GEOMETRIA PLANA

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GEOMETRIA PLANA
PROF. ESP. FRANCILENE DOS SANTOS CRUZ
Email: franci_78sl@hotmail.com
NOTAÇÕES E DEFINIÇÕES
A linguagem matemática da Geometria Euclidiana Plana é a linguagem da chamada Teoria dos Conjuntos. Do ponto de vista da Teoria dos Conjuntos, vamos considerar o plano (ou o espaço) como nosso Conjunto Universo, cujos elementos chamaremos pontos. As retas serão subconjuntos especiais desse conjunto universo.
Os pontos e retas de um plano também são chamados “elementos primitivos” da nossa Geometria Plana.
Para denotar os pontos usaremos as letras maiúsculas: 
Ex: A, B, C...; A ( Ponto A) 
Para as retas utilizaremos as letras minúsculas: 
Ex: a, b, c... r ( Reta r) 
.
Para os planos usaremos as letras do alfabeto grego:
Ex: α (alfa), β (beta), γ (gama), δ (delta)...
 (Plano α )
Para descrever as relações entre pontos retas e planos, os símbolos utilizados
serão:
∈ - pertence ⊂ - está contido
⊃ - contém ∪ - reunião
∩ - intersecção
α
Diremos que:
Um ponto pertence à reta,e escreveremos, em linguagem simbólica: 
 P ∈ r
 Ou ao plano, em linguagem simbólica:
 P ∈ α ; 
No primeiro caso, diremos também a reta passa pelo ponto, e, no segundo, que o plano passa pelo ponto.
A reta está contida no plano, em linguagem simbólica: 
 r ⊂ α
Ou o plano contém a reta, em linguagem simbólica: 
 α ⊃ r
 Se vários pontos pertencem a uma mesma reta dizemos que eles são colineares ou estão alinhados.
Denotaremos por o conjunto dos números reais e admitiremos conhecidas suas propriedades.
As relações entre pontos e retas de um plano que admitiremos são:
- Por dois pontos distintos passa uma única reta.
- Toda reta contém pelo menos dois pontos distintos.
- Existem, pelo menos, três pontos distintos não colineares.
.
.
.
A
B
C
Dados dois pontos distintos P e Q denotaremos por a reta determinada por P e Q.
Os resultados que utilizamos no estudo da geometria dos triângulos são chamados de proposições ou teoremas, de acordo com sua importância. Todos eles podem ser demonstrados, tendo uma estruturação lógica adequada.
Para provar uma proposição ou um teorema precisamos inicialmente saber distinguir:
Geometria Dedutiva
	É a parte da matemática que estuda as propriedades das figuras e as relações que guardam entre si.
Proposição
	É uma afirmação ou um conjunto de afirmações .
	Ex: teoremas, postulados,...
Postulado
	É uma geométrica que não decorre de outra e é aceita sem demonstração
	Ex: Postulado de Euclides ( Por um ponto fora de uma reta só podemos traçar uma e somente uma paralela a reta dada).
Teorema
	É a proposição geométrica que para ser aceita tem que ser demonstrada
	Ex: Teorema de Pitágoras ( O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos). O teorema divide-se em hipótese e tese.
Hipótese
	É o conjunto de afirmações aceitas como verdadeiras.
Tese
	É a proposição que se quer demonstrar
Axioma
	É a proposição aceita por si própria 
	Ex: Um plano contém infinitos pontos.
Corolário
	É uma consequência 
	Ex: Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares.
Escólio
	É uma observação
Conclusão
	É uma consequência que decorre de uma hipótese.
Lema 
	É a proposição que prepara a demonstração da outra
Semirreta
	É a parte da reta que tem início, mas não tem fim.
Segmento de reta
	É a parte da reta que tem início e tem fim.
Posições relativas de duas retas 
Dadas duas retas “r” e “s”, obtém-se as posições relativas entre elas
a) Paralelas r s
.
O
.
A
.
.
A
B
r
s
b) Concorrentes
 r x s
c) Perpendiculares
 
 ┴
d) Coincidentes
 r = s
 
P
.
r
s
.
r
s
Ângulo 
É a reunião de dois segmentos a partir de um ponto comum.A intersecção entre dois segmentos é denominado vértice do ângulo e os lados são os dois segmentos .
Ângulos complementares
Se a soma da medida de dois ângulos vale 90°, então os ângulos são complementares.
°
°
°
A
B
C
AÔC = 90°
α + β = 90°
Portanto α e β são complementares
α
 β 
O
Ângulos complementares
Se a soma da medida de dois ângulos vale 90°, então os ângulos são complementares.
°
°
°
°
A
B
C
AÔC = 90°
α + β = 90°
Portanto α e β são complementares
α
 β 
O
Ângulos suplementares
Se a soma da medida de dois ângulos vale 180°, então os ângulos são suplementares.
°
°
A
B
C
AÔC = 180°
α + β = 180°
Portanto α e β são suplementares
α
 β 
°
O
Ângulos replementares
Se a soma da medida de dois ângulos vale 360°, então os ângulos são replementares.
α
β
α + β = 360°
Portanto α e β são replementares
Classificação dos ângulos
 Ângulo reto: ângulo cuja abertura vale 90°
°
°
°
A
C
AÔC = 90°
AÔC é reto
 
O
.
Classificação dos ângulos
 Ângulo obtuso: ângulo cuja abertura é maior que 90°
°
°
A
C
AÔC > 90°
AÔC é obtuso
 
O
Classificação dos ângulos
 Ângulo agudo: ângulo cuja abertura é menor que 90°
°
°
A
C
AÔC < 90°
AÔC é obtuso
 
O
Classificação dos ângulos
 Ângulo raso ou meia volta: ângulo cuja abertura é exatamente 180°, os seus lados são semirretas opostas. Neste caso os seus lados estão localizados sobre uma mesma reta
180°
A
B
AÔB = 180°
AÔB é raso
 
.
o
Classificação dos ângulos
 Uma volta completa: ângulo que mede 360°, os seus lados são semirretas coincidentes.
Um ângulo de 360 graus é o ângulo que completa o círculo. Após esta volta completa este ângulo coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360°).
Observação: É possível obter ângulos maiores do que 360° mas os lados destes ângulos coincidirão com os lados dos ângulos menores do que 360° na medida que ultrapassa 360°. 
 
.
Congruências
Dois lados (ou dois ângulos) são congruentes se apresentarem mesma medida
30°
30°
.
.
.
.
A
O
C
D
E
F
m(Ô) = m(Ê)  Ô Ξ Ê
m(OA) = m(ED)  OA Ξ ED
m(OC) = m(EF)  OC Ξ EF
Ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos opostos pelo vértice (OPV) são congruentes
.
â
^
 ^
 
 
 
b
b
a
^
≡
Demonstração
Queremos demonstrar que a = b, em que a é a medida de â e b é a medida de b.
Vemos que a + x = 180° e b + x = 180°.
Dessa igualdade podemos tirar outra, a + x = b + x
Subtraindo x nos dois membros, temos
a+ x – x = b + x- x
a + 0 = b + 0
a = b
ou seja demonstramos que dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes 
.
â
^
 
 
 
b
^
x
^