo que seja solução de (21). Derivando , e considerando os sistemas (21) e (22), temos que:
 (26)
O sistema (26) tem solução única, pois o determinante do sistema esta determinado pelo sistema fundamental de soluções o qual é diferente de zero. 
 
40
Exemplo: Seja o sistema
 
 
 
para temos
Fazendo uso da parte real e da imaginária como as soluções LI, temos,
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x=- sent+ cost
y= cost+ sent
Assim temos que,
E o sistema para determinar e esta dado por:
De aqui temos que e , logo, 
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